Optimálna hodnota účelovej funkcie je tzv. Testy na kontrolu súčasných vedomostí

Tretí riadok vydelíme kľúčovým prvkom rovným 5, dostaneme tretí riadok novej tabuľky.

Základné stĺpce zodpovedajú jednotlivým stĺpcom.

Výpočet zostávajúcich tabuľkových hodnôt:

"BP - základný plán":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Hodnoty riadku indexu sú nezáporné, preto získame optimálne riešenie: , ; .

odpoveď: maximálny zisk z predaja vyrobených výrobkov vo výške 160/3 jednotiek je zabezpečený uvoľnením iba výrobkov druhého typu v množstve 80/9 jednotiek.

Úloha číslo 2

Problém nelineárneho programovania je daný. Nájdite maximum a minimum účelovej funkcie pomocou grafovo-analytickej metódy. Zostavte Lagrangeovu funkciu a ukážte, že v extrémnych bodoch sú splnené dostatočné minimálne (maximálne) podmienky.

Pretože posledná číslica šifry je 8, potom A=2; B = 5.

Pretože predposledná číslica šifry je 1, potom by ste mali zvoliť úlohu číslo 1.

Riešenie:

1) Nakreslíme oblasť, ktorú vymedzuje systém nerovností.

Táto oblasť je trojuholník ABC so súradnicami vrcholov: A(0; 2); B(4; 6) a C(16/3; 14/3).

Úrovne cieľových funkcií sú kruhy so stredom v bode (2; 5). Druhé mocniny polomerov budú hodnotami cieľovej funkcie. Potom obrázok ukazuje, že minimálna hodnota účelovej funkcie sa dosiahne v bode H, maximálna hodnota je buď v bode A alebo v bode C.

Hodnota účelovej funkcie v bode A: ;

Hodnota účelovej funkcie v bode C: ;

To znamená, že maximálna hodnota funkcie je dosiahnutá v bode A(0; 2) a rovná sa 13.

Nájdite súradnice bodu H.

Ak to chcete urobiť, zvážte systém:

ó

ó

Čiara je dotyčnicou kružnice, ak má rovnica jedinečné riešenie. Kvadratická rovnica má jedinečné riešenie, ak je diskriminant 0.

Potom ; ; - minimálna hodnota funkcie.

2) Vytvorte Lagrangeovu funkciu, aby ste našli minimálne riešenie:

O X 1 =2.5; X 2 =4.5 dostaneme:

ó

Systém má riešenie pre , t.j. sú splnené dostatočné extrémne podmienky.

Na nájdenie maximálneho riešenia zostavíme Lagrangeovu funkciu:

Dostatočné podmienky pre extrém:

O X 1 =0; X 2 =2 dostaneme:

ó ó

Systém má aj riešenie, t.j. sú splnené dostatočné extrémne podmienky.

odpoveď: minimum cieľovej funkcie sa dosiahne pri ; ; maximálna účelová funkcia sa dosiahne vtedy ; .

Úloha číslo 3

Dvom podnikom sú pridelené finančné prostriedky vo výške d Jednotky. Pri pridelení prvému podniku na rok X jednotiek fondov, z ktorých poskytuje príjem k 1 X jednotky a pri pridelení druhému podniku r jednotiek fondov, poskytuje príjem k 1 r Jednotky. Stav prostriedkov na konci roka za prvý podnik sa rovná nx a za druhé môj. Ako rozložiť všetky prostriedky do 4 rokov tak, aby celkový príjem bol čo najväčší? Vyriešte problém dynamickým programovaním.

i = 8, k = 1.

A = 2200; ki = 6; k2 = 1; n = 0,2; m = 0,5.

Riešenie:

Celé obdobie 4 rokov je rozdelené do 4 etáp, z ktorých každá sa rovná jednému roku. Očíslujme etapy od prvého ročníka. Nech X k a Y k sú finančné prostriedky pridelené podnikom A a B v k-tej fáze. Potom súčet X k + Y k =a k je celkový objem prostriedkov použitých v k - tej etape a zostávajúcich z predchádzajúcej etapy k - 1. v prvej etape sú použité všetky pridelené prostriedky a a 1 = 2200 jednotiek. príjem, ktorý sa získa vo fáze k, keď sa pridelia jednotky X k a Y k, bude 6X k + 1Y k . nech maximálny príjem získaný v posledných fázach počnúc od k - tejto fáze je f k (ak) jednotiek. Napíšme Bellmanovu funkčnú rovnicu vyjadrujúcu princíp optimality: bez ohľadu na počiatočný stav a počiatočné riešenie, následné riešenie musí byť optimálne vzhľadom na stav získaný ako výsledok počiatočného stavu:

Pre každú fázu musíte vybrať hodnotu X k a hodnotu Y k=ak- Xk. S ohľadom na to nájdeme príjem v k-tej fáze:

Funkčná Bellmanova rovnica bude vyzerať takto:

Zvážte všetky fázy, počnúc poslednou.

