Diferenciálne rovnice vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi. Diferenciálne rovnice druhého a vyššieho rádu

Často len zmienka diferenciálne rovnice znepríjemňuje študentom. Prečo sa to deje? Najčastejšie preto, že pri štúdiu základov materiálu vzniká medzera vo vedomostiach, vďaka ktorej sa ďalšie štúdium difurov stáva jednoducho mučením. Nič nie je jasné, čo robiť, ako sa rozhodnúť, kde začať?

Pokúsime sa vám však ukázať, že difury nie sú také ťažké, ako sa zdá.

Základné pojmy z teórie diferenciálnych rovníc

Zo školy poznáme najjednoduchšie rovnice, v ktorých potrebujeme nájsť neznáme x. v skutočnosti diferenciálne rovnice len mierne odlišné od nich - namiesto premennej X potrebujú nájsť funkciu y(x) , čo zmení rovnicu na identitu.

D diferenciálne rovnice majú veľký praktický význam. Toto nie je abstraktná matematika, ktorá nemá nič spoločné so svetom okolo nás. Pomocou diferenciálnych rovníc je popísaných veľa skutočných prírodných procesov. Napríklad vibrácie strún, pohyb harmonického oscilátora, pomocou diferenciálnych rovníc v úlohách mechaniky zisťujú rýchlosť a zrýchlenie telesa. Tiež DU sú široko používané v biológii, chémii, ekonómii a mnohých ďalších vedách.

Diferenciálnej rovnice (DU) je rovnica obsahujúca derivácie funkcie y(x), samotnú funkciu, nezávislé premenné a ďalšie parametre v rôznych kombináciách.

Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc: obyčajné diferenciálne rovnice, lineárne a nelineárne, homogénne a nehomogénne, diferenciálne rovnice prvého a vyššieho rádu, parciálne diferenciálne rovnice atď.

Riešením diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ju mení na identitu. Existujú všeobecné a špeciálne riešenia diaľkového ovládania.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecná množina riešení, ktoré menia rovnicu na identitu. Konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie, ktoré spĺňa dodatočné podmienky špecifikované na začiatku.

Poradie diferenciálnej rovnice je určené najvyšším rádom derivácií, ktoré sú v nej zahrnuté.

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce jednu nezávislú premennú.

Zvážte najjednoduchšiu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Vyzerá to ako:

Táto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho integráciou jej pravej strany.

Príklady takýchto rovníc:

Oddeliteľné premenné rovnice

Vo všeobecnosti tento typ rovnice vyzerá takto:

Tu je príklad:

Pri riešení takejto rovnice musíte oddeliť premenné a uviesť ich do tvaru:

Potom zostáva integrovať obe časti a získať riešenie.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Takéto rovnice majú tvar:

Tu p(x) a q(x) sú niektoré funkcie nezávislej premennej a y=y(x) je požadovaná funkcia. Tu je príklad takejto rovnice:

Pri riešení takejto rovnice najčastejšie využívajú metódu variácie ľubovoľnej konštanty alebo reprezentujú požadovanú funkciu ako súčin dvoch ďalších funkcií y(x)=u(x)v(x).

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebná určitá príprava a bude dosť ťažké ich vziať „z rozmaru“.

Príklad riešenia DE so separovateľnými premennými

Takže sme zvážili najjednoduchšie typy diaľkového ovládania. Teraz sa poďme pozrieť na jeden z nich. Nech je to rovnica s oddeliteľnými premennými.

Najprv prepíšeme derivát do známejšieho tvaru:

Potom oddelíme premenné, to znamená, že v jednej časti rovnice zhromaždíme všetky „hry“ a v druhej časti „xes“:

Teraz zostáva integrovať obe časti:

Integrujeme a získame všeobecné riešenie tejto rovnice:

Samozrejme, riešenie diferenciálnych rovníc je istý druh umenia. Musíte byť schopní pochopiť, ku ktorému typu rovnice patrí, a tiež sa naučiť vidieť, aké transformácie s ňou musíte urobiť, aby ste ju dostali do tej či onej podoby, nehovoriac len o schopnosti rozlišovať a integrovať. A na vyriešenie DE treba prax (ako na všetko). A ak momentálne nemáte čas prísť na to, ako sa riešia diferenciálne rovnice, alebo vám Cauchyho problém narástol ako kosť v krku, alebo neviete, kontaktujte našich autorov. V krátkom čase vám poskytneme hotové a podrobné riešenie, ktorého detailom môžete kedykoľvek porozumieť. Medzitým vám odporúčame pozrieť si video na tému „Ako riešiť diferenciálne rovnice“:

