Extrémne, maximálne a minimálne hodnoty funkcií. Označenie: lokálny extrém

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že $f$ má miestne maximum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje okolie $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokálne maximum je tzv prísny , ak sa dá okolie $U$ zvoliť tak, že pre všetky $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že $f$ má miestne minimum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje okolie $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Miestne minimum sa považuje za prísne, ak je možné vybrať okolie $U$ tak, aby pre všetky $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.

Lokálny extrém spája koncepty lokálneho minima a lokálneho maxima.

Veta (nevyhnutná podmienka pre extrém diferencovateľnej funkcie)
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ak v bode $x_(0) \in E$ má funkcia $f$ lokálny extrém aj v tomto bode, potom $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Rovnosť k nule diferenciál je ekvivalentná skutočnosti, že všetky sú rovné nule, t.j. $$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

V jednorozmernom prípade je to . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je ľubovoľný vektor. Funkcia $\phi$ je definovaná pre dostatočne malé modulo hodnoty $t$. Navyše, vzhľadom na , je to diferencovateľné a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nech $f$ má lokálne maximum x $0$. Preto funkcia $\phi$ pri $t = 0$ má lokálne maximum a podľa Fermatovej vety $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Takže sme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, t.j. funkcia $f$ v bode $x_(0)$ sa rovná nule na ľubovoľnom vektore $h$.

Definícia
Body, v ktorých sa diferenciál rovná nule, t.j. tie, v ktorých sú všetky parciálne derivácie rovné nule, sa nazývajú stacionárne. kritických bodov funkcie $f$ sú tie body, v ktorých $f$ nie je diferencovateľné alebo sa rovná nule. Ak je bod stacionárny, potom z toho ešte nevyplýva, že funkcia má v tomto bode extrém.

Príklad 1
Nech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionárny bod, ale funkcia v tomto bode nemá extrém. Skutočne, $f \left(0,0\right) = 0$, ale je ľahké vidieť, že v akomkoľvek okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkcia nadobúda kladné aj záporné hodnoty.

Príklad 2
Funkcia $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má počiatok súradníc ako stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje extrém.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém).
Nech je funkcia $f$ dvakrát spojito diferencovateľná na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nech $x_(0) \in E$ je stacionárny bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \čiastočné x_(j)) \ľavé(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Potom

1. ak $Q_(x_(0))$ je , potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ má lokálny extrém, konkrétne minimum, ak je tvar kladne určitý a maximum, ak je tvar negatívne-určité;
2. ak je kvadratický tvar $Q_(x_(0))$ neurčitý, potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ nemá extrém.

Využime rozšírenie podľa Taylorovho vzorca (12.7 s. 292) . Ak vezmeme do úvahy, že parciálne derivácie prvého rádu v bode $x_(0)$ sú rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\vpravo) = \ frac(1)(2) \súčet_(i=1)^n \súčet_(j=1)^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \ čiastočné x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pre $h \rightarrow 0$, potom je pravá strana kladná pre akýkoľvek vektor $h$ dostatočne malej dĺžky.
Dospeli sme teda k záveru, že v nejakom okolí bodu $x_(0)$ je nerovnosť $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ splnená, ak len $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bode $x_(0)$ má funkcia prísne lokálne minimum, a tak je prvá časť našej vety dokázaná.
Predpokladajme teraz, že $Q_(x_(0))$ je neurčitý tvar. Potom sú tu vektory $h_(1)$, $h_(2)$ také, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potom dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vľavo[ ​​\lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pre dostatočne malý $t>0$ je pravá strana pozitívne. To znamená, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty $f \left(x\right)$ väčšie ako $f \left(x_(0)\right)$.
Podobne získame, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty menšie ako $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s predchádzajúcim znamená, že funkcia $f$ nemá extrém v bode $x_(0)$.