(keďže maximum lineárnej funkcie sa dosiahne na konci segmentu pri x 4 = a 4);

Na rovine zostrojíme množinu realizovateľných riešení sústavy lineárnych nerovníc a geometricky nájdeme minimálnu hodnotu účelovej funkcie.

Staviame v súradnicovom systéme x 1 oh 2 riadky

Nájdeme polroviny určené sústavou. Keďže nerovnosti systému sú splnené pre ľubovoľný bod z príslušnej polroviny, stačí ich skontrolovať pre ľubovoľný jeden bod. Používame bod (0;0). Dosaďte jej súradnice do prvej nerovnosti systému. Pretože , potom nerovnosť definuje polrovinu, ktorá neobsahuje bod (0;0). Podobne definujeme zvyšné polroviny. Množinu realizovateľných riešení nájdeme ako bežnú súčasť získaných polrovín - to je zatienená plocha.

Postavíme vektor a naň kolmú priamku nulovej úrovne.

Pohybom priamky (5) v smere vektora vidíme, že maximálny bod oblasti bude v bode A priesečníka priamky (3) a priamky (2). Nájdeme riešenie sústavy rovníc:

Takže sme dostali bod (13;11) a.

Pohybom priamky (5) v smere vektora vidíme, že minimálny bod oblasti bude v bode B priesečníka priamky (1) a priamky (4). Nájdeme riešenie sústavy rovníc:

Takže sme dostali bod (6;6) a.

2. Nábytkárska spoločnosť vyrába kombinované skrine a počítačové stoly. Ich výroba je limitovaná dostupnosťou surovín (kvalitné dosky, tvarovky) a dobou prevádzky strojov, ktoré ich spracúvajú. Každá skrinka vyžaduje 5 m2 dosiek, pre stôl - 2 m2. Kovanie za 10 dolárov sa minie na jednu skrinku a 8 dolárov na jeden stôl. Spoločnosť môže od svojich dodávateľov získať až 600 m2 dosiek mesačne a príslušenstvo za 2000 dolárov. Pre každú skrinku je potrebných 7 hodín strojovej práce, pre stôl - 3 hodiny. Mesačne je možné využiť len 840 hodín prevádzky stroja.

Koľko kombinovaných skríň a počítačových stolov by mala firma vyrobiť za mesiac, aby maximalizovala zisk, ak jedna skriňa prinesie 100 USD a každý stôl zarobí 50 USD?

• 1. Zostavte matematický model úlohy a vyriešte ho simplexovou metódou.
• 2. Zostavte matematický model duálnej úlohy, zapíšte jej riešenie na základe riešenia pôvodnej.
• 3. Určiť mieru vzácnosti použitých zdrojov a zdôvodniť rentabilitu optimálneho plánu.
• 4. Preskúmajte možnosti ďalšieho zvyšovania produkcie v závislosti od využitia jednotlivých druhov zdrojov.
• 5. Posúdiť uskutočniteľnosť zavedenia nového typu produktu - regálov, ak sa na výrobu jednej police vynaloží 1 m 2 dosiek a príslušenstva za 5 USD a je potrebných 0,25 hodiny prevádzky stroja a zisk z predaja jedna polica je 20 dolárov.
• 1. Zostavme matematický model pre tento problém:

Označme x 1 - objem výroby skríň a x 2 - objem výroby stolov. Zostavme si systém obmedzení a cieľovú funkciu:

Úlohu riešime simplexnou metódou. Napíšme to v kanonickej forme:

Zapíšme si údaje o úlohe vo forme tabuľky:

stôl 1

Pretože teraz sú všetky delty väčšie ako nula, potom ďalšie zvyšovanie hodnoty cieľovej funkcie f je nemožné a získali sme optimálny plán.

Úvod

Moderná etapa vývoja ľudstva je iná v tom, že storočie energetiky nahrádza doba informatiky. Dochádza k intenzívnemu zavádzaniu nových technológií do všetkých sfér ľudskej činnosti. Existuje skutočný problém prechodu do informačnej spoločnosti, pre ktorý by sa rozvoj vzdelávania mal stať prioritou. Mení sa aj štruktúra vedomostí v spoločnosti. Pre praktický život sú čoraz dôležitejšie základné poznatky, ktoré prispievajú k tvorivému rozvoju jednotlivca. Dôležitá je aj konštruktívnosť získaných vedomostí, schopnosť ich štruktúrovať v súlade s cieľom. Na základe poznatkov sa formujú nové informačné zdroje spoločnosti. Formovanie a získavanie nových poznatkov by malo byť založené na prísnej metodológii systematického prístupu, v rámci ktorého samostatné miesto zastáva modelový prístup. Možnosti modelovacieho prístupu sú mimoriadne rozmanité tak z hľadiska použitých formálnych modelov, ako aj spôsobov implementácie metód modelovania. Fyzikálne modelovanie umožňuje získať spoľahlivé výsledky pre pomerne jednoduché systémy.

