Odhad parametrov lineárnej regresie. Regresia v Exceli: rovnica, príklady

Lineárna regresia sa redukuje na nájdenie rovnice v tvare:

Prvý výraz umožňuje dané hodnoty faktora X vypočítajte teoretické hodnoty efektívneho atribútu, pričom do neho nahradíte skutočné hodnoty faktorov. Na grafe (obr. 1.2) ležia teoretické hodnoty na priamke, ktorá je regresnou čiarou.

Konštrukcia lineárnej regresie sa redukuje na odhad jej parametrov - a a b. Klasický prístup k odhadu parametrov lineárnej regresie je založený na metóde najmenších štvorcov (LSM).

LSM umožňuje získať takéto odhady parametrov A A b, pri ktorej súčet kvadrátov odchýlok skutočných hodnôt pri z teoretickej y x minimum:

Ryža. 1.2.

Na nájdenie minima je potrebné vypočítať parciálne derivácie súčtu (1.4) vzhľadom na každý z parametrov (a a ft) a priradiť ich k nule:

Po transformácii dostaneme systém normálnych rovníc:

V systéme P- veľkosť vzorky, množstvá sa ľahko vypočítajú zo zdrojových údajov. Riešenie systému vzhľadom na A A b, dostaneme:

Výraz (1.7) môže byť napísaný v inej forme:

kde cov(x, y) - kovariancia funkcií; su* - rozptyl faktora X.

Parameter b sa nazýva regresný koeficient. Jeho hodnota zobrazuje priemernú zmenu výsledku so zvýšením faktora o jednu jednotku. Možnosť jasnej ekonomickej interpretácie regresného koeficientu spôsobila, že rovnica lineárnej párovej regresie je v ekonometrických štúdiách celkom bežná.

Formálne A - význam pri pri x = 0. Ak X nemá a nemôže mať nulovú hodnotu, potom takýto výklad voľného termínu A nedáva zmysel. Parameter A Väčšinou to nemá ekonomický obsah. Pokusy o ekonomickú interpretáciu môžu viesť k absurdnosti, najmä keď a 0. Interpretovať možno iba znamienko pri parametri A. Ak a > 0, potom je relatívna zmena výsledku pomalšia ako zmena faktora. Porovnajme tieto relatívne zmeny:

Niekedy sa pre odchýlky od priemeru píše lineárna párová regresná rovnica:

Kde

V tomto prípade sa voľný člen rovná nule, čo sa odráža vo výraze (1.10). Táto skutočnosť vyplýva z geometrických úvah: tá istá priamka (1.3) zodpovedá regresnej rovnici, ale pri odhade regresie v odchýlkach sa počiatok súradníc presunie do bodu so súradnicami (3c, y). V tomto prípade sa vo výraze (1.8) budú oba súčty rovnať nule, čo bude znamenať rovnosť voľného termínu na nulu. Výrazy (1.7) a (1.9) sú v tomto prípade tiež zjednodušené.

Ako príklad uvažujme regresnú závislosť nákladov na produkcii pre skupinu podnikov vyrábajúcich jeden typ produktu y = a + bx+ e (tabuľka 1.1).

Systém normálnych rovníc bude vyzerať

Keď to vyriešime, dostaneme A - -5,79, b - 36,84.

Regresná rovnica má tvar

Tabuľka 1.1

Počiatočné údaje pre odhad parametrov párového lineárneho modelu

Výstup (x), tisíc jednotiek	Výrobné náklady (y), mln rub.

Nahradením hodnôt x do regresnej rovnice nájdeme teoretické hodnoty y (posledný stĺpec tabuľky 1.1).

Hodnota A nemá ekonomický zmysel. Ak premenné X A pri vyjadrené ako odchýlky od priemerných úrovní, potom bude regresná čiara na grafe prechádzať počiatkom. Odhad regresného koeficientu sa nezmení: y" = 36,84x", kde y" = y-y, x" = x-x.

Ako ďalší príklad zvážte spotrebnú funkciu formulára:

kde C - spotreba; pri- príjem; K, L - možnosti.

Táto lineárna regresná rovnica sa zvyčajne používa v spojení s bilančnou rovnicou

kde / - výška investície; G- úspory.