Uvažujme konkrétny prípad tejto vety pre funkciu $f \left(x,y\right)$ dvoch premenných definovaných v nejakom okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right) $ a má spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionárny bod a nech $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \left(x_( 0) , y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \vľavo(x_(0), y_(0)\vpravo ). $$ Potom predchádzajúca veta nadobúda nasledujúci tvar.

Veta
Nech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. potom:

1. ak $\Delta>0$, potom funkcia $f$ má lokálny extrém v bode $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétne minimum, ak $a_(11)> 0 $ a maximálne, ak $a_(11)<0$;
2. ak $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus na nájdenie extrému funkcie mnohých premenných:

1. Nájdeme stacionárne body;
2. Vo všetkých stacionárnych bodoch nájdeme diferenciál 2. rádu
3. Pomocou postačujúcej podmienky pre extrém funkcie viacerých premenných uvažujeme diferenciál druhého rádu v každom stacionárnom bode

1. Preskúmajte funkciu do extrému $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Riešenie

   Nájdite parciálne derivácie 1. rádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Zložte a vyriešte systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y)= 0\koniec (prípady) \Šípka doprava \začiatok(prípady)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cbodka y^(2) - 6 \cbodka x = 0\koniec(prípady) \šípka doprava \začiatok(prípady)x^(2) - 2 \cbodka y= 0\\4 \cbodka y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjadríme $x=4 \cdot y^(2)$ — dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ vpravo )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkom sú 2 stacionárne body:
   1) $y=0 \šípka doprava x = 0, M_(1) = \vľavo(0, 0\vpravo)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šípka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šípka doprava y = \frac(1)(2) \Šípka doprava x=1 , M_(2) = \vľavo(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
   Skontrolujme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky:
   $$\displaystyle \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2))=6 \cdot x; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y)=-6; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pre bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(0,0\vpravo)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pre bod $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, takže v bode $M_(2)$ je extrém a keďže $A_(2)>0 $, potom je to minimum.
   Odpoveď: Bod $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimálny bod funkcie $f$.
   

2. Preskúmajte funkciu pre extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Riešenie

   Nájdite stacionárne body: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Zostavte a vyriešte systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Šípka doprava \začiatok(prípady)2 \cbodka y - 4= 0\\2 \cbodka y + 2 \cbodka x - 2 = 0\koniec (prípady) \šípka doprava \začiatok (prípady) y = 2\\y + x = 1\koniec (prípady) \šípka doprava x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionárny bod.
   Skontrolujeme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \ľavé(-1,2\vpravo)=2; C=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(-1,2\vpravo)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpoveď: neexistujú žiadne extrémy.
   

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 zo 4 dokončených úloh

Informácie

Urobte si tento kvíz a otestujte si svoje znalosti o téme, ktorú ste práve čítali, Lokálne extrémy funkcií mnohých premenných.

Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.

Test sa načítava...

Pre spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:

výsledky

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

Vaše skóre bolo zaznamenané vo výsledkovej tabuľke

1. S odpoveďou
2. Odhlásený

Úloha 1 zo 4

1 .

Počet bodov: 1

Preskúmajte funkciu $f$ pre extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Správny


Nesprávne


1. Úloha 2 zo 4

   2 .

   Počet bodov: 1

   Má funkciu $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Extrémy

Funkčný extrém

Definícia extrému

Funkcia volá sa y = f(x). zvyšujúci sa (ubúdanie) v nejakom intervale, ak pre x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ak sa diferencovateľná funkcia y \u003d f (x) na segmente zvyšuje (klesá), potom jej derivácia na tomto segmente f " (X )> 0

(f"(X)< 0).

Bodka X O volal miestny maximálny bod (minimálne) funkcie f (x ), ak existuje okolie bodu x o, pre všetky body, ktorých nerovnosť f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.

extrémne body

Nevyhnutné podmienky pre extrém . Ak bod X O je extrémnym bodom funkcie f (x), potom buď f " (xo) = 0 alebo f(x o ) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritický, kde samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.