Teória výpočtovej techniky nehomogénne diferenciálne rovnice(DU) v tejto publikácii nebudeme dávať, z predchádzajúcich lekcií môžete nájsť dostatok informácií na nájdenie odpovede na otázku "Ako vyriešiť nehomogénnu diferenciálnu rovnicu?" Miera nehomogénneho DE tu nehrá veľkú úlohu, nie je toľko spôsobov, ktoré umožňujú vypočítať riešenie takéhoto DE. Aby sa vám odpovede v príkladoch ľahšie čítali, hlavný dôraz sa kladie len na techniku ​​výpočtu a rady, ktoré uľahčia odvodenie výslednej funkcie.

Príklad 1 Riešiť diferenciálnu rovnicu
Riešenie: Dané homogénna diferenciálna rovnica tretieho rádu, navyše obsahuje len druhú a tretiu deriváciu a nemá funkciu a svoju prvú deriváciu. V takých prípadoch použite metódu redukcie Diferenciálnej rovnice. Na to sa zavedie parameter - druhú deriváciu označujeme cez parameter p

potom tretia derivácia funkcie je

Pôvodný homogénny DE sa zjednoduší na formu

Píšeme to teda v diferenciáloch zredukovať na oddelenú premennú rovnicu a nájsť riešenie integráciou

Pamätajte, že parameter je druhou deriváciou funkcie

preto, aby sme našli vzorec samotnej funkcie, dvakrát integrujeme nájdenú diferenciálnu závislosť

Vo funkcii sa staré C 1, C 2, C 3 rovnajú ľubovoľným hodnotám.
Takto vyzerá okruh nájsť všeobecné riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice zavedením parametra. Nasledujúce úlohy sú náročnejšie a naučíte sa z nich riešiť nehomogénne diferenciálne rovnice tretieho rádu. Existuje určitý rozdiel medzi homogénnym a nehomogénnym DE z hľadiska výpočtov, teraz to uvidíte.

Príklad 2 Nájsť
Riešenie: Máme tretiu objednávku. Preto je potrebné hľadať jeho riešenie vo forme súčtu dvoch riešení homogénneho a partikulárneho riešenia nehomogénnej rovnice.

Najprv sa rozhodneme

Ako vidíte, obsahuje iba druhú a tretiu deriváciu funkcie a neobsahuje samotnú funkciu. Tento druh dif. rovnice sa riešia metódou zavedenia parametra, ktorý v zase znižuje a zjednodušuje hľadanie riešenia rovnice. V praxi to vyzerá takto: nech sa druhá derivácia rovná určitej funkcii, potom bude mať tretia derivácia formálne označenie

Uvažovaný homogénny DE 3. rádu sa transformuje na rovnicu prvého rádu

pri delení premenných nájdeme integrál
x*dp-p*dx=0;

Odporúčame očíslovať tých, ktorí sa dostali do takýchto problémov, pretože riešenie diferenciálnej rovnice 3. rádu má 3 konštanty, štvrtú - 4 a ďalej analogicky. Teraz sa vrátime k zavedenému parametru: keďže druhá derivácia má tvar, integrujeme ho, keď máme závislosť pre deriváciu funkcie

a opakovanou integráciou nájdeme všeobecný pohľad na homogénnu funkciu

Čiastočné riešenie rovnice zapíšte ako premennú vynásobenú logaritmom. Vyplýva to z toho, že pravá (nehomogénna) časť DE sa rovná -1/x a na získanie ekvivalentného zápisu

riešenie treba hľadať vo formulári

Nájdite koeficient A , na to vypočítame derivácie prvého a druhého rádu

Nájdené výrazy dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice a srovnáme koeficienty s rovnakými mocninami x:

Oceľ sa rovná -1/2 a má tvar

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice zapísať ako súčet nájdených

kde C 1 , C 2 , C 3 sú ľubovoľné konštanty, ktoré možno spresniť z Cauchyho problému.

