Lineárna homogénna rovnica druhého rádu. Diferenciálne rovnice druhého a vyššieho rádu

Tento článok odhaľuje otázku riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Teória sa bude posudzovať spolu s príkladmi daných problémov. Na dešifrovanie nezrozumiteľných pojmov je potrebné odkázať na tému základných definícií a pojmov teórie diferenciálnych rovníc.

Uvažujme lineárnu diferenciálnu rovnicu (LDE) druhého rádu s konštantnými koeficientmi tvaru y "" + p y " + q y \u003d f (x), kde p a q sú ľubovoľné čísla a existujúca funkcia f (x) je spojité na integračnom intervale x .

Prejdime k formulácii všeobecnej vety o riešení pre LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všeobecná teoréma riešenia pre LDNU

Veta 1

Všeobecné riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v tvare y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + nachádzajúce sa na intervale x. . . + f 0 (x) y = f (x) so spojitými integračnými koeficientmi na x intervale f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) a spojitá funkcia f (x) sa rovná súčtu všeobecného riešenia y 0, ktoré zodpovedá LODE, a nejakého partikulárneho riešenia y ~, kde pôvodná nehomogénna rovnica je y = y 0 + y ~ .

To ukazuje, že riešenie takejto rovnice druhého rádu má tvar y = y 0 + y ~ . Algoritmus na nájdenie y 0 je uvedený v článku o lineárnych homogénnych diferenciálnych rovniciach druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Potom by sa malo pristúpiť k definícii y ~ .

Výber konkrétneho riešenia LIDE závisí od typu dostupnej funkcie f (x) umiestnenej na pravej strane rovnice. Na to je potrebné samostatne zvážiť riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Keď f (x) považujeme za polynóm n-tého stupňa f (x) = P n (x) , z toho vyplýva, že konkrétne riešenie LIDE nájdeme pomocou vzorca v tvare y ~ = Q n (x ) x γ , kde Q n ( x) je polynóm stupňa n, r je počet nulových koreňov charakteristickej rovnice. Hodnota y ~ je konkrétne riešenie y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x), potom dostupné koeficienty, ktoré sú definované polynómom
Q n (x) , zistíme pomocou metódy neurčitých koeficientov z rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 1

Vypočítajte pomocou Cauchyho vety y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Riešenie

Inými slovami, je potrebné prejsť na konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi y "" - 2 y " = x 2 + 1 , ktoré bude spĺňať dané podmienky y (0) = 2, y" (0) = 14.

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je súčet všeobecného riešenia, ktoré zodpovedá rovnici y 0 alebo konkrétnemu riešeniu nehomogénnej rovnice y ~, teda y = y 0 + y ~.

Najprv nájdime všeobecné riešenie pre LNDE a potom konkrétne.

Prejdime k hľadaniu y 0 . Napísanie charakteristickej rovnice pomôže nájsť korene. Chápeme to

k 2 – 2 k \u003d 0 k (k – 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Zistili sme, že korene sú iné a skutočné. Preto píšeme

y 0 \u003d C1e 0 x + C2e 2 x \u003d C1 + C2e 2 x.

Poďme nájsť y ~. Je vidieť, že pravá strana danej rovnice je polynóm druhého stupňa, potom sa jeden z koreňov rovná nule. Odtiaľto dostaneme, že konkrétne riešenie pre y ~ bude

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, kde hodnoty A, B, C vziať nedefinované koeficienty.

Nájdite ich z rovnosti v tvare y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Potom dostaneme toto:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 S x + C " - 6 A x 2 - 4 S x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 S x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Prirovnaním koeficientov s rovnakými exponentmi x dostaneme sústavu lineárnych výrazov - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Pri riešení ktorýmkoľvek zo spôsobov nájdeme koeficienty a zapíšeme: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 a y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Tento záznam sa nazýva všeobecné riešenie pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Na nájdenie konkrétneho riešenia, ktoré spĺňa podmienky y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , je potrebné určiť hodnoty C1 a C2, na základe rovnosti tvaru y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Dostávame to:

y (0) = C1 + C2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C1 + C2 y "(0) = C1 + C2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Pracujeme s výslednou sústavou rovníc tvaru C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplikovaním Cauchyho vety to máme

y = C1 + C2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

odpoveď: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Keď je funkcia f (x) reprezentovaná ako súčin polynómu so stupňom n a exponentom f (x) = P n (x) e a x , potom dostaneme, že konkrétne riešenie LIDE druhého rádu bude rovnica v tvare y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , kde Q n (x) je polynóm n-tého stupňa a r je počet koreňov charakteristickej rovnice rovný α .