V súčasnosti nie je možné pomenovať oblasť ľudskej činnosti, v ktorej by sa v tej či onej miere nepoužívali metódy modelovania. Platí to najmä pre riadenie rôznych systémov, kde hlavnými sú rozhodovacie procesy na základe prijatých informácií.

1. Vyjadrenie problému

minimálna objektívna funkcia

Vyriešte úlohu hľadania minima účelovej funkcie pre sústavu obmedzení zadanú rozhodovacím polygónom v súlade s možnosťou č. 16 úlohy. Rozhodovací polygón je znázornený na obrázku 1:

Obrázok 1 - Mnohouholník riešení problémov

Systém obmedzení a objektívna funkcia problému sú uvedené nižšie:

Je potrebné vyriešiť problém pomocou nasledujúcich metód:

Grafická metóda riešenia úloh LP;

Algebraická metóda na riešenie úloh LP;

Simplexná metóda na riešenie problémov LP;

Metóda na nájdenie realizovateľného riešenia problémov LP;

Riešenie problému duálneho LP;

Metóda "vetví a hraníc" na riešenie celočíselných úloh LP;

Gomoryho metóda na riešenie celočíselných úloh LP;

Balash metóda na riešenie booleovských LP problémov.

Porovnajte výsledky riešenia rôznymi metódami, aby ste vyvodili príslušné závery o práci.

2. Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania

Grafická metóda na riešenie úloh lineárneho programovania sa používa v prípadoch, keď počet neznámych nepresahuje tri. Je vhodný na kvalitatívne štúdium vlastností roztokov a používa sa v spojení s inými metódami (algebraické, vetvové a viazané atď.). Myšlienka metódy je založená na grafickom riešení systému lineárnych nerovností.

Ryža. 2 Grafické riešenie úlohy LP

Nízky bod

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi A1 a A2:

AB: (0;1); (3;3)

Slnko: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

s obmedzeniami:

Riešenie úlohy lineárneho programovania algebraickou simplexovou metódou

Aplikácia algebraickej metódy na riešenie úlohy si vyžaduje zovšeobecnenie reprezentácie úlohy LP. Pôvodný systém obmedzení uvedený vo forme nerovností sa prevedie na štandardný zápis, keď sú obmedzenia uvedené vo forme rovnosti. Konverzia systému obmedzení na štandardný formulár zahŕňa nasledujúce kroky:

Nerovnice transformujte tak, že premenné a voľné členy sú vľavo a 0 vpravo, t.j. aby ľavá strana bola väčšia alebo rovná nule;

Zaviesť ďalšie premenné, ktorých počet sa rovná počtu nerovností v systéme obmedzení;

Zavedením dodatočných obmedzení na nezápornosť pridaných premenných nahraďte znaky nerovností znakmi prísnej rovnosti.

Pri riešení úlohy LP algebraickou metódou sa pridáva podmienka: účelová funkcia by mala smerovať k minimu. Ak táto podmienka nie je splnená, je potrebné účelovú funkciu vhodne transformovať (vynásobiť -1) a vyriešiť problém minimalizácie. Po nájdení riešenia nahraďte hodnoty premenných v pôvodnej funkcii a vypočítajte jej hodnotu.

Riešenie problému pomocou algebraickej metódy sa považuje za optimálne, keď sú hodnoty všetkých základných premenných nezáporné a koeficienty voľných premenných v rovnici cieľovej funkcie sú tiež nezáporné. Ak tieto podmienky nie sú splnené, je potrebné transformovať systém nerovností, vyjadrujúcich niektoré premenné inými (meniace sa voľné a základné premenné), aby sa dosiahli vyššie uvedené obmedzenia. Predpokladá sa, že hodnota všetkých voľných premenných je nulová.

Algebraická metóda riešenia úloh lineárneho programovania je jednou z najefektívnejších metód na manuálne riešenie problémov malých rozmerov. nevyžaduje veľké množstvo aritmetických výpočtov. Strojová realizácia tejto metódy je zložitejšia ako napríklad pri simplexovej metóde, pretože Algoritmus riešenia algebraickej metódy je do určitej miery heuristický a efektivita riešenia do značnej miery závisí od osobných skúseností.

voľné premenné

St. pruh - pridať. súprava

Podmienky nezápornosti sú splnené, preto sa nájde optimálne riešenie.

3. Riešenie úlohy lineárneho programovania pomocou simplexnej tabuľky

Riešenie: Uveďme úlohu do štandardnej formy na riešenie pomocou simplexnej tabuľky.

