Vypočítajte objem obrazca vytvoreného rotáciou ohraničenej plochy. Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu

Ako vypočítať objem rotačného telesa
pomocou určitého integrálu?

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte, pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu obrázku, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchová plocha brotácie a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. Zastúpený? ... Zaujímalo by ma, kto čo prezentoval ... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo osi y.

V tomto článku sa budú diskutovať o oboch prípadoch. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa vrátim k problém nájsť oblasť postavy, a povie vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Ani nie tak bonus, ako materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním obrazca ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v oblasti problému, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že na rovine je potrebné postaviť obrazec ohraničený čiarami , , pričom netreba zabúdať, že rovnica definuje os . Ako urobiť kresbu racionálnejšie a rýchlejšie, nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A . Toto je čínska pripomienka a v tomto bode nekončím.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá figúrka je vytieňovaná modrou a práve táto figúrka sa otáča okolo osi.V dôsledku rotácie sa získa taký mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale je príliš lenivé špecifikovať niečo v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Vo vzorci musí byť pred integrálom číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Ako nastaviť hranice integrácie "a" a "byť", myslím, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je zhora ohraničený grafom paraboly. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je celkom logické.

Vypočítajte objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko malých zelených mužíkov sa vo vašej fantázii zmestí do lietajúceho taniera.

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami , , , , pričom nezabudnite, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa taká neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objeme tela.

Najprv sa pozrime na postavu, ktorá je zakrúžkovaná červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa ako .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne taký, ako je objem našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

2) Obrázok zakrúžkovaný zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie sa často robí kratšie, asi takto:

Teraz si dáme prestávku a povieme si niečo o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zaujímavá geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý život vypije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že všetky veci sa dejú v pásme, inými slovami, hotové integračné limity sú skutočne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, pripomeniem vám materiál lekcie o geometrické transformácie grafov: ak je argument deliteľný dvoma: , potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo osi y je tiež pomerne častým návštevníkom testov. Priebežne sa bude brať do úvahy problém nájsť oblasť postavy druhý spôsob - integráciou pozdĺž osi vám to umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Má to aj praktický význam! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód vyučovania matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a svojich zamestnancov riadime optimálne.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam prečítať každému, aj úplným tupcom. Okrem toho asimilovaný materiál z druhého odseku bude neoceniteľnou pomocou pri výpočte dvojitých integrálov.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý odsek, určite si najprv prečítajte prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Vykonajte kreslenie:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „zvyčajným“ spôsobom, o ktorom sa uvažovalo v lekcii. Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa oblasť obrázku nachádza ako súčet oblastí:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Čo je v tomto prípade zlé na zvyčajnom riešení? Po prvé, existujú dva integrály. Po druhé, odmocniny pod integrálmi a odmocniny v integráloch nie sú darom, navyše sa človek môže zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi je všetko oveľa smutnejšie, len som pre túto úlohu vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácii pozdĺž osi.

Ako prejsť na inverzné funkcie? Zhruba povedané, musíte vyjadriť "x" cez "y". Najprv sa pozrime na parabolu:

To stačí, ale presvedčte sa, že rovnakú funkciu možno odvodiť aj zo spodnej vetvy:

S priamou čiarou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. Navyše, na segmente je priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Iba list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť nastavené integračné limity pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Venujte pozornosť tomu, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku zadania bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel medzi objemami.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zelenou zakrúžkovanou postavou otáčame okolo osi a označujeme ju cez objem výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Ako sa líši od vzorca z predchádzajúceho odseku? Iba v listoch.

A tu je výhoda integrácie, o ktorej som hovoril pred chvíľou, je oveľa jednoduchšie ju nájsť než predbežne zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Všimnite si, že ak sa rovnaká plochá postava otáča okolo osi, potom sa ukáže úplne iné rotačné telo s iným, prirodzene, objemom.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej postavy ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú .
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad „urob si sám“. Tí, ktorí si želajú, môžu tiež nájsť oblasť postavy „zvyčajným“ spôsobom, čím dokončí test podľa bodu 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, tak dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy na konci hodiny.

Jo, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotačné telá a v rámci integrácie!

Chcel som, už bolo, článok dokončiť, ale dnes priniesli zaujímavý príklad práve na zistenie objemu otáčavého telesa okolo osi y. Čerstvé:

Vypočítajte objem telesa vzniknutého rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného krivkami a .

Riešenie: Urobme kresbu:

Po ceste sa oboznamujeme s grafmi niektorých ďalších funkcií. Taký zaujímavý graf párnej funkcie ....

Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Vo vzorci musí byť pred integrálom číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Ako nastaviť hranice integrácie "a" a "byť", myslím, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je zhora ohraničený grafom paraboly. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - funkcia vo vzorci je odmocnená: , teda objem rotačného telesa je vždy nezáporný, čo je celkom logické.