Koeficienty prislúchajúce Q n (x) nájdeme pomocou rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Riešenie

Všeobecná rovnica y = y 0 + y ~ . Uvedená rovnica zodpovedá LOD y "" - 2 y " = 0. Predchádzajúci príklad ukazuje, že jej korene sú k1 = 0 a k2 = 2 a yo = C1 + C2e2 x podľa charakteristickej rovnice.

Je vidieť, že pravá strana rovnice je x 2 + 1 · e x . Odtiaľ sa LNDE nachádza cez y ~ = e a x Q n (x) x γ , kde Q n (x) , čo je polynóm druhého stupňa, kde α = 1 a r = 0 , pretože charakteristická rovnica nie je mať koreň rovný 1. Preto to chápeme

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C sú neznáme koeficienty, ktoré možno nájsť pomocou rovnosti y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Mám to

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Zrovnáme ukazovatele pre rovnaké koeficienty a získame systém lineárnych rovníc. Odtiaľ nájdeme A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

odpoveď: je možné vidieť, že y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 je konkrétne riešenie LIDE a y = y 0 + y = C1e2 x - e x · x 2 + 3

Keď je funkcia napísaná ako f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x a A 1 a V 1 sú čísla, potom rovnica v tvare y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , kde A a B sa považujú za neurčité koeficienty a r počet komplexne združených koreňov súvisiacich s charakteristickou rovnicou, rovný ± ip. V tomto prípade sa hľadanie koeficientov vykonáva pomocou rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Riešenie

Pred napísaním charakteristickej rovnice nájdeme y 0 . Potom

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Máme pár komplexne konjugovaných koreňov. Poďme sa transformovať a získajme:

y 0 \u003d e 0 (C1 cos (2 x) + C2 sin (2 x)) \u003d C1 cos 2 x + C2 sin (2 x)

Korene z charakteristickej rovnice sa považujú za konjugovaný pár ± 2 i , potom f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . To ukazuje, že vyhľadávanie y ~ sa uskutoční z y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Neznáme koeficienty A a B budeme hľadať z rovnosti v tvare y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Poďme sa transformovať:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A čos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B čos (2 x)

Potom je to vidieť

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin (2x)

Je potrebné dať rovnítko medzi koeficienty sínusov a kosínusov. Dostaneme systém formulára:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Z toho vyplýva, že y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

odpoveď: všeobecné riešenie pôvodného LIDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa považuje za

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Keď f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , potom y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Máme, že r je počet komplexne konjugovaných párov koreňov súvisiacich s charakteristickou rovnicou, rovný α ± i β , kde P n (x), Q k (x), L m ( x) a Nm (x) sú polynómy stupňa n, k, m, kde m = m a x (n, k). Nálezové koeficienty L m (x) a Nm (x) vzniká na základe rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že

α = 3, β = 5, Pn (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Potom m = m a x (n, k) = 1. Nájdeme y 0 tak, že najprv napíšeme charakteristickú rovnicu tvaru:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Zistili sme, že korene sú skutočné a odlišné. Preto yo = C1ex + C2e2x. Ďalej je potrebné hľadať všeobecné riešenie na základe nehomogénnej rovnice y ~ tvaru

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x))

Je známe, že A, B, C sú koeficienty, r = 0, pretože neexistuje žiadny pár konjugovaných koreňov súvisiacich s charakteristickou rovnicou s α ± i β = 3 ± 5 · i. Tieto koeficienty sa získajú z výslednej rovnosti:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) hriech (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Nájdenie derivátu a podobných výrazov dáva

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Po porovnaní koeficientov dostaneme systém formulára

