Plocha základne hranola: od trojuholníkového po mnohouholníkový. Geometria N.Nikitin

Vo fyzike sa na štúdium spektra bieleho svetla často používa trojuholníkový hranol vyrobený zo skla, pretože ho dokáže rozložiť na jednotlivé zložky. V tomto článku sa budeme zaoberať objemovým vzorcom

Čo je trojuholníkový hranol?

Pred zadaním objemového vzorca zvážte vlastnosti tohto obrázku.

Aby ste to dosiahli, musíte vziať trojuholník ľubovoľného tvaru a posunúť ho rovnobežne so sebou na určitú vzdialenosť. Vrcholy trojuholníka v počiatočnej a konečnej polohe by mali byť spojené rovnými segmentmi. Výsledný trojrozmerný obrazec sa nazýva trojuholníkový hranol. Má päť strán. Dve z nich sa nazývajú základne: sú rovnobežné a navzájom si rovné. Základňami uvažovaného hranola sú trojuholníky. Zostávajúce tri strany sú rovnobežníky.

Uvažovaný hranol je okrem strán charakterizovaný šiestimi vrcholmi (tri pre každú základňu) a deviatimi hranami (6 hrán leží v rovinách podstav a 3 hrany sú tvorené priesečníkom strán). Ak sú bočné okraje kolmé na základne, potom sa takýto hranol nazýva obdĺžnikový.

Rozdiel medzi trojuholníkovým hranolom a všetkými ostatnými figúrami tejto triedy je v tom, že je vždy konvexný (štvor-, päť-, ..., n-hranolové hranoly môžu byť aj konkávne).

Ide o obdĺžnikovú postavu, na ktorej základni leží rovnostranný trojuholník.

Objem trojbokého hranola všeobecného typu

Ako zistiť objem trojuholníkového hranolu? Vzorec je vo všeobecnosti podobný ako pre hranol akéhokoľvek druhu. Má nasledujúci matematický zápis:

Tu h je výška obrázku, to znamená vzdialenosť medzi jeho základňami, S o je plocha trojuholníka.

Hodnotu S o možno nájsť, ak sú známe niektoré parametre pre trojuholník, napríklad jedna strana a dva uhly alebo dve strany a jeden uhol. Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho výšky a dĺžky strany, na ktorej je táto výška znížená.

Čo sa týka výšky h postavy, najľahšie ju nájdete pre pravouhlý hranol. V druhom prípade sa h zhoduje s dĺžkou bočného okraja.

Objem pravidelného trojuholníkového hranolu

Všeobecný vzorec pre objem trojuholníkového hranola, ktorý je uvedený v predchádzajúcej časti článku, možno použiť na výpočet zodpovedajúcej hodnoty pre pravidelný trojuholníkový hranol. Keďže jeho základňa je rovnostranný trojuholník, jeho obsah je:

Každý môže získať tento vzorec, ak si zapamätá, že v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly navzájom rovnaké a tvoria 60 o. Symbol a je tu dĺžka strany trojuholníka.

Výška h je dĺžka hrany. Nemá nič spoločné so základňou pravidelného hranola a môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Výsledkom je, že vzorec pre objem trojuholníkového hranola správneho tvaru vyzerá takto:

Po vypočítaní koreňa môžeme tento vzorec prepísať takto:

Na zistenie objemu pravidelného hranolu s trojuholníkovou základňou je teda potrebné odmocniť stranu základne, vynásobiť túto hodnotu výškou a výslednú hodnotu vynásobiť 0,433.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA_1B_1C_1 sú strany základne 4 a bočné hrany sú 10 . Nájdite prierezovú plochu hranola rovinou prechádzajúcou stredmi hrán AB, AC, A_1B_1 a A_1C_1.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Zvážte nasledujúci obrázok.