Príklad 3 Nájdite integrál DE tretieho rádu
Riešenie: Hľadáme všeobecný integrál nehomogénneho DE tretieho rádu v tvare súčtu riešenia homogénnej a parciálnej nehomogénnej rovnice. Najprv začneme pre akýkoľvek typ rovníc analyzovať homogénnu diferenciálnu rovnicu

Obsahuje len druhú a tretiu deriváciu zatiaľ neznámej funkcie. Zavádzame zmenu premenných (parametra): označíme druhú deriváciu

Potom je tretia derivácia

Rovnaké transformácie boli vykonané v predchádzajúcej úlohe. Toto povoľuje redukovať diferenciálnu rovnicu tretieho rádu na rovnicu prvého rádu tvaru

Integráciou nájdeme

Pripomeňme, že podľa zmeny premenných ide len o druhú deriváciu

a na nájdenie riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice tretieho rádu ju treba integrovať dvakrát

Na základe typu pravej strany (nehomogénna časť =x+1 ), hľadá sa čiastočné riešenie rovnice v tvare

Ako vedieť, akou formou hľadať čiastkové riešenie Mali ste byť poučení v teoretickej časti kurzu diferenciálnych rovníc. Ak nie, potom môžeme len navrhnúť, akú funkciu zvolíme taký výraz, aby pri dosadzovaní do rovnice bol člen obsahujúci najvyššiu alebo mladšiu deriváciu rovnakého rádu (podobný) s nehomogénnou časťou rovnice.

Myslím, že teraz je vám už jasnejšie, odkiaľ pochádza forma konkrétneho riešenia. Nájdite koeficienty A, B, na to vypočítame druhú a tretiu deriváciu funkcie

a dosadiť do diferenciálnej rovnice. Po zoskupení podobných členov dostaneme lineárnu rovnicu

z ktorých pre rovnaké mocniny premennej zostaviť sústavu rovníc

a nájsť neznáme ocele. Po ich nahradení je vyjadrená závislosťou

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa rovná súčtu rovnorodého a čiastočného a má tvar

kde C1, C2, C3 sú ľubovoľné konštanty.

Príklad 4. R jesť diferenciálnu rovnicu
Riešenie: Máme riešenie, ktoré nájdeme prostredníctvom súčtu . Schému výpočtu poznáte, tak prejdime k úvahe homogénna diferenciálna rovnica

Podľa štandardnej metódy zadajte parameter
Pôvodná diferenciálna rovnica bude mať tvar , z ktorého delením premenných nájdeme

Pamätajte, že parameter sa rovná druhej derivácii
Integráciou DE získame prvú deriváciu funkcie

Opätovná integrácia nájdeme všeobecný integrál homogénnej diferenciálnej rovnice

Hľadáme čiastočné riešenie rovnice v tvare, keďže pravá strana sa rovná
Nájdeme koeficient A - dosadíme do diferenciálnej rovnice y* a koeficient pri rovnakých mocniciach premennej vyrovnáme

Po dosadení a zoskupení pojmov získame závislosť

z toho oceľ sa rovná A=8/3.
Môžeme teda písať čiastočné riešenie DE

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice rovná zistenej sume

kde C1, C2, C3 sú ľubovoľné konštanty. Ak je daná Cauchyho podmienka, potom sa dajú veľmi ľahko predĺžiť.

Verím, že materiál vám bude užitočný pri príprave na praktické cvičenia, moduly či testy. Cauchyho problém tu nebol analyzovaný, ale z predchádzajúcich lekcií vo všeobecnosti viete, ako na to.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Základná terminológia diferenciálnych rovníc vyššieho rádu (DE VP).

Rovnica tvaru , kde n >1 (2)

sa nazýva diferenciálna rovnica vyššieho rádu, t.j. n- poradie.

Doména definície diaľkového ovládania, n poradie je oblasť .

Tento kurz sa bude zaoberať nasledujúcimi typmi riadenia vzdušného priestoru:

Cauchyho problém pre VP:

Nechajte DU ,
a počiatočné podmienky n/a: čísla .

Je potrebné nájsť spojitú a n-krát diferencovateľnú funkciu
:

1)
je riešením daného DE dňa , t.j.
;

2) spĺňa dané počiatočné podmienky: .

Pre DE druhého rádu je geometrická interpretácia riešenia úlohy nasledovná: hľadá sa integrálna krivka, ktorá prechádza bodom (X 0 , r 0 ) a dotyčnica k priamke so sklonom k = r 0 ́ .

