Riešenie nerovností pomocou modelov. Modulové nerovnosti

Dnes priatelia nebudú žiadne sople a sentiment. Namiesto toho vás bez ďalších otázok pošlem do boja s jedným z najhrozivejších protivníkov v kurze algebry pre 8. – 9. ročník.

Áno, všetko ste pochopili správne: hovoríme o nerovnostiach s modulom. Pozrieme sa na štyri základné techniky, pomocou ktorých sa naučíte riešiť približne 90 % týchto problémov. A čo zvyšných 10%? No, budeme o nich hovoriť v samostatnej lekcii. :)

Pred analýzou akýchkoľvek trikov by som však rád pripomenul dva fakty, ktoré už potrebujete vedieť. V opačnom prípade riskujete, že látku dnešnej lekcie vôbec nepochopíte.

Čo už potrebujete vedieť

Captain Evidence, ako to bolo, naznačuje, že na vyriešenie nerovností pomocou modulu potrebujete vedieť dve veci:

1. Ako sa riešia nerovnosti?
2. Čo je modul.

Začnime druhým bodom.

Definícia modulu

Všetko je tu jednoduché. Existujú dve definície: algebraická a grafická. Začnime s algebrou:

Definícia. Modul čísla $x$ je buď samotné číslo, ak je nezáporné, alebo opačné číslo, ak pôvodné $x$ je stále záporné.

Píše sa to takto:

\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Jednoducho povedané, modul je „číslo bez mínusu“. A práve v tejto dualite (niekde nemusíte robiť nič s pôvodným číslom, ale niekde tam musíte odstrániť nejaké mínus) a všetky ťažkosti pre začínajúcich študentov spočívajú.

Existuje aj geometrická definícia. Je tiež užitočné ho poznať, ale budeme sa naň odvolávať len v zložitých a niektorých špeciálnych prípadoch, kde je geometrický prístup vhodnejší ako algebraický (spoiler: dnes už nie).

Definícia. Nech je bod $a$ označený na skutočnej čiare. Potom modul $\left| x-a \vpravo|$ je vzdialenosť od bodu $x$ k bodu $a$ na tejto priamke.

Ak nakreslíte obrázok, dostanete niečo takéto:

Definícia grafického modulu

Tak či onak, jeho kľúčová vlastnosť okamžite vyplýva z definície modulu: modul čísla je vždy nezáporná hodnota. Tento fakt sa bude ťahať ako červená niť celým naším dnešným príbehom.

Riešenie nerovností. Metóda rozstupu

Teraz sa poďme zaoberať nerovnosťami. Je ich veľmi veľa, ale našou úlohou je teraz vedieť vyriešiť aspoň tie najjednoduchšie z nich. Tie, ktoré sú redukované na lineárne nerovnosti, ako aj na metódu intervalov.

Na túto tému mám dva veľké návody (mimochodom veľmi, VEĽMI užitočné - odporúčam naštudovať):

1. Intervalová metóda pre nerovnosti (najmä sledujte video);
2. Zlomkovo-racionálne nerovnosti sú veľmi objemnou lekciou, no po nej vám nezostanú vôbec žiadne otázky.

Ak toto všetko viete, ak veta „prejdime od nerovnosti k rovnici“ vo vás nevyvoláva túžbu zabiť sa o stenu, potom ste pripravení: vitajte v pekle pri hlavnej téme hodiny. :)

1. Nerovnosti tvaru "Modul menší ako funkcia"

Toto je jedna z najčastejšie sa vyskytujúcich úloh s modulmi. Je potrebné vyriešiť nerovnosť formulára:

\[\left| f\vpravo| \ltg\]

Čokoľvek môže fungovať ako funkcie $f$ a $g$, ale zvyčajne sú to polynómy. Príklady takýchto nerovností:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3\vpravo| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]

Všetky sú vyriešené doslova v jednom riadku podľa schémy:

\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]

Je ľahké vidieť, že sa zbavíme modulu, ale namiesto toho dostaneme dvojitú nerovnosť (alebo, čo je to isté, systém dvoch nerovností). Tento prechod však zohľadňuje absolútne všetky možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; ak je negatívny, stále funguje; a dokonca aj s najnevhodnejšou funkciou namiesto $f$ alebo $g$ bude metóda stále fungovať.

Prirodzene vyvstáva otázka: nie je to jednoduchšie? Žiaľ, nemôžete. Toto je celý zmysel modulu.

