Základné vzorce planimetrie. Ako nájsť oblasť geometrických tvarov
Plochy geometrických útvarov sú číselné hodnoty charakterizujúce ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad mimosystémová jednotka plochy je sto, hektár. To je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V systéme SI je obvyklé uvažovať, že jednotkou plochy rovného povrchu je meter štvorcový. V CGS je jednotka plochy vyjadrená v centimetroch štvorcových.
Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch plošných útvarov je založený práve na ich aplikácii. Pre mnohé figúry je odvodených niekoľko možností, podľa ktorých sa počítajú ich štvorcové veľkosti. Na základe údajov z výpisu problému vieme určiť najjednoduchší spôsob jeho riešenia. To uľahčuje výpočet a znižuje pravdepodobnosť chýb vo výpočte na minimum. Ak to chcete urobiť, zvážte hlavnú oblasť figúr v geometrii.
Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú prezentované niekoľkými spôsobmi:
1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Základňa je strana postavy, na ktorej je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:
2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta presne rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak sa však noha berie ako základ, potom sa plocha pravouhlého trojuholníka bude rovnať súčinu polovičných nôh.
Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a,b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Hodnotu sínusu nájdete v tabuľkách. Dá sa to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:
Podľa tejto rovnosti sa môžete tiež uistiť, že oblasť pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je pravý uhol, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.
3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, v ktorom stranu a poznáme podľa podmienky alebo pri riešení nájdeme jeho dĺžku. O figúre v úlohe geometrie nie je známe nič viac. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:
Obdĺžnik
Ako nájsť oblasť obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:
Ak chcete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potrebujete sínusovú funkciu uhla vytvoreného pri ich pretínaní. Vzorec pre oblasť obdĺžnika je:
Námestie
Plocha štvorca je definovaná ako druhá mocnina dĺžky strany:
Dôkaz vyplýva z definície, že obdĺžnik sa nazýva štvorec. Všetky strany tvoriace štvorec majú rovnaké rozmery. Preto sa výpočet plochy takého obdĺžnika redukuje na násobenie jeden po druhom, t.j. na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.
Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:
Ako vypočítať plochu postavy, ktorá je tvorená časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy platia tieto vzorce:
Paralelogram
Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšku a matematickú operáciu - násobenie. Ak je výška neznáma, ako nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Vyžaduje sa určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý zvierajú susedné strany, ako aj ich dĺžka.
Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:
Rhombus
Ako nájsť oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchých matematických operácií s uhlopriečkami. Dôkaz sa opiera o skutočnosť, že diagonálne segmenty na d1 a d2 sa pretínajú v pravých uhloch. Tabuľka sínusov ukazuje, že pre pravý uhol sa táto funkcia rovná jednej. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:
Oblasť kosoštvorca možno nájsť aj iným spôsobom. Tiež to nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, špeciálnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu je γ vnútorný uhol kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:
Hrazda
Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak sú ich dĺžky uvedené v probléme? Tu, bez známej hodnoty výšky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz pre výpočet:
Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. Zároveň sa berie do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník musíte namiesto výšky zadať dĺžku strany.
Valec a rovnobežnosten
Zvážte, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov, nazývaných základne, a bočný povrch. Kruhy tvoriace kružnice majú polomer dĺžky r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:
Ako nájsť oblasť rovnobežnostena, ktorý pozostáva z troch párov plôch? Jeho merania sú v súlade s konkrétnym párom. Tváre, ktoré sú oproti sebe, majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S(1), S(2), S(3) - štvorcové rozmery nerovnakých plôch. Potom povrchová plocha rovnobežnostena:
Prsteň
Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý, ktorý počíta plochu prstenca, obsahuje väčšie polomery R a menšie polomery r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze sa plocha kruhu vypočíta pomocou väčšieho priemeru D a menšieho priemeru d. Plocha krúžku podľa známych polomerov sa teda vypočíta takto:
Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:
Polygón
Ako nájsť oblasť mnohouholníka, ktorého tvar nie je správny? Neexistuje žiadny všeobecný vzorec pre oblasť takýchto čísel. Ale ak je to znázornené napríklad na súradnicovej rovine, môže to byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu používajú metódu, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to takto: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celočíselné súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec, ktorý dokázal Pick. Je potrebné pripočítať počet bodov umiestnených vo vnútri lomenej čiary s polovicou bodov, ktoré na nej ležia, a jeden odpočítať, t. j. vypočíta sa takto:
kde C, D - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej lomenej čiare.
Všetky vzorce pre oblasť rovinných figúrok
Oblasť rovnoramenného lichobežníka
1. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla
a - spodná základňa
b - horná základňa
c - rovnaké strany
α - uhol na spodnej základni
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán (S):
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska strán a uhla (S):
2. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice
R- polomer vpísanej kružnice
D- priemer vpísanej kružnice
O - stred vpísanej kružnice
H- výška lichobežníka
α, β - lichobežníkové uhly
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice (S):
FAIR, pre vpísaný kruh v rovnoramennom lichobežníku:
3. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi
d-uhlopriečka lichobežníka
α,β- uhly medzi uhlopriečkami
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi (S):
4. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka cez stredovú čiaru, bočnú stranu a uhol na základni
c- strana
m- stredná čiara lichobežníka
α, β - uhly na základni
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska stredovej čiary, bočnej strany a uhla pri základni,
(S): 
5. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky
a - spodná základňa
b - horná základňa
h - výška lichobežníka
Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska základne a výšky (S):
Oblasť trojuholníka so stranou a dvoma uhlami, vzorec.
a, b, c - strany trojuholníka
α, β, γ - opačné uhly
Plocha trojuholníka cez stranu a dva uhly (S):
Vzorec pre oblasť pravidelného mnohouholníka
a - polygónová strana
n - počet strán
Plocha pravidelného mnohouholníka (S):
(Heronovský) vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polobvodu (S):
Plocha rovnostranného trojuholníka je:
Vzorce na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka.
a - strana trojuholníka
h - výška
Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka?
b - základňa trojuholníka
a - rovnaké strany
h - výška
3. Vzorec pre oblasť lichobežníka z hľadiska štyroch strán
a - spodná základňa
b - horná základňa
c, d - strany
Polomer opísanej kružnice lichobežníka po stranách a uhlopriečkach
a - strany lichobežníka
c - spodná základňa
b - horná základňa
d - uhlopriečka
h - výška
Vzorec pre polomer opísanej kružnice lichobežníka (R)
nájdite polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku po stranách
Keď poznáte strany rovnoramenného trojuholníka, môžete použiť vzorec na nájdenie polomeru kružnice opísanej okolo tohto trojuholníka.
a, b - strany trojuholníka
Polomer kružnice opísanej v rovnoramennom trojuholníku (R):
Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku
a - strana šesťuholníka
Polomer vpísanej kružnice v šesťuholníku (r):
Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci
r - polomer vpísanej kružnice
a - strana kosoštvorca
D, d - uhlopriečky
h - výška diamantu
Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom lichobežníku
c - spodná základňa
b - horná základňa
a - strany
h - výška
Polomer vpísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku
a, b - nohy trojuholníka
c - prepona
Polomer vpísanej kružnice v rovnoramennom trojuholníku
a, b - strany trojuholníka
Dokážte, že plocha zapísaného štvoruholníka je
\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),
kde p je polobvod a a, b, c a d sú strany štvoruholníka.
Dokážte, že plocha štvoruholníka vpísaná do kruhu je
1/2 (ab + cb) sin α, kde a, b, c a d sú strany štvoruholníka a α je uhol medzi stranami a a b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Prečítajte si viac na FB.ru:
Plochu ľubovoľného štvoruholníka (obr. 1.13) možno vyjadriť jeho stranami a, b, c a súčtom dvojice protiľahlých uhlov:
kde p je semiperimeter štvoruholníka.
Plocha štvoruholníka vpísaného do kruhu () (obr. 1.14, a) sa vypočíta pomocou Brahmaguptovho vzorca
a popísané (obr. 1.14, b) () - podľa vzorca
Ak je štvoruholník vpísaný a opísaný súčasne (obr. 1.14, c), potom sa vzorec stáva celkom jednoduchým:
Vrcholový vzorec
Na odhadnutie plochy mnohouholníka na kockovanom papieri stačí vypočítať, koľko buniek tento mnohouholník pokrýva (plochu bunky berieme ako jednotku). Presnejšie, ak S je oblasť mnohouholníka, je to počet buniek, ktoré ležia úplne vo vnútri mnohouholníka, a je to počet buniek, ktoré majú aspoň jeden spoločný bod s vnútrom mnohouholníka.
Ďalej budeme uvažovať iba o takých polygónoch, ktorých všetky vrcholy ležia v uzloch kockovaného papiera - v tých, kde sa pretínajú čiary mriežky. Ukazuje sa, že pre takéto polygóny môžete zadať nasledujúci vzorec:
kde je oblasť, r je počet uzlov, ktoré ležia presne vo vnútri mnohouholníka.
Tento vzorec sa nazýva „vrcholový vzorec“ podľa matematika, ktorý ho objavil v roku 1899.
čo je oblasť?
Plocha - charakteristika uzavretého geometrického útvaru (kruh, štvorec, trojuholník atď.), ktorá ukazuje jeho veľkosť. Plocha sa meria v centimetroch štvorcových, metroch atď. Označené písmenom S(námestie).
Ako nájsť oblasť trojuholníka?
S= a h
kde a- dĺžka základne h je výška trojuholníka nakresleného k základni.
Navyše základňa nemusí byť naspodku. To bude stačiť.
Ak trojuholník tupý, potom výška klesne na pokračovanie základne:
Ak trojuholník pravouhlý, potom základňa a výška sú jeho nohy:
2. Ďalší vzorec, ktorý nie je o nič menej užitočný, ale na ktorý sa z nejakého dôvodu vždy zabúda:
S= a b sinα
kde a a b dve strany trojuholníka sinα je sínus uhla medzi týmito stranami.
Hlavnou podmienkou je, že uhol je vzatý medzi dvoma známymi stranami.
3. Vzorec pre oblasť na troch stranách (Heronov vzorec):
S=
kde a, b a s sú strany trojuholníka a R - semiperimeter. p = (a+b+c)/2.
4. Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polomeru opísanej kružnice:
S=
kde a, b a s sú strany trojuholníka a R- polomer opísanej kružnice.
5. Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice:
S= p r
kde R - polobvod trojuholníka, a r- polomer vpísanej kružnice.
Ako nájsť oblasť obdĺžnika?
1. Oblasť obdĺžnika je pomerne jednoduchá:
S=a b
Žiadne triky.
Ako nájsť plochu štvorca?
1. Keďže štvorec je obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami, platí preň rovnaký vzorec:
S=a a = a2
2. Plochu štvorca možno nájsť aj cez jeho uhlopriečku:
S= d 2
Ako nájsť oblasť rovnobežníka?
1. Oblasť rovnobežníka sa nachádza podľa vzorca:
S=a h
Je to spôsobené tým, že ak z neho odrežete pravouhlý trojuholník vpravo a pripojíte ho vľavo, získate obdĺžnik:
2. Oblasť rovnobežníka možno nájsť aj cez uhol medzi dvoma stranami:
S=a b sinα
Ako nájsť oblasť kosoštvorca?
Kosoštvorec je v podstate rovnobežník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Preto pre ňu platia rovnaké plošné vzorce.
1. Oblasť kosoštvorca z hľadiska výšky:
S=a h
Na vyriešenie problémov v geometrii potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché triky, o ktorých budeme hovoriť.
Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!
Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilovej skúšky z matematiky sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.
Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.
1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika – rozložme túto postavu na tie, o ktorých všetci vieme, a nájdime jej plochu – ako súčet plôch týchto postáv.
Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sa rovnajú a . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .
Odpoveď: .
2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel akýchkoľvek oblastí.
Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška v tomto trojuholníku! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .
Odpoveď: .
3. Niekedy je v úlohe potrebné nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu. Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .
Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná , pretože . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je (od) a dĺžka oblúka tohto sektora je rovnaká, dĺžka oblúka je niekoľkonásobne menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, na ktorom tento oblúk spočíva, je tiež krát menší ako celý kruh (to znamená stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.