Pre jednoduchosť predpokladajme, že príjem sa vynakladá na spotrebu a investície. Uvažujeme teda o sústave rovníc

Prítomnosť bilančnej rovnosti ukladá obmedzenia na hodnotu regresného koeficientu, ktorá nemôže byť viac ako jedna, t.j. K 1.

Predpokladajme, že funkcia spotreby je C = 1,9 + 0,65 r.

Regresný koeficient charakterizuje sklon k spotrebe. Ukazuje, že z každých tisíc rubľov príjmu sa na spotrebu minie v priemere 650 rubľov a 350 rubľov. investoval. Ak počítame regresiu veľkosti investície z príjmu, t.j. I = a + o, potom bude regresná rovnica ja\u003d -1,9 + 0,35 r. Môže alebo nemusí byť definovaný, pretože je odvodený od spotrebnej funkcie. Regresné koeficienty týchto dvoch rovníc sú spojené rovnicou 0,65 + 0,35 = 1. Ak je regresný koeficient väčší ako jedna, potom a na spotrebu sa nevynakladá len príjem, ale aj úspory.

Regresný koeficient TO vo funkcii spotreby sa používa na výpočet multiplikátora:

Kde T» 2,86, teda dodatočné investície 1 000 rubľov. na dlhú dobu povedie, ceteris paribus, k dodatočnému príjmu vo výške 2,86 tisíc rubľov.

Pri lineárnej regresii pôsobí lineárny korelačný koeficient ako indikátor tesnosti vzťahu G.

Jeho hodnoty sú v medziach: - 1 r 1. Ak 6>0, potom 0 g b 0-1 g 0. Podľa príkladu výpočet výrazu (1.11) dáva r = 0,991, čo znamená veľmi tesnú závislosť výrobných nákladov od objemu produkcie.

Na posúdenie kvality výberu lineárnej funkcie sa koeficient determinácie vypočíta ako druhá mocnina koeficientu lineárnej korelácie. ja 2. Charakterizuje podiel rozptylu výsledného atribútu y, vysvetleného regresiou, na celkovom rozptyle výsledného atribútu:

Hodnota 1 – g 2 charakterizuje podiel rozptylu y, spôsobené vplyvom iných faktorov nezohľadnených v modeli.

V príklade g2 = 0,982. Regresná rovnica vysvetľuje 98,2 % y rozptylu, zatiaľ čo ostatné faktory predstavujú 1,8 % – to je reziduálny rozptyl.

Lineárna regresia má široké využitie v ekonometrii vo forme prehľadnej ekonomickej interpretácie jej parametrov. Lineárna regresia sa redukuje na nájdenie rovnice tvaru

Alebo . (4.6)

Rovnica formulára umožňuje dané hodnoty faktora X mať teoretické hodnoty efektívnej funkcie, pričom do nej nahrádzajú skutočné hodnoty faktora X. Na grafe teoretické hodnoty predstavujú regresnú priamku (obr. 4.2).

Ryža. 4.2. Grafický odhad parametrov lineárnej regresie

Konštrukcia lineárnej regresie je redukovaná na odhad jej parametrov a. Odhady parametrov lineárnej regresie možno nájsť rôznymi metódami. Môžete sa obrátiť na korelačné pole a výberom dvoch bodov na grafe nakresliť cez ne priamku (pozri obr. 4.2). Ďalej na grafe môžete určiť hodnoty parametrov. Parameter je definovaný ako priesečník regresnej priamky s osou a parameter sa odhaduje na základe sklonu regresnej priamky ako , kde prírastok výsledku y, faktorový prírastok X, t.j.

Klasický prístup k odhadu parametrov lineárnej regresie je založený na najmenších štvorcov(MNK).

LSM vám umožňuje získať také odhady parametrov a , v ktorých je súčet štvorcových odchýlok skutočných hodnôt efektívnej funkcie (y) z vypočítaného (teoretického) minima:

Inými slovami, z celej množiny čiar je regresná čiara na grafe vybraná tak, aby súčet druhých mocnín vertikálnych vzdialeností medzi bodmi a touto čiarou bol minimálny:

teda

Na nájdenie minima funkcie (4.7) je potrebné vypočítať parciálne derivácie vzhľadom na každý z parametrov A A b a prirovnať ich k nule.

Označiť podľa S, Potom:

Transformáciou tohto systému získame nasledujúci systém normálnych rovníc na odhad parametrov a :

. (4.8)

Riešením systému normálnych rovníc (4.8) buď metódou postupnej eliminácie premenných alebo metódou determinantov, nájdeme číselné hodnoty požadovaných parametrov a . Môžete použiť nasledujúce hotové vzorce:

. (4.9)

Vzorec (4.9) získame z prvej rovnice sústavy (4.8), ak sú všetky jej členy delené P.

kde je kovariancia funkcie;

Rozptyl vlastností X.

Vzhľadom na skutočnosť, , získame nasledujúci vzorec na výpočet odhadu parametra b:

. (4.10)

Parameter sa nazýva regresný koeficient. Jeho hodnota zobrazuje priemernú zmenu výsledku so zmenou faktora o jednu jednotku. Ak teda vo funkcii nákladov (na - náklady (tisíc rubľov), X- počet výrobných jednotiek). Preto s nárastom objemu výroby (X) za 1 jednotku výrobné náklady sa zvyšujú v priemere o 2 000 rubľov, t.j. dodatočné zvýšenie výroby o 1 jednotku. bude vyžadovať zvýšenie nákladov v priemere o 2 000 rubľov.

Možnosť jasnej ekonomickej interpretácie regresného koeficientu spôsobila, že rovnica lineárnej regresie je v ekonometrických štúdiách celkom bežná.

Formálne - význam pri pri X= 0. Ak atribút-faktor nemá a nemôže mať nulovú hodnotu, potom vyššie uvedený výklad voľného termínu nedáva zmysel. Parameter nemusí mať ekonomický obsah. Pokusy o ekonomickú interpretáciu parametra A môže viesť k absurdnosti, najmä keď < 0.

100 r bonus za prvú objednávku

Vyberte si typ práce Diplomová práca Semestrálna práca Abstrakt Diplomová práca Správa z praxe Článok Správa Recenzia Testová práca Monografia Riešenie problémov Podnikateľský plán Odpovede na otázky Kreatívna práca Esej Kresba Skladby Preklad Prezentácie Písanie Iné Zvýšenie jedinečnosti textu Kandidátska práca Laboratórna práca Pomoc na- riadok

Opýtajte sa na cenu

Pri odhade parametrov regresnej rovnice sa používa metóda najmenších štvorcov (LSM). V tomto prípade sú splnené určité predpoklady týkajúce sa náhodnej zložky, napr. V modeli je náhodná zložka e nepozorovateľná veličina. Po odhadnutí parametrov modelu sa vypočíta rozdiel medzi skutočnými a teoretickými hodnotami efektívneho znaku y , môžeme určiť odhady náhodnej zložky . Keďže nejde o skutočné náhodné rezíduá, možno ich považovať za nejakú selektívnu realizáciu neznámeho rezidua danej rovnice, t.j.

Keď sa zmení špecifikácia modelu, keď sa k nemu pridajú nové pozorovania, vzorové odhady rezíduí ei sa môžu zmeniť. Úloha regresnej analýzy preto zahŕňa nielen konštrukciu samotného modelu, ale aj štúdium náhodných odchýlok, t.j. reziduálnych hodnôt.

Pri použití Fisherovho a Studentovho testu sa robia predpoklady o správaní sa rezíduí ei – rezíduá sú nezávislé náhodné premenné a ich stredná hodnota je 0; majú rovnaký (konštantný) rozptyl a sledujú normálne rozdelenie.

Štatistické kontroly regresných parametrov, korelačných ukazovateľov sú založené na neoveriteľných predpokladoch rozdelenia náhodnej zložky ei. Sú len predbežné. Po zostrojení regresnej rovnice sa vykoná kontrola prítomnosti

odhaduje ei (náhodné zvyšky) tých vlastností, ktoré sa predpokladali. Je to spôsobené tým, že odhady regresných parametrov musia spĺňať určité kritériá. Musia byť nezaujaté, konzistentné a efektívne. Tieto vlastnosti odhadov OLS majú mimoriadne dôležitý praktický význam pri použití výsledkov regresie a korelácie.

nezaujatý odhad znamená, že priemer rezíduí je nula. Ak sú odhady nestranné, možno ich porovnať v rôznych štúdiách.

Hodnotenia sa berú do úvahy efektívne ak majú najmenší rozptyl. V praktickom výskume to znamená možnosť prechodu od bodového k intervalovému odhadu.

solventnosť odhady charakterizuje zvyšovanie ich presnosti so zvyšujúcou sa veľkosťou vzorky. Veľký praktický záujem sú tie regresné výsledky, pre ktoré je interval spoľahlivosti očakávanej hodnoty regresného parametra bi má hranicu pravdepodobnosti rovnú jednej. Inými slovami, pravdepodobnosť získania odhadu v danej vzdialenosti od skutočnej hodnoty parametra je blízka jednotke.

Špecifikované hodnotiace kritériá (nezaujatosť, konzistentnosť a efektívnosť) sa nevyhnutne zohľadňujú pri rôznych metódach hodnotenia. Metóda najmenších štvorcov vytvára regresné odhady založené na minimalizácii súčtu štvorcov rezíduí. Preto je veľmi dôležité skúmať správanie sa regresných zvyškov ei. Podmienky potrebné na získanie nezaujatých, konzistentných a účinných odhadov sú predpokladmi OLS, ktoré sú žiaduce na získanie spoľahlivých výsledkov regresie.

Štúdie ei zvyškov zahŕňajú kontrolu prítomnosti nasledujúcich päť priestorov OLS:

1. náhodný charakter zvyškov;

2. nulová priemerná hodnota zvyškov, nezávislá od xi;

3. homoskedasticita - rozptyl každej odchýlky ei je rovnaký pre všetky hodnoty x ;

4. absencia autokorelácie rezíduí – hodnoty rezíduí ei sú rozdelené nezávisle na sebe;

5. zvyšky majú normálne rozdelenie.

Ak rozdelenie náhodných zvyškov ei nezodpovedá niektorým predpokladom LSM, potom by sa mal model opraviť.

Najprv sa skontroluje náhodný charakter zvyškov ei, čo je prvý predpoklad najmenších štvorcov. Na tento účel je vykreslený graf závislosti rezíduí ei od teoretických hodnôt výsledného znaku.

Ak sa na grafe získa vodorovný pruh, potom rezíduá ei sú náhodné premenné a LSM je opodstatnené, teoretické hodnoty sa dobre približujú skutočným hodnotám y.

Nasledujúce prípady sú možné, ak ei závisí na že:

1) zvyšky ei nie sú náhodné

2) zvyšky ei nemajú konštantný rozptyl

3) zvyšky ei sú systematické.

V týchto prípadoch je potrebné buď použiť inú funkciu, alebo zaviesť ďalšie informácie a prebudovať regresnú rovnicu, kým rezíduá ei nebudú náhodné premenné.

Druhý predpoklad OLS týkajúci sa nulového priemeru rezíduí to znamená . To je možné pre lineárne modely a modely, ktoré sú nelineárne vzhľadom na zahrnuté premenné.

Nezaujatosť odhadov regresných koeficientov získaných LSM zároveň závisí od nezávislosti náhodných rezíduí a hodnôt x, čo je tiež študované v rámci druhého predpokladu LSM. Za týmto účelom je spolu s vyššie uvedeným grafom závislosti rezíduí ei od teoretických hodnôt výsledného atribútu zostrojený graf závislosti náhodných rezíduí ei od faktorov zahrnutých do regresie xj.

Ak sú zvyšky na grafe usporiadané vo forme vodorovného pruhu, potom sú nezávislé od hodnôt xj. Ak graf ukazuje závislosť ei a xj, potom je model neadekvátny. Dôvody nedostatočnosti môžu byť rôzne. Je možné, že je porušená tretia premisa najmenších štvorcov a rozptyl rezíduí nie je konštantný pre každú hodnotu faktora xj. Špecifikácia modelu môže byť nesprávna a musíte ju zadať

dodatočné výrazy z xj, napríklad . Akumulácia bodov v určitých oblastiach hodnôt faktora xj naznačuje prítomnosť systematickej chyby v modeli.

Predpoklad normálneho rozdelenia rezíduí umožňuje testovanie regresných a korelačných parametrov pomocou F- a t-testov. Zároveň regresné odhady zistené metódou najmenších štvorcov majú dobré vlastnosti aj pri absencii normálneho rozdelenia rezíduí, t.j. v rozpore s piatym predpokladom najmenších štvorcov.

Je absolútne nevyhnutné získať konzistentné odhady regresných parametrov z metódy najmenších štvorcov je dodržanie tretieho a štvrtého predpokladu.

Tretí predpoklad OLS vyžaduje, aby bol rozptyl rezíduí homoskedastický. To znamená, že pre každú hodnotu faktora xj rezíduá ei majú rovnaký rozptyl. Ak táto podmienka na uplatnenie LSM nie je splnená, tak máme heteroskedasticita. Prítomnosť heteroskedasticity možno jasne vidieť z korelačného poľa:

1. Rozptyl rezíduí rastie so zvyšujúcim sa x.

Potom máme nasledujúcu formu heteroskedasticity: veľký rozptyl ei pre veľké hodnoty

2. Rozptyl zvyškov dosahuje svoju maximálnu hodnotu pri priemerných hodnotách x a znižuje sa pri minimálnych a maximálnych hodnotách.

Potom máme nasledujúcu formu heteroskedasticity: veľký rozptyl ei pre stredné hodnoty a malý rozptyl ei pre malé a veľké hodnoty

3. Maximálny rozptyl zvyškov je pri malých hodnotách x a rozptyl zvyškov je rovnomerný, keď sa x zvyšuje.

Potom máme nasledujúcu formu heteroskedasticity: veľký rozptyl ei pre malé hodnoty , pokles rozptylu zvyškov ei ako

Pri zostavovaní regresných modelov je mimoriadne dôležité dodržať štvrtú premisu LSM – absenciu autokorelácie rezíduí, t.j. hodnoty rezíduí ei sú rozdelené nezávisle od seba.

Autokorelácia rezíduí znamená prítomnosť korelácie medzi rezíduami súčasných a predchádzajúcich (následných) pozorovaní. Korelačný koeficient medzi ei a ej, kde ei sú zvyšky súčasných pozorovaní, ej sú zvyšky predchádzajúcich pozorovaní (napríklad j=i-1), možno definovať ako:

t.j. podľa obvyklého vzorca koeficientu lineárnej korelácie. Ak sa ukáže, že tento koeficient je výrazne odlišný od nuly, potom sú rezíduá autokorelované a funkcia hustoty pravdepodobnosti F(e) závisí od j - pozorovací bod a z rozdelenia zostatkových hodnôt na iných pozorovacích bodoch.

Absencia autokorelácie rezíduí zabezpečuje konzistentnosť a účinnosť odhadov regresných koeficientov. Dodržanie tohto predpokladu LSM je obzvlášť dôležité pri konštrukcii regresných modelov pre časové rady, kde v dôsledku prítomnosti trendu nasledujúce úrovne časového radu spravidla závisia od svojich predchádzajúcich úrovní.

Ak nie sú splnené základné predpoklady, LSM musí opraviť model zmenou jeho špecifikácie, pridať (vylúčiť) niektoré faktory, transformovať počiatočné údaje, aby získal odhady regresných koeficientov, ktoré majú vlastnosť nezaujatosti, majú menšie zvyškový rozptyl, a preto poskytujú efektívnejší štatistický test významnosti regresných parametrov.

V deň odhadu parametrov regresnej rovnice sa najčastejšie používa metóda najmenších štvorcov (MNK).

Metóda najmenších štvorcov udáva odhady, ktoré majú najmenší rozptyl v triede všetkých lineárnych odhadov, ak sú splnené predpoklady normálneho lineárneho regresného modelu.

LSM minimalizuje súčet štvorcových odchýlok pozorovaných hodnôt od hodnôt modelu .

Podľa princípu metódy najmenších štvorcov sa odhady a zisťujú minimalizáciou súčtu štvorcov

pre všetky možné hodnoty A pre dané (pozorované) hodnoty
.

Výsledkom aplikácie LSM získame vzorce na výpočet parametrov párového regresného modelu.

(3)

Takéto riešenie môže existovať iba vtedy, ak je splnená podmienka

čo je ekvivalentné nenulovému determinantu sústavy normálnych rovníc. V skutočnosti tento determinant je

Posledná podmienka je tzv podmienka identifikovateľnosti pozorovacie modely a znamená, že nie všetky hodnoty
zápas medzi sebou. Ak je táto podmienka porušená Všetky bodov
, ležia na rovnakej zvislej čiare

Odhady sú tzv odhady najmenších štvorcov . Venujme pozornosť výslednému výrazu pre parameter. Tento výraz zahŕňa súčty štvorcov, ktoré sa predtým podieľali na určovaní rozptylu vzorky

a vzorová kovariancia
teda, v týchto termínoch, parameter možno získať takto:

=
=
=

=

Hodnotenie kvality regresnej rovnice

Kvalita regresného modelu je spojená s primeranosťou modelu k pozorovaným (empirickým) údajom. Kontrola primeranosti (alebo súladu) regresného modelu s pozorovanými údajmi sa vykonáva na základe reziduálnej analýzy.

Po zostavení regresnej rovnice môžeme rozdeliť hodnotu Y v každom pozorovaní na dve zložky - A .

Zvyšok predstavuje odchýlku skutočnej hodnoty závislej premennej od hodnoty tejto premennej, získanú výpočtom:
(
).

V praxi spravidla dochádza k určitému rozptylu bodov korelačného poľa voči teoretickej regresnej priamke, teda k odchýlkam empirických údajov od teoretických (
). Veľkosť týchto odchýlok je základom výpočtu ukazovateľov kvality (primeranosti) rovnice.

Pri analýze kvality regresného modelu sa používa hlavné ustanovenie analýzy rozptylu, podľa ktorého celkový súčet druhých mocnín odchýlok závislej premennej od priemeru možno rozložiť na dve zložky – vysvetlené a nevysvetlené rovnicou variančnej regresie:

(4)

Kde - hodnoty r, vypočítané modelom
.

Rozdelenie pravej a ľavej strany (4) na

,

.

Koeficient determinácie je definovaný nasledovne:

Koeficient determinácie ukazuje podiel variácie výsledného znaku, ktorý je pod vplyvom skúmaných faktorov, t.j. určuje, aký podiel variácie znaku Y je v modeli zohľadnený a je spôsobený vplyvom faktorov naň.

Bližšie
na 1, tým vyššia je kvalita modelu.

Na posúdenie kvality regresných modelov je tiež vhodné použiť viacnásobný korelačný koeficient (korelačný index) R

Tento koeficient je univerzálny, pretože odráža tesnosť vzťahu a presnosť modelu a možno ho použiť aj pre akúkoľvek formu vzťahu medzi premennými.

Pri zostavovaní jednofaktorového modelu sa rovná koeficientu lineárnej korelácie
.

Je zrejmé, že čím menší je vplyv nezohľadnených faktorov, tým lepšie model zodpovedá skutočným údajom.

Na posúdenie kvality regresných modelov je tiež vhodné použiť priemernú chybu aproximácie:

Čím menší je rozptyl empirických bodov okolo teoretickej regresnej priamky, tým menšia je priemerná chyba aproximácie. Chyba aproximácie menšia ako 7 % naznačuje dobrú kvalitu modelu.

Po zostavení regresnej rovnice sa skontroluje významnosť zostavenej rovnice ako celku a jednotlivých parametrov.

Posúdiť významnosť regresnej rovnice – to znamená zistiť, či matematický model vyjadrujúci vzťah medzi Y a X zodpovedá skutočným údajom a či je v rovnici dostatok vysvetľujúcich premenných X na opis závislej premennej Y

Hodnotenie významnosti regresnej rovnice sa robí s cieľom zistiť, či je regresná rovnica vhodná na praktické použitie (napríklad na prognózovanie) alebo nie. Zároveň je predložená hlavná hypotéza o nevýznamnosti rovnice ako celku, ktorá sa formálne redukuje na hypotézu, že regresné parametre sa rovnajú nule, alebo, čo je rovnaké, že koeficient determinácie sa rovná nule. na nulu:
. Alternatívnou hypotézou o význame rovnice je hypotéza, že regresné parametre sa nerovnajú nule.

Pre modelové testy významnosti použitá regresia Fisherov F-test vypočítaný ako podiel rozptylu pôvodného radu a nezaujatého rozptylu reziduálnej zložky. Ak vypočítaná hodnota s  1 = k a  2 = (n - k - 1) stupňami voľnosti, kde k je počet faktorov zahrnutých do modelu, je väčšia ako tabuľková hodnota na danej hladine významnosti, potom model sa považuje za významný.

Pre párový regresný model:

Ako miery presnosti aplikovať neskreslený odhad rozptylu reziduálnej zložky, čo je pomer súčtu druhých mocnín hladín reziduálnej zložky k hodnote (n-k-1), kde k je počet faktorov zahrnutých do modelu. Druhá odmocnina tohto množstva ( ) sa nazýva štandardná chyba :

D Pre párový regresný model