Ale dosť bolo filozofovania. Poďme vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 2x+3\vpravo| \ltx+7\]

Riešenie. Máme teda klasickú nerovnosť tvaru „modul je menší ako“ – dokonca nie je čo transformovať. Pracujeme podľa algoritmu:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\vpravo| \lt x+7\Šípka doprava -\doľava(x+7 \doprava) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\koniec (zarovnanie)\]

Neponáhľajte sa s otváraním zátvoriek, ktorým predchádza „mínus“: je celkom možné, že kvôli zhonu urobíte útočnú chybu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Problém sa zredukoval na dve základné nerovnosti. Zaznamenávame ich riešenia na paralelných skutočných čiarach:

Priesečník mnohých

Priesečník týchto množín bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]

Riešenie. Táto úloha je trochu náročnejšia. Na začiatok izolujeme modul posunutím druhého výrazu doprava:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Je zrejmé, že opäť máme nerovnosť tvaru „modul je menej“, takže sa modulu zbavíme podľa už známeho algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz pozor: niekto povie, že som trochu perverzný so všetkými týmito zátvorkami. Ale ešte raz vám pripomínam, že naším kľúčovým cieľom je správne vyriešiť nerovnosť a získať odpoveď. Neskôr, keď dokonale zvládnete všetko, čo je popísané v tejto lekcii, môžete sa zvrhnúť, ako chcete: otvárať zátvorky, pridávať mínusy atď.

A na začiatok sa zbavíme dvojitého mínus vľavo:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Teraz otvorme všetky zátvorky v dvojitej nerovnosti:

Prejdime k dvojitej nerovnosti. Tentoraz budú výpočty serióznejšie:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]

Obe nerovnosti sú štvorcové a sú riešené intervalovou metódou (preto hovorím: ak neviete, čo to je, radšej si moduly ešte nebrať). Prejdeme k rovnici v prvej nerovnosti:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(zarovnať)\]

Ako vidíte, výstupom sa ukázala neúplná kvadratická rovnica, ktorá je elementárne vyriešená. Teraz sa poďme zaoberať druhou nerovnosťou systému. Tam musíte použiť Vietovu vetu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(zarovnať)\]

Získané čísla označíme na dvoch rovnobežných čiarach (oddelené pre prvú nerovnosť a oddelené pre druhú):

Opäť, keďže riešime sústavu nerovníc, zaujíma nás priesečník tieňovaných množín: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myslím, že po týchto príkladoch je schéma riešenia veľmi jasná:

1. Izolujte modul presunutím všetkých ostatných členov na opačnú stranu nerovnosti. Tak dostaneme nerovnosť v tvare $\left| f\vpravo| \ltg$.
2. Vyriešte túto nerovnosť odstránením modulu, ako je opísané vyššie. V istom momente bude potrebné prejsť od dvojitej nerovnosti k systému dvoch nezávislých výrazov, z ktorých každý sa už dá riešiť samostatne.
3. Nakoniec zostáva len skrížiť riešenia týchto dvoch nezávislých výrazov - a je to, dostaneme konečnú odpoveď.

Podobný algoritmus existuje pre nerovnosti nasledujúceho typu, keď je modul väčší ako funkcia. Je tu však pár vážnych „ale“. O týchto „ale“ sa teraz porozprávame.

2. Nerovnosti tvaru "Modul je väčší ako funkcia"

Vyzerajú takto:

\[\left| f\vpravo| \gt g\]

Podobné ako predchádzajúce? Zdá sa. Napriek tomu sa takéto úlohy riešia úplne iným spôsobom. Formálne je schéma nasledovná:

\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\koniec (zarovnanie) \doprava.\]

Inými slovami, uvažujeme o dvoch prípadoch:

1. Najprv jednoducho ignorujeme modul - riešime obvyklú nerovnosť;
2. Potom v skutočnosti otvoríme modul so znamienkom mínus a potom obe časti nerovnosti vynásobíme −1 so znamienkom.

V tomto prípade sú možnosti kombinované s hranatou zátvorkou, t.j. Máme kombináciu dvoch požiadaviek.

Venujte pozornosť znova: pred nami nie je systém, ale agregát v odpovedi sa množiny spájajú, nepretínajú sa. Toto je zásadný rozdiel oproti predchádzajúcemu odseku!

Vo všeobecnosti majú mnohí študenti veľa zmätku s odbormi a križovatkami, takže sa na túto otázku pozrime raz a navždy:

• "∪" je znak zreťazenia. V skutočnosti ide o štylizované písmeno „U“, ktoré k nám prišlo z anglického jazyka a je skratkou pre „Union“, t.j. "Asociácie".
• "∩" je značka križovatky. Toto svinstvo neprišlo odnikiaľ, ale len sa objavilo ako opozícia voči "∪".

Aby ste si to ešte ľahšie zapamätali, pridajte k týmto znakom nohy a vytvorte okuliare (len ma teraz neobviňujte z propagácie drogovej závislosti a alkoholizmu: ak vážne študujete túto lekciu, potom ste už drogovo závislý):

Rozdiel medzi priesečníkom a zjednotením množín

V preklade do ruštiny to znamená nasledovné: zväzok (kolekcia) obsahuje prvky z oboch súborov, teda nie menej ako každý z nich; ale priesečník (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú aj v prvej množine aj v druhej. Preto priesečník množín nie je nikdy väčší ako zdrojové množiny.