Vypočítajte objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko malých zelených mužíkov sa vo vašej fantázii zmestí do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Znázornime na výkrese plochý obrazec ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa taká neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objeme tela.

Najprv sa pozrime na postavu, ktorá je zakrúžkovaná červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa ako .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

2) Obrázok zakrúžkovaný zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie sa často robí kratšie, asi takto:

Teraz si dáme prestávku a povieme si niečo o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si Perelman (nie ten istý) v knihe všimol Zaujímavá geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý život vypije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, ktorú napísal ešte v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, uvažovaním a učí vás hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som navrhol bespontovú zábavu, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad „urob si sám“. Upozorňujeme, že všetky veci sa dejú v pásme, inými slovami, sú dané takmer hotové integračné limity. Pokúste sa tiež správne nakresliť grafy goniometrických funkcií, ak je argument rozdelený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Pokúste sa nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek a spresniť kresbu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo osi y je tiež pomerne častým návštevníkom testov. Priebežne sa bude brať do úvahy problém nájsť oblasť postavy druhý spôsob - integrácia pozdĺž osi, to vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Má to aj praktický význam! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód vyučovania matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a svojich zamestnancov riadime optimálne.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Príklad 5

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete najskôr prečítať len druhý odsek Nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie:Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Vykonajte kreslenie:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „zvyčajným“ spôsobom, o ktorom sa uvažovalo v lekcii. Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa oblasť obrázku nachádza ako súčet oblastí:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Čo je v tomto prípade zlé na zvyčajnom riešení? Po prvé, existujú dva integrály. Po druhé, odmocniny pod integrálmi a odmocniny v integráloch nie sú darom, navyše sa človek môže zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi je všetko oveľa smutnejšie, len som pre túto úlohu vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácii pozdĺž osi.

Ako prejsť na inverzné funkcie? Zhruba povedané, musíte vyjadriť "x" cez "y". Najprv sa pozrime na parabolu:

To stačí, ale presvedčte sa, že rovnakú funkciu možno odvodiť aj zo spodnej vetvy:

S priamou čiarou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. Navyše, na segmente je priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Iba list a nič viac.

! Poznámka: Mali by sa nastaviť limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Venujte pozornosť tomu, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku zadania bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

odpoveď:

2) Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel medzi objemami.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zelenou zakrúžkovanou postavou otáčame okolo osi a označujeme ju cez objem výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Ako sa líši od vzorca z predchádzajúceho odseku? Iba v listoch.

A tu je výhoda integrácie, o ktorej som hovoril pred chvíľou, je oveľa jednoduchšie ju nájsť než predbežne zvýšiť integrand na 4. mocninu.

odpoveď:

Avšak chorľavý motýľ.

Všimnite si, že ak sa rovnaká plochá postava otáča okolo osi, potom sa ukáže úplne iné rotačné telo s iným, prirodzene, objemom.

Príklad 6

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej postavy ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú .
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Vo vzorci musí byť pred integrálom číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Ako nastaviť hranice integrácie "a" a "byť", myslím, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je ohraničený parabolickým grafom v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený:, teda integrál je vždy nezáporný , čo je celkom logické.

Vypočítajte objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko malých zelených mužíkov sa vo vašej fantázii zmestí do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami,,

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami ,, a

Riešenie: Nakreslíme na výkres plochý útvar ohraničený čiarami ,,,, pričom nezabúdajme, že rovnica určuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa taká neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objeme tela.

Najprv sa pozrime na postavu, ktorá je zakrúžkovaná červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označte objem tohto zrezaného kužeľa.

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

2) Obrázok zakrúžkovaný zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie sa často robí kratšie, asi takto:

Teraz si dáme prestávku a povieme si niečo o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zaujímavá geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý život vypije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná už v roku 1950, sa veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, uvažovaním a učí vás hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som navrhol bespontovú zábavu, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami,, kde.

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že všetky veci sa dejú v pásme, inými slovami, hotové integračné limity sú skutočne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, pripomeniem vám materiál lekcie o geometrické transformácie grafov : ak je argument deliteľný dvoma: , potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Téma: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu"

Typ lekcie: kombinované.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

upevniť schopnosť vybrať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a rozvíjať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;

zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;

naučiť sa počítať objemy rotačných telies;

podporovať rozvoj logického myslenia, kompetentnú matematickú reč, presnosť pri konštrukcii výkresov;

pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť, vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia študentov o cieľoch vyučovacej hodiny.

Dnešnú lekciu by som chcel začať podobenstvom. „Bol jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa v rukách a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý? A on sám si myslí: "Ak povie živá, zabijem ju, ak povie mŕtva, pustím ju von." Mudrc po premýšľaní odpovedal: "Všetko je vo vašich rukách."