Prvá postačujúca podmienka. Nechaj X O - kritický bod. Ak f" (x ) pri prechode bodom X O zmení znamienko plus na mínus a potom na bod x o funkcia má maximum, inak má minimum. Ak derivácia nemení znamienko pri prechode cez kritický bod, tak v bode X O neexistuje žiadny extrém.

Druhá postačujúca podmienka. Nech má funkcia f(x).
f" (x ) v blízkosti bodu X O a druhá derivácia v samom bode x o. Ak f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je bod lokálneho minima (maxima) funkcie f(x). Ak je =0, potom musíte použiť prvú dostatočnú podmienku alebo použiť vyššie.

Na segmente môže funkcia y \u003d f (x) dosiahnuť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu buď v kritických bodoch, alebo na koncoch segmentu.

Príklad 3.22.

Riešenie. Pretože f " (

Úlohy na nájdenie extrému funkcie

Príklad 3.23. a

Riešenie. X A r r
0 ≤ X≤
> 0, zatiaľ čo x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie štvorcových. Jednotky).

Príklad 3.24. p ≈

Riešenie. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22.Nájdite extrémy funkcie f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Pretože f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť iba v týchto bodov. Pretože pri prechode bodom x 1 \u003d 2 sa derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 sa derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f (2) = 14 a minimum f (3) = 13.

Príklad 3.23.Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a na štvrtej strane priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie.Označte strany stránky cez X A r. Plocha lokality sa rovná S = xy. Nechaj r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x (a - 2x), kde
0 ≤ X≤ a /2 (dĺžka a šírka podložky nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Pretože x = a /4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre x a /4 S "> 0, zatiaľ čo x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (štvorcových. Jednotky). Keďže S je nepretržite zapnuté a jeho hodnoty na koncoch S(0) a S(a /2) sú rovné nule, nájdená hodnota bude najväčšou hodnotou funkcie. Najpriaznivejší pomer strán lokality za daných podmienok úlohy je teda y = 2x.

Príklad 3.24.Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16 p ≈ 50 m3. Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie.Celková plocha valca je S = 2 p R(R+H). Poznáme objem valca V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Takže S(R) = 2 p (R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S"(R) \u003d 2 p (2R-16 / R2) \u003d 4 p (R-8 / R2). S" (R) = 0 pre R3 = 8, preto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

MAXIMÁLNY A MINIMÁLNY BODY

body, v ktorých nadobúda najväčšie alebo najmenšie hodnoty v oblasti definície; takéto body sa nazývajú aj body absolútneho maxima alebo absolútneho minima. Ak je f definované na topologickom priestor X, potom bod x 0 volal bod miestneho maxima (lokálneho minima), ak taký bod existuje x 0,že za obmedzenie uvažovanej funkcie na túto štvrť, bod x 0 je absolútny maximálny (minimálny) bod. Rozlišujte body prísneho a neprísneho maxima (mini m u m a) (absolútne aj lokálne). Napríklad bod tzv bod neprísneho (striktného) lokálneho maxima funkcie f, ak takéto okolie bodu existuje x 0,čo platí pre všetkých (respektíve f(x) x0). )/

Pre funkcie definované na doménach konečnej dimenzie v zmysle diferenciálneho počtu existujú podmienky a kritériá, aby daný bod bol lokálnym maximálnym (minimálnym) bodom. Nech je funkcia f definovaná v určitom okolí boxu x 0 reálnej osi. Ak x 0 - bod neprísneho lokálneho maxima (minimum) a v tomto bode existuje f"( x0), potom sa rovná nule.