Takže to bolo jasnejšie? To je skvelé. Prejdime k praxi.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]

Riešenie. Postupujeme podľa schémy:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\Šípka doprava \vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\\koniec (zarovnanie) \ správny.\]

Riešime každú populačnú nerovnosť:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Každú výslednú množinu označíme na číselnej osi a potom ich spojíme:

Spojenie množín

Odpoveď je očividne $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpoveď: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gtx\]

Riešenie. dobre? Nie, všetko je to isté. Od nerovnosti s modulom prejdeme k množine dvoch nerovností:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Riešime každú nerovnosť. Bohužiaľ, korene tam nebudú veľmi dobré:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(zarovnať)\]

V druhej nerovnosti je aj trochu hry:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(zarovnať)\]

Teraz musíme tieto čísla označiť na dvoch osiach – jedna os pre každú nerovnosť. Musíte však označiť body v správnom poradí: čím väčšie číslo, tým viac sa bod posunie doprava.

A tu čakáme na nastavenie. Ak je všetko jasné s číslami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (výrazy v čitateli prvého zlomok je menší ako výrazy v čitateli druhého , takže súčet je tiež menší, s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tiež nebudú žiadne ťažkosti (kladné číslo je samozrejme negatívnejšie), ale s posledným párom nie je všetko také jednoduché. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpovede na túto otázku bude závisieť usporiadanie bodov na číselných osách a vlastne aj odpoveď.

Tak porovnajme:

\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]

Izolovali sme koreň, dostali nezáporné čísla na oboch stranách nerovnosti, takže máme právo odmocniť obe strany:

\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matica)\]

Myslím si, že je zbytočné, že $4\sqrt(13) \gt 3$, takže $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, nakoniec budú body na osiach usporiadané takto:

Prípad škaredých koreňov

Pripomínam, že riešime množinu, takže odpoveďou bude zväzok, a nie priesečník tieňovaných množín.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\vpravo)$

Ako vidíte, naša schéma funguje skvele ako pre jednoduché, tak aj pre veľmi ťažké úlohy. Jediným „slabým miestom“ v tomto prístupe je, že musíte správne porovnávať iracionálne čísla (a verte mi: nejde len o korene). Ale otázkam porovnávania bude venovaná samostatná (a veľmi vážna lekcia). A ideme ďalej.

3. Nerovnosti s nezápornými „chvostmi“

Tak sme sa dostali k tomu najzaujímavejšiemu. Toto sú tvarové nerovnosti:

\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]

Všeobecne povedané, algoritmus, o ktorom budeme teraz hovoriť, platí len pre modul. Funguje pri všetkých nerovnostiach, kde sú vľavo a vpravo zaručené nezáporné výrazy:

Čo robiť s týmito úlohami? Len si pamätaj:

V nerovnostiach s nezápornými chvostmi môžu byť obe strany povýšené na akúkoľvek prirodzenú silu. Nebudú žiadne ďalšie obmedzenia.

V prvom rade nás bude zaujímať kvadratúra - spaľuje moduly a korene:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(zarovnať)\]

Len si to nemýľte s odmocnením štvorca:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]

Keď študent zabudol nainštalovať modul, urobil sa nespočetne veľa chýb! Ale toto je úplne iný príbeh (sú to akoby iracionálne rovnice), takže sa tomu teraz nebudeme venovať. Poďme radšej vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo|\ge \vľavo| 1-2x \vpravo|\]

Riešenie. Hneď si všimneme dve veci:

1. Toto je neprísna nerovnosť. Body na číselnej osi budú vyrazené.
2. Obe strany nerovnosti sú samozrejme nezáporné (toto je vlastnosť modulu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Preto môžeme odmocniť obe strany nerovnosti, aby sme sa zbavili modulu a vyriešili problém pomocou obvyklej intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

V poslednom kroku som trochu podvádzal: zmenil som postupnosť členov pomocou parity modulu (v skutočnosti som výraz $1-2x$ vynásobil -1).

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Riešime intervalovou metódou. Prejdime od nerovnosti k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

Nájdené korene označíme na číselnej osi. Ešte raz: všetky body sú zatienené, pretože pôvodná nerovnosť nie je striktná!

Zbavenie sa znaku modulu

Dovoľte mi pripomenúť pre obzvlášť tvrdohlavých: berieme znamienka z poslednej nerovnosti, ktorá bola zapísaná pred prechodom na rovnicu. A natrieme požadované oblasti v rovnakej nerovnosti. V našom prípade je to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]

Riešenie. Všetko robíme rovnako. Nebudem to komentovať - ​​stačí sa pozrieť na postupnosť akcií.

Urobme to na druhú:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metóda medzier:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Na číselnej osi je iba jeden koreň:

Odpoveďou je celý rad

Odpoveď: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Malá poznámka k poslednej úlohe. Ako presne poznamenal jeden z mojich študentov, oba výrazy podmodulov v tejto nerovnosti sú zjavne kladné, takže znamienko modulu možno bez ujmy na zdraví vynechať.

Ale to je už úplne iná úroveň myslenia a iný prístup - možno to podmienečne nazvať metódou dôsledkov. O ňom - ​​v samostatnej lekcii. A teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie a pouvažujme nad univerzálnym algoritmom, ktorý vždy funguje. Aj keď všetky predchádzajúce prístupy boli bezmocné. :)

4. Spôsob enumerácie možností

Čo ak všetky tieto triky nefungujú? Ak sa nerovnosť nezredukuje na nezáporné chvosty, ak nie je možné izolovať modul, ak vôbec bolesť-smútok-túžba?