Pracujme preto dnes plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v neskoršom veku a v praktických činnostiach.„Všetko je vo vašich rukách.“

II. Opakovanie predtým naučeného učiva.

Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Za týmto účelom dokončíme úlohu „Odstrániť ďalšie slovo“.

(Študenti povedia ďalšie slovo.)

Správny "Diferenciálny". Pokúste sa pomenovať zostávajúce slová jedným bežným slovom. (Integrovaný počet.)

Pripomeňme si hlavné etapy a pojmy súvisiace s integrálnym počtom.

Cvičenie. Obnoviť preukazy. (Študent vyjde a fixkou napíše potrebné slová.)

Práca v zošitoch.

Newtonov-Leibnizov vzorec vyvinuli anglický fyzik Isaac Newton (1643-1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

Zvážte, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Zostrojme na súradnicovej rovine grafy funkcií . Vyberte oblasť obrázku, ktorú chcete nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

Vo vesmíre, na zemi a v každodennom živote sa stretávame nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad: objem planéty, kométy, meteoritu atď.

Myslia na objem pri stavbe domov a prelievaní vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a metódy na výpočet objemov mali vzniknúť, iná vec je, nakoľko boli presné a opodstatnené.

Rok 1612 bol pre obyvateľov rakúskeho mesta Linz, kde žil vtedy slávny astronóm Johannes Kepler, veľmi plodný najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy.

Uvažované Keplerove diela tak znamenali začiatok celého prúdu bádania, ktorý vyvrcholil v poslednej štvrtine 17. storočia. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby matematika magnitúdových premenných zaujala popredné miesto v systéme matematických vedomostí.

Dnes sa teda budeme venovať takýmto praktickým činnostiam, preto

Téma našej lekcie: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu."

Splnením nasledujúcej úlohy sa naučíte definíciu revolučného telesa.

"Labyrint".

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

IVVýpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním krivočiareho lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi x.

2. , ak rotácia krivočiareho lichobežníka okolo osi y.

Žiaci si zapisujú základné vzorce do zošita.

Učiteľ vysvetlí riešenie príkladov na tabuli.

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi y krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Riešenie.

Odpoveď: 1163 cm3.

2. Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo osi x. y = , x = 4, y = 0.

Riešenie.

V. Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

A) neurčitý integrál

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Fixácia nového materiálu

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y=x2, y2=x.

Nakreslíme grafy funkcie. y=x2, y2=x. Graf y2 = x sa transformuje do tvaru y = .

Máme V = V1 - V2 Vypočítajme objem každej funkcie:

Záver:

Určitý integrál je akýmsi základom pre štúdium matematiky, ktorý je nevyhnutným príspevkom k riešeniu problémov praktického obsahu.

Téma „Integrál“ názorne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.

Rozvoj modernej vedy je nemysliteľný bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať ju študovať v rámci stredného odborného vzdelávania!

VI. Klasifikácia.(S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam - matematik, básnik, filozof. Volá byť pánmi svojho osudu. Vypočujte si úryvok z jeho tvorby:

Hovoríš, že tento život je len okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to miniete, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.

I. Objemy revolučných telies. Predbežne si preštudujte kapitolu XII, str. 197, 198, podľa učebnice G. M. Fikhtengol'ts* Podrobne analyzujte príklady uvedené na str. 198.

508. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elipsy okolo osi x.

teda

530. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Ox oblúka sínusoidy y \u003d sin x z bodu X \u003d 0 do bodu X \u003d It.

531. Vypočítajte povrch kužeľa s výškou h a polomerom r.

532. Vypočítajte povrch tvorený

rotácia astroidu x3 -) - y* - a3 okolo osi x.

533. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú inverziou slučky krivky 18 y-x(6-x)r okolo osi x.

534. Nájdite povrch torusu, ktorý vznikne rotáciou kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 okolo osi x.

535. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou kruhu X = a cost, y = asint okolo osi Ox.

536. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou slučky krivky x = 9t2, y = St - 9t3 okolo osi Ox.

537. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou oblúka krivky x = e * sint, y = el cost okolo osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Ukážte, že plocha vytvorená rotáciou oblúka cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) okolo osi Oy sa rovná 16 u2 o2.

539. Nájdite plochu získanú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

540. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou lemniskátu okolo polárnej osi.

Dodatočné úlohy pre kapitolu IV

Plochy rovinných postáv

541. Nájdite celú oblasť oblasti ohraničenú krivkou A os Oh.

542. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

543. Nájdite časť oblasti regiónu umiestnenú v prvom kvadrante a ohraničenú krivkou

l súradnicové osi.

544. Nájdite oblasť oblasti, ktorá sa v nej nachádza

slučky:

545. Nájdite oblasť oblasti ohraničenú jednou slučkou krivky:

546. Nájdite oblasť oblasti vo vnútri slučky:

547. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

548. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

549. Nájdite oblasť regiónu ohraničenú osou Oxr

rovné a zakrivené