Veta o existencii a jedinečnosti(riešenia Cauchyho problému pre DE (2)):

Ak 1)
nepretržité (v súhrne (n+1) argumenty) v oblasti
; 2)
spojité (podľa súboru argumentov
) v , potom ! riešenie Cauchyho úlohy pre DE, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky n/s: .

Región sa nazýva regiónom jedinečnosti DE.

Generálne riešenie DP VP (2) – n - parametrický funkcia,
, Kde
- ľubovoľné konštanty, ktoré spĺňajú tieto požiadavky:

1)

– riešenie DE (2) dňa ;

2) n/a z regiónu jedinečnosti !
:
spĺňa dané počiatočné podmienky.

Komentujte.

Pomer zobrazení
, ktorý implicitne určuje všeobecné riešenie DE (2) na sa nazýva spoločný integrál DU.

Súkromné ​​rozhodnutie DE (2) sa získa z jeho všeobecného riešenia pre konkrétnu hodnotu .

Integrácia RP VP.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu sa spravidla neriešia exaktnými analytickými metódami.

Vyberme si určitý typ DSW, ktorý pripúšťa redukciu objednávky a redukuje ju na kvadratúru. Tieto typy rovníc a spôsoby zníženia ich poradia zhrnieme do tabuľky.

DP VP, umožňujúce zníženie objednávky

		Metóda zníženia kvality
	DU je neúplný, chýba . Napríklad,	Atď. Po n opakovanou integráciou získame všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
	Rovnica je neúplná; zjavne neobsahuje požadovanú funkciu a jej prvé deriváty. Napríklad,	Substitúcia zníži poradie rovnice o k Jednotky.
	neúplná rovnica; zjavne neobsahuje argument požadovanú funkciu. Napríklad,	Substitúcia poradie rovnice sa zníži o jednu.
	Rovnica je v presných deriváciách, môže byť úplná a neúplná. Takáto rovnica sa dá transformovať do tvaru (*) ́= (*) ́, kde pravá a ľavá časť rovnice sú presné derivácie niektorých funkcií.	Integrácia pravej a ľavej strany rovnice vzhľadom na argument zníži poradie rovnice o jednu.
		Substitúcia zníži poradie rovnice o jednu.

Definícia homogénnej funkcie:

Funkcia
sa nazýva homogénna v premenných
, Ak


v ktoromkoľvek bode rozsahu funkcie
;

je poriadok homogenity.

Napríklad je homogénna funkcia 2. rádu vzhľadom na
, t.j. .

Príklad 1:

Nájdite všeobecné riešenie DE
.

DE 3. rádu, neúplné, výslovne neobsahuje
. Integrujte rovnicu trikrát za sebou.

,

je všeobecným riešením DE.

Príklad 2:

Vyriešte Cauchyho problém pre DE
pri

.

DE druhého rádu, neúplné, výslovne neobsahuje .

Substitúcia
a jeho derivát
znižuje poradie DE o jednu.

. Prijaté DE prvého rádu - Bernoulliho rovnica. Na vyriešenie tejto rovnice použijeme Bernoulliho substitúciu:

,

a zapojte ho do rovnice.

V tejto fáze riešime Cauchyho úlohu pre rovnicu
:
.

je rovnica prvého rádu s oddeliteľnými premennými.

Do poslednej rovnosti dosadíme počiatočné podmienky:

odpoveď:
je riešenie Cauchyho úlohy, ktoré spĺňa počiatočné podmienky.

Príklad 3:

Vyriešte DU.

– DE 2. rádu, neúplné, neobsahuje explicitne premennú , a preto umožňuje znížiť poradie o jeden pomocou substitúcie resp.
.

Dostaneme rovnicu
(nech
).

– DE 1. rádu s oddeľovacími premennými. Poďme sa o ne podeliť.

je všeobecný integrál DE.

Príklad 4:

Vyriešte DU.

Rovnica
je presná derivačná rovnica. naozaj,
.

Integrujme ľavú a pravú časť vzhľadom na , t.j.
alebo . Prijaté DE 1. rádu s oddeliteľnými premennými, t.j.
je všeobecný integrál DE.

Príklad 5:

Vyriešte Cauchyho problém pre
v .

DE 4. rádu, neúplné, výslovne neobsahuje
. Poznamenávame, že táto rovnica je v presných deriváciách, dostávame
alebo
,
. Do tejto rovnice dosadíme počiatočné podmienky:
. Zoberme si diaľkové ovládanie
3. rádu prvého typu (pozri tabuľku). Integrujme to trikrát a po každej integrácii dosadíme do rovnice počiatočné podmienky:

odpoveď:
- riešenie Cauchyho problému pôvodného DE.