Ak je daná funkcia f diferencovateľná v okolí bodu x 0, snáď okrem tohto bodu samotného, ​​v ktorom je spojitý, a derivácie f" na každej strane bodu x0 zachováva konštantný znak v tomto susedstve, potom aby x0 bol bod prísneho lokálneho maxima (lokálneho minima), je potrebné a postačujúce, aby derivácia zmenila znamienko z plus na mínus, t.j. aby f "(x)> 0 v x<.x0 a f"(x)<0 при x>x0(respektíve od mínus do plus: f"(X) <0 pri x<x0 a f"(x)>0 keď x > x 0). Nie však pre každú funkciu diferencovateľnú v okolí bodu x 0, v tomto bode možno hovoriť o zmene znamienka derivácie. . "

Ak funkcia f má v bode x 0 t deriváty, navyše s cieľom x 0 je bod prísneho lokálneho maxima, je potrebné a postačujúce, aby τ bolo párne a aby f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Nechajte funkciu f( x 1 ..., x str] je definovaný v n-rozmernom okolí bodu a je v tomto bode diferencovateľný. Ak x (0) je neprísny lokálny maximálny (minimálny) bod, potom sa funkcia f v tomto bode rovná nule. Táto podmienka je ekvivalentná rovnosti nuly v tomto bode všetkých parciálnych derivácií 1. rádu funkcie f. Ak má funkcia 2. spojité parciálne derivácie v x(0) , všetky jej 1. derivácie zanikajú v x(0) a diferenciál 2. rádu v x(0) je záporný (kladný) kvadratický tvar, potom x(0) je bod prísneho lokálneho maxima (minimum). Známe sú podmienky pre M. a M. T. diferencovateľné funkcie, keď sú na zmeny v argumentoch kladené určité obmedzenia: sú splnené obmedzujúce rovnice. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre maximum (minimum) reálnej funkcie, ktorá má zložitejšiu štruktúru, sa študujú v špeciálnych odvetviach matematiky: napr. konvexná analýza, matematické programovanie(pozri tiež Maximalizácia a minimalizácia funkcií). Funkcie M. a m.t. definované na varietách sú študované v počet variácií vo všeobecnosti, a M. a m.t. pre funkcie definované na funkčných priestoroch, t.j. pre funkcionály, v variačný počet. Existujú aj rôzne metódy numerického približného zisťovania M. a m.t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya E. G., Základy matematickej analýzy, 3. vydanie, 1. časť, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudrjavcev.

Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite sa, čo znamená „MAXIMÁLNY A MINIMÁLNY BOD“ v iných slovníkoch:

Diskrétny Pontryaginov princíp maxima pre časovo diskrétne riadiace procesy. Pre takýto proces nemusí byť M. p. splnený, hoci pre jeho spojitý analóg, ktorý sa získa nahradením operátora konečnej diferencie diferenciálnym ... ... Matematická encyklopédia

Veta vyjadrujúca jednu z hlavných vlastností modulu analýzy. funkcie. Nech f(z) je pravidelná analytická alebo holomorfná funkcia p-komplexných premenných v doméne D priestoru komplexných čísel, ktorý je iný ako konštanta, M. m. s. v ... ... Matematická encyklopédia

Najväčšie a teda najmenšie hodnoty funkcie, ktorá nadobúda skutočné hodnoty. Zavolá sa bod definičného oboru funkcie, v ktorom zaberá maximum alebo minimum. respektíve maximálny bod alebo minimálny bod ... ... Matematická encyklopédia

Pozri Maximum a minimum funkcie, Maximum a minimum bodu... Matematická encyklopédia

Hodnota spojitej funkcie, ktorá je maximom alebo minimom (pozri Maximálne a minimálne body). Termín LE... Matematická encyklopédia

Indikátor- (Indikátor) Indikátor je informačný systém, látka, zariadenie, zariadenie, ktoré zobrazuje zmeny v akomkoľvek parametri Indikátory grafov devízového trhu, čo sú to a kde sa dajú stiahnuť? Popis indikátorov MACD, ... ... Encyklopédia investora

Tento výraz má iné významy, pozri Extrém (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematike je maximálna alebo minimálna hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, je ... ... Wikipedia

Diferenciálny počet je oblasťou matematickej analýzy, ktorá študuje koncepty derivácie a diferenciálu a ako ich možno aplikovať na štúdium funkcií. Obsah 1 Diferenciálny počet funkcií jednej premennej ... Wikipedia

Lemniskát a jeho triky Bernoulliho lemniskát je rovinná algebraická krivka. Definované ako ťažisko bodov, produkt ... Wikipedia