Potom na scénu vstupuje „ťažké delostrelectvo“ všetkej matematiky – metóda enumerácie. Čo sa týka nerovností s modulom, vyzerá to takto:

1. Napíšte všetky výrazy podmodulov a prirovnajte ich k nule;
2. Vyriešte výsledné rovnice a označte nájdené korene na jednej číselnej osi;
3. Priamka bude rozdelená na niekoľko úsekov, v rámci ktorých má každý modul pevné znamienko a teda sa jednoznačne rozširuje;
4. Vyriešte nerovnosť na každom takomto úseku (môžete samostatne zvážiť hraničné korene získané v odseku 2 - kvôli spoľahlivosti). Skombinujte výsledky - toto bude odpoveď. :)

No, ako? slabý? Jednoducho! Len na dlho. Pozrime sa v praxi:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo| \lt\left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]

Riešenie. Toto svinstvo sa nezredukuje na nerovnosti ako $\left| f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt\left| g \right|$, tak poďme ďalej.

Vypíšeme výrazy podmodulov, prirovnáme ich k nule a nájdeme korene:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \\ & x-1=0\Šípka doprava x=1. \\\end(zarovnať)\]

Celkovo máme dva korene, ktoré rozdeľujú číselnú os na tri časti, v ktorých je každý modul jedinečne odhalený:

Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií

Pozrime sa na každú časť samostatne.

1. Nech $x \lt -2$. Potom sú oba výrazy submodulu záporné a pôvodná nerovnosť sa prepíše takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Máme pomerne jednoduché obmedzenie. Preložme to s pôvodným predpokladom, že $x \lt -2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

Je zrejmé, že premenná $x$ nemôže byť súčasne menšia ako -2, ale väčšia ako 1,5. V tejto oblasti neexistujú žiadne riešenia.

1.1. Uvažujme osobitne o hraničnom prípade: $x=-2$. Dosadíme toto číslo do pôvodnej nerovnosti a skontrolujeme: platí?

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \vpravo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Je zrejmé, že reťazec výpočtov nás priviedol k nesprávnej nerovnosti. Pôvodná nerovnosť je teda tiež nepravdivá a $x=-2$ nie je zahrnuté v odpovedi.

2. Teraz nech $-2 \lt x \lt 1$. Ľavý modul sa už otvorí s „pluskom“, ale pravý je stále s „mínusom“. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\koniec (zarovnanie)\]

Opäť sa stretávame s pôvodnou požiadavkou:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

A opäť prázdna množina riešení, pretože neexistujú čísla, ktoré by boli menšie ako -2,5 a väčšie ako -2.

2.1. A opäť špeciálny prípad: $x=1$. Do pôvodnej nerovnosti dosadíme:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt\left| 0 \vpravo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Podobne ako v predchádzajúcom „špeciálnom prípade“ v odpovedi zjavne nie je zahrnuté číslo $x=1$.

3. Posledný kus riadku: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly rozšírené o znamienko plus:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]

A opäť pretíname nájdenú množinu s pôvodným obmedzením:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\in \left(4,5;+\infty \správny)\]

Konečne! Našli sme interval, ktorý bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na záver jedna poznámka, ktorá vás môže zachrániť pred hlúpymi chybami pri riešení skutočných problémov:

Riešenia nerovností modulmi sú zvyčajne súvislé množiny na číselnej osi – intervaly a segmenty. Izolované body sú oveľa zriedkavejšie. A ešte zriedkavejšie sa stáva, že hranice riešenia (koniec segmentu) sa zhodujú s hranicou posudzovaného rozsahu.

Preto, ak hranice (tieto veľmi „špeciálne prípady“) nie sú zahrnuté v odpovedi, potom oblasti naľavo-vpravo od týchto hraníc takmer určite nebudú zahrnuté do odpovede. A naopak: hranica vstúpila ako odpoveď, čo znamená, že niektoré oblasti okolo nej budú tiež odpoveďami.

Majte to na pamäti, keď budete kontrolovať svoje riešenia.

Existuje niekoľko spôsobov riešenia nerovností obsahujúcich modul. Uvažujme o niektorých z nich.

1) Riešenie nerovnosti pomocou geometrickej vlastnosti modulu.

Pripomeniem, aká je geometrická vlastnosť modulu: modul čísla x je vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou x.

Pri riešení nerovností týmto spôsobom môžu nastať 2 prípady:

1. |x| ≤ b,

A nerovnosť s modulom sa samozrejme redukuje na systém dvoch nerovností. Tu môže byť znak striktný, v takom prípade budú body na obrázku „vyrazené“.

2. |x| ≥ b, potom obrázok riešenia vyzerá takto:

A nerovnosť s modulom sa očividne znižuje na množinu dvoch nerovností. Tu môže byť znak striktný, v takom prípade budú body na obrázku „vyrazené“.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť |4 – |x|| ≥ 3.

Riešenie.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcej množine:

U [-1;1] U

Príklad 2

Vyriešte nerovnosť ||x+2| – 3| ≤ 2.

Riešenie.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcemu systému.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Samostatne riešime prvú nerovnosť sústavy. Je ekvivalentná nasledujúcej množine:

U[-1; 3].

2) Riešenie nerovností pomocou definície modulu.

Dovoľte mi pripomenúť vám, aby ste začali definícia modulu.

|a| = a ak a ≥ 0 a |a| = -a ak a< 0.

Napríklad |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť 3|x – 1| ≤ x + 3.

Riešenie.

Pomocou definície modulu dostaneme dva systémy:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

Pri oddelenom riešení prvého a druhého systému dostaneme:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

Riešením pôvodnej nerovnosti budú všetky riešenia prvého systému a všetky riešenia druhého systému.

Odpoveď: x €.

3) Riešenie nerovností pomocou kvadratúry.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Riešenie.

Vyrovnajme obe strany nerovnosti. Podotýkam, že kvadratúra oboch strán nerovnosti je možná len vtedy, ak sú obe kladné. V tomto prípade máme moduly vľavo aj vpravo, takže to môžeme urobiť.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Teraz použijeme nasledujúcu vlastnosť modulu: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x - 2) (2x - 1)< 0.

Riešime intervalovou metódou.

Odpoveď: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Riešenie nerovníc metódou zmeny premenných.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Riešenie.

Všimnite si, že (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Potom dostaneme nerovnosť

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Urobme zmenu y = |2x + 3|.

Prepíšme našu nerovnosť berúc do úvahy náhradu.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Rozdelíme štvorcovú trojčlenku vľavo na faktor.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Riešime intervalovou metódou a dostaneme:

Späť na výmenu:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Táto dvojitá nerovnosť je ekvivalentná systému nerovností:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Každú z nerovností riešime samostatne.

Prvý je ekvivalentný systému

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Poďme to vyriešiť.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Druhá nerovnosť samozrejme platí pre všetky x, pretože modul je podľa definície kladné číslo. Keďže riešením sústavy sú všetky x, ktoré súčasne vyhovujú prvej a druhej nerovnici sústavy, potom riešením pôvodnej sústavy bude riešenie jej prvej dvojitej nerovnosti (druhá napokon platí pre všetky x).

Odpoveď: x € [-4,5; 1,5].

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

riešenie nerovnosti v režime online Riešenie takmer akúkoľvek danú nerovnosť online. Matematická nerovnosti online riešiť matematiku. Nájdite rýchlo riešenie nerovnosti v režime online. Stránka www.site vám umožňuje nájsť Riešenie takmer akýkoľvek daný algebraické, trigonometrické alebo transcendentná nerovnosť online. Pri štúdiu takmer akejkoľvek časti matematiky v rôznych fázach sa človek musí rozhodnúť nerovnosti online. Aby ste dostali odpoveď okamžite, a čo je najdôležitejšie, presnú odpoveď, potrebujete zdroj, ktorý vám to umožní. Vďaka www.site riešiť nerovnosť online bude trvať niekoľko minút. Hlavnou výhodou www.site pri riešení matematických nerovnosti online- je rýchlosť a presnosť vydanej odpovede. Stránka je schopná vyriešiť akékoľvek algebraické nerovnosti online, trigonometrické nerovnosti online, transcendentálne nerovnosti online, a nerovnosti s neznámymi parametrami v režime online. nerovnosti slúži ako výkonný matematický aparát riešenia praktické úlohy. S pomocou matematické nerovnosti je možné vyjadriť skutočnosti a vzťahy, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať mätúce a zložité. neznáme množstvá nerovnosti možno nájsť formulovaním problému v matematický jazyk vo formulári nerovnosti A rozhodnúť prijatú úlohu v režime online na webovej stránke www.site. akýkoľvek algebraická nerovnosť, trigonometrická nerovnosť alebo nerovnosti obsahujúce transcendentálny funkcie vás ľahko rozhodnúť online a získajte správnu odpoveď. Pri štúdiu prírodných vied sa človek nevyhnutne stretáva s potrebou riešenie nerovností. V tomto prípade musí byť odpoveď presná a musí byť prijatá okamžite v režime online. Preto pre riešiť matematické nerovnosti online odporúčame stránku www.site, ktorá sa stane vašou nepostrádateľnou kalkulačkou riešiť algebraické nerovnosti online, trigonometrické nerovnosti online, a transcendentálne nerovnosti online alebo nerovnosti s neznámymi parametrami. Pre praktické problémy hľadania intravol riešení rôznych matematické nerovnosti zdroj www.. Riešenie nerovnosti online sami, je užitočné skontrolovať prijatú odpoveď pomocou online riešenie nerovností na webovej stránke www.site. Je potrebné správne zapísať nerovnosť a okamžite ju získať online riešenie, po ktorom ostáva už len porovnať odpoveď s vaším riešením nerovnosti. Kontrola odpovede nezaberie viac ako minútu, dosť riešiť nerovnosť online a porovnajte odpovede. To vám pomôže vyhnúť sa chybám rozhodnutie a odpoveď včas opravte riešenie nerovností online buď algebraické, trigonometrické, transcendentný alebo nerovnosť s neznámymi parametrami.