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu.

– DE 2. rádu, úplné, obsahuje jednotnosť vzhľadom na
. Substitúcia
zníži poradie rovnice. Aby sme to dosiahli, zredukujeme rovnicu do tvaru
, delením oboch strán pôvodnej rovnice číslom . A rozlišujeme funkciu p:

.

Náhradník
A
v DU:
. Toto je separovateľná premenná rovnica 1. rádu.

Vzhľadom na to
, dostaneme DE resp
je všeobecné riešenie pôvodného DE.

Teória lineárnych diferenciálnych rovníc vyššieho rádu.

Základná terminológia.

– NLDU poriadku, kde sú spojité funkcie na nejakom intervale .

Nazýva sa to interval kontinuity DE (3).

Zaveďme (podmienený) diferenciálny operátor tého rádu

Keď pôsobí na funkciu, dostaneme

To znamená ľavú stranu lineárneho DE -tého rádu.

Výsledkom je, že LDE je možné zapísať

Vlastnosti lineárneho operátora
:

1) - vlastnosť aditívnosti

2)
– číslo – vlastnosť homogenity

Vlastnosti sa dajú ľahko overiť, pretože derivácie týchto funkcií majú podobné vlastnosti (konečný súčet derivácií sa rovná súčtu konečného počtu derivácií; konštantný faktor možno odobrať zo znamienka derivácie).

To.
je lineárny operátor.

Zvážte otázku existencie a jedinečnosti riešenia Cauchyho problému pre LDE
.

Poďme riešiť LDE s ohľadom na
: ,
, je interval spojitosti.

Funkcia je spojitá v obore , derivácie
v regióne nepretržite

Preto doména jedinečnosti , v ktorej má Cauchyho problém LDE (3) jedinečné riešenie a závisí len od výberu bodu
, všetky ostatné hodnoty argumentov
funkcie
možno brať ľubovoľne.

Všeobecná teória OLDU.

je interval spojitosti.

Hlavné vlastnosti riešení OLDDE:

1. Aditívna vlastnosť

(
– OLDDE riešenie (4) na )
(
je riešením OLDDE (4) na ).

dôkaz:

je riešením OLDDE (4) na

je riešením OLDDE (4) na

Potom

2. Vlastnosť homogenity

( je riešením OLDDE (4) dňa ) (
(- číselné pole))

je riešením OLDDE (4) na .

Dokazuje sa to podobne.

Vlastnosti aditivity a homogenity sa nazývajú lineárne vlastnosti OLDE (4).

Dôsledok:

(
– riešenie OLDDE (4) dňa )(

je riešením OLDDE (4) na ).

3. ( je komplexné riešenie OLDDE (4) na )(
sú reálne hodnotené riešenia OLDDE (4) na ).

dôkaz:

Ak je riešenie OLDDE (4) na , tak pri dosadzovaní do rovnice ho zmení na identitu, t.j.
.

Kvôli linearite operátora možno ľavú stranu poslednej rovnosti zapísať takto:
.

To znamená, že ide o riešenia s reálnou hodnotou OLDDE (4) na .

Nasledujúce vlastnosti riešení OLDDE súvisia s pojmom „ lineárna závislosť”.

Určenie lineárnej závislosti konečného systému funkcií

Systém funkcií sa nazýva lineárne závislý od toho, či existuje netriviálne súbor čísel
taká, že lineárna kombinácia
funkcie
s týmito číslami sa zhodne rovná nule na , t.j.
.n , čo je nesprávne. Veta je dokázaná.diferenciál rovnicevyššieobjednávky(4 hodiny...

Diferenciálne rovnice druhého a vyšších rádov.
Lineárne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Príklady riešení.

Prechádzame k úvahám o diferenciálnych rovniciach druhého rádu a diferenciálnych rovniciach vyšších rádov. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je diferenciálna rovnica (alebo vôbec nerozumiete, čo to je), odporúčam začať lekciou Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. Mnohé princípy riešenia a základné koncepty difúr prvého rádu sa automaticky rozšíria na diferenciálne rovnice vyššieho rádu, takže je veľmi dôležité najprv pochopiť rovnice prvého poriadku.