Divergencia- (Divergencia) Divergencia ako indikátor Obchodná stratégia s divergenciou MACD Obsah Obsah Časť 1. on. Časť 2. Divergencia ako. Divergencia je termín používaný v ekonómii na označenie pohybu pozdĺž divergentného ... ... Encyklopédia investora

Zmena funkcie v určitom bode a je definovaná ako hranica prírastku funkcie k prírastku argumentu, ktorý má tendenciu k nule. Ak ho chcete nájsť, použite tabuľku derivátov. Napríklad derivácia funkcie y = x3 sa bude rovnať y’ = x2.

Prirovnajte túto deriváciu k nule (v tomto prípade x2=0).

Nájdite hodnotu danej premennej. Toto budú hodnoty, pre ktoré bude táto derivácia rovná 0. Ak to chcete urobiť, dosaďte do výrazu namiesto x ľubovoľné čísla, pri ktorých sa celý výraz stane nulou. Napríklad:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Aplikujte získané hodnoty na súradnicovú čiaru a vypočítajte znamienko derivácie pre každú zo získaných hodnôt. Na súradnicovej čiare sú označené body, ktoré sa berú ako počiatok. Ak chcete vypočítať hodnotu v intervaloch, nahraďte ľubovoľné hodnoty, ktoré zodpovedajú kritériám. Napríklad pre predchádzajúcu funkciu do intervalu -1 môžete zvoliť hodnotu -2. Pre -1 až 1 môžete zvoliť 0 a pre hodnoty väčšie ako 1 zvoliť 2. Dosaďte tieto čísla do derivácie a zistite znamienko derivácie. V tomto prípade bude derivácia s x = -2 rovná -0,24, t.j. záporné a na tomto intervale bude znamienko mínus. Ak x=0, potom sa hodnota bude rovnať 2 a na tento interval sa umiestni znamienko. Ak x = 1, potom sa derivácia bude rovnať -0,24 a dá sa mínus.

Ak pri prechode bodom na súradnicovej čiare derivácia zmení svoje znamienko z mínus na plus, potom je to minimálny bod a ak z plus na mínus, potom je to maximálny bod.

Podobné videá

Užitočné rady

Na nájdenie derivátu existujú online služby, ktoré vypočítajú požadované hodnoty a zobrazia výsledok. Na takýchto stránkach môžete nájsť derivát až 5 objednávok.

Zdroje:

• Jedna zo služieb na výpočet derivátov
• maximálny bod funkcie

Maximálne body funkcie spolu s minimálnymi bodmi sa nazývajú extrémne body. V týchto bodoch funkcia mení svoje správanie. Extrémy sa určujú v obmedzených číselných intervaloch a sú vždy lokálne.

Inštrukcia

Proces hľadania lokálnych extrémov sa nazýva funkcia a vykonáva sa analýzou prvej a druhej derivácie funkcie. Pred začatím prieskumu sa uistite, že zadaný rozsah hodnôt argumentov patrí medzi povolené hodnoty. Napríklad pre funkciu F=1/x je hodnota argumentu x=0 neplatná. Alebo pre funkciu Y=tg(x) nemôže mať argument hodnotu x=90°.

Uistite sa, že funkcia Y je diferencovateľná počas celého daného intervalu. Nájdite prvú deriváciu Y". Je zrejmé, že pred dosiahnutím bodu lokálneho maxima funkcia rastie a pri prechode maximom sa funkcia stáva klesajúcou. Prvá derivácia vo svojom fyzikálnom význame charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie. Kým funkcia rastie, rýchlosť tohto procesu je kladná. Pri prechode cez lokálne maximum funkcia začína klesať a rýchlosť procesu zmeny funkcie sa stáva zápornou.Prechod rýchlosti zmeny funkcie cez nulu sa vyskytuje v bode lokálneho maxima.

Hovorí sa, že funkcia má vnútorný bod
oblasti D miestne maximum(minimálne) ak existuje také okolie bodu
, za každý bod
ktorý uspokojuje nerovnosť

Ak má funkcia v bode
lokálne maximum alebo lokálne minimum, potom hovoríme, že v tomto bode má lokálny extrém(alebo proste extrém).

Veta (nevyhnutnou podmienkou existencie extrému). Ak diferencovateľná funkcia dosiahne extrém v bode
, potom každá parciálna derivácia funkcie prvého rádu v tomto bode zaniká.

Nazývajú sa body, v ktorých miznú všetky parciálne derivácie prvého rádu stacionárne body funkcie
. Súradnice týchto bodov sa dajú zistiť vyriešením sústavy z rovnice

.

Nevyhnutnú podmienku existencie extrému v prípade diferencovateľnej funkcie možno stručne sformulovať takto:

Existujú prípady, keď v niektorých bodoch majú niektoré parciálne derivácie nekonečné hodnoty alebo neexistujú (zatiaľ čo ostatné sú rovné nule). Takéto body sa nazývajú kritické body funkcie. Tieto body by sa tiež mali považovať za „podozrivé“ pre extrém, ako aj za stacionárne.

V prípade funkcie dvoch premenných má nevyhnutná podmienka extrému, a to nulová rovnosť parciálnych derivácií (diferenciálu) v bode extrému, geometrickú interpretáciu: dotyková rovina k povrchu
v extrémnom bode musí byť rovnobežná s rovinou
.

20. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému

Splnenie nevyhnutnej podmienky existencie extrému v určitom okamihu vôbec nezaručuje existenciu extrému tam. Ako príklad si môžeme vziať všade diferencovateľnú funkciu
. Jeho parciálne derivácie aj samotná funkcia v bode zanikajú
. V každom susedstve tohto bodu sú však obe pozitívne (veľké
) a negatívne (menšie
) hodnoty tejto funkcie. Preto v tomto bode podľa definície neexistuje žiadny extrém. Preto je potrebné poznať dostatočné podmienky, za ktorých je bod podozrivý z extrému extrémnym bodom skúmanej funkcie.

Zvážte prípad funkcie dvoch premenných. Predpokladajme, že funkcia
je definovaný, spojitý a má spojité parciálne derivácie až do druhého rádu vrátane v okolí nejakého bodu
, čo je stacionárny bod funkcie
, teda spĺňa podmienky

,
.

Predstavme si notáciu:

Veta (dostatočné podmienky pre existenciu extrému). Nechajte funkciu
spĺňa vyššie uvedené podmienky, a to: diferencovateľný v niektorom okolí stacionárneho bodu
a je dvakrát diferencovateľný v samotnom bode
. Potom ak

Ak
potom funkcia
v bode
dosiahne

miestne maximum pri
A

miestne minimum pri
.

Vo všeobecnosti pre funkciu
postačujúcou podmienkou existencie v určitom bode
miestneminimálne(maximálne) je pozitívne(negatívne) jednoznačnosť druhého diferenciálu.

Inými slovami, nasledujúce tvrdenie je pravdivé.

Veta . Ak v bode
pre funkciu

pre všetky, ktoré sa v rovnakom čase nerovnajú nule
, potom v tomto bode funkcia má minimálne(podobný maximálne, Ak
).

Príklad 18.Nájdite miestne extrémne body funkcie

Riešenie. Nájdite parciálne derivácie funkcie a prirovnajte ich k nule:

Pri riešení tohto systému nájdeme dva možné extrémy:

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu pre túto funkciu:

V prvom stacionárnom bode , teda a
Preto je v tomto bode potrebný ďalší výskum. Hodnota funkcie
v tomto bode je nula:
ďalej

pri

A

pri

Preto v akomkoľvek okolí bodu
funkciu
nadobúda hodnoty tak veľké
a menšie
, a teda v bode
funkciu
, podľa definície nemá žiadny lokálny extrém.

V druhom stacionárnom bode



teda, teda, keďže
potom v bode
funkcia má lokálne maximum.