číslo modulo toto číslo samotné sa volá, ak je nezáporné, alebo rovnaké číslo s opačným znamienkom, ak je záporné.

Napríklad modul 6 je 6 a modul -6 je tiež 6.

To znamená, že modul čísla sa chápe ako absolútna hodnota, absolútna hodnota tohto čísla bez zohľadnenia jeho znamienka.

Označuje sa takto: |6|, | X|, |A| atď.

(Ďalšie podrobnosti nájdete v časti „Modul čísla“).

Modulové rovnice.

Príklad 1 . vyriešiť rovnicu|10 X - 5| = 15.

Riešenie.

V súlade s pravidlom je rovnica ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Rozhodujeme sa:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Odpoveď: X 1 = 2, X 2 = -1.

Príklad 2 . vyriešiť rovnicu|2 X + 1| = X + 2.

Riešenie.

Pretože modul je nezáporné číslo, potom X+ 2 ≥ 0. Podľa toho:

X ≥ -2.

Zostavíme dve rovnice:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Rozhodujeme sa:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Obidve čísla sú väčšie ako -2. Takže obe sú koreňmi rovnice.

Odpoveď: X 1 = -1, X 2 = 1.

Príklad 3 . vyriešiť rovnicu

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Riešenie.

Rovnica má zmysel, ak sa menovateľ nerovná nule – teda ak X≠ 1. Berme túto podmienku do úvahy. Naša prvá akcia je jednoduchá – zlomku sa nielen zbavíme, ale transformujeme ho tak, aby sme získali modul v jeho najčistejšej forme:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Teraz máme iba výraz pod modulom na ľavej strane rovnice. Pokračuj.
Modul čísla je nezáporné číslo – to znamená, že musí byť väčší alebo rovný nule. Podľa toho riešime nerovnosť:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Máme teda druhú podmienku: koreň rovnice musí byť aspoň 3/4.

V súlade s pravidlom zostavíme sadu dvoch rovníc a vyriešime ich:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Dostali sme dve odpovede. Skontrolujeme, či sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Mali sme dve podmienky: koreň rovnice nemôže byť rovný 1 a musí byť aspoň 3/4. Teda X ≠ 1, X≥ 3/4. Obe tieto podmienky zodpovedajú iba jednej z dvoch prijatých odpovedí - číslu 2. Preto je iba koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: X = 2.

Nerovnosti s modulom.

Príklad 1 . Vyriešte nerovnosť| X - 3| < 4

Riešenie.

Pravidlo modulu hovorí:

|A| = A, Ak A ≥ 0.

|A| = -A, Ak A < 0.

Modul môže mať nezáporné aj záporné číslo. Takže musíme zvážiť oba prípady: X- 3 ≥ 0 a X - 3 < 0.

1) Kedy X- 3 ≥ 0 naša pôvodná nerovnosť zostáva taká, aká je, iba bez znamienka modulo:
X - 3 < 4.

2) Kedy X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Otvorením zátvoriek dostaneme:

-X + 3 < 4.

Z týchto dvoch podmienok sme teda dospeli k spojeniu dvoch systémov nerovností:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Poďme ich vyriešiť:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Takže v našej odpovedi máme spojenie dvoch množín:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu. Sú to -1 a 7. Súčasne X väčší ako -1, ale menší ako 7.
okrem toho X≥ 3. Riešením nerovnosti je teda celá množina čísel od -1 do 7, s výnimkou týchto extrémnych čísel.

Odpoveď: -1 < X < 7.

alebo: X ∈ (-1; 7).

Doplnky.

1) Na vyriešenie našej nerovnosti existuje jednoduchší a kratší spôsob – grafický. Za týmto účelom nakreslite vodorovnú os (obr. 1).

Výraz | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X k bodu 3 menej ako štyri jednotky. Na osi si označíme číslo 3 a vľavo a vpravo od neho napočítame 4 dieliky. Vľavo sa dostaneme k bodu -1, vpravo - k bodu 7. Teda body X len sme videli bez toho, aby sme ich vypočítali.

Navyše, podľa podmienky nerovnosti, samotné -1 a 7 nie sú zahrnuté v množine riešení. Dostávame teda odpoveď:

1 < X < 7.

2) Existuje však aj iné riešenie, ktoré je ešte jednoduchšie ako grafický spôsob. Aby sme to dosiahli, naša nerovnosť musí byť prezentovaná v tejto forme:

4 < X - 3 < 4.

Veď takto je to podľa pravidla modulu. Nezáporné číslo 4 a podobné záporné číslo -4 sú hranice riešenia nerovnice.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Príklad 2 . Vyriešte nerovnosť| X - 2| ≥ 5

Riešenie.

Tento príklad sa výrazne líši od predchádzajúceho. Ľavá strana je väčšia ako 5 alebo rovná 5. Z geometrického hľadiska sú riešením nerovnosti všetky čísla, ktoré sú od bodu 2 vo vzdialenosti 5 jednotiek a viac (obr. 2). Z grafu vyplýva, že sú to všetky čísla, ktoré sú menšie alebo rovné -3 a väčšie alebo rovné 7. Takže odpoveď sme už dostali.

Odpoveď: -3 ≥ X ≥ 7.

Popri tom tú istú nerovnosť riešime preskupením voľného termínu doľava a doprava s opačným znamienkom:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Odpoveď je rovnaká: -3 ≥ X ≥ 7.

alebo: X ∈ [-3; 7]

Príklad vyriešený.

Príklad 3 . Vyriešte nerovnosť 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Riešenie.

číslo X môže byť kladná, záporná alebo nulová. Preto musíme brať do úvahy všetky tri okolnosti. Ako viete, berú sa do úvahy v dvoch nerovnostiach: X≥ 0 a X < 0. При X≥ 0, jednoducho prepíšeme našu pôvodnú nerovnosť tak, ako je, iba bez znamienka modulo:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Teraz k druhému prípadu: ak X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Rozšírenie zátvoriek:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Dostali sme teda dva systémy rovníc:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Potrebujeme vyriešiť nerovnice v systémoch – čo znamená, že musíme nájsť korene dvoch kvadratických rovníc. Aby sme to dosiahli, prirovnáme ľavé strany nerovností k nule.

Začnime prvým:

6X 2 - X - 2 = 0.

Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu - pozri časť "Kvadrická rovnica". Odpoveď hneď pomenujeme:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Z prvej sústavy nerovníc dostaneme, že riešením pôvodnej nerovnosti je celá množina čísel od -1/2 do 2/3. Píšeme spojenie riešení pre X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Teraz vyriešme druhú kvadratickú rovnicu:

6X 2 + X - 2 = 0.

Jeho korene:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Záver: kedy X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Spojme dve odpovede a získame konečnú odpoveď: riešením je celá množina čísel od -2/3 do 2/3, vrátane týchto extrémnych čísel.

Odpoveď: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

alebo: X ∈ [-2/3; 2/3].

Metódy (pravidlá) odhaľovania nerovností s modulmi spočívajú v postupnom odhaľovaní modulov, pričom sa využívajú intervaly konštantného znamienka funkcií podmodulov. V konečnej verzii sa získa niekoľko nerovníc, z ktorých nájdu intervaly alebo medzery, ktoré spĺňajú podmienku úlohy.

Prejdime k riešeniu príkladov, ktoré sú v praxi bežné.

Lineárne nerovnosti s modulmi

Lineárnym rozumieme rovnice, v ktorých premenná vstupuje do rovnice lineárne.

Príklad 1. Nájdite riešenie nerovnice

Riešenie:
Z podmienky úlohy vyplýva, že moduly sa zmenia na nulu pri x=-1 a x=-2. Tieto body rozdeľujú číselnú os na intervaly

V každom z týchto intervalov riešime danú nerovnosť. Aby sme to dosiahli, najskôr vypracujeme grafické nákresy oblastí konštantného znaku submodulárnych funkcií. Sú zobrazené ako oblasti so znakmi každej z funkcií.

alebo intervaly so znakmi všetkých funkcií.

V prvom intervale otvorte moduly

Obe časti vynásobíme mínusom jedna, pričom znamienko v nerovnosti sa zmení na opačné. Ak je pre vás ťažké zvyknúť si na toto pravidlo, môžete každú časť presunúť za znamenie, aby ste sa zbavili mínusu. Nakoniec dostanete

Priesečníkom množiny x>-3 s plochou, na ktorej boli rovnice riešené, bude interval (-3;-2) . Pre tých, ktorým sa ľahšie hľadajú riešenia graficky, môžete nakresliť priesečník týchto oblastí

Riešením bude všeobecná križovatka oblastí. Pri prísnych nerovnostiach nie sú okraje zahrnuté. Ak je nestriktné kontrolované substitúciou.

Na druhom intervale dostaneme

Úsek bude interval (-2; -5/3). Graficky bude riešenie vyzerať takto

Na treťom intervale dostaneme

Táto podmienka neposkytuje riešenia pre požadovanú oblasť.

Keďže nájdené dve riešenia (-3;-2) a (-2;-5/3) ohraničujú bod x=-2, skontrolujeme to tiež.

Bod x=-2 je teda riešením. Všeobecné riešenie s ohľadom na to bude vyzerať takto (-3;5/3).

Príklad 2. Nájdite riešenie nerovnice
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Riešenie:
Nuly funkcií podmodulov budú body x=2, x=3, x=4 . Keď sú hodnoty argumentov menšie ako tieto body, funkcie submodulu sú záporné, a keď sú hodnoty veľké, sú kladné.

Body rozdeľujú skutočnú os na štyri intervaly. Moduly otvárame podľa intervalov stálosti znamienka a riešime nerovnice.

1) Na prvom intervale sú všetky submodulárne funkcie záporné, preto pri rozširovaní modulov zmeníme znamienko na opačné.

Priesečník nájdených hodnôt x s uvažovaným intervalom bude množina bodov

2) V intervale medzi bodmi x=2 a x=3 je funkcia prvého submodulu kladná, druhá a tretia záporná. Rozšírením modulov dostaneme

nerovnosť, ktorá v priesečníku s intervalom, na ktorom riešime, dáva jedno riešenie - x=3.

3) V intervale medzi bodmi x=3 a x=4 sú funkcie prvého a druhého podmodulu kladné a tretie záporné. Na základe toho dostaneme

Táto podmienka ukazuje, že celý interval bude spĺňať nerovnosť s modulmi.

4) Pre hodnoty x>4 sú všetky funkcie znamienkovo-pozitívne. Pri rozširovaní modulov nemeníme ich znamienko.

Nájdený stav v priesečníku s intervalom dáva nasledujúcu množinu riešení

Keďže nerovnosť je vyriešená na všetkých intervaloch, zostáva nájsť spoločnú hodnotu všetkých nájdených hodnôt x. Riešením sú dva intervaly

Tento príklad je vyriešený.

Príklad 3. Nájdite riešenie nerovnice
||x-1|-5|>3-2x

Riešenie:
Máme nerovnosť s modulom z modulu. Takéto nerovnosti sa odhalia, keď sú moduly vnorené, počnúc tými, ktoré sú umiestnené hlbšie.

Funkcia submodulu x-1 sa prevedie na nulu v bode x=1. Pre menšie hodnoty nad 1 je záporná a kladná pre x>1. Na základe toho otvoríme vnútorný modul a zvážime nerovnosť na každom z intervalov.

Najprv zvážte interval od mínus nekonečna do jednej

Funkcia submodulu je v bode x=-4 nulová. Pre menšie hodnoty je kladné, pre väčšie hodnoty záporné. Rozbaľte modul pre x<-4:

Na priesečníku s oblasťou, o ktorej uvažujeme, získame súbor riešení

Ďalším krokom je rozšírenie modulu na interval (-4; 1)

Ak vezmeme do úvahy oblasť rozšírenia modulu, získame interval riešení

PAMATUJTE: ak dostanete dva intervaly v takýchto nepravidelnostiach s modulmi, ktoré hraničia so spoločným bodom, potom je to spravidla tiež riešenie.

Ak to chcete urobiť, stačí skontrolovať.

V tomto prípade dosadíme bod x=-4.

Takže x=-4 je riešenie.
Rozbaľte vnútorný modul pre x>1

Funkcia submodulu je záporná pre x<6.
Rozšírením modulu dostaneme

Táto podmienka v časti s intervalom (1;6) dáva prázdnu množinu riešení.

Pre x>6 dostaneme nerovnosť

Aj pri riešení sme dostali prázdnu súpravu.
Vzhľadom na vyššie uvedené bude jediným riešením nerovnosti s modulmi nasledujúci interval.

Nerovnice s modulmi obsahujúcimi kvadratické rovnice

Príklad 4. Nájdite riešenie nerovnice
|x^2+3x|>=2-x^2

Riešenie:
Funkcia submodulu zaniká v bodoch x=0, x=-3. Jednoduchou substitúciou mínus jedna

nastavíme, že je menšia ako nula na intervale (-3; 0) a kladná za ním.
Rozbaľte modul v oblastiach, kde je funkcia podmodulu kladná

Zostáva určiť oblasti, kde je funkcia štvorca kladná. Aby sme to dosiahli, určíme korene kvadratickej rovnice

Pre pohodlie dosadíme bod x=0, ktorý patrí do intervalu (-2;1/2). Funkcia je v tomto intervale záporná, takže riešením budú nasledujúce množiny x

Zátvorky tu označujú okraje oblastí s riešeniami; toto bolo urobené zámerne, berúc do úvahy nasledujúce pravidlo.

PAMATUJTE: Ak je nerovnosť s modulmi alebo jednoduchá nerovnosť striktná, tak okraje nájdených oblastí nie sú riešením, ale ak nerovnosti nie sú striktné (), tak okraje sú riešenia (označené hranatými zátvorkami).

Toto pravidlo používa veľa učiteľov: ak je daná striktná nerovnosť a pri výpočtoch napíšete do riešenia hranatú zátvorku ([,]), automaticky to budú považovať za nesprávnu odpoveď. Taktiež pri testovaní, ak je špecifikovaná neprísna nerovnosť s modulmi, potom medzi riešeniami hľadajte oblasti s hranatými zátvorkami.

Na intervale (-3; 0), rozširujúc modul, zmeníme znamienko funkcie na opačné

S prihliadnutím na rozsah zverejnenia nerovnosti bude mať riešenie formu

Spolu s predchádzajúcou oblasťou to dá dva polovičné intervaly

Príklad 5. Nájdite riešenie nerovnice
9x^2-|x-3|>=9x-2

Riešenie:
Je daná neprísna nerovnica, ktorej funkcia submodulu sa v bode x=3 rovná nule. Pri menších hodnotách je záporná, pri väčších kladná. Rozšírime modul na intervale x<3.

Nájdenie diskriminantu rovnice

a korene

Dosadením nulového bodu zistíme, že na intervale [-1/9; 1] je kvadratická funkcia záporná, preto je interval riešením. Ďalej otvorte modul pre x>3