Výpočet druhej pozoruhodnej hranice. Online kalkulačka Riešenie limitov

Pojem „pozoruhodný limit“ je široko používaný v učebniciach a učebných pomôckach na označenie dôležitých identít, ktoré výrazne pomáhajú zjednodušiť prácu nájsť limity.

Ale vedieť priniesť jeho hranica až pozoruhodná, treba sa na to dobre pozrieť, pretože sa nevyskytujú priamo, ale často vo forme dôsledkov, vybavených ďalšími pojmami a faktormi. Najprv však teóriu, potom príklady a uspejete!

Prvá úžasná limitka

Páčilo sa? Záložka

Prvá pozoruhodná hranica je napísaná nasledovne (neistota v tvare $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Následky z prvého pozoruhodného limitu

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Príklady riešenia: 1 nádherná limitka

Príklad 1 Vypočítať limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Riešenie. Prvý krok je vždy rovnaký - do funkcie dosadíme limitnú hodnotu $x=0$ a dostaneme:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Dostali sme neistotu tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$, ktorú treba vyriešiť. Ak sa pozriete pozorne, pôvodný limit je veľmi podobný prvému pozoruhodnému, ale nezhoduje sa s ním. Našou úlohou je priviesť k podobnosti. Transformujme to takto - pozrite sa na výraz pod sínusom, urobte to isté v menovateli (relatívne povedané, vynásobte a vydeľte $3x$), ďalej zmenšite a zjednodušte:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Vyššie bol získaný prvý úžasný limit: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( vykonalo podmienenú substitúciu ) y=3x. $$ odpoveď: $3/8$.

Príklad 2 Vypočítať limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Riešenie. Do funkcie dosadíme limitnú hodnotu $x=0$ a dostaneme:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Dostali sme neurčitosť tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$. Poďme transformovať limit pomocou prvého úžasného limitu v zjednodušení (trikrát!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

odpoveď: $9/16$.

Príklad 3 Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Riešenie. Ale čo ak je pod goniometrickou funkciou zložitý výraz? Nevadí a tu konáme rovnako. Najprv skontrolujte typ neistoty, dosaďte do funkcie $x=0$ a získajte:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Dostali sme neurčitosť tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$. Vynásobte a vydeľte $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \vľavo[\frac(0)(0)\vpravo] = $$

Opäť dostal neistotu, no v tomto prípade je to len zlomok. Znížime čitateľa a menovateľa o $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

odpoveď: $3/5$.

Druhá úžasná limitka

Druhá pozoruhodná hranica je napísaná takto (neurčitosť tvaru $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(alebo) \quad \lim\limits_( x\do 0) \vľavo(1+x\vpravo)^(1/x)=e. $$

Dôsledky druhého pozoruhodného limitu

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Príklady riešenia: 2 nádherné limity

Príklad 4 Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Riešenie. Skontrolujeme typ neistoty, dosadíme $x=\infty$ do funkcie a získame:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Dostali sme neurčitosť tvaru $\left$. Hranicu možno znížiť na druhú pozoruhodnú. Poďme sa transformovať:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\vpravo)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\vľavo(\vľavo(1+\frac(1)((-3x/2))\vpravo)^((-3x/2))\vpravo)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Výraz v zátvorkách je vlastne druhá úžasná hranica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, len $t=- 3x/2 doláre, takže

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

odpoveď:$e^(-2/3)$.

Príklad 5 Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Riešenie. Dosaďte $x=\infty$ do funkcie a získajte neistotu tvaru $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. A potrebujeme $\left$. Začnime teda prevodom výrazu v zátvorkách:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\vľavo(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\vpravo)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\vpravo)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\vľavo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\vpravo) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Výraz v zátvorkách je vlastne druhá úžasná hranica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, len $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, takže

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Existuje niekoľko úžasných limitov, ale najznámejšie sú prvé a druhé nádherné limity. Pozoruhodné na týchto limitoch je, že sú široko používané a možno ich použiť na nájdenie iných limitov, s ktorými sa stretávame pri mnohých problémoch. To je to, čo budeme robiť v praktickej časti tejto lekcie. Na vyriešenie problémov znížením na prvý alebo druhý pozoruhodný limit nie je potrebné zverejňovať neistoty v nich obsiahnuté, pretože hodnoty týchto limitov už dlho odvodili veľkí matematici.