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Z toho všetkého vyplýva

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) hriech (5x))

odpoveď: teraz bolo získané všeobecné riešenie danej lineárnej rovnice:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) hriech (5 x))

Algoritmus na riešenie LDNU

Definícia 1

Akýkoľvek iný druh funkcie f (x) pre riešenie poskytuje algoritmus riešenia:

• nájdenie všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice, kde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , kde y 1 a y2 sú lineárne nezávislé partikulárne riešenia LODE, Od 1 a Od 2 sú považované za ľubovoľné konštanty;
• prijatie ako všeobecné riešenie LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definícia derivácií funkcie prostredníctvom systému v tvare C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) a hľadanie funkcií C 1 (x) a C2 (x) prostredníctvom integrácie.

Príklad 5

Nájdite všeobecné riešenie pre y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Riešenie

Pokračujeme v písaní charakteristickej rovnice, keď sme predtým napísali y 0 , y "" + 36 y = 0 . Napíšeme a vyriešime:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x), y 2 (x) = hriech (6 x)

Máme, že záznam všeobecného riešenia danej rovnice bude mať tvar y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Je potrebné prejsť k definícii derivačných funkcií C 1 (x) a C2(x) podľa sústavy s rovnicami:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Je potrebné prijať rozhodnutie týkajúce sa C 1 "(x) a C2" (x) pomocou akejkoľvek metódy. Potom píšeme:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Každá z rovníc musí byť integrovaná. Potom napíšeme výsledné rovnice:

C 1 (x) = 1 3 hriech (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x hriech ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Z toho vyplýva, že všeobecné riešenie bude mať tvar:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

odpoveď: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Základy riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu (LNDE-2) s konštantnými koeficientmi (PC)

CLDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi $p$ a $q$ má tvar $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kde $f\left( x \right)$ je spojitá funkcia.

Nasledujúce dve tvrdenia sú pravdivé vzhľadom na 2. LNDE s PC.

Predpokladajme, že nejaká funkcia $U$ je ľubovoľným partikulárnym riešením nehomogénnej diferenciálnej rovnice. Predpokladajme tiež, že nejaká funkcia $Y$ je všeobecným riešením (OR) zodpovedajúcej lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Potom OR z LHDE-2 sa rovná súčtu uvedených súkromných a všeobecných riešení, t.j. $y=U+Y$.

Ak je pravá strana LIDE 2. rádu súčtom funkcií, to znamená $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, potom najskôr môžete nájsť PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, ktoré zodpovedajú každému funkcií $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a potom napíšte LNDE-2 PD ako $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Riešenie LNDE 2. rádu s PC

Je zrejmé, že tvar jedného alebo druhého PD $U$ daného LNDE-2 závisí od konkrétneho tvaru jeho pravej strany $f\left(x\right)$. Najjednoduchšie prípady hľadania PD LNDE-2 sú formulované ako nasledujúce štyri pravidlá.

Pravidlo číslo 1.

Pravá strana LNDE-2 má tvar $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, to znamená, že sa nazýva polynóm stupňa $n$. Potom sa hľadá jeho PR $U$ v tvare $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kde $Q_(n) \left(x\right)$ je iné polynóm rovnakého stupňa ako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet nulových koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2. Koeficienty polynómu $Q_(n) \left(x\right)$ sa zisťujú metódou neurčitých koeficientov (NC).

Pravidlo číslo 2.

Pravá strana LNDE-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left( x\right)$ je polynóm stupňa $n$. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kde $Q_(n ) \ left(x\right)$ je ďalší polynóm rovnakého stupňa ako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2 rovná $\alpha $. Koeficienty polynómu $Q_(n) \left(x\right)$ sa zisťujú metódou NK.

Pravidlo číslo 3.

Pravá časť LNDE-2 má tvar $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kde $a$, $b$ a $\beta $ sú známe čísla. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, kde $A$ a $B$ sú neznáme koeficienty a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2 rovný $i\cdot \beta $. Koeficienty $A$ a $B$ sa zisťujú metódou NDT.

Pravidlo číslo 4.

Pravá strana LNDE-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kde $P_(n) \left(x\right)$ je polynóm stupňa $ n$ a $P_(m) \left(x\right)$ je polynóm stupňa $m$. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kde $Q_(s) \left(x\right) $ a $ R_(s) \left(x\right)$ sú polynómy stupňa $s$, číslo $s$ je maximum z dvoch čísel $n$ a $m$ a $r$ je počet korene charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2, rovné $\alpha +i\cdot \beta $. Koeficienty polynómov $Q_(s) \left(x\right)$ a $R_(s) \left(x\right)$ sa zisťujú metódou NK.

Metóda NK spočíva v aplikácii nasledujúceho pravidla. Na nájdenie neznámych koeficientov polynómu, ktoré sú súčasťou partikulárneho riešenia nehomogénnej diferenciálnej rovnice LNDE-2, je potrebné:

• nahraďte PD $U$ napísaný vo všeobecnej forme do ľavej časti LNDE-2;
• na ľavej strane LNDE-2 vykonajte zjednodušenia a skupinové výrazy s rovnakými mocninami $x$;
• vo výslednej identite vyrovnajte koeficienty členov s rovnakými mocninami $x$ ľavej a pravej strany;
• vyriešiť výslednú sústavu lineárnych rovníc pre neznáme koeficienty.

Príklad 1

Úloha: nájdite OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Tiež nájdite PR , spĺňajúce počiatočné podmienky $y=6$ pre $x=0$ a $y"=1$ pre $x=0$.

Napíšte zodpovedajúce LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Charakteristická rovnica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Korene charakteristickej rovnice: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Tieto korene sú skutočné a odlišné. ALEBO zodpovedajúcej LODE-2 má teda tvar: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Pravá časť tohto LNDE-2 má tvar $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Je potrebné zvážiť koeficient exponentu exponentu $\alpha =3$. Tento koeficient sa nezhoduje so žiadnym z koreňov charakteristickej rovnice. Preto má PR tohto LNDE-2 tvar $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficienty $A$, $B$ budeme hľadať metódou NK.

Nájdeme prvý derivát CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Nájdeme druhý derivát CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Do daného LNDE-2 $y""-3\cdot y" dosadíme funkcie $U""$, $U"$ a $U$ namiesto $y""$, $y"$ a $y$ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Zároveň, keďže exponent $e^(3\cdot x) $ je zahrnutý ako faktor vo všetkých komponentoch, potom ho možno vynechať.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\vpravo)=36\cdot x+12.$

Vykonávame akcie na ľavej strane výslednej rovnosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Používame metódu NC. Dostaneme systém lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12,$

Riešenie tohto systému je: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pre náš problém vyzerá takto: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ALEBO $y=Y+U$ pre náš problém vyzerá takto: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Aby sme našli PD, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky, nájdeme deriváciu $y"$ ALEBO:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

V $y$ a $y"$ nahradíme počiatočné podmienky $y=6$ za $x=0$ a $y"=1$ za $x=0$:

$6=C_(1)+C_(2)-1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5,$

Dostali sme systém rovníc:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Riešime to. Nájdeme $C_(1) $ pomocou Cramerovho vzorca a $C_(2) $ sa určí z prvej rovnice:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(pole)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(pole)\right|)(\left|\ begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(pole)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

PD tejto diferenciálnej rovnice je teda: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Diferenciálne rovnice druhého a vyšších rádov.
Lineárne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Príklady riešení.

Prechádzame k úvahám o diferenciálnych rovniciach druhého rádu a diferenciálnych rovniciach vyšších rádov. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je diferenciálna rovnica (alebo vôbec nerozumiete, čo to je), odporúčam začať lekciou Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. Mnohé princípy riešenia a základné koncepty difúr prvého rádu sa automaticky rozšíria na diferenciálne rovnice vyššieho rádu, takže je veľmi dôležité najprv pochopiť rovnice prvého poriadku.

Mnohí čitatelia môžu mať predsudok, že DE 2., 3. a iných rádov je niečo veľmi ťažké a pre zvládnutie nedostupné. To nie je pravda . Naučiť sa riešiť difúzy vyššieho rádu je sotva ťažšie ako „obyčajné“ DE 1. rádu. A na niektorých miestach je to ešte jednoduchšie, keďže pri rozhodovaní sa aktívne využíva materiál školských osnov.

Najpopulárnejší diferenciálne rovnice druhého rádu. Do diferenciálnej rovnice druhého rádu nevyhnutne zahŕňa druhý derivát a nezahŕňa

Treba si uvedomiť, že niektoré z bábätiek (a dokonca všetky naraz) môžu v rovnici chýbať, dôležité je, aby bol otec doma. Najprimitívnejšia diferenciálna rovnica druhého rádu vyzerá takto:

Diferenciálne rovnice tretieho rádu v praktických úlohách sú oveľa menej bežné, podľa mojich subjektívnych pozorovaní v Štátnej dume by získali asi 3-4% hlasov.

Do diferenciálnej rovnice tretieho rádu nevyhnutne zahŕňa tretiu deriváciu a nezahŕňa deriváty vyšších rádov:

Najjednoduchšia diferenciálna rovnica tretieho rádu vyzerá takto: - otec je doma, všetky deti sú na prechádzke.

Podobne je možné definovať diferenciálne rovnice 4., 5. a vyššieho rádu. V praktických problémoch takéto DE skĺzne extrémne zriedkavo, pokúsim sa však uviesť relevantné príklady.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré sa navrhujú v praktických úlohách, možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín.

1) Prvá skupina – tzv rovnice nižšieho rádu. Lietať v!

2) Druhá skupina - lineárne rovnice vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi. O čom začneme uvažovať práve teraz.

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

V teórii a praxi sa rozlišujú dva typy takýchto rovníc - homogénna rovnica a nehomogénna rovnica.

Homogénna DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi má nasledujúci tvar:
, kde a sú konštanty (čísla) a na pravej strane - prísne nula.

Ako vidíte, s homogénnymi rovnicami nie sú žiadne zvláštne ťažkosti, hlavná vec je, že správne vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Niekedy existujú neštandardné homogénne rovnice, napríklad rovnica vo forme , kde pri druhej derivácii je nejaká konštanta , odlišná od jednoty (a samozrejme odlišná od nuly). Algoritmus riešenia sa vôbec nemení, treba pokojne zostaviť charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Ak je charakteristická rovnica bude mať dva rôzne skutočné korene, napríklad: , potom je možné všeobecné riešenie napísať obvyklým spôsobom: .

V niektorých prípadoch sa v dôsledku preklepu v stave môžu ukázať „zlé“ korene, niečo ako . Čo robiť, odpoveď bude musieť byť napísaná takto:

So "zlými" konjugovanými komplexnými koreňmi ako žiadny problém, všeobecné riešenie:

teda v každom prípade existuje všeobecné riešenie. Pretože každá kvadratická rovnica má dva korene.

V poslednom odseku, ako som sľúbil, stručne zvážime:

Lineárne homogénne rovnice vyššieho rádu

Všetko je veľmi, veľmi podobné.

Lineárna homogénna rovnica tretieho rádu má nasledujúci tvar:
, kde sú konštanty.
Pre túto rovnicu je potrebné zostaviť aj charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Charakteristická rovnica, ako mnohí uhádli, vyzerá takto:
, a to tak či tak Má presne tri koreň.

Nech sú napríklad všetky korene skutočné a odlišné: , potom môže byť všeobecné riešenie napísané takto:

Ak je jeden koreň skutočný a ostatné dva sú konjugované komplexy, potom napíšeme všeobecné riešenie takto:

Špeciálny prípad je, keď sú všetky tri korene násobné (rovnaké). Uvažujme o najjednoduchšom homogénnom DE 3. rádu s osamelým otcom: . Charakteristická rovnica má tri zhodné nulové korene. Všeobecné riešenie napíšeme takto:

Ak je charakteristická rovnica má napríklad tri viacnásobné korene, potom všeobecné riešenie je:

Príklad 9

Vyriešte homogénnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu

Riešenie: Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

, - získa sa jeden skutočný koreň a dva konjugované komplexné korene.

odpoveď: spoločné rozhodnutie

Podobne môžeme uvažovať o lineárnej homogénnej rovnici štvrtého rádu s konštantnými koeficientmi: , kde sú konštanty.