Úsečka MN je stredová čiara trojuholníka A_1B_1C_1, tj MN = \frac12 B_1C_1=2. podobne, KL=\frac12BC=2. Navyše MK = NL = 10. To znamená, že štvoruholník MNLK je rovnobežník. Keďže MK\paralelný AA_1, tak MK\perp ABC a MK\perp KL. Preto je štvoruholník MNLK obdĺžnik. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Odpoveď

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Objem pravidelného štvoruholníkového hranola ABCDA_1B_1C_1D_1 je 24 . Bod K je stredom hrany CC_1 . Nájdite objem pyramídy KBCD.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Podľa podmienky je KC výška pyramídy KBCD . CC_1 je výška hranola ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Pretože K je stred CC_1 , potom KC=\frac12CC_1. Nech je teda CC_1=H KC = \frac12H. Všimnite si aj to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). potom V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). teda V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Nájdite plochu bočného povrchu pravidelného šesťhranného hranola, ktorého základná strana je 6 a jeho výška je 8.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Oblasť bočného povrchu hranola sa nachádza na strane vzorca S. = P hlavné. · h = 6a\cdot h, kde P hlavné. a h sú v tomto poradí obvod základne a výška hranola rovnajúca sa 8 a a je strana pravidelného šesťuholníka rovnajúca sa 6 . Preto S strana. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Voda sa naleje do nádoby v tvare pravidelného trojuholníkového hranolu. Hladina vody dosahuje 40 cm V akej výške bude hladina vody, ak sa naleje do inej nádoby rovnakého tvaru, ktorej spodná strana je dvakrát väčšia ako prvá? Vyjadrite svoju odpoveď v centimetroch.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nech a je strana základne prvej nádoby, potom 2 a je strana základne druhej nádoby. Podľa podmienok je objem kvapaliny V v prvej a druhej nádobe rovnaký. Označte H hladinu, na ktorú kvapalina vystúpila v druhej nádobe. Potom V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, a V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Odtiaľ \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4 h, H = 10.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 sú všetky hrany 2 . Nájdite vzdialenosť medzi bodmi A a E_1 .

Zobraziť riešenie

Riešenie

Trojuholník AEE_1 je pravouhlý, keďže hrana EE_1 je kolmá na rovinu podstavy hranola, uhol AEE_1 bude pravý uhol.

Potom pomocou Pytagorovej vety AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Nájdite AE z trojuholníka AFE pomocou kosínusovej vety. Každý vnútorný uhol pravidelného šesťuholníka je 120^(\circ). Potom AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\vľavo (-\frac12 \vpravo).

Preto AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Hranol

Podmienka

Nájdite plochu bočného povrchu rovného hranola, ktorého základňou je kosoštvorec s uhlopriečkami rovnými 4\sqrt5 a 8 a bočný okraj rovný 5 .

Zobraziť riešenie

Riešenie

Oblasť bočného povrchu rovného hranola sa nachádza podľa vzorca S. = P hlavné. · h = 4a\cdot h, kde P hlavné. a h, v tomto poradí, obvod základne a výška hranola rovná 5 a a je strana kosoštvorca. Nájdime stranu kosoštvorca pomocou skutočnosti, že uhlopriečky kosoštvorca ABCD sú navzájom kolmé a priesečník je rozdelený na polovicu.

Objem hranola. Riešenie problémov

Geometria je najmocnejším nástrojom na zdokonaľovanie našich mentálnych schopností a umožňuje nám správne myslieť a uvažovať.

G. Galileo

Účel lekcie:

• naučiť riešiť úlohy na výpočet objemu hranolov, zovšeobecňovať a systematizovať informácie, ktoré študenti majú o hranole a jeho prvkoch, vytvárať schopnosť riešiť problémy so zvýšenou zložitosťou;
• rozvíjať logické myslenie, schopnosť samostatnej práce, schopnosti vzájomnej kontroly a sebakontroly, schopnosť rozprávať a počúvať;
• rozvíjať návyk neustáleho zamestnania, nejakého užitočného skutku, výchovu k vnímavosti, usilovnosti, presnosti.

Typ vyučovacej hodiny: hodina aplikácie vedomostí, zručností a schopností.

Vybavenie: ovládacie karty, mediálny projektor, prezentácia „Lekcia. Prism volume“, počítače.

Počas vyučovania

• Bočné rebrá hranola (obr. 2).
• Bočný povrch hranola (obrázok 2, obrázok 5).
• Výška hranola (obrázok 3, obrázok 4).
• Priamy hranol (obr. 2,3,4).
• Šikmý hranol (obrázok 5).
• Správny hranol (obr. 2, obr. 3).
• Diagonálny rez hranolom (obr. 2).
• Uhlopriečka hranola (obrázok 2).
• Kolmý rez hranolom (pi3, obr. 4).
• Oblasť bočného povrchu hranola.
• Celková plocha hranola.
• Objem hranola.

1. SKONTROLUJTE DOMÁCE ÚLOHY (8 min)

Vymeňte zošity, skontrolujte riešenie na snímkach a označte značku (ak je úloha zložená, označte 10)

Nakreslite problém a vyriešte ho. Žiak pri tabuli obhajuje úlohu, ktorú zostavil. Obrázok 6 a obrázok 7.





Kapitola 2, §3
Úloha.2. Dĺžky všetkých hrán pravidelného trojuholníkového hranola sú si navzájom rovné. Vypočítajte objem hranola, ak jeho povrch je cm 2 (obr. 8)



Kapitola 2, §3
Úloha 5. Podstava priameho hranola ABCA 1B 1C1 je pravouhlý trojuholník ABC (uhol ABC=90°), AB=4cm. Vypočítajte objem hranola, ak polomer opísaného trojuholníka ABC je 2,5 cm a výška hranola je 10 cm. (Obrázok 9).



Kapitola 2, § 3
Úloha 29. Dĺžka strany podstavy pravidelného štvorbokého hranola je 3 cm. Uhlopriečka hranola zviera s rovinou bočného čela uhol 30°. Vypočítajte objem hranola (obrázok 10).



2. Spoločná práca učiteľa s triedou (2-3 min.).

Cieľ: zhrnúť výsledky teoretickej rozcvičky (žiaci si navzájom odpisujú známky), naučiť sa riešiť úlohy na danú tému.

3. FYZICKÁ MINÚTA (3 min)
4. RIEŠENIE PROBLÉMU (10 min)

V tomto štádiu učiteľ organizuje frontálnu prácu na opakovaní metód riešenia planimetrických úloh, planimetrických vzorcov. Trieda je rozdelená na dve skupiny, niektorí riešia úlohy, iní pracujú pri počítači. Potom sa zmenia. Žiaci sú vyzvaní, aby riešili všetky č. 8 (ústne), č. 9 (ústne). Potom sa rozdelia do skupín a prestúpia k riešeniu úloh č.14, č.30, č.32.

Kapitola 2, §3, strana 66-67

Úloha 8. Všetky hrany pravidelného trojuholníkového hranola sú si navzájom rovné. Nájdite objem hranola, ak plocha prierezu roviny prechádzajúcej okrajom spodnej podstavy a stredom strany hornej podstavy je cm (obr. 11).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Úloha 9. Základňa rovného hranola je štvorec a jeho bočné hrany sú dvakrát väčšie ako strana základne. Vypočítajte objem hranola, ak polomer kružnice opísanej v blízkosti rezu hranola rovinou prechádzajúcou stranou podstavy a stredom protiľahlej bočnej hrany je cm (obr. 12)



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Úloha 14.Základom rovného hranola je kosoštvorec, ktorého jedna uhlopriečka sa rovná jeho strane. Vypočítajte obvod rezu rovinou prechádzajúcou cez veľkú uhlopriečku spodnej podstavy, ak je objem hranola rovnaký a všetky bočné plochy sú štvorcové (obr. 13).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Problém 30.ABCA 1 B 1 C 1 je pravidelný trojboký hranol, ktorého všetky hrany sú si navzájom rovné, bod asi v strede hrany BB 1. Vypočítajte polomer kružnice vpísanej do rezu hranola rovinou AOS, ak je objem hranola rovnaký (obr. 14).



Kapitola 2, §3, strana 66-67
Problém 32.V pravidelnom štvorhrannom hranole sa súčet plôch základní rovná ploche bočnej plochy. Vypočítajte objem hranola, ak priemer kružnice opísanej v blízkosti rezu hranola rovinou prechádzajúcou dvoma vrcholmi spodnej podstavy a protiľahlým vrcholom hornej podstavy je 6 cm (obr. 15).



Pri riešení úloh žiaci porovnávajú svoje odpovede s tými, ktoré ukázal učiteľ. Toto je príklad riešenia úlohy s podrobným komentárom ... Samostatná práca učiteľa so „silnými“ žiakmi (10 min.).

5. Samostatná práca žiakov na teste na počítači

1. Strana základne pravidelného trojuholníkového hranola je , a výška je 5. Nájdite objem hranola.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Vyberte správne tvrdenie.

1) Objem pravého hranolu, ktorého podstavou je pravouhlý trojuholník, sa rovná súčinu plochy podstavy a výšky.