Prvý pozoruhodný limit nazývaná hranica pomeru sínusu nekonečne malého oblúka k rovnakému oblúku, vyjadrená v radiáne:

Prejdime k riešeniu problémov na prvej pozoruhodnej hranici. Poznámka: ak je goniometrická funkcia pod medzným znakom, je to takmer isté znamenie, že tento výraz možno zredukovať na prvú pozoruhodnú medzu.

Príklad 1 Nájdite hranicu.

Riešenie. Namiesto toho striedanie X nula vedie k neistote:

.

Menovateľom je sínus, preto výraz možno zredukovať na prvú pozoruhodnú hranicu. Začnime s transformáciou:

.

V menovateli je sínus troch x a v čitateli je iba jedno x, čo znamená, že v čitateli musíte dostať tri x. Prečo? Prezentovať 3 X = a a získajte výraz.

A dostávame sa k variácii prvého pozoruhodného limitu:

pretože nezáleží na tom, aké písmeno (premenná) je v tomto vzorci namiesto x.

Vynásobíme x tromi a hneď vydelíme:

.

V súlade s uvedeným prvým pozoruhodným limitom nahrádzame zlomkový výraz:

Teraz môžeme konečne vyriešiť tento limit:

.

Príklad 2 Nájdite hranicu.

Riešenie. Priama substitúcia opäť vedie k neistote „nulového delenia nulou“:

.

Na získanie prvej pozoruhodnej limity je potrebné, aby x pod sínusovým znamienkom v čitateli a práve x v menovateli mali rovnaký koeficient. Nech sa tento koeficient rovná 2. Aby sme to dosiahli, predstavme si aktuálny koeficient na x ako je uvedené nižšie, vykonávaním akcií so zlomkami dostaneme:

.

Príklad 3 Nájdite hranicu.

Riešenie. Pri dosadzovaní opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:

.

Asi už chápete, že z pôvodného výrazu môžete získať prvú nádhernú limitku vynásobenú prvou nádhernou limitkou. Aby sme to dosiahli, rozložíme druhé mocniny x v čitateli a sínus v menovateli na rovnaké faktory a aby sme dostali rovnaké koeficienty pre x a sínus, vydelíme x v čitateli 3 a hneď vynásobíme 3. Dostaneme:

.

Príklad 4 Nájdite hranicu.

Riešenie. Opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:

.

Môžeme získať pomer prvých dvoch pozoruhodných limitov. Čitateľ aj menovateľ delíme x. Potom, aby sa koeficienty v sínusoch a v x zhodovali, vynásobíme horné x 2 a hneď vydelíme 2 a spodné x vynásobíme 3 a hneď vydelíme 3. Dostaneme:

Príklad 5 Nájdite hranicu.

Riešenie. A opäť neistota „nula delená nulou“:

Z trigonometrie si pamätáme, že dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu a kosínus nuly sa rovná jednej. Urobíme premeny a získame:

.

Príklad 6 Nájdite hranicu.

Riešenie. Trigonometrická funkcia pod medzným znakom opäť naznačuje myšlienku uplatnenia prvého pozoruhodného limitu. Predstavujeme to ako pomer sínusu ku kosínusu.

Z vyššie uvedeného článku sa dozviete, aký je limit a s čím sa to jedáva – to je VEĽMI dôležité. prečo? Možno nerozumiete, čo sú determinanty a úspešne ich riešite, možno vôbec nerozumiete, čo je to derivácia a nájdete ich na „päťke“. Ale ak nerozumiete tomu, čo je limit, potom bude ťažké vyriešiť praktické úlohy. Tiež nebude zbytočné zoznámiť sa so vzorkami návrhu rozhodnutí a mojimi odporúčaniami pre dizajn. Všetky informácie sú prezentované jednoduchým a prístupným spôsobom.

A na účely tejto lekcie potrebujeme nasledujúce metodické materiály: Pozoruhodné limity a Goniometrické vzorce. Nájdete ich na stránke. Najlepšie je vytlačiť návody - je to oveľa pohodlnejšie, okrem toho sa k nim často musí pristupovať offline.

Čo je pozoruhodné na úžasných limitoch? Pozoruhodnosť týchto limitov spočíva v tom, že ich dokázali najväčšie mysle slávnych matematikov a vďační potomkovia nemusia trpieť strašnými limitmi s hromadou goniometrických funkcií, logaritmov a stupňov. To znamená, že pri hľadaní hraníc použijeme hotové výsledky, ktoré sú teoreticky dokázané.

Existuje niekoľko pozoruhodných limitov, ale v praxi majú študenti externého štúdia v 95% prípadov dva pozoruhodné limity: Prvá úžasná limitka, Druhá úžasná limitka. Treba podotknúť, že ide o historicky ustálené mená, a keď napríklad hovoria o „prvej pozoruhodnej hranici“, majú na mysli veľmi špecifickú vec, a nie nejakú náhodnú hranicu prevzatú zo stropu.

Prvá úžasná limitka

Zvážte nasledujúci limit: (namiesto pôvodného písmena „on“ použijem grécke písmeno „alfa“, je to pohodlnejšie z hľadiska prezentácie materiálu).

Podľa nášho pravidla pre hľadanie limitov (pozri článok Limity. Príklady riešení) skúsime do funkcie dosadiť nulu: v čitateli dostaneme nulu (sínus nuly je nula), v menovateli samozrejme aj nulu. Stretávame sa teda s neurčitosťou formy, ktorú našťastie netreba prezrádzať. V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že:

Tento matematický fakt je tzv Prvá úžasná limitka. Nebudem poskytovať analytický dôkaz limity, ale v lekcii zvážime jej geometrický význam nekonečne malé funkcie.

Často v praktických úlohách môžu byť funkcie usporiadané inak, to nič nemení:

– rovnaká prvá úžasná hranica.

Ale nemôžete zmeniť usporiadanie čitateľa a menovateľa sami! Ak je limit uvedený vo forme , musí byť vyriešený v rovnakom tvare bez toho, aby sa čokoľvek preskupovalo.

V praxi môže ako parameter pôsobiť nielen premenná, ale aj elementárna funkcia, komplexná funkcia. Dôležité je len to, aby mala tendenciu k nule.

Príklady:
, , ,

Tu , , , , a všetko bzučí - platí prvý úžasný limit.

A tu je ďalší záznam - heréza:

prečo? Pretože polynóm nemá tendenciu k nule, má tendenciu k päťke.

Mimochodom, otázka je na zásyp, ale aký je limit ? Odpoveď nájdete na konci lekcie.

V praxi nie je všetko také plynulé, takmer nikdy sa študentovi neponúkne riešenie voľného limitu a získanie ľahkého zápočtu. Hmmm... píšem tieto riadky a napadla ma veľmi dôležitá myšlienka – napokon, zdá sa, že je lepšie si „zadarmo“ matematické definície a vzorce zapamätať naspamäť, to môže byť neoceniteľnou pomocou pri teste, keď o otázke sa rozhodne medzi „dvoma“ a „tromi“ a učiteľ sa rozhodne položiť študentovi jednoduchú otázku alebo ponúknuť riešenie najjednoduchšieho príkladu („možno (a) ešte vie čo?“).

Prejdime na praktické príklady:

Príklad 1

Nájdite hranicu

Ak si všimneme sínus v limite, malo by nás to okamžite priviesť k zamysleniu sa nad možnosťou uplatnenia prvej pozoruhodnej limity.

Najprv sa pokúsime nahradiť 0 vo výraze pod limitným znakom (robíme to mentálne alebo na koncepte):

Máme teda neurčitosť formy, jeho určite uveďte pri rozhodovaní. Výraz pod hranicou vyzerá ako prvá úžasná hranica, ale nie je to úplne ono, je pod sínusom, ale v menovateli.

V takýchto prípadoch musíme prvú nádhernú hranicu zorganizovať sami pomocou umelého zariadenia. Úvaha môže byť nasledovná: „pod sínusom, ktorý máme, čo znamená, že sa musíme dostať aj do menovateľa“.
A to sa robí veľmi jednoducho:

To znamená, že menovateľ je v tomto prípade umelo vynásobený 7 a delený rovnakými siedmimi. Teraz nahrávka nadobudla známu podobu.
Keď je úloha vypracovaná ručne, odporúča sa označiť prvý úžasný limit jednoduchou ceruzkou:

Čo sa stalo? V skutočnosti sa zakrúžkovaný výraz zmenil na jednotku a zmizol v produkte:

Teraz zostáva len zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Kto zabudol na zjednodušenie viacpodlažných frakcií, obnovte si prosím materiál v referenčnej knihe Horúce školské matematické vzorce .

Pripravený. Konečná odpoveď:

Ak nechcete používať značky ceruzkou, riešenie môže byť naformátované takto:

“

Používame prvú pozoruhodnú hranicu

“

Príklad 2

Nájdite hranicu

Opäť vidíme zlomok a sínus v limite. Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:

V skutočnosti máme neistotu, a preto sa musíme pokúsiť zorganizovať prvý pozoruhodný limit. Na lekcii Limity. Príklady riešení zvážili sme pravidlo, že keď máme neistotu, musíme čitateľa a menovateľa rozdeliť na faktory. Tu - to isté, predstavíme stupne ako súčin (násobiče):

Podobne ako v predchádzajúcom príklade načrtneme ceruzkou úžasné limity (tu sú dve z nich) a naznačíme, že majú tendenciu k jednej:

V skutočnosti je odpoveď pripravená:

V nasledujúcich príkladoch nebudem robiť umenie v programe Paint, myslím, že ako správne zostaviť riešenie v notebooku - už rozumiete.

Príklad 3

Nájdite hranicu

Vo výraze pod limitným znakom dosadíme nulu:

Dosiahla sa neistota, ktorú je potrebné zverejniť. Ak je v limite tangens, tak sa takmer vždy prepočítava na sínus a kosínus podľa známeho trigonometrického vzorca (mimochodom, približne to isté robia aj s kotangensom, viď metodický materiál Horúce trigonometrické vzorce Na stránke Matematické vzorce, tabuľky a referenčné materiály).

V tomto prípade:

Kosínus nuly sa rovná jednej a je ľahké sa ho zbaviť (nezabudnite označiť, že smeruje k jednotke):

Ak je teda v limite kosínus NÁSOBITEĽ, potom sa, zhruba povedané, musí zmeniť na jednotku, ktorá zmizne v produkte.

Tu sa všetko ukázalo jednoduchšie, bez akýchkoľvek násobení a delení. Prvý pozoruhodný limit sa tiež zmení na jednotu a zmizne v produkte:

V dôsledku toho sa získa nekonečno, to sa stáva.

Príklad 4

Nájdite hranicu

Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:

Získaná neistota (kosínus nuly, ako si pamätáme, sa rovná jednej)

Používame trigonometrický vzorec. Zaznamenať si! Z nejakého dôvodu sú limity pomocou tohto vzorca veľmi bežné.

Vyberáme konštantné multiplikátory za ikonou limitu:

Poďme usporiadať prvý pozoruhodný limit:

Tu máme iba jednu úžasnú hranicu, ktorá sa zmení na jednu a zmizne v produkte:

Zbavme sa trojposchodia:

Limita je skutočne vyriešená, naznačujeme, že zostávajúci sínus má tendenciu k nule:

Príklad 5

Nájdite hranicu

Tento príklad je zložitejší, skúste na to prísť sami:

Niektoré limity sa dajú zmenou premennej znížiť na 1. pozoruhodnú hranicu, o tom sa dočítate trochu neskôr v článku Metódy limitného riešenia.

Druhá úžasná limitka

V teórii matematickej analýzy je dokázané, že:

Táto skutočnosť je tzv druhá pozoruhodná hranica.

Referencia: je iracionálne číslo.

Ako parameter môže pôsobiť nielen premenná, ale aj komplexná funkcia. Dôležité je len to, že sa usiluje o nekonečno.

Príklad 6

Nájdite hranicu

Keď je výraz pod znakom limitu v moci - toto je prvé znamenie, že sa musíte pokúsiť uplatniť druhý úžasný limit.

Najprv sa však, ako vždy, snažíme do výrazu dosadiť nekonečne veľké číslo, podľa akého princípu sa to robí, bolo analyzované v lekcii Limity. Príklady riešení.

Je ľahké vidieť, že kedy základ stupňa a exponent - , to znamená, že existuje neurčitosť tvaru:

Táto neistota je práve odhalená pomocou druhého pozoruhodného limitu. Ale ako sa často stáva, druhá úžasná hranica neleží na striebornom podnose a musí byť umelo organizovaná. Môžete to zdôvodniť takto: v tomto príklade parameter znamená, že sa musíme v ukazovateli tiež usporiadať. Aby sme to urobili, zdvihneme základňu na mocninu a tak, aby sa výraz nezmenil, zdvihneme ju na mocninu:

Keď je úloha vypracovaná ručne, ceruzkou označíme:

Takmer všetko je pripravené, hrozný stupeň sa zmenil na pekný list:

Zároveň sa na indikátor presunie samotná ikona limitu:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Pozor! Tento typ limitov je veľmi bežný, prosím, veľmi pozorne si preštudujte tento príklad.

Vo výraze pod limitným znakom sa snažíme dosadiť nekonečne veľké číslo:

Výsledkom je neistota. Ale druhý pozoruhodný limit platí pre neurčitosť formy. Čo robiť? Musíte previesť základ stupňa. Hádame sa takto: v menovateli máme , čo znamená, že sa musíme zorganizovať aj v čitateli.

dôkaz:

Dokážme najprv vetu pre prípad postupnosti

Podľa Newtonovho binomického vzorca:

Za predpokladu, že dostaneme

Z tejto rovnosti (1) vyplýva, že ako n rastie, zvyšuje sa počet kladných členov na pravej strane. Navyše, ako n rastie, počet klesá, takže aj množstvá zvýšiť. Preto poradie rastúce, pričom (2)* Ukážme, že je ohraničené. Každú zátvorku na pravej strane rovnosti nahradíme jednou, pravá strana sa zväčší, dostaneme nerovnosť

Výslednú nerovnosť posilníme, 3,4,5, ..., stojace v menovateľoch zlomkov, nahradíme číslom 2: Súčet v zátvorkách nájdeme pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej postupnosti: Preto (3)*

Postupnosť je teda ohraničená zhora, pričom nerovnice (2) a (3) platia: Preto, na základe Weierstrassovej vety (kritérium pre konvergenciu postupnosti), postupnosť rastie monotónne a je ohraničený, čo znamená, že má limitu, označenú písmenom e. Tie.

S vedomím, že druhý pozoruhodný limit platí pre prirodzené hodnoty x, dokážeme druhý pozoruhodný limit pre skutočné x, to znamená, že dokážeme, že . Zvážte dva prípady:

1. Nech je každá hodnota x medzi dvoma kladnými celými číslami: , kde je celá časť x. => =>

Ak , tak Preto podľa limitu Máme

Na základe (na hranici intermediárnej funkcie) existencie limitov

2. Nechajte . Urobme substitúciu − x = t

Z týchto dvoch prípadov vyplýva, že pre skutočné x.

Dôsledky:

9 .) Porovnanie infinitezimálov. Veta o nahradení infinitezimál ekvivalentnými v limite a teoréma o hlavnej časti infinitezimál.

Nech funkcie a( X) a b( X) – b.m. pri X ® X 0 .

DEFINÍCIE.

1) a( X) volal nekonečne malý vyšší rád ako b (X) ak

Napíšte: a( X) = o(b( X)) .

2) a( X) a b( X)volal infinitezimály rovnakého rádu, ak

kde Cнℝ a C¹ 0 .

Napíšte: a( X) = O(b( X)) .

3) a( X) a b( X) volal ekvivalent , ak

Napíšte: a( X) ~ b( X).

4) a( X) sa nazýva infinitezimálny poriadok k vzhľadom na
veľmi nekonečne malé b( X), ak je nekonečne malý a( X)a(b( X)) k mať rovnaké poradie, t.j. ak

kde Cнℝ a C¹ 0 .

TEOREM 6 (o nahradení infinitezimálov ekvivalentnými).

Nechaj a( X), b( X), 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. pri x ® X 0 . Ak a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

potom

Dôkaz: Nechaj ( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), potom

TEOREM 7 (o hlavnej časti nekonečne malého).

Nechaj a( X)a b( X)– b.m. pri x ® X 0 , a b( X)– b.m. vyššieho rádu ako a( X).

= , a keďže b( X) – vyššieho rádu ako a( X), potom t.j. od je jasné, že a( X) + b( X) ~ a( X)

10) Spojitosť funkcie v bode (v reči epsilon-delta limity geometrická) Jednostranná spojitosť. Spojitosť na intervale, na segmente. Vlastnosti spojitých funkcií.

1. Základné definície

Nechaj f(X) je definovaný v niektorom okolí bodu X 0 .

DEFINÍCIA 1. funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 ak platí rovnosť

Poznámky.

1) Podľa vety 5 §3 možno rovnosť (1) písať ako

Podmienka (2) - definícia spojitosti funkcie v bode v jazyku jednostranných limitov.

2) Rovnosť (1) možno napísať aj takto:

Hovorí sa: „ak je funkcia spojitá v bode X 0 , potom je možné zameniť znamienko limity a funkciu.

DEFINÍCIA 2 (v jazyku e-d).

funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 ak"e>0 $d>0." taký, čo

ak xОU( X 0 , d) (to znamená | X – X 0 | < d),

potom f(X)ОU( f(X 0), e) (t. j. | f(X) – f(X 0) | < e).

Nechaj X, X 0 Î D(f) (X 0 - pevné, X- svojvoľný)

Označte: D X= x-x 0 – prírastok argumentov

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – prírastok funkcie v bode x 0

DEFINÍCIA 3 (geometrická).

funkcia f(X) na volal súvislý v bode X 0 ak v tomto bode nekonečne malý prírastok argumentu zodpovedá nekonečne malému prírastku funkcie, t.j.

Nechajte funkciu f(X) je definovaný na intervale [ X 0 ; X 0 + d) (na intervale ( X 0 - d; X 0 ]).

DEFINÍCIA. funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 napravo (vľavo ), ak platí rovnosť

To je zrejmé f(X) je v bode súvislý X 0 Û f(X) je v bode súvislý X 0 vpravo a vľavo.

DEFINÍCIA. funkcia f(X) volal priebežne za interval e ( a; b) ak je spojitý v každom bode tohto intervalu.

funkcia f(X) sa nazýva spojitý na segmente [a; b] ak je na intervale spojitá (a; b) a má jednostrannú kontinuitu v hraničných bodoch(t. j. kontinuálne v bode a správne, bod b- naľavo).

11) Body zlomu, ich klasifikácia

DEFINÍCIA. Ak funkcia f(X) je definovaná v nejakom okolí bodu x 0 , ale v tomto bode nie je nepretržitý f(X) sa nazýva nespojitý v bode x 0 , ale pointa X 0 nazývaný bod zlomu funkcie f(X) .

Poznámky.

1) f(X) možno definovať v neúplnom okolí bodu X 0 .

Potom zvážte zodpovedajúcu jednostrannú spojitosť funkcie.

2) Z definície z, bod X 0 je bod zlomu funkcie f(X) v dvoch prípadoch:

a) U( X 0, d)n D(f) , ale pre f(X) nie je splnená rovnosť

b) U * ( X 0, d)n D(f) .

Pre elementárne funkcie je možný iba prípad b).

Nechaj X 0 - bod zlomu funkcie f(X) .

DEFINÍCIA. bod x 0 volal bod zlomu ja milý ak funkcia f(X)má v tomto bode vľavo a vpravo konečné limity.

Ak sú navyše tieto limity rovnaké, potom bod x 0 volal bod zlomu , inak - skokový bod .

DEFINÍCIA. bod x 0 volal bod zlomu II milý ak je aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie f(X)v tomto bode sa rovnᥠalebo neexistuje.

12) Vlastnosti funkcií spojitých na segmente (Weierstrassova (bez dôkazu) a Cauchyho veta

Weierstrassova veta

Nech je funkcia f(x) na segmente spojitá

1)f(x) je obmedzené na

2) f (x) nadobúda v intervale svoje najmenšie a najväčšie hodnoty

Definícia: Hodnota funkcie m=f sa nazýva najmenšia, ak m≤f(x) pre ľubovoľné x ∈ D(f).

Hodnota funkcie m=f sa nazýva najväčšia, ak m≥f(x) pre ľubovoľné x ∈ D(f).

Funkcia môže nadobudnúť najmenšiu \ najväčšiu hodnotu v niekoľkých bodoch segmentu.

f(x3)=f(x4)=max

Cauchyho veta.

Nech je funkcia f(x) spojitá na úsečke a x je číslo uzavreté medzi f(a) a f(b), potom existuje aspoň jeden bod x 0 € taký, že f(x 0)= g

Vzorec pre druhú pozoruhodnú limitu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Iná forma zápisu vyzerá takto: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Keď hovoríme o druhej pozoruhodnej limite, musíme sa vysporiadať s neurčitosťou tvaru 1 ∞ , t.j. jednotka v nekonečnej miere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zvážte problémy, v ktorých potrebujeme schopnosť vypočítať druhú pozoruhodnú hranicu.

Príklad 1

Nájdite limit lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Riešenie

Nahraďte požadovaný vzorec a vykonajte výpočty.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

V našej odpovedi sme dostali jednotku k sile nekonečna. Na určenie spôsobu riešenia používame tabuľku neistôt. Zvolíme druhú pozoruhodnú hranicu a vykonáme zmenu premenných.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Ak x → ∞ potom t → - ∞ .

Pozrime sa, čo sme dostali po výmene:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = limit t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

odpoveď: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Príklad 2

Vypočítajte limit lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Riešenie

Nahraďte nekonečno a získajte nasledovné.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

V odpovedi sme opäť dostali to isté ako v predchádzajúcej úlohe, preto môžeme opäť použiť druhú úžasnú hranicu. Ďalej musíme vybrať časť celého čísla na základni mocninovej funkcie:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Potom má limit nasledujúcu formu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Nahrádzame premenné. Povedzme, že t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ak x → ∞ , potom t → ∞ .

Potom si zapíšeme, čo sme dostali v pôvodnom limite:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Na vykonanie tejto transformácie sme použili základné vlastnosti limity a mocniny.

odpoveď: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Príklad 3

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Riešenie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Potom musíme vykonať transformáciu funkcie, aby sme použili druhú úžasnú limitu. Dostali sme nasledovné:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Keďže teraz máme v čitateli a menovateli zlomku rovnaké exponenty (rovnajúce sa šiestim), limita zlomku v nekonečne sa bude rovnať pomeru týchto koeficientov pri vyšších mocninách.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Nahradením t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dostaneme druhú pozoruhodnú hranicu. Znamená čo:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 3 = e - 3

odpoveď: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.

závery

Neistota 1 ∞ , t.j. jednotka do nekonečnej miery, je mocninná neurčitosť, preto ju možno odhaliť pomocou pravidiel pre hľadanie limitov exponenciálnych mocninných funkcií.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter