Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Vzájomné usporiadanie liniek

Nech je daná nejaká priamka daná lineárnou rovnicou a bod daný jej súradnicami (x0, y0), ktorý neleží na tejto priamke. Je potrebné nájsť bod, ktorý by bol symetrický k danému bodu vzhľadom na danú priamku, to znamená, že by sa s ňou zhodoval, ak je rovina mentálne ohnutá na polovicu pozdĺž tejto priamky.

Inštrukcia

1. Je jasné, že oba body – daný aj želaný – musia ležať na tej istej priamke a táto priamka musí byť na danú priamku kolmá. Prvou časťou úlohy je teda nájsť rovnicu priamky, ktorá by bola kolmá na nejakú danú priamku a zároveň prechádzala daným bodom.

2. Priamka môže byť definovaná dvoma spôsobmi. Kanonická rovnica priamky vyzerá takto: Ax + By + C = 0, kde A, B a C sú konštanty. Rovnú čiaru možno určiť aj pomocou lineárnej funkcie: y \u003d kx + b, kde k je uhlový exponent, b je posunutie. Tieto dve metódy sú vzájomne zameniteľné a je dovolené sa pohybovať od každej k druhej. Ak Ax + By + C = 0, potom y = – (Ax + C)/B. Inými slovami, v lineárnej funkcii y = kx + b, uhlový exponent k = -A/B a posun b = -C/B. Pre danú úlohu je pohodlnejšie uvažovať na základe kanonickej rovnice priamky.

3. Ak sú dve priamky na seba kolmé a rovnica prvej priamky je Ax + By + C = 0, potom rovnica 2. riadku by mala byť Bx - Ay + D = 0, kde D je konštanta. Aby sme našli určitú hodnotu D, je potrebné dodatočne vedieť, ktorým bodom kolmica prechádza. V tomto prípade je to bod (x0, y0), teda D musí spĺňať rovnosť: Bx0 – Ay0 + D = 0, teda D = Ay0 – Bx0.

4. Neskôr, po nájdení kolmice, je potrebné vypočítať súradnice bodu jej priesečníka s danou. Na to je potrebné vyriešiť sústavu lineárnych rovníc: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Jeho riešením získame čísla (x1, y1), ktoré slúžia ako súradnice priesečník čiar.

5. Požadovaný bod musí ležať na zistenej priamke a jeho vzdialenosť od priesečníka sa musí rovnať vzdialenosti od priesečníka po bod (x0, y0). Súradnice bodu symetrického k bodu (x0, y0) teda možno nájsť riešením sústavy rovníc: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ale poďme si to uľahčiť. Ak sú body (x0, y0) a (x, y) v rovnakej vzdialenosti od bodu (x1, y1) a všetky tri body ležia na rovnakej priamke, potom: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0. V dôsledku toho x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Nahradením týchto hodnôt do druhej rovnice prvého systému a zjednodušením výrazov je ľahké uistiť sa, že jeho pravá strana bude rovnaká ako ľavá. Okrem toho nemá zmysel uvažovať o prvej rovnici bližšie, pretože je známe, že body (x0, y0) a (x1, y1) ju spĺňajú a bod (x, y) určite leží na tej istej priamke. .

Formulácia problému. Nájdite súradnice bodu symetrického k bodu vzhľadom na rovinu.

Plán riešenia.

1. Nájdeme rovnicu priamky, ktorá je kolmá na danú rovinu a prechádza bodom . Keďže priamka je kolmá na danú rovinu, potom za jej smerový vektor možno brať vektor normály roviny, t.j.

.

Preto bude rovnica priamky

.

2. Nájdite bod križovatka čiar a rovinách (pozri Úlohu 13).

3. Bod je stred segmentu, kde je bod je bod symetrický k bodu , preto

Úloha 14. Nájdite bod symetrický k bodu vzhľadom na rovinu.

Rovnica priamky, ktorá prechádza bodom kolmým na danú rovinu, bude:

.

Nájdite priesečník priamky a roviny.

Kde - priesečník priamky a roviny je teda stredom úsečky

Tie. .

Súradnice homogénnej roviny. Afinné transformácie v rovine.

Nechaj M X a pri

M(X, prija (X, pri, 1) v priestore (obr. 8).

ja (X, pri

ja (X, pri hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentujte

h(napríklad, h

Skutočne, vzhľadom na h

Komentujte

Príklad 1

b) na rohu (obr. 9).

1. krok.

2. krok. Uhlová rotácia 

matice zodpovedajúcej transformácie.

3. krok. Preneste do vektora A(a, b)

matice zodpovedajúcej transformácie.

Príklad 3

 pozdĺž osi x a

1. krok.

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok.

3. krok.

konečne dostať

Komentujte

[R],[D],[M],[T],

Nechaj M- ľubovoľný bod roviny so súradnicami X a pri vypočítané vzhľadom na daný priamočiary súradnicový systém. Homogénne súradnice tohto bodu sú ľubovoľné trojice súčasne nenulových čísel x 1, x 2, x 3, spojených s danými číslami x a y nasledujúcimi vzťahmi:

Pri riešení problémov počítačovej grafiky sa homogénne súradnice zvyčajne zavádzajú takto: ľubovoľný bod M(X, pri) rovine je priradený bod ja (X, pri, 1) v priestore (obr. 8).

Všimnite si, že ľubovoľný bod na priamke spájajúcej počiatok, bod 0(0, 0, 0), s bodom ja (X, pri, 1) môže byť dané trojicou čísel tvaru (hx, hy, h).

Vektor so súradnicami hx, hy je smerový vektor priamky spájajúcej body 0 (0, 0, 0) a ja (X, pri, jeden). Táto priamka pretína rovinu z = 1 v bode (x, y, 1), ktorý jednoznačne určuje bod (x, y) roviny súradníc. hu.

Teda medzi ľubovoľným bodom so súradnicami (x, y) a množinou trojíc čísel tvaru

(hx, hy, h), h  0,

vytvorí sa korešpondencia (jedna k jednej), ktorá nám umožňuje považovať čísla hx, hy, h za nové súradnice tohto bodu.

Komentujte

Homogénne súradnice široko používané v projektívnej geometrii umožňujú efektívne opísať takzvané nevlastné prvky (v podstate také, v ktorých sa projektívna rovina líši od nám známej euklidovskej roviny). Viac podrobností o nových funkciách poskytovaných zavedenými homogénnymi súradnicami je diskutovaných v štvrtej časti tejto kapitoly.

V projektívnej geometrii sa pre homogénne súradnice akceptuje tento zápis:

x: y: 1 alebo všeobecnejšie x 1: x 2: x 3

(pripomeňme, že tu je absolútne nevyhnutné, aby čísla x 1, x 2, x 3 súčasne nezmizli).

Použitie homogénnych súradníc sa ukazuje ako výhodné aj pri riešení najjednoduchších problémov.

Zvážte napríklad problémy súvisiace s škálovaním. Ak zobrazovacie zariadenie pracuje iba s celými číslami (alebo ak je potrebné pracovať iba s celými číslami), potom pre ľubovoľnú hodnotu h(napríklad, h= 1) bod s homogénnymi súradnicami

nemožno si predstaviť. Pri rozumnej voľbe h je však možné zabezpečiť, aby súradnice tohto bodu boli celé čísla. Najmä pre h = 10 pre uvažovaný príklad máme

Uvažujme o inom prípade. Aby výsledky transformácie neviedli k aritmetickému pretečeniu, pre bod so súradnicami (80000 40000 1000) môžete vziať napríklad h=0,001. V dôsledku toho dostaneme (80 40 1).

Uvedené príklady ukazujú užitočnosť použitia homogénnych súradníc vo výpočtoch. Hlavným účelom zavedenia homogénnych súradníc do počítačovej grafiky je však ich nepochybné pohodlie pri aplikácii na geometrické transformácie.

Pomocou trojíc homogénnych súradníc a matíc tretieho rádu možno opísať akúkoľvek afinnú transformáciu roviny.

Skutočne, vzhľadom na h= 1, porovnajte dva záznamy: označené * a nasledujúce, matica:

Je ľahké vidieť, že po vynásobení výrazov na pravej strane posledného vzťahu dostaneme oba vzorce (*) a správnu číselnú rovnosť 1=1.

Komentujte

Niekedy sa v literatúre používa iný zápis - zápis podľa stĺpcov:

Tento zápis je ekvivalentný vyššie uvedenému riadkovému zápisu (a získava sa z neho transpozíciou).

Prvky ľubovoľnej matice afinnej transformácie nemajú explicitný geometrický význam. Preto, aby bolo možné implementovať konkrétne mapovanie, to znamená nájsť prvky zodpovedajúcej matice podľa daného geometrického popisu, sú potrebné špeciálne techniky. Zvyčajne je konštrukcia tejto matice v súlade so zložitosťou uvažovaného problému a konkrétnymi prípadmi opísanými vyššie rozdelená do niekoľkých etáp.

V každej fáze sa hľadá matica, ktorá zodpovedá jednému alebo druhému z vyššie uvedených prípadov A, B, C alebo D, ktoré majú dobre definované geometrické vlastnosti.

Vypíšme zodpovedajúce matice tretieho rádu.

A. Rotačná matica, (rotácia)

B. Dilatačná matrica

B. Reflexná matica

D. Transfer Matrix (preklad)

Zvážte príklady afinných transformácií roviny.

Príklad 1

Vytvorte rotačnú maticu okolo bodu A (a,b) na rohu (obr. 9).

1. krok. Preneste do vektora - A (-a, -b), aby ste zarovnali stred otáčania s počiatkom;

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok. Uhlová rotácia 

matice zodpovedajúcej transformácie.

3. krok. Preneste do vektora A(a, b) vrátiť stred otáčania do predchádzajúcej polohy;

matice zodpovedajúcej transformácie.

Matice vynásobíme v rovnakom poradí, v akom sú napísané:

Výsledkom je, že požadovaná transformácia (v maticovom zápise) bude vyzerať takto:

Prvky výslednej matice (najmä v poslednom riadku) nie sú ľahko zapamätateľné. Zároveň je možné každú z troch vynásobených matíc ľahko skonštruovať z geometrického popisu príslušného zobrazenia.

Príklad 3

Zostavte Stretch Matrix s Stretch Factors pozdĺž osi x a pozdĺž osi y a so stredom v bode A(a, b).

1. krok. Preneste do vektora -А(-а, -b), aby ste priradili stred naťahovania k začiatku;

matice zodpovedajúcej transformácie.

2. krok. Natiahnutie pozdĺž súradnicových osí s koeficientmi  a , v tomto poradí; transformačná matica má tvar

3. krok. Preneste sa do vektora A(a, b), aby ste vrátili stred naťahovania do predchádzajúcej polohy; matica zodpovedajúcej transformácie je

Vynásobte matice v rovnakom poradí

konečne dostať

Komentujte

Argumentovať podobným spôsobom, teda rozbiť navrhovanú transformáciu na etapy podporené maticami[R],[D],[M],[T], z jej geometrického popisu je možné zostaviť maticu akejkoľvek afinnej transformácie.

Posun sa realizuje sčítaním a škálovanie a otáčanie násobením.

Transformácia mierky (dilatácia) vzhľadom na pôvod má tvar:

alebo v maticovej forme:

kde DX,Dr sú škálovacie faktory pozdĺž osí a

- škálovacia matica.

Pre D > 1 nastane expanzia, pre 0<=D<1- сжатие

Otočiť transformáciu vzhľadom na pôvod má tvar:

alebo v maticovej forme:

kde φ je uhol natočenia a

- rotačná matica.

komentár: Stĺpce a riadky rotačnej matice sú vzájomne ortogonálne jednotkové vektory. V skutočnosti sú druhé mocniny dĺžok riadkových vektorov rovné jednej:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 a (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalárny súčin riadkových vektorov je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Keďže skalárny súčin vektorov A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kde | A| - vektorová dĺžka A, |B| - vektorová dĺžka B, a ψ je najmenší kladný uhol medzi nimi, potom z rovnosti 0 skalárneho súčinu dvoch radových vektorov dĺžky 1 vyplýva, že uhol medzi nimi je 90 ° .

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že som si dnes kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že a z druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať verbálne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa zamyslime nad problémom, ktorý je vám dobre známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Niektoré čiary sa navyše nedajú tak ľahko zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Je vhodné rozdeliť problém do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie a Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Priamka v priestore môže byť vždy definovaná ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín. Ak je rovnica jednej roviny rovnicou druhej roviny, potom rovnica priamky je daná ako

tu nekolineárne
. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice priamka v priestore.

Kanonické rovnice priamky

Akýkoľvek nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežný s ňou sa nazýva smerovací vektor tejto priamky.

Ak je bod známy
priamka a jej smerový vektor
, potom kanonické rovnice priamky majú tvar:

. (9)

Parametrické rovnice priamky

Nech sú dané kanonické rovnice priamky

.

Odtiaľ dostaneme parametrické rovnice priamky:

(10)

Tieto rovnice sú užitočné pri hľadaní priesečníka priamky a roviny.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi
a
vyzerá ako:

.

Uhol medzi čiarami

Uhol medzi čiarami

a

sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi. Preto sa dá vypočítať podľa vzorca (4):

Stav rovnobežných čiar:

.

Podmienka kolmosti rovín:

Vzdialenosť bodu od priamky

P daný bod
a priamy

.

Z kanonických rovníc priamky je bod známy
, patriace k priamke a jej smerový vektor
. Potom vzdialenosť bodu
od priamky sa rovná výške rovnobežníka postaveného na vektoroch a
. v dôsledku toho

.

Stav križovatky čiar

Dve nerovnobežné línie

,

pretínajú vtedy a len vtedy

.

Vzájomné usporiadanie priamky a roviny.

Nechajte rovnú čiaru
a plochý. Rohový medzi nimi možno nájsť podľa vzorca

.

Problém 73. Napíšte kanonické rovnice priamky

(11)

Riešenie. Na zapísanie kanonických rovníc priamky (9) je potrebné poznať ľubovoľný bod patriaci k priamke a smerovací vektor priamky.

Poďme nájsť vektor rovnobežne s danou čiarou. Keďže musí byť kolmá na normálové vektory týchto rovín, t.j.

,
, potom

.

Zo všeobecných rovníc priamky to máme
,
. Potom

.

Od veci
ktorýkoľvek bod priamky, potom jej súradnice musia spĺňať rovnice priamky a jedna z nich môže byť špecifikovaná, napr.
, nájdeme ďalšie dve súradnice zo systému (11):

Odtiaľ,
.

Kanonické rovnice požadovaného riadku majú teda tvar:

alebo
.

Problém 74.

a
.

Riešenie. Z kanonických rovníc prvého riadku sú známe súradnice bodu
patriace k priamke a súradnice smerového vektora
. Z kanonických rovníc druhého riadku sú známe aj súradnice bodu
a súradnice smerového vektora
.

Vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami sa rovná vzdialenosti bodu
z druhého riadku. Táto vzdialenosť sa vypočíta podľa vzorca

.

Nájdite súradnice vektora
.

Vypočítajte vektorový súčin
:

.

Problém 75. Nájdite bod symetrický bod
relatívne rovné

.

Riešenie. Napíšeme rovnicu roviny kolmej na danú priamku a prechádzajúcej bodom . Ako jeho normálny vektor môžeme brať smerovací vektor ako priamku. Potom
. v dôsledku toho

Nájdime pointu
priesečník danej priamky a roviny P. Na to napíšeme parametrické rovnice priamky, pomocou rovníc (10) získame

v dôsledku toho
.

Nechaj
bod symetrický k bodu
o tejto linke. Potom pointa
stredný bod
. Na nájdenie súradníc bodu pre súradnice stredu segmentu používame vzorce:

,
,
.

takže,
.

Problém 76. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu priamkou
a

a) cez bodku
;

b) kolmo na rovinu.

Riešenie. Zapíšme si všeobecné rovnice tejto priamky. Ak to chcete urobiť, zvážte dve rovnosti:

To znamená, že požadovaná rovina patrí do ceruzky rovín s generátormi a jej rovnicu je možné zapísať v tvare (8):

a) nájsť
a z podmienky, že rovina prechádza bodom
, preto jej súradnice musia spĺňať rovnicu roviny. Dosaďte súradnice bodu
do rovnice zväzku rovín:

Nájdená hodnota
dosadíme do rovnice (12). dostaneme rovnicu požadovanej roviny:

b) nájsť
a z podmienky, že požadovaná rovina je kolmá na rovinu. Normálny vektor danej roviny
, normálový vektor požadovanej roviny (pozri rovnicu pre zväzok rovín (12).

Dva vektory sú kolmé práve vtedy, ak je ich bodový súčin nula. v dôsledku toho

Nahraďte zistenú hodnotu
do rovnice zväzku rovín (12). Získame rovnicu požadovanej roviny:

Úlohy na samostatné riešenie

Problém 77. Priveďte do kanonického tvaru rovnice čiar:

1)
2)

Problém 78. Napíšte parametrické rovnice priamky
, ak:

1)
,
; 2)
,
.

Problém 79. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom
kolmo na čiaru

Problém 80. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodom
kolmo na rovinu.

Problém 81. Nájdite uhol medzi čiarami:

1)
a
;

2)
a

Problém 82. Dokážte rovnobežné čiary:

a
.

Problém 83. Dokážte kolmosť čiar:

a

Problém 84. Vypočítajte vzdialenosť bodov
z priameho:

1)
; 2)
.

Problém 85. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami:

a
.

Problém 86. V rovných rovniciach
definovať parameter aby sa táto priamka pretla s priamkou a nájdite bod ich priesečníka.

Problém 87. Ukážte, že je to rovné
rovnobežne s rovinou
a priamku
leží v tejto rovine.

Problém 88. Nájdite bod symetrický bod vzhľadom na rovinu
, ak:

1)
, ;

2)
, ;.

Problém 89. Napíšte rovnicu pre kolmicu spadnutú z bodu
priamo
.

Problém 90. Nájdite bod symetrický bod
relatívne rovné
.

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie a Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Nebudem sa skrývať, sám vyberám rovné čiary v poradí, v akom je uhol kladný. Je to krajšie, ale nič viac.

Ak chcete skontrolovať riešenie, môžete si vziať uhlomer a zmerať uhol.

Metóda dva

Ak sú čiary dané rovnicami so sklonom a nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno nájsť pomocou vzorca:

Podmienku kolmosti priamok vyjadruje rovnosť, z ktorej mimochodom vyplýva veľmi užitočný vzťah medzi uhlovými koeficientmi kolmíc: , ktorý sa používa v niektorých úlohách.

Algoritmus riešenia je podobný predchádzajúcemu odseku. Najprv však prepíšme naše riadky do požadovaného tvaru:

Takže koeficienty sklonu:

1) Skontrolujte, či sú čiary kolmé:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Používame vzorec:

Odpoveď:

Druhý spôsob je vhodné použiť, keď sú rovnice priamok na začiatku nastavené so sklonom. Je potrebné poznamenať, že ak je aspoň jedna priamka rovnobežná so zvislou osou, potom vzorec nie je vôbec použiteľný, pretože pre takéto priamky nie je definovaný sklon (pozri článok Rovnica priamky na rovine).

Existuje aj tretie riešenie. Cieľom je vypočítať uhol medzi smerovými vektormi čiar pomocou vzorca diskutovaného v lekcii Bodový súčin vektorov:

Tu nehovoríme o orientovanom uhle, ale „len o uhle“, to znamená, že výsledok bude určite pozitívny. Háčik je v tom, že môžete získať tupý uhol (nie ten, ktorý potrebujete). V tomto prípade budete musieť urobiť rezerváciu, že uhol medzi čiarami je menší uhol, a odpočítať výsledný kosínus oblúka od radiánov „pí“ (180 stupňov).

Tí, ktorí chcú, môžu problém vyriešiť tretím spôsobom. Ale stále odporúčam držať sa prvého prístupu orientovaného na uhol, pretože je široko používaný.

Príklad 11

Nájdite uhol medzi čiarami.

Toto je príklad „urob si sám“. Skúste to vyriešiť dvoma spôsobmi.

Tá rozprávka akosi po ceste vyhasla .... Pretože neexistuje nesmrteľný Kašchei. Som tu ja, a nie zvlášť naparený. Aby som bol úprimný, myslel som si, že článok bude oveľa dlhší. Ale napriek tomu si vezmem nedávno získaný klobúk s okuliarmi a pôjdem si zaplávať do septembrovej jazernej vody. Dokonale odstraňuje únavu a negatívnu energiu.

Do skorého videnia!

A pamätajte, Baba Yaga nebola zrušená =)

Riešenia a odpovede:

Príklad 3:Riešenie : Nájdite smerový vektor priamky :

Pomocou bodu zostavíme rovnicu požadovanej priamky a smerový vektor . Keďže jedna zo súradníc smerového vektora je nula, rovnica prepíšte do tvaru:

Odpoveď :

Príklad 5:Riešenie :
1) Rovnica s priamkou urobte dva body :

2) Rovnica s priamkou urobte dva body :

3) Zodpovedajúce koeficienty pre premenné neprimerané: , takže čiary sa pretínajú.
4) Nájdite bod :


Poznámka : tu sa prvá rovnica systému vynásobí 5, potom sa 2. odčíta po členoch od 1. rovnice.
Odpoveď :