Čo sú vlastné vektory a vlastné hodnoty. Vlastné hodnoty (čísla) a vlastné vektory Príklady riešení

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Postupujte podľa môjho príkladu a do 5 minút budete môcť na svojej webovej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky A alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

SYSTÉM HOMOGÉNNYCH LINEÁRNYCH ROVNIC

Systém homogénnych lineárnych rovníc je systém tvaru

Je jasné, že v tomto prípade , pretože všetky prvky jedného zo stĺpcov v týchto determinantoch sa rovnajú nule.

Keďže neznáme sa nachádzajú podľa vzorcov , potom v prípade, keď Δ ≠ 0, systém má jedinečné nulové riešenie X = r = z= 0. V mnohých problémoch je však zaujímavá otázka, či homogénny systém má iné riešenia ako nula.

Veta. Aby systém lineárnych homogénnych rovníc mal nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.

Ak je teda determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie. Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečný počet riešení.

Príklady.

Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice

Nech je daná štvorcová matica , X je nejaký maticový stĺpec, ktorého výška sa zhoduje s poradím matice A. .

V mnohých problémoch je potrebné zvážiť rovnicu pre X

kde λ je nejaké číslo. Je jasné, že pre každé λ má táto rovnica nulové riešenie.

Číslo λ, pre ktoré má táto rovnica nenulové riešenia, sa nazýva vlastná hodnota matice A, A X lebo také λ sa nazýva vlastný vektor matice A.

Poďme nájsť vlastný vektor matice A. Pretože E∙X=X, potom je možné maticovú rovnicu prepísať ako alebo . V rozšírenej forme môže byť táto rovnica prepísaná ako systém lineárnych rovníc. Naozaj .

A preto

Získali sme teda systém homogénnych lineárnych rovníc na určenie súradníc x 1, x2, x 3 vektor X. Aby mala sústava nenulové riešenia, je potrebné a postačujúce, aby determinant sústavy bol rovný nule, t.j.

Toto je rovnica 3. stupňa vzhľadom na λ. Volá sa charakteristická rovnica matice A a slúži na určenie vlastných hodnôt λ.

Každá vlastná hodnota λ zodpovedá vlastnému vektoru X, ktorého súradnice sú určené zo systému pri zodpovedajúcej hodnote λ.

Príklady.

VEKTOROVÁ ALGEBRA. VEKTOROVÁ KONCEPCIA

Pri štúdiu rôznych odvetví fyziky existujú veličiny, ktoré sú úplne určené nastavením ich číselných hodnôt, napríklad dĺžka, plocha, hmotnosť, teplota atď. Takéto hodnoty sa nazývajú skalárne. Okrem nich však existujú aj veličiny, na určenie ktorých je okrem číselnej hodnoty potrebné poznať aj ich smer v priestore, napríklad sila pôsobiaca na teleso, rýchlosť a zrýchlenie. telesa, keď sa pohybuje v priestore, sila magnetického poľa v danom bode priestoru a pod. Takéto veličiny sa nazývajú vektorové veličiny.

Uveďme presnú definíciu.

Smerový segment Nazvime segment, vzhľadom na ktorého konce je známe, ktorý z nich je prvý a ktorý je druhý.

Vektor volá sa smerovaný segment, ktorý má určitú dĺžku, t.j. Toto je segment určitej dĺžky, v ktorom sa jeden z bodov, ktoré ho obmedzujú, považuje za začiatok a druhý za koniec. Ak A je začiatok vektora, B je jeho koniec, potom sa vektor označuje symbolom, okrem toho sa vektor často označuje jedným písmenom . Na obrázku je vektor označený segmentom a jeho smer šípkou.

modul alebo dlhý vektor sa nazýva dĺžka smerovaného segmentu, ktorý ho definuje. Označené || alebo ||.

Takzvaný nulový vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú, budeme tiež označovať ako vektory. Je označený. Nulový vektor nemá určený smer a jeho modul sa rovná nule ||=0.

Vektory a sú tzv kolineárne ak sú umiestnené na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. V tomto prípade, ak sú vektory a smerované rovnako, napíšeme opačne.

Nazývajú sa vektory umiestnené na priamkach rovnobežných s tou istou rovinou koplanárny.

Volajú sa dva vektory a rovný ak sú kolineárne, majú rovnaký smer a sú rovnako dlhé. V tomto prípade napíšte.

Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že vektor sa môže pohybovať rovnobežne so sebou samým umiestnením jeho počiatku do ľubovoľného bodu v priestore.

Napríklad.

LINEÁRNE OPERÁCIE NA VEKTOROCH

1. Násobenie vektora číslom.

   Súčin vektora číslom λ je nový vektor taký, že:

   Súčin vektora a čísla λ označujeme .

   

   Napríklad, je vektor smerujúci rovnakým smerom ako vektor a má polovičnú dĺžku ako vektor .

   Zadaná operácia má nasledovné vlastnosti:

2. Sčítanie vektorov.

   Dovoliť a byť dva ľubovoľné vektory. Vezmite ľubovoľný bod O a zostrojte vektor. Potom od veci A odložte vektor. Volá sa vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom druhého súčet týchto vektorov a je označený .

   

   Formulovaná definícia sčítania vektorov sa nazýva paralelogramové pravidlo, keďže rovnaký súčet vektorov možno získať nasledovne. Odložte od pointy O vektory a . Na týchto vektoroch zostrojte rovnobežník OABC. Keďže vektory , potom vektor , čo je uhlopriečka rovnobežníka nakreslená z vrcholu O, bude samozrejme súčtom vektorov .

   

   Je ľahké skontrolovať nasledujúce vlastnosti sčítania vektorov.

3. Rozdiel vektorov.

   Zavolá sa vektor kolineárny k danému vektoru , rovnakej dĺžky a opačne orientovaný opak vektor pre vektor a označuje sa ako . Opačný vektor možno považovať za výsledok násobenia vektora číslom λ = –1: .

Vlastný vektor štvorcovej matice je taký, ktorý po vynásobení danou maticou vedie ku kolineárnemu vektoru. Jednoducho povedané, keď je matica vynásobená vlastným vektorom, tento zostáva rovnaký, ale vynásobený nejakým číslom.

Definícia

Vlastný vektor je nenulový vektor V, ktorý sa po vynásobení štvorcovou maticou M stane sám sebou zvýšeným o nejaké číslo λ. V algebraickom zápise to vyzerá takto:

M × V = λ × V,

kde λ je vlastná hodnota matice M.

Zoberme si číselný príklad. Pre uľahčenie písania budú čísla v matici oddelené bodkočiarkou. Povedzme, že máme maticu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Vynásobme to stĺpcovým vektorom:

• V = -2;

Pri vynásobení matice stĺpcovým vektorom dostaneme aj stĺpcový vektor. V striktnom matematickom jazyku by vzorec na vynásobenie matice 2 × 2 stĺpcovým vektorom vyzeral takto:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 znamená prvok matice M, ktorý sa nachádza v prvom riadku a prvom stĺpci, a M22 je prvok umiestnený v druhom riadku a druhom stĺpci. Pre našu maticu sú tieto prvky M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pre stĺpcový vektor sú tieto hodnoty V11 = –2, V21 = 1. Podľa tohto vzorca dostaneme nasledovné výsledok súčinu štvorcovej matice vektorom:

• M x V = 0 x (-2) + (4) x (1) = 4;
• 6 x (-2) + 10 x (1) = -2.

Pre pohodlie napíšeme stĺpcový vektor do riadku. Štvorcovú maticu sme teda vynásobili vektorom (-2; 1), výsledkom čoho je vektor (4; -2). Je zrejmé, že ide o rovnaký vektor vynásobený λ = -2. Lambda v tomto prípade označuje vlastnú hodnotu matice.

Vlastný vektor matice je kolineárny vektor, to znamená objekt, ktorý nemení svoju polohu v priestore, keď je vynásobený maticou. Pojem kolinearity vo vektorovej algebre je podobný pojmu rovnobežnosť v geometrii. V geometrickej interpretácii sú kolineárne vektory paralelné smerované segmenty rôznych dĺžok. Od čias Euklida vieme, že jedna čiara má nekonečný počet čiar rovnobežných s ňou, takže je logické predpokladať, že každá matica má nekonečný počet vlastných vektorov.

Z predchádzajúceho príkladu je možné vidieť, že obe (-8; 4), aj (16; -8) a (32, -16) môžu byť vlastné vektory. Všetko sú to kolineárne vektory zodpovedajúce vlastnej hodnote λ = -2. Pri vynásobení pôvodnej matice týmito vektormi aj tak vo výsledku dostaneme vektor, ktorý sa od originálu líši 2-krát. Preto je pri riešení úloh na nájdenie vlastného vektora potrebné nájsť iba lineárne nezávislé vektorové objekty. Najčastejšie pre maticu n × n existuje n-tý počet vlastných vektorov. Naša kalkulačka je navrhnutá na analýzu štvorcových matíc druhého rádu, takže výsledkom je takmer vždy nájdenie dvoch vlastných vektorov, okrem prípadov, keď sa zhodujú.

Vo vyššie uvedenom príklade sme vopred poznali vlastný vektor pôvodnej matice a vizuálne sme určili číslo lambda. V praxi sa však všetko deje naopak: na začiatku sú vlastné hodnoty a až potom vlastné vektory.

Algoritmus riešenia

Pozrime sa ešte raz na pôvodnú maticu M a skúsme nájsť oba jej vlastné vektory. Matica teda vyzerá takto:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Na začiatok musíme určiť vlastnú hodnotu λ, pre ktorú musíme vypočítať determinant nasledujúcej matice:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Táto matica sa získa odčítaním neznámeho λ od prvkov na hlavnej diagonále. Determinant je určený štandardným vzorcom:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Keďže náš vektor nesmie byť nula, berieme výslednú rovnicu ako lineárne závislú a náš determinant detA prirovnáme k nule.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorme zátvorky a získame charakteristickú rovnicu matice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Toto je štandardná kvadratická rovnica, ktorú je potrebné vyriešiť z hľadiska diskriminantu.

D \u003d b 2 – 4ac \u003d (-10) × 2 – 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Koreň diskriminantu je sqrt(D) = 14, takže λ1 = -2, λ2 = 12. Teraz pre každú hodnotu lambda musíme nájsť vlastný vektor. Vyjadrime koeficienty sústavy pre λ = -2.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

V tomto vzorci je E matica identity. Na základe získanej matice zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

2x + 4 roky = 6x + 12 rokov

kde x a y sú prvky vlastného vektora.

Zozbierajme všetky X na ľavej strane a všetky Y na pravej strane. Samozrejme - 4x = 8r. Rozdeľte výraz číslom - 4 a získajte x = -2y. Teraz môžeme určiť prvý vlastný vektor matice tým, že vezmeme ľubovoľné hodnoty neznámych (pamätajte na nekonečno lineárne závislých vlastných vektorov). Zoberme si y = 1, potom x = -2. Preto prvý vlastný vektor vyzerá ako V1 = (–2; 1). Vráťte sa na začiatok článku. Bol to tento vektorový objekt, ktorým sme vynásobili maticu, aby sme demonštrovali koncept vlastného vektora.

Teraz nájdime vlastný vektor pre λ = 12.

• M - X x E = -12; 4
• 6; -2.

Zostavme rovnaký systém lineárnych rovníc;

• -12x + 4r = 6x − 2r
• -18x = -6r
• 3x=y.

Teraz zoberme x = 1, teda y = 3. Druhý vlastný vektor teda vyzerá ako V2 = (1; 3). Pri vynásobení pôvodnej matice týmto vektorom bude výsledkom vždy rovnaký vektor vynásobený 12. Tým je algoritmus riešenia hotový. Teraz viete, ako ručne definovať vlastný vektor matice.

• determinant;
• stopa, teda súčet prvkov na hlavnej diagonále;
• poradie, t.j. maximálny počet lineárne nezávislých riadkov/stĺpcov.

Program pracuje podľa vyššie uvedeného algoritmu, čím sa minimalizuje proces riešenia. Je dôležité upozorniť, že v programe je lambda označená písmenom „c“. Pozrime sa na číselný príklad.

Príklad programu

Pokúsme sa definovať vlastné vektory pre nasledujúcu maticu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Zadajte tieto hodnoty do buniek kalkulačky a získajte odpoveď v nasledujúcom tvare:

• Poradie matice: 2;
• Maticový determinant: 18;
• Maticová stopa: 19;
• Výpočet vlastného vektora: c 2 − 19,00c + 18,00 (charakteristická rovnica);
• Výpočet vlastného vektora: 18 (prvá hodnota lambda);
• Výpočet vlastného vektora: 1 (druhá hodnota lambda);
• Sústava rovníc vektora 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Systém rovnice vektora 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastný vektor 1: (1; 1);
• Vlastný vektor 2: (-3,25; 1).

Takto sme získali dva lineárne nezávislé vlastné vektory.

Záver

Lineárna algebra a analytická geometria sú štandardné predmety pre každého nováčika v inžinierstve. Veľké množstvo vektorov a matíc je desivé a pri takýchto ťažkopádnych výpočtoch je ľahké urobiť chybu. Náš program umožní študentom skontrolovať svoje výpočty alebo automaticky vyriešiť problém s nájdením vlastného vektora. V našom katalógu sú aj ďalšie kalkulačky lineárnej algebry, využite ich pri štúdiu alebo práci.

Definícia 9.3. Vektor X volal vlastný vektor matice A ak existuje také číslo λ, že platí rovnosť: A X= λ X, teda výsledok prihlášky do X lineárna transformácia daná maticou A, je vynásobenie tohto vektora číslom λ . Samotné číslo λ volal vlastné číslo matice A.

Nahrádzanie do vzorcov (9.3) x`j = λxj, získame sústavu rovníc na určenie súradníc vlastného vektora:

. (9.5)

Tento lineárny homogénny systém bude mať netriviálne riešenie iba vtedy, ak jeho hlavný determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapísaním tejto podmienky vo forme:

dostaneme rovnicu na určenie vlastných hodnôt λ volal charakteristická rovnica. Stručne to možno znázorniť takto:

| A-λE | = 0, (9.6)

keďže jeho ľavá strana je determinantom matice A-λE. Polynóm vzhľadom na λ | A-λE| volal charakteristický polynóm matrice a.

Vlastnosti charakteristického polynómu:

1) Charakteristický polynóm lineárnej transformácie nezávisí od výberu bázy. Dôkaz. (pozri (9.4)), ale teda,. Nezáleží teda na výbere základu. Preto a | A-λE| sa pri prechode na nový základ nemení.

2) Ak je matica A lineárna transformácia je symetrické(tie. a ij = a ji), potom všetky korene charakteristickej rovnice (9.6) sú reálne čísla.

Vlastnosti vlastných čísel a vlastných vektorov:

1) Ak zvolíme základ z vlastných vektorov x 1, x 2, x 3 zodpovedajúce vlastným hodnotám λ1, λ2, λ3 matice A, potom v tomto základe má lineárna transformácia A diagonálnu maticu:

(9.7) Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z definície vlastných vektorov.

2) Ak transformácia vlastné hodnoty A sú rôzne, potom im zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.

3) Ak je charakteristický polynóm matice A má tri rôzne korene, potom v nejakom základe matice A má diagonálny tvar.

Poďme nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory matice Urobme charakteristickú rovnicu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nájdite súradnice vlastných vektorov zodpovedajúcich každej nájdenej hodnote λ. Z (9.5) vyplýva, že ak X (1) ={x 1, x 2, x 3) je vlastný vektor zodpovedajúci λ 1 = -2, teda

je kolaboratívny, ale neurčitý systém. Jeho riešenie možno zapísať ako X (1) ={a,0,-a), kde a je ľubovoľné číslo. Najmä ak to požadujete | X (1) |=1, X (1) =

Nahradenie do systému (9.5) λ 2 = 3, dostaneme systém na určenie súradníc druhého vlastného vektora - X (2) ={y1, y2, y3}:

, kde X (2) ={b, -b, b) alebo, ak | X (2) |=1, X (2) =

Pre λ 3 = 6 nájdite vlastný vektor X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={c,2c,c) alebo v normalizovanej verzii

x (3) = Je to vidieť X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Vlastné vektory tejto matice sú teda párovo ortogonálne.

Prednáška 10

Kvadratické formy a ich spojenie so symetrickými maticami. Vlastnosti vlastných vektorov a vlastných hodnôt symetrickej matice. Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu.

Definícia 10.1.kvadratická forma reálne premenné x 1, x 2,…, x n nazýva sa polynóm druhého stupňa vzhľadom na tieto premenné, ktorý neobsahuje voľný člen a členy prvého stupňa.

Príklady kvadratických foriem:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Pripomeňme si definíciu symetrickej matice uvedenú v poslednej prednáške:

Definícia 10.2.Štvorcová matica sa nazýva symetrické, ak , teda ak sú prvky matice symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku rovnaké.

Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov symetrickej matice:

1) Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.

Dôkaz (pre n = 2).

Nechajte maticu A vyzerá ako: . Urobme charakteristickú rovnicu:

(10.2) Nájdite diskriminant:

Preto má rovnica len skutočné korene.

2) Vlastné vektory symetrickej matice sú ortogonálne.

Dôkaz (pre n= 2).

Súradnice vlastných vektorov a musia spĺňať rovnice.