Všetky rovnice systému zredukujeme do tvaru:

Zostavíme simplexnú tabuľku:

V hornom rohu každej bunky tabuľky zadáme koeficienty zo sústavy rovníc;

Vyberieme maximálny kladný prvok v riadku F, okrem toho, že to bude všeobecný stĺpec;

Aby sme našli všeobecný prvok, budujeme vzťah pre všetky pozitívne. 3/3; 9/1;- minimálny pomer v riadku x3. Preto - všeobecný reťazec a =3 - všeobecný prvok.

Nájdeme =1/=1/3. Prinášame do dolného rohu bunky, kde sa nachádza všeobecný prvok;

Vo všetkých nevyplnených dolných rohoch všeobecného riadku zadáme súčin hodnoty v hornom rohu bunky o;

Vyberte horné rohy všeobecnej čiary;

Vo všetkých dolných rohoch všeobecného stĺpca zadáme súčin hodnoty v hornom rohu pomocou - a vyberieme výsledné hodnoty;

Zvyšné bunky tabuľky sú vyplnené ako produkty zodpovedajúcich vybraných prvkov;

Potom vytvoríme novú tabuľku, v ktorej sú označenia buniek prvkov všeobecného stĺpca a riadku obrátené (x2 a x3);

V hornom rohu bývalého všeobecného riadku a stĺpca sú napísané hodnoty, ktoré boli predtým v dolnom rohu;

Súčet hodnôt horných a dolných rohov týchto buniek v predchádzajúcej tabuľke je napísaný v hornom rohu zostávajúcich buniek

4. Riešenie problému lineárneho programovania nájdením realizovateľného riešenia

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc:

Môžeme predpokladať, že všetko, inak zodpovedajúcu rovnicu vynásobíme -1.

Zavádzame pomocné premenné:

Zavádzame aj pomocnú funkciu

Budeme minimalizovať systém pod obmedzeniami (2) a podmienkami.

PRAVIDLO PRE HĽADANIE PRÍJEMNÉHO RIEŠENIA: Aby sme našli realizovateľné riešenie systému (1), minimalizujeme tvar (3) pod obmedzeniami (2), ako voľné neznáme berieme xj ako základné.

Pri riešení problému simplexnou metódou môžu nastať dva prípady:

min f=0, potom sa všetky i musia rovnať nule. A výsledné hodnoty xj budú realizovateľným riešením systému (1).

min f>0, t.j. pôvodný systém nemá realizovateľné riešenie.

Zdrojový systém:

Používa sa podmienka problému predchádzajúcej témy.

Pridajme ďalšie premenné:

Nájdené prípustné riešenie pôvodnej úlohy: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Na základe získaného realizovateľného riešenia nájdeme optimálne riešenie pôvodného problému pomocou simplexovej metódy. Za týmto účelom vytvoríme novú simplexnú tabuľku z tabuľky získanej vyššie vymazaním riadku a riadku s cieľovou funkciou pomocnej úlohy:

Pri analýze zostrojenej simplexovej tabuľky vidíme, že optimálne riešenie pre pôvodný problém už bolo nájdené (prvky v riadku zodpovedajúcej účelovej funkcii sú záporné). Uskutočniteľné riešenie nájdené pri riešení pomocného problému sa teda zhoduje s optimálnym riešením pôvodného problému:

6. Duálny problém lineárneho programovania

Počiatočný systém obmedzení a objektívna funkcia problému sú znázornené na obrázku nižšie.

s obmedzeniami:

Riešenie: Systém obmedzení prinášame do štandardnej podoby:

Dvojitá úloha k tejto bude vyzerať takto:

Duálny problém bude vyriešený simplexnou metódou.

Transformujme účelovú funkciu tak, aby bol minimalizačný problém vyriešený a zapíšme si systém obmedzení v štandardnom tvare na riešenie simplexovou metódou.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 + y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Zostavme počiatočné simplexné tablo na riešenie problému duálneho LP.

Druhý krok simplexovej metódy

Takže v treťom kroku simplexovej metódy sa našlo optimálne riešenie minimalizačného problému s nasledujúcimi výsledkami: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Aby sme našli hodnotu objektívnej funkcie duálneho problému dosadíme nájdené hodnoty základných a voľných premenných do maximalizačnej funkcie:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Keďže hodnota objektívnej funkcie priamej a duálnej úlohy je rovnaká, riešenie priamej úlohy sa nájde a rovná sa 12.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. Riešenie úlohy celočíselného lineárneho programovania metódou „vetvy a hranice“.

Transformujme pôvodný problém tak, aby pri riešení konvenčnými metódami nebola splnená celočíselná podmienka.

Počiatočný mnohouholník riešení problému celočíselného programovania.

Skonštruujme nový systém obmedzení pre transformovaný polygón riešenia.

Systém obmedzení zapíšeme vo forme rovnosti na riešenie algebraickou metódou.

Výsledkom riešenia bol nájdený optimálny plán úloh: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Toto riešenie nespĺňa podmienku integrity nastavenú v úlohe. Pôvodný polygón riešenia rozdelíme na dve oblasti, pričom oblasť 3 z neho vylúčime

Zmenený polygón riešení problémov

Zostavme nové systémy obmedzení pre vytvorené oblasti polygónu riešenia. Ľavá oblasť je štvoruholník (lichobežník). Systém obmedzení pre ľavú oblasť polygónu riešenia je uvedený nižšie.

Reštrikčný systém pre ľavú oblasť

Pravá oblasť predstavuje bod C.

Systém obmedzení pre správnu oblasť rozhodovania je uvedený nižšie.

Nové systémy obmedzení sú dva vedľajšie problémy, ktoré je potrebné vyriešiť nezávisle od seba. Vyriešme problém celočíselného programovania pre ľavú oblasť polygónu riešenia.

Výsledkom riešenia bol optimálny plán úloh: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Tento plán spĺňa podmienku celočíselných premenných v probléme a možno ho považovať za optimálny referenčný plán pre pôvodný problém celočíselného lineárneho programovania. Nemá zmysel realizovať riešenie pre správny región riešenia. Na obrázku nižšie je znázornený priebeh riešenia problému celočíselného lineárneho programovania vo forme stromu.

Priebeh riešenia úlohy celočíselného lineárneho programovania Gomoryho metódou.

V mnohých praktických aplikáciách je problém celočíselného programovania veľmi zaujímavý, v ktorom je daný systém lineárnych nerovností a lineárny tvar.

Je potrebné nájsť celočíselné riešenie systému (1), ktoré minimalizuje cieľovú funkciu F a všetky koeficienty sú celé čísla.

Jednu z metód riešenia problému celočíselného programovania navrhol Gomori. Myšlienkou metódy je použitie metód spojitého lineárneho programovania, najmä simplexnej metódy.

1) Simplexovou metódou sa určí riešenie úlohy (1), (2), pre ktorú je odstránená požiadavka, aby riešenie bolo celé číslo; ak sa ukáže, že riešenie je celé číslo, potom sa nájde aj požadované riešenie celočíselného problému;

2) V opačnom prípade, ak niektorá súradnica nie je celé číslo, získané riešenie úlohy sa kontroluje na možnosť existencie celočíselného riešenia (prítomnosť celočíselných bodov v prípustnom mnohostene):

ak sa v ľubovoľnom riadku s zlomkovým voľným členom ukážu všetky ostatné koeficienty ako celé čísla, potom v prípustnom mnohostene neexistujú celé čísla, body a problém celočíselného programovania nemá riešenie;

V opačnom prípade sa zavedie ďalšie lineárne obmedzenie, ktoré odreže z prípustného mnohostenu časť, ktorá je neperspektívna na nájdenie riešenia problému celočíselného programovania;

3) Ak chcete vytvoriť ďalšie lineárne obmedzenie, vyberte l-tý riadok s zlomkovým voľným členom a zapíšte si dodatočné obmedzenie

kde a sú, v tomto poradí, zlomkové časti koeficientov a voľné

členom. Zavedme pomocnú premennú do obmedzenia (3):

Poďme určiť koeficienty a zahrnuté do obmedzenia (4):

kde a sú najbližšie nižšie celé čísla pre a, resp.

Gomory dokázal, že konečný počet takýchto krokov vedie k problému lineárneho programovania, ktorého riešenie je celočíselné, a teda požadované.

Riešenie: Redukujeme systém lineárnych obmedzení a cieľovú funkciu na kanonickú formu:

Určme optimálne riešenie systému lineárnych obmedzení, pričom dočasne zahodíme celočíselné podmienky. Používame na to simplexnú metódu. Nižšie uvedené tabuľky postupne predstavujú počiatočné riešenie problému a transformácie pôvodnej tabuľky sú uvedené s cieľom získať optimálne riešenie problému:

Riešenie booleovských LP problémov metódou Balash.

Zostavte si vlastný variant úlohy celočíselného lineárneho programovania s boolovskými premennými, pričom berte do úvahy nasledujúce pravidlá: úloha používa aspoň 5 premenných, aspoň 4 obmedzenia, koeficienty obmedzenia a účelová funkcia sa volia ľubovoľne, ale napr. spôsob, akým je systém obmedzení kompatibilný. Úlohou je vyriešiť ZCLP s booleovskými premennými pomocou algoritmu Balash a určiť zníženie výpočtovej náročnosti vo vzťahu k riešeniu problému vyčerpávajúcim vyhľadávaním.

Vykonávanie obmedzení

Hodnota F

Obmedzenie filtra:

Výpočet Stanovenie redukcie

Riešením úlohy metódou vyčerpávajúceho vyhľadávania je 6*25=192 vypočítaných výrazov. Riešenie úlohy Balashovou metódou je 3*6+(25-3)=47 vypočítaných výrazov. Celkové zníženie náročnosti výpočtov vo vzťahu k riešeniu problému metódou vyčerpávajúceho vyhľadávania je.

Záver

Proces navrhovania informačných systémov implementujúcich nové informačné technológie sa neustále zdokonaľuje. Stredobodom pozornosti systémových inžinierov sa stávajú čoraz zložitejšie systémy, čo sťažuje používanie fyzikálnych modelov a zvyšuje význam matematických modelov a počítačovej simulácie systémov. Strojové modelovanie sa stalo efektívnym nástrojom pre výskum a návrh zložitých systémov. Relevantnosť matematických modelov neustále rastie vďaka ich flexibilite, primeranosti reálnych procesov, nízkej cene implementácie na báze moderných PC. Používateľovi, teda špecialistovi na modelovanie systémov pomocou výpočtovej techniky, sa poskytuje stále viac príležitostí. Využitie modelovania je efektívne najmä v počiatočných fázach navrhovania automatizovaných systémov, kedy sú náklady na chybné rozhodnutia najvýznamnejšie.

Moderné výpočtové nástroje umožnili výrazne zvýšiť zložitosť modelov používaných pri štúdiu systémov, umožnili zostaviť kombinované, analytické a simulačné modely, ktoré zohľadňujú celú škálu faktorov, ktoré sa vyskytujú v reálnych systémoch, t. j. používanie modelov, ktoré sú adekvátnejšie skúmaným javom.

Literatúra:

1. Ljaščenko I.N. Lineárne a nelineárne programovanie / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - K .: "Vyššia škola", 1975, 372 s.

2. Pokyny na realizáciu projektu predmetu v disciplíne "Aplikovaná matematika" pre študentov špecializácie "Počítačové systémy a siete" dennej a externej formy vzdelávania / Zostavili: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopoľ: Vydavateľstvo SevNTU , 2003. - 15 s.

3. Pokyny pre štúdium odboru „Aplikovaná matematika“, časť „Metódy globálneho vyhľadávania a jednorozmernej minimalizácie“ / Porov. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - Sevastopoľ: Vydavateľstvo SevGTU, 2000. - 31.

4. Pokyny pre štúdium odboru "Aplikovaná matematika" pre študentov odboru "Počítačové systémy a siete" Sekcia "Riešenie problémov celočíselného lineárneho programovania" dennej a korešpondenčnej formy vzdelávania / Zostavili: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopoľ : Vydavateľstvo SevNTU, 2000. - 13 s.

5. Akulich I.L. Matematické programovanie v príkladoch a úlohách:

6. Proc. príspevok na študentskú ekonomiku. špecialista. univerzity.-M.: Vyššie. škola, 1986.- 319s., ill.

7. Andronov S.A. Optimálne metódy návrhu: Text prednášky / SPbGUAP. SPb., 2001. 169 s.: ill.

Podobné dokumenty

Algoritmus na riešenie úloh lineárneho programovania simplexovou metódou. Konštrukcia matematického modelu úlohy lineárneho programovania. Riešenie úlohy lineárneho programovania v Exceli. Hľadanie zisku a optimálneho plánu výroby.

ročníková práca, pridaná 21.03.2012


Grafické riešenie problémov. Zostavenie matematického modelu. Určenie maximálnej hodnoty účelovej funkcie. Riešenie simplexnou metódou s umelým základom úlohy kanonického lineárneho programovania. Kontrola optimálnosti riešenia.

test, pridané 04.05.2016


Teoretické základy lineárneho programovania. Problémy lineárneho programovania, metódy riešenia. Analýza optimálneho riešenia. Riešenie úlohy lineárneho programovania s jedným indexom. Vyhlásenie problému a zadanie údajov. Budovanie modelu a kroky riešenia.

ročníková práca, pridaná 12.09.2008


Konštrukcia matematického modelu. Výber, zdôvodnenie a popis metódy riešenia priameho problému lineárneho programovania simplexovou metódou, pomocou simplexnej tabuľky. Formulácia a riešenie duálneho problému. Analýza citlivosti modelu.

semestrálna práca, pridaná 31.10.2014


Zostavenie matematického modelu s cieľom maximalizovať zisk podniku, grafické riešenie problému. Riešenie problémov pomocou doplnku SOLVER. Analýza zmien v zásobách zdrojov. Stanovenie hraníc zmeny koeficientov účelovej funkcie.

ročníková práca, pridaná 17.12.2014


Matematické programovanie. Lineárne programovanie. Problémy lineárneho programovania. Grafická metóda riešenia úlohy lineárneho programovania. Ekonomická formulácia problému lineárneho programovania. Konštrukcia matematického modelu.

ročníková práca, pridaná 13.10.2008


Riešenie úlohy lineárneho programovania grafickou metódou, jej overenie v MS Excel. Analýza vnútornej štruktúry riešenia problému v programe. Optimalizácia výrobného plánu. Riešenie úlohy simplexnou metódou. Viackanálový systém radenia.

test, pridané 5.2.2012


Riešenie úlohy lineárneho programovania simplexovou metódou: zadanie úlohy, zostavenie ekonomického a matematického modelu. Riešenie dopravného problému metódou potenciálov: konštrukcia východiskového referenčného plánu, určenie jeho optimálnej hodnoty.

test, pridaný 4.11.2012


Vyjadrenie problému nelineárneho programovania. Určenie stacionárnych bodov a ich typu. Konštrukcia úrovňových čiar, trojrozmerný graf účelovej funkcie a obmedzenia. Grafické a analytické riešenie úlohy. Používateľská príručka a schéma algoritmu.

ročníková práca, pridaná 17.12.2012


Analýza riešenia úlohy lineárneho programovania. Simplexná metóda pomocou simplexných tabuliek. Modelovanie a riešenie úloh LP na počítači. Ekonomická interpretácia optimálneho riešenia problému. Matematická formulácia dopravnej úlohy.

Ak sú v úlohe lineárneho programovania iba dve premenné, potom sa dá vyriešiť graficky.

Zvážte problém lineárneho programovania s dvoma premennými a:
(1.1) ;
(1.2)
Tu sú ľubovoľné čísla. Úlohou môže byť nájsť maximum (max) aj nájsť minimum (min). V systéme obmedzení môžu byť prítomné znaky aj znaky.

Konštrukcia domény realizovateľných riešení

Grafická metóda riešenia problému (1) je nasledovná.
Najprv nakreslíme súradnicové osi a vyberieme mierku. Každá z nerovností systému obmedzení (1.2) definuje polrovinu ohraničenú príslušnou priamkou.

Takže prvá nerovnosť
(1.2.1)
definuje polrovinu ohraničenú priamkou. Na jednej strane tejto čiary a na druhej strane. Na najrovnejšej čiare. Aby sme zistili, z ktorej strany je nerovnica (1.2.1) splnená, zvolíme ľubovoľný bod, ktorý neleží na priamke. Ďalej dosadíme súradnice tohto bodu do (1.2.1). Ak nerovnosť platí, potom polrovina obsahuje zvolený bod. Ak nerovnosť nie je splnená, potom sa polrovina nachádza na druhej strane (neobsahuje vybraný bod). Vytieňujte polrovinu, pre ktorú platí nerovnosť (1.2.1).

To isté urobíme pre zostávajúce nerovnosti systému (1.2). Takže dostaneme tieňované polroviny. Body oblasti prípustných riešení vyhovujú všetkým nerovnostiam (1.2). Preto je graficky oblasť realizovateľných riešení (ODD) priesečníkom všetkých zostrojených polrovín. Odtieňujeme ODR. Je to konvexný mnohouholník, ktorého plochy patria k zostrojeným čiaram. ODR môže byť tiež neobmedzená konvexná postava, segment, lúč alebo priamka.

Môže nastať aj prípad, že polroviny neobsahujú spoločné body. Potom doménou prípustných riešení je prázdna množina. Tento problém nemá riešenia.

Spôsob môžete zjednodušiť. Nemôžete zatieniť každú polrovinu, ale najprv postaviť všetky čiary
(2)
Ďalej vyberte ľubovoľný bod, ktorý nepatrí do žiadnej z týchto čiar. Súradnice tohto bodu dosaďte do sústavy nerovností (1.2). Ak sú splnené všetky nerovnosti, potom je oblasť realizovateľných riešení obmedzená zostrojenými čiarami a zahŕňa zvolený bod. Zatienime oblasť prípustných riešení pozdĺž hraníc čiar tak, aby zahŕňala vybraný bod.

Ak aspoň jedna nerovnosť nie je splnená, vyberte iný bod. A tak ďalej, kým sa nenájde jeden bod, ktorého súradnice vyhovujú systému (1.2).

Nájdenie extrému účelovej funkcie

Máme teda tieňovanú oblasť realizovateľných riešení (ODR). Je ohraničená prerušovanou čiarou pozostávajúcou zo segmentov a lúčov patriacich k zostrojeným čiaram (2). ODR je vždy konvexná množina. Môže to byť buď ohraničená množina alebo neohraničená množina pozdĺž niektorých smerov.

Teraz môžeme hľadať extrém účelovej funkcie
(1.1) .

Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľné číslo a vytvorte priamku
(3) .
Pre pohodlie ďalšej prezentácie predpokladáme, že táto priamka prechádza cez ODS. Na tejto priamke je účelová funkcia konštantná a rovná sa . takáto priamka sa nazýva úrovňová čiara funkcie. Táto čiara rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Na jednej polovičnej rovine
.
Na druhej polovičnej rovine
.
To znamená, že na jednej strane priamky (3) sa účelová funkcia zvyšuje. A čím ďalej posunieme bod od čiary (3), tým väčšia bude hodnota. Na druhej strane priamky (3) sa účelová funkcia znižuje. A čím ďalej posunieme bod od priamky (3) na druhú stranu, tým bude hodnota menšia. Ak nakreslíme čiaru rovnobežnú s čiarou (3), potom nová čiara bude tiež čiarou na úrovni cieľovej funkcie, ale s inou hodnotou .

Aby sme teda našli maximálnu hodnotu účelovej funkcie, je potrebné nakresliť priamku rovnobežnú s priamkou (3), čo najďalej od nej v smere rastúcich hodnôt a prechádzajúcej cez aspoň jeden bod ODT. Na nájdenie minimálnej hodnoty účelovej funkcie je potrebné nakresliť priamku rovnobežnú s priamkou (3) a čo najďalej od nej v smere klesajúcich hodnôt a prechádzať aspoň jedným bodom. ODT.

Ak je ODR neohraničená, potom môže nastať prípad, keď takúto priamku nemožno nakresliť. To znamená, že bez ohľadu na to, ako odstránime priamku z čiary úrovne (3) v smere zvyšovania (klesania), priamka bude vždy prechádzať cez ODR. V tomto prípade môže byť ľubovoľne veľká (malá). Preto neexistuje žiadna maximálna (minimálna) hodnota. Problém nemá riešenia.

Uvažujme prípad, keď extrémna priamka rovnobežná s ľubovoľnou priamkou tvaru (3) prechádza jedným vrcholom polygónu ODD. Z grafu určíme súradnice tohto vrcholu. Potom je maximálna (minimálna) hodnota účelovej funkcie určená vzorcom:
.
Riešenie problému je
.

Môže nastať aj prípad, keď je priamka rovnobežná s jednou zo strán ODD. Potom čiara prechádza cez dva vrcholy polygónu ODD. Určíme súradnice týchto vrcholov. Na určenie maximálnej (minimálnej) hodnoty účelovej funkcie môžete použiť súradnice ktoréhokoľvek z týchto vrcholov:
.
Problém má nekonečne veľa riešení. Riešením je akýkoľvek bod nachádzajúci sa na segmente medzi bodmi a , vrátane samotných bodov a .

Príklad riešenia úlohy lineárneho programovania grafickou metódou

Úloha

Spoločnosť vyrába šaty dvoch modelov A a B. Používajú sa tri druhy látok. Na výrobu jedných šiat modelu A sú potrebné 2 m látky prvého typu, 1 m látky druhého typu, 2 m látky tretieho typu. Na výrobu jedných šiat modelu B sú potrebné 3 m látky prvého typu, 1 m látky druhého typu, 2 m látky tretieho typu. Zásoby tkaniny prvého typu sú 21 m, druhého typu - 10 m, tretieho typu - 16 m. Uvoľnenie jedného výrobku typu A prináša výnos 400 den. jednotka, jeden výrobok typu B - 300 den. Jednotky

Vypracujte plán výroby, ktorý zabezpečí spoločnosti najväčší príjem. Vyriešte problém graficky.

Riešenie

Nech premenné a počet vyrobených šiat modelov A a B označujú. Potom množstvo použitého tkaniva prvého typu bude:
(m)
Množstvo použitej látky druhého typu bude:
(m)
Množstvo použitej látky tretieho typu bude:
(m)
Keďže počet vyrobených šiat nemôže byť záporný
A .
Príjem z vyrobených šiat bude:
(den. jednotky)

Potom má ekonomicko-matematický model úlohy tvar:

Riešime to graficky.
Nakreslite súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 7) a (10,5; 0) vedieme priamku.

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 10) a (10; 0) vedieme priamku.

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 8) a (8; 0) vedieme priamku.

Plochu vytieňujeme tak, aby bod (2; 2) padal do zatienenej časti. Dostaneme štvoruholník OABC.

(P1.1) .
o .
o .
Cez body (0; 4) a (3; 0) vedieme priamku.

Ďalej si všimneme, že keďže koeficienty a cieľovej funkcie sú kladné (400 a 300), zvyšuje sa s rastúcim a . Vedieme priamku rovnobežnú s priamkou (A1.1), čo najďalej od nej v smere nárastu a prechádzajúcu aspoň jedným bodom štvoruholníka OABC. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.

Riešenie problému: ;

Odpoveď

.
To znamená, že na získanie najväčšieho príjmu je potrebné vyrobiť 8 šiat modelu A. Príjem v tