Cramerova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc. Cramerovo pravidlo

2. Riešenie sústav rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
3. Gaussova metóda riešenia sústav rovníc.

Cramerova metóda.

Cramerova metóda sa používa na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc ( SLAU).

Vzorce na príklade sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými.
Vzhľadom na to: Vyriešte systém Cramerovou metódou

Čo sa týka premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému Výpočet determinantov. :

Aplikujme Cramerove vzorce a nájdime hodnoty premenných:
A .
Príklad 1:
Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:


Nahraďme prvý stĺpec v tomto determinante stĺpcom koeficientov z pravej strany systému a nájdime jeho hodnotu:

Urobme podobnú akciu a nahradíme druhý stĺpec v prvom determinante:

Použiteľné Cramerove vzorce a nájdite hodnoty premenných:
A .
odpoveď:
komentár: Táto metóda môže byť použitá na riešenie systémov vyšších dimenzií.

komentár: Ak sa ukáže, že a nie je možné deliť nulou, potom hovoria, že systém nemá jedinečné riešenie. V tomto prípade má systém buď nekonečne veľa riešení, alebo žiadne riešenia.

Príklad 2(nekonečné množstvo riešení):

Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Riešenie systémov substitučnou metódou.

Prvá z rovníc systému je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných (pretože 4 sa vždy rovná 4). Zostáva teda iba jedna rovnica. Toto je vzťahová rovnica medzi premennými.
Dostali sme, že riešením systému je ľubovoľná dvojica hodnôt premenných súvisiacich rovnosťou.
Všeobecné riešenie je napísané takto:
Jednotlivé riešenia možno určiť výberom ľubovoľnej hodnoty y a výpočtom x z tejto vzťahovej rovnice.

atď.
Takýchto riešení je nekonečne veľa.
odpoveď: spoločné rozhodnutie
Súkromné ​​riešenia:

Príklad 3(žiadne riešenia, systém je nekonzistentný):

Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Nemôžete použiť Cramerove vzorce. Vyriešme tento systém substitučnou metódou

Druhá rovnica systému je rovnosť, ktorá neplatí pre žiadne hodnoty premenných (samozrejme, pretože -15 sa nerovná 2). Ak jedna z rovníc systému neplatí pre žiadne hodnoty premenných, potom celý systém nemá riešenia.
odpoveď:žiadne riešenia

Cramerova metóda sa používa na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE), v ktorých sa počet neznámych premenných rovná počtu rovníc a determinant hlavnej matice je odlišný od nuly. V tomto článku budeme analyzovať, ako sa pomocou Cramerovej metódy nachádzajú neznáme premenné a získame vzorce. Potom prejdeme na príklady a podrobne opíšeme riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Navigácia na stránke.

Cramerova metóda – odvodzovanie vzorcov.

Potrebujeme vyriešiť sústavu lineárnych rovníc tvaru

Kde x 1 , x 2 , …, x n sú neznáme premenné, a i j , i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n- číselné koeficienty, b 1 , b 2 , ..., b n - voľné členy. Riešením SLAE je taká množina hodnôt x 1 , x 2 , …, x n, pre ktorú sa všetky rovnice systému menia na identity.

V maticovom tvare možno tento systém zapísať ako A ⋅ X = B , kde - hlavná matica systému, jej prvkami sú koeficienty neznámych premenných, - matica je stĺpec voľných výrazov a - matica je stĺpec neznámych premenných. Po nájdení neznámych premenných x 1 , x 2 , …, x n sa matica stáva riešením sústavy rovníc a rovnosť A ⋅ X = B sa mení na identitu .

Budeme predpokladať, že matica A je nedegenerovaná, to znamená, že jej determinant je nenulový. V tomto prípade má systém lineárnych algebraických rovníc jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou. (Metódy riešenia systémov pre sú diskutované v časti o riešení systémov lineárnych algebraických rovníc).

Cramerova metóda je založená na dvoch vlastnostiach maticového determinantu:

Začnime teda hľadať neznámu premennú x 1 . Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti prvej rovnice systému A 1 1, obe časti druhej rovnice - A 2 1 atď., Obidve časti n-tej rovnice - A n 1 ( to znamená, že rovnice systému vynásobíme príslušnými algebraickými doplnkami prvého stĺpca matice A ):

Pridáme všetky ľavé časti rovnice systému, zoskupením členov s neznámymi premennými x 1, x 2, ..., x n a tento súčet prirovnáme k súčtu všetkých pravých častí rovníc:

Ak sa obrátime na predtým vyjadrené vlastnosti determinantu, potom máme

a predchádzajúca rovnosť má formu

kde

Podobne zistíme x 2 . Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti rovníc systému algebraickými doplnkami druhého stĺpca matice A:

Sčítame všetky rovnice sústavy, zoskupíme členy s neznámymi premennými x 1, x 2, ..., x n a aplikujeme vlastnosti determinantu:

Kde
.

Zvyšné neznáme premenné sa nachádzajú podobne.

Ak určíme

Potom dostaneme vzorce na hľadanie neznámych premenných pomocou Cramerovej metódy .

Komentujte.

Ak je systém lineárnych algebraických rovníc homogénny, tj. , potom má len triviálne riešenie (pre ). Vskutku, pre nula voľných termínov, všetky determinanty budú null, pretože budú obsahovať stĺpec null prvkov. Preto tie vzorce dá .

Algoritmus riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Poďme si zapísať algoritmus na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklady riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Poďme sa pozrieť na niekoľko príkladov.

Príklad.

Nájdite riešenie nehomogénneho systému lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Jeho determinant vypočítame podľa vzorca :

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, SLAE má jedinečné riešenie a možno ho nájsť Cramerovou metódou. Zapisujeme determinanty a . Prvý stĺpec hlavnej matice systému nahradíme stĺpcom voľných členov a dostaneme determinant . Podobne nahradíme druhý stĺpec hlavnej matice stĺpcom voľných členov a dostaneme .

Vypočítame tieto determinanty:

Pomocou vzorcov nájdeme neznáme premenné x 1 a x 2 :

Urobme kontrolu. Získané hodnoty x 1 a x 2 dosadíme do pôvodného systému rovníc:

Obe rovnice systému sa menia na identity, preto je riešenie nájdené správne.

odpoveď:

.

Niektoré prvky hlavnej matice SLAE sa môžu rovnať nule. V tomto prípade nebudú v rovniciach systému žiadne zodpovedajúce neznáme premenné. Vezmime si príklad.

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou .

Riešenie.

Prepíšme systém do formulára aby ste videli hlavnú maticu systému . Nájdite jeho determinant podľa vzorca

Máme

Determinant hlavnej matice je odlišný od nuly, preto má systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie. Poďme to nájsť Cramerovou metódou. Vypočítajte determinanty :

teda

odpoveď:

Označenia neznámych premenných v rovniciach systému sa môžu líšiť od x 1 , x 2 , …, x n . Toto nemá vplyv na proces rozhodovania. Ale poradie neznámych premenných v rovniciach systému je veľmi dôležité pri zostavovaní hlavnej matice a nevyhnutných determinantov Cramerovej metódy. Vysvetlime si tento bod na príklade.

Príklad.

Pomocou Cramerovej metódy nájdite riešenie systému troch lineárnych algebraických rovníc o troch neznámych .

Riešenie.

V tomto príklade majú neznáme premenné iné označenie (x , y a z namiesto x 1 , x 2 a x 3 ). To neovplyvňuje priebeh riešenia, ale pozor na zápis premenných. NEBERTE ako hlavnú maticu systému . Najprv musíte usporiadať neznáme premenné vo všetkých rovniciach systému. Aby sme to dosiahli, prepíšeme systém rovníc ako . Teraz je jasne viditeľná hlavná matica systému . Vypočítajme jeho determinant:

Determinant hlavnej matice je odlišný od nuly, preto má systém rovníc jedinečné riešenie. Poďme to nájsť Cramerovou metódou. Zapíšme si determinanty (pozor na zápis) a vypočítajte ich:

Zostáva nájsť neznáme premenné pomocou vzorcov :

Urobme kontrolu. Aby sme to dosiahli, vynásobíme hlavnú maticu výsledným riešením (ak je to potrebné, pozri časť ):

V dôsledku toho sme dostali stĺpec voľných členov pôvodnej sústavy rovníc, takže riešenie bolo nájdené správne.

odpoveď:

x = 0, y = -2, z = 3.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou , kde a a b sú nejaké reálne čísla.

Riešenie.

odpoveď:

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy rovníc Cramerova metóda je nejaké reálne číslo.

Riešenie.

Vypočítajme determinant hlavnej matice sústavy: . výrazy majú interval, takže pre akékoľvek skutočné hodnoty. Preto má sústava rovníc jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou. Vypočítame a:

Metódy Kramer A Gaussovský jedno z najpopulárnejších riešení SLAU. Okrem toho je v niektorých prípadoch vhodné použiť špecifické metódy. Stretnutie je blízko a teraz je čas ich zopakovať alebo zvládnuť od začiatku. Dnes sa zaoberáme riešením Cramerovou metódou. Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou je totiž veľmi užitočná zručnosť.

Systémy lineárnych algebraických rovníc

Sústava lineárnych algebraických rovníc je sústava rovníc v tvare:

Nastavená hodnota X , pri ktorej sa rovnice systému menia na identity, sa nazýva riešenie systému, a A b sú skutočné koeficienty. Jednoduchý systém pozostávajúci z dvoch rovníc s dvoma neznámymi sa dá vyriešiť mentálne alebo vyjadrením jednej premennej pomocou druhej. Ale v SLAE môže byť oveľa viac ako dve premenné (x) a jednoduché školské manipulácie sú tu nevyhnutné. Čo robiť? Napríklad vyriešte SLAE Cramerovou metódou!

Nech je teda systém n rovnice s n neznámy.

Takýto systém je možné prepísať do maticovej formy

Tu A je hlavnou maticou systému, X A B , respektíve stĺpcové matice neznámych premenných a voľných členov.

Roztok SLAE Cramerovou metódou

Ak sa determinant hlavnej matice nerovná nule (matica je nesingulárna), systém možno vyriešiť Cramerovou metódou.

Podľa Cramerovej metódy sa riešenie nájde podľa vzorcov:

Tu delta je determinantom hlavnej matice a delta x n-tý - determinant získaný z determinantu hlavnej matice nahradením n-tého stĺpca stĺpcom voľných členov.

Toto je celý zmysel Cramerovej metódy. Nahradením hodnôt zistených vyššie uvedenými vzorcami X do požadovaného systému, sme presvedčení o správnosti (alebo naopak) nášho riešenia. Aby sme vám pomohli rýchlo pochopiť podstatu, uvádzame nižšie príklad podrobného riešenia SLAE Cramerovou metódou:

Aj keď sa vám to nepodarí na prvýkrát, nenechajte sa odradiť! S trochou cviku začnete vyskakovať POMALY ako orechy. Navyše teraz nie je absolútne potrebné vŕtať sa v notebooku, riešiť ťažkopádne výpočty a písať na palicu. SLAE je jednoduché riešiť Cramerovou metódou online, len dosadením koeficientov do hotového formulára. Online kalkulačku na riešenie Cramerovej metódy si môžete vyskúšať napríklad na tejto stránke.

A ak sa systém ukázal ako tvrdohlavý a nevzdáva sa, vždy sa môžete obrátiť na našich autorov o pomoc, napríklad. Ak je v systéme aspoň 100 neznámych, určite to vyriešime správne a včas!

Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc. To výrazne urýchľuje proces riešenia.

Cramerovu metódu možno použiť na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici. Ak sa determinant sústavy nerovná nule, potom možno pri riešení použiť Cramerovu metódu, ak sa rovná nule, tak nie. Okrem toho možno Cramerovu metódu použiť na riešenie systémov lineárnych rovníc, ktoré majú jedinečné riešenie.

Definícia. Determinant zložený z koeficientov neznámych sa nazýva determinant systému a označuje sa (delta).

Determinanty

sa získajú nahradením koeficientov pri zodpovedajúcich neznámych voľnými členmi:

;

.

Cramerova veta. Ak je determinant sústavy nenulový, potom sústava lineárnych rovníc má jediné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ je determinant systému a čitateľ je determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov neznámym voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.

Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Podľa Cramerova veta máme:

Takže riešenie systému (2):

online kalkulačka, Cramerova metóda riešenia.

Tri prípady pri riešení sústav lineárnych rovníc

Ako vyplýva z Cramerove vety, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie

(systém je konzistentný a jednoznačný)

Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení

(systém je konzistentný a neurčitý)

** ,

tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.

Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia

(systém je nekonzistentný)

Takže systém m lineárne rovnice s n premenné sa nazývajú nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia a kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Spoločná sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie, sa nazýva istý a viac ako jeden neistý.

Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Nechajte systém

.

Na základe Cramerovej vety

………….
,

Kde
-

systémový identifikátor. Zvyšné determinanty sa získajú nahradením stĺpca koeficientmi zodpovedajúcej premennej (neznáme) s voľnými členmi:

Príklad 2

.

Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty

Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:

Takže (1; 0; -1) je jediné riešenie systému.

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

Ak v systéme lineárnych rovníc v jednej alebo viacerých rovniciach nie sú žiadne premenné, potom v determinante sú im zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.

Príklad 3 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

.

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viacero prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme

Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:

Riešenie sústavy je teda (2; -1; 1).

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

Začiatok stránky

Pokračujeme v riešení systémov Cramerovou metódou spoločne

Ako už bolo spomenuté, ak je determinant systému rovný nule a determinanty pre neznáme nie sú rovné nule, systém je nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade.

Príklad 6 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Determinant systému je rovný nule, preto je systém lineárnych rovníc buď nekonzistentný a určitý, alebo nekonzistentný, to znamená, že nemá riešenia. Pre objasnenie vypočítame determinanty pre neznáme

Determinanty pre neznáme sa nerovnajú nule, preto je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia.

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

V úlohách o sústavách lineárnych rovníc sú aj také, kde sú okrem písmen označujúcich premenné aj iné písmená. Tieto písmená predstavujú nejaké číslo, najčastejšie skutočné číslo. V praxi takéto rovnice a sústavy rovníc vedú k problémom nájsť všeobecné vlastnosti akýchkoľvek javov a objektov. To znamená, že ste vymysleli nejaký nový materiál alebo zariadenie a na popis jeho vlastností, ktoré sú bežné bez ohľadu na veľkosť alebo počet kópií, potrebujete vyriešiť systém lineárnych rovníc, kde sú namiesto nejakých koeficientov pre premenné písmená. Príklady netreba hľadať ďaleko.

Ďalší príklad je pre podobný problém, len sa zvyšuje počet rovníc, premenných a písmen označujúcich nejaké reálne číslo.

Príklad 8 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Hľadanie determinantov pre neznáme