Aký je uzol prvotriednych čísel. Najväčší spoločný deliteľ

Voláme prirodzené čísla a a b nesúdeliteľné, ak ich najväčší spoločný deliteľ je 1 (gcd(a ; b ) = 1). Inými slovami, ak čísla a a b nemajú žiadneho spoločného deliteľa okrem 1, potom ide o dvojčlenné číslo.

Príklady dvojíc hlavných čísel: 2 a 5, 13 a 16, 35 a 88 atď. Môžete zadať niekoľko hlavných čísel, napríklad čísla 7, 9, 16 sú druhé.

Hlavné čísla sa často označujú takto: (a, b) \u003d 1. Napríklad (23, 30) \u003d 1. Tento záznam je ako keby skratka na označenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (GCD (23, 30) \u003d 1) a hovorí, že ich najväčší spoločný deliteľ je 1.

Dve susediace prirodzené čísla budú vždy rovnaké. Napríklad 15 a 16 sú dvojica prvočísel, rovnako ako 16 a 17. To sa dá ľahko pochopiť, ak vezmeme do úvahy „pravidlo“, že ak sú dve prirodzené čísla a a b deliteľné rovnakým prirodzeným číslom väčším ako 1 ( n > 1), potom aj ich rozdiel musí byť deliteľný týmto číslom n (tu máme na mysli, že a, b a ich rozdiel sú delené celým číslom, čiže sú násobkami čísla n). Ale ak a a b sú dve susedné čísla (nech a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Z definície prvočísel a prvočísel vyplýva aj to, že rôzne prvočísla sú vždy coprime. Koniec koncov, jedinými deliteľmi akéhokoľvek prvočísla sú on sám a 1.

Vlastnosti prvočíselných čísel

• Najmenší spoločný násobok (LCM) dvojice prvočísel sa rovná ich súčinu. Napríklad (3, 8) = 1 (čo znamená relatívne prvočíslo), takže ich LCM je 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). V skutočnosti nenájdete menšie číslo ako 24, ktoré je násobkom 3 aj 8.
• Ak sú čísla a a b prvočíslo a číslo c je násobkom oboch a a b, potom toto číslo bude tiež násobkom súčinu ab. Dá sa to napísať takto: ak c a a c b , potom c ab . Napríklad (3, 10) = 1, číslo 60 je násobkom 3 aj 10 a je tiež násobkom 30 (3 × 10).
• Ak sú čísla a a b prvočíslo a číslo c sa berie ako násobok b (c b ), potom súčin ac bude tiež násobkom b (ac b ). Napríklad (2, 17) = 1, nech c = 34. Číslo 34 je násobkom b = 17, potom ac = 2 × 34 = 68. Skontrolujte: 68 ÷ 17 = 4, t.j. je deliteľné, čo znamená, že 68 je násobok 17.

Zvyčajne je tu viac nehnuteľností, ako je uvedené. Okrem toho sú vlastnosti relatívne prvočísel formulované rôznymi spôsobmi. Niekedy je tiež potrebné tieto vlastnosti preukázať (v tomto prípade sa dôkazy neposkytujú).

Najväčší spoločný deliteľ prvočíselných čísel je vždy jedna.

Príklady uzlov relatívne prvočísel.

GCD s číslami 11 a 7

Čísla 11 a 7 sú prvočíslo a zároveň prvočíslo.

Čísla 11 a 7 nemajú iných spoločných deliteľov okrem 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD s číslami 11 a 15

Čísla 11 a 15 sú relatívne prvočísla. V tomto prípade je 11 prvočíslo a 15 je zložené číslo.

Deliteľmi 11 sú 1 a 11.

Deliteľmi 15 sú 1, 3, 5, 15.

Ako vidíte, jediným spoločným faktorom čísel 11 a 15 je číslo 1. Jednotkou je teda GCD čísel 11 a 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD s číslami 10 a 21

Čísla 10 a 21 sú relatívne prvočísla. V tomto prípade je číslo 10 aj číslo 21 zložené.

Faktory 10 sú 1, 2, 5, 10.

Faktory čísla 21 sú 1, 3, 7, 21.

Ako vidíte, jediným spoločným faktorom čísel 10 a 21 je číslo 1. Jednotkou je teda GCD čísel 10 a 21:

gcd(21, 10) = 1

GCD s číslami 16 a 23

Čísla 16 a 23 sú coprime. V tomto prípade je 23 prvočíslo a 16 je zložené číslo.

Úloha: Nájdite GCD a LCM čísel najpohodlnejším spôsobom:

a) 12 a 40; b) 9 a 40; c) 12 a 72.

Na úlohu je vyčlenených 5 minút.

Aký je najlepší spôsob vykonávania každého cvičenia?

Rozdelenie snímky.

a) Výhodnejšie je riešiť rozkladovou metódou na prvočiniteľa

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=22=4; LCM(12;40) = 222235 = 120

b) Majú čísla 9 a 40 spoločných deliteľov? (je, 1.)

Ako sa volajú tieto čísla? ? (Nesúdeliteľné.)

Aká je GCD týchto čísel ? (gcd(9;40) = 1)

Aká je LCM týchto čísel ? (LCM(9;40) = 940=360.)

c) Čo môžete povedať o číslach 12 a 72? ? (72 delené 12) Aké pravidlo poznáme? (ak je jedno číslo deliteľné druhým, potom GCD = najmenšie číslo a LCM - najväčšie)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Údaje, ktoré ste získali, skontrolujte štandardom, ktorý leží na stole učiteľa.

FO: Hodnotia sa podľa kritérií napísaných v štandardnom hárku. Začiarknutie vedľa kritéria.

7 kliešťov - vysoká úroveň

6-4 kliešte - priemerná úroveň

1-3 kliešte - nízka úroveň

Fizminutka

Rýchlo vstal, usmial sa,

Vytiahnuté vyššie.

No vyrovnajte ramená

Zdvihnúť, znížiť.

Odbočte doprava, odbočte doľava

Dotknite sa rúk kolenami.

Sadni si, vstaň, sadni si, vstaň

A bežali na mieste.

Otázka učiteľa: Kde už využívame naše znalosti o číslach GCD a LCM?

Pri riešení problémov.

Pred nimi je na stole učiteľa „Harmanček úloh“ pozostávajúci z 21 okvetných lístkov.

Červený okvetný lístok - úlohy úrovne C.

Žltý okvetný lístok - úlohy úrovne B.

Zelený okvetný lístok – úlohy úrovne A.

	Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša?
	Z 210 bordových, 126 bielych, 294 červených ruží sa nazbieralo kytíc, pričom v každej kytici je rovnaký počet ruží rovnakej farby. Aký je najväčší počet kytíc vyrobených z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici?
	Hárok lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka 40 cm Tento hárok je potrebné bez odpadu rozrezať na rovnaké štvorce. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto listu a koľko?
	Koľko vojakov pochoduje na prehliadkovom ihrisku, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade?
	V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý - 20 a tretí - 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode v ten istý deň opäť vydajú na plavbu. Motorové lode dnes opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa prvýkrát spolu plavia?Koľko ciest vykoná každá loď?
	Krb v miestnosti musí byť vyložený dokončovacími dlaždicami v tvare štvorca. Koľko kachlí je potrebných na krb 195 ͯ 156 cm a aké sú najväčšie veľkosti kachlí?
	Voloďov krok má 75 cm a Káťin krok 60 cm. Na akú minimálnu vzdialenosť urobia obaja celočíselný počet krokov?
	Za novoročné darčeky sme kúpili 180 jabĺk, 90 pomarančov a 900 sladkostí. Všetky deti dostali rovnaké darčeky. Aký je najväčší počet rovnakých darčekov tvorených týmto ovocím a sladkosťami?
	Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, preto treba v pravidelných rozostupoch umiestniť betónové stĺpy. Koľko stožiarov treba priniesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stožiare stáť?
	Nález: LCM(360;252).
	Za novoročné darčeky bolo zakúpených 78 čokoládových tyčiniek, 156 perníkov, 52 balení sušienok, 104 pomarančov a 130 jabĺk. Aký najväčší počet rovnakých darčekov môžete nazbierať?
	Na stohovanie krabíc s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť krabicu so štvorcovým dnom. Aká by mala byť najkratšia strana štvorcového dna, aby sa krabice zmestili do krabice?
	Vypočítajte GCD(720,216), LCM(720,216).
	Aký je pomer LCM (308,264) ku GCM (308,264)?
	Na úpravu vianočného stromčeka nakúpili oriešky, sladkosti a perníky - spolu 760 kusov. Prijali o 80 orechov viac ako sladkostí a o 120 perníkov menej ako orechov. Aký najväčší počet rovnakých darčekov pre deti sa dá z tejto zásoby vyrobiť?
	Nájsť LCM(84;160;96),
	Nájdite podiel LCM(24, 2004) delený GCD rovnakých čísel.
	Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Nájdite GCD (56, 72).
	Na stole sú knihy, ktorých počet je menší ako 100. Koľko kníh je, ak je známe, že sa dajú zviazať v baleniach po 3, 4 a 5 kusov?
	Predajňa priniesla necelých 600, ale viac ako 500 tanierov. Keď ich začali vyskladať po desiatkach, vtedy 3 taniere nestačili na plný počet desiatok a keď ich začali vyskladať po desiatkach (po 12 tanieroch), tak zostalo 7 tanierov. Koľko tanierov ste priniesli do obchodu?

FD: Prevládajúci počet okvetných lístkov v červenej farbe naznačuje vysokú úroveň asimilácie, žltá - priemerná úroveň asimilácie a zelená - nízka úroveň asimilácie.