Mnohí čitatelia môžu mať predsudok, že DE 2., 3. a iných rádov je niečo veľmi ťažké a pre zvládnutie nedostupné. Toto je nesprávne . Naučiť sa riešiť difúzy vyššieho rádu je sotva ťažšie ako „obyčajné“ DE 1. rádu. A na niektorých miestach je to ešte jednoduchšie, keďže pri rozhodovaní sa aktívne využíva materiál školských osnov.

Najpopulárnejší diferenciálne rovnice druhého rádu. Do diferenciálnej rovnice druhého rádu Nevyhnutne zahŕňa druhý derivát a nezahŕňa

Treba si uvedomiť, že niektoré z bábätiek (a dokonca všetky naraz) môžu v rovnici chýbať, dôležité je, aby bol otec doma. Najprimitívnejšia diferenciálna rovnica druhého rádu vyzerá takto:

Diferenciálne rovnice tretieho rádu v praktických úlohách sú oveľa menej bežné, podľa mojich subjektívnych pozorovaní v Štátnej dume by získali asi 3-4% hlasov.

Do diferenciálnej rovnice tretieho rádu Nevyhnutne zahŕňa tretiu deriváciu a nezahŕňa deriváty vyšších rádov:

Najjednoduchšia diferenciálna rovnica tretieho rádu vyzerá takto: - otec je doma, všetky deti sú na prechádzke.

Podobne je možné definovať diferenciálne rovnice 4., 5. a vyššieho rádu. V praktických problémoch takéto DE skĺzne extrémne zriedkavo, pokúsim sa však uviesť relevantné príklady.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré sa navrhujú v praktických úlohách, možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín.

1) Prvá skupina – tzv rovnice nižšieho rádu. Lietať v!

2) Druhá skupina - lineárne rovnice vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi. O čom začneme uvažovať práve teraz.

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

V teórii a praxi sa rozlišujú dva typy takýchto rovníc - homogénna rovnica A nehomogénna rovnica.

Homogénna DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi má nasledujúci tvar:
, kde a sú konštanty (čísla) a na pravej strane - prísne nula.

Ako vidíte, s homogénnymi rovnicami nie sú žiadne zvláštne ťažkosti, hlavná vec je, že správne vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Niekedy existujú neštandardné homogénne rovnice, napríklad rovnica vo forme , kde pri druhej derivácii je nejaká konštanta , odlišná od jednoty (a samozrejme odlišná od nuly). Algoritmus riešenia sa vôbec nemení, treba pokojne zostaviť charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Ak je charakteristická rovnica bude mať dva rôzne skutočné korene, napríklad: , potom je možné všeobecné riešenie napísať obvyklým spôsobom: .

V niektorých prípadoch sa v dôsledku preklepu v stave môžu ukázať „zlé“ korene, niečo ako . Čo robiť, odpoveď bude musieť byť napísaná takto:

So "zlými" konjugovanými komplexnými koreňmi ako žiadny problém, všeobecné riešenie:

teda v každom prípade existuje všeobecné riešenie. Pretože každá kvadratická rovnica má dva korene.

V poslednom odseku, ako som sľúbil, stručne zvážime:

Lineárne homogénne rovnice vyššieho rádu

Všetko je veľmi, veľmi podobné.

Lineárna homogénna rovnica tretieho rádu má nasledujúci tvar:
, kde sú konštanty.
Pre túto rovnicu je potrebné zostaviť aj charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Charakteristická rovnica, ako mnohí uhádli, vyzerá takto:
, a to Každopádne Má presne tri koreň.

Nech sú napríklad všetky korene skutočné a odlišné: , potom môže byť všeobecné riešenie napísané takto:

Ak je jeden koreň skutočný a ostatné dva sú konjugované komplexy, potom napíšeme všeobecné riešenie takto:

Špeciálny prípad je, keď sú všetky tri korene násobné (rovnaké). Uvažujme o najjednoduchšom homogénnom DE 3. rádu s osamelým otcom: . Charakteristická rovnica má tri zhodné nulové korene. Všeobecné riešenie napíšeme takto:

Ak je charakteristická rovnica má napríklad tri viacnásobné korene, potom všeobecné riešenie je:

Príklad 9

Vyriešte homogénnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu

Riešenie: Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

, - získa sa jeden skutočný koreň a dva konjugované komplexné korene.

odpoveď: spoločné rozhodnutie

Podobne môžeme uvažovať o lineárnej homogénnej rovnici štvrtého rádu s konštantnými koeficientmi: , kde sú konštanty.