2) Objem pravidelného trojuholníkového hranola sa vypočíta podľa vzorca V \u003d 0,25a 2 h - kde a je strana základne, h je výška hranola.

3) Objem rovného hranola sa rovná polovici súčinu plochy základne a výšky.

4) Objem pravidelného štvoruholníkového hranola sa vypočíta podľa vzorca V \u003d a 2 h-kde a je strana základne, h je výška hranola.

5) Objem pravidelného šesťhranného hranola sa vypočíta podľa vzorca V \u003d 1,5a 2 h, kde a je strana základne, h je výška hranola.

3. Strana podstavy pravidelného trojuholníkového hranola sa rovná. Cez stranu spodnej základne a protiľahlý vrchol hornej základne je nakreslená rovina, ktorá prechádza pod uhlom 45° k základni. Nájdite objem hranola.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Základom rovného hranola je kosoštvorec, ktorého strana je 13 a jedna z uhlopriečok je 24. Nájdite objem hranola, ak je uhlopriečka bočnej steny 14.

PRIAMY PRIZMUS. POVRCH A OBJEM PRIAMYHO PRIZMU.

§ 68. OBJEM PRIAMYHO HRANOLA.

1. Objem rovného trojbokého hranola.

Nech je potrebné nájsť objem pravého trojuholníkového hranolu, ktorého základná plocha sa rovná S a výška sa rovná h= AA" = = BB" = SS" (obr. 306).

Narysujme samostatne podstavu hranola, teda trojuholník ABC (obr. 307, a) a dotvorme ho na obdĺžnik, pre ktorý nakreslíme priamku KM cez vrchol B || AC a z bodov A a C pustíme kolmice AF a CE na túto priamku. Dostaneme obdĺžnik ACEF. Po nakreslení výšky BD trojuholníka ABC uvidíme, že obdĺžnik ACEF je rozdelený na 4 pravouhlé trojuholníky. A /\ VŠETKY = /\ BCD a /\ BAF = /\ ZLÝ. To znamená, že plocha obdĺžnika ACEF je dvojnásobkom plochy trojuholníka ABC, to znamená, že sa rovná 2S.

K tomuto hranolu s podstavou ABC pridáme hranoly s podstavami ALL a BAF a výškou h(Výkres 307, b). Získame obdĺžnikový rovnobežnosten so základňou
ACEF.

Ak tento rovnobežnosten prerežeme rovinou prechádzajúcou priamkami BD a BB, potom uvidíme, že pravouhlý rovnobežnosten tvoria 4 hranoly so základňou
BCD, ALL, BAD a BAF.

Hranoly so základňami BCD a ALL je možné kombinovať, pretože ich základne sú rovnaké ( /\ BCD = /\ BCE) a tiež sa rovnajú ich bočným okrajom, ktoré sú kolmé na jednu rovinu. Objemy týchto hranolov sú teda rovnaké. Objemy hranolov so základňami BAD a BAF sú tiež rovnaké.

Ukazuje sa teda, že objem daného trojuholníkového hranolu so základňou
ABC je polovica objemu pravouhlého rovnobežnostena so základňou ACEF.

Vieme, že objem pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčinu plochy jeho základne a výšky, t.j. v tomto prípade sa rovná 2S h. Objem tohto pravého trojuholníkového hranola sa teda rovná S h.

Objem pravého trojuholníkového hranola sa rovná súčinu plochy jeho základne a výšky.

2. Objem priameho polygonálneho hranolu.

Na nájdenie objemu priameho mnohouholníkového hranolu, napríklad päťuholníkového, so základnou plochou S a výškou h, rozbijeme ho na trojuholníkové hranoly (obr. 308).

Označením základných plôch trojuholníkových hranolov cez S 1, S 2 a S 3 a objemu tohto mnohouholníkového hranola cez V dostaneme:

V = S1 h+S2 h+ S 3 h, alebo
V = (S1 + S2 + S3) h.

A nakoniec: V = S h.

Rovnakým spôsobom je odvodený vzorec pre objem priameho hranolu s ľubovoľným mnohouholníkom na jeho základni.

znamená, Objem akéhokoľvek rovného hranola sa rovná súčinu plochy jeho základne a výšky.

Cvičenia.

1. Vypočítajte objem priameho hranolu s rovnobežníkom na základni pomocou nasledujúcich údajov:

2. Vypočítajte objem priameho hranolu s trojuholníkom na základni pomocou nasledujúcich údajov:

3. Vypočítajte objem priameho hranolu s rovnostranným trojuholníkom so stranou 12 cm (32 cm, 40 cm) pri základni. Výška hranola 60 cm.

4. Vypočítajte objem priameho hranolu s pravouhlým trojuholníkom na základni s nohami 12 cm a 8 cm (16 cm a 7 cm; 9 ma 6 m). Výška hranola je 0,3 m.

5. Vypočítajte objem priameho hranola s lichobežníkom na základni s rovnobežnými stranami 18 cm a 14 cm a výškou 7,5 cm, výška hranola je 40 cm.

6. Vypočítajte objem vašej učebne (telocvične, vašej izby).

7. Celková plocha kocky je 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Vypočítajte objem tejto kocky.

8. Dĺžka stavebnej tehly je 25,0 cm, šírka 12,0 cm, hrúbka 6,5 ​​cm a) Vypočítajte jej objem, b) Určte jej hmotnosť, ak 1 kubický centimeter tehly váži 1,6 g.

9. Koľko kusov stavebných tehál bude potrebných na vybudovanie pevnej tehlovej steny v tvare pravouhlého hranola s dĺžkou 12 m, šírkou 0,6 m a výškou 10 m? (Rozmery tehál z cvičenia 8.)

10. Dĺžka čisto narezanej dosky je 4,5 m, šírka 35 cm, hrúbka 6 cm a) Vypočítajte objem b) Určte jej hmotnosť, ak decimeter kubický dosky váži 0,6 kg.

11. Koľko ton sena možno dať do senníka zastrešeného sedlovou strechou (obr. 309), ak dĺžka senníka je 12 m, šírka 8 m, výška 3,5 m a výška hrebeň strechy je 1,5 m? (Špecifická hmotnosť sena sa berie ako 0,2.)

12. Je potrebné vykopať priekopu dlhú 0,8 km; v reze má mať priekopa tvar lichobežníka so základňami 0,9 m a 0,4 m a hĺbka priekopy má byť 0,5 m (obr. 310). Koľko metrov kubických zeminy bude treba vyťažiť?

Rôzne hranoly sa od seba líšia. Zároveň majú veľa spoločného. Ak chcete nájsť oblasť základne hranola, musíte zistiť, ako vyzerá.

Všeobecná teória

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorého strany majú tvar rovnobežníka. Okrem toho môže byť na svojej základni akýkoľvek mnohosten - od trojuholníka po n-uholník. Okrem toho sú základne hranola vždy rovnaké. Čo neplatí pre bočné plochy - môžu sa výrazne líšiť vo veľkosti.

Pri riešení problémov sa stretávame nielen s oblasťou základne hranola. Môže byť potrebné poznať bočnú plochu, to znamená všetky plochy, ktoré nie sú základňou. Celý povrch už bude spojením všetkých tvárí, ktoré tvoria hranol.

Niekedy sa v úlohách objavujú výšky. Je kolmá na základne. Uhlopriečka mnohostenu je segment, ktorý v pároch spája ľubovoľné dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Je potrebné poznamenať, že plocha základne rovného alebo nakloneného hranola nezávisí od uhla medzi nimi a bočnými plochami. Ak majú rovnaké čísla v hornej a dolnej časti tváre, ich plochy budú rovnaké.

trojboký hranol

Na základni má postavu s tromi vrcholmi, čiže trojuholník. Je známe, že je to iné. Ak potom stačí pripomenúť, že jeho plocha je určená polovicou súčinu nôh.

Matematický zápis vyzerá takto: S = ½ av.

Na zistenie plochy základne vo všeobecnej forme sú užitočné vzorce: Volavka a tá, v ktorej je polovica strany vytiahnutá do výšky, ktorá je k nej prikreslená.

Prvý vzorec by mal byť napísaný takto: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Tento záznam obsahuje polobvod (p), teda súčet troch strán delený dvomi.

Po druhé: S = ½ n a * a.

Ak chcete poznať oblasť základne trojuholníkového hranola, ktorá je pravidelná, trojuholník sa ukáže ako rovnostranný. Má svoj vlastný vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

štvoruholníkový hranol

Jeho základňou je ktorýkoľvek zo známych štvoruholníkov. Môže to byť obdĺžnik alebo štvorec, rovnobežnosten alebo kosoštvorec. V každom prípade, aby ste mohli vypočítať plochu základne hranola, budete potrebovať svoj vlastný vzorec.

Ak je základňou obdĺžnik, jeho obsah sa určí takto: S = av, kde a, b sú strany obdĺžnika.

Pokiaľ ide o štvoruholníkový hranol, základná plocha bežného hranola sa vypočíta pomocou vzorca pre štvorec. Pretože je to on, kto leží na základni. S \u003d a 2.

V prípade, že základňou je rovnobežnosten, bude potrebná nasledujúca rovnosť: S \u003d a * n a. Stáva sa, že je daná strana rovnobežnostena a jeden z uhlov. Potom na výpočet výšky budete musieť použiť ďalší vzorec: na \u003d b * sin A. Okrem toho uhol A susedí so stranou "b" a výška je proti tomuto uhlu.

Ak na základni hranola leží kosoštvorec, potom na určenie jeho plochy bude potrebný rovnaký vzorec ako pre rovnobežník (pretože ide o jeho špeciálny prípad). Môžete však použiť aj toto: S = ½ d 1 d 2. Tu d 1 a d 2 sú dve uhlopriečky kosoštvorca.

Pravidelný päťuholníkový hranol

V tomto prípade ide o rozdelenie mnohouholníka na trojuholníky, ktorých oblasti sa dajú ľahšie zistiť. Aj keď sa stáva, že figúry môžu byť s rôznym počtom vrcholov.

Keďže základom hranola je pravidelný päťuholník, možno ho rozdeliť na päť rovnostranných trojuholníkov. Potom sa plocha základne hranola rovná ploche jedného takého trojuholníka (vzorec je uvedený vyššie), vynásobenej piatimi.

Pravidelný šesťhranný hranol

Podľa princípu opísaného pre päťuholníkový hranol je možné rozdeliť základný šesťuholník na 6 rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre oblasť základne takéhoto hranola je podobný predchádzajúcemu. Iba v ňom by sa malo vynásobiť šesť.

Vzorec bude vyzerať takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úlohy

č.1. Je daná pravidelná priamka. Jej uhlopriečka je 22 cm, výška mnohostenu je 14 cm. Vypočítajte plochu základne hranola a celého povrchu.

Riešenie. Základňa hranola je štvorec, ale jeho strana nie je známa. Jeho hodnotu zistíte z uhlopriečky štvorca (x), ktorá súvisí s uhlopriečkou hranola (d) a jeho výškou (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Na druhej strane, tento segment "x" je prepona v trojuholníku, ktorého nohy sa rovnajú strane štvorca. To znamená, že x 2 \u003d a 2 + a 2. Ukazuje sa teda, že a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Namiesto d nahraďte číslo 22 a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže sa, že strana štvorca je 12 cm. Teraz je ľahké zistiť základnú plochu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Ak chcete zistiť plochu celého povrchu, musíte pridať dvojnásobok hodnoty základnej plochy a zoštvornásobiť stranu. Ten sa dá ľahko nájsť podľa vzorca pre obdĺžnik: vynásobte výšku mnohostenu a stranu základne. To znamená, že 14 a 12 sa toto číslo bude rovnať 168 cm2. Celková plocha hranola je 960 cm2.

Odpoveď. Základná plocha hranola je 144 cm2. Celá plocha - 960 cm 2 .

2. Dana Na základni leží trojuholník so stranou 6 cm.V tomto prípade je uhlopriečka bočnej plochy 10 cm.Vypočítajte plochy: základňa a bočná plocha.

Riešenie. Keďže hranol je pravidelný, jeho základňou je rovnostranný trojuholník. Jeho plocha sa teda rovná 6-krát na druhú ¼ a druhej odmocnine z 3. Jednoduchým výpočtom dostaneme výsledok: 9√3 cm2. Toto je oblasť jednej základne hranola.

Všetky bočné strany sú rovnaké a sú to obdĺžniky so stranami 6 a 10 cm, na výpočet ich plôch stačí tieto čísla vynásobiť. Potom ich vynásobte tromi, pretože hranol má presne toľko bočných plôch. Potom sa plocha bočného povrchu navinie 180 cm 2 .

Odpoveď. Plochy: základňa - 9√3 cm 2, bočná plocha hranola - 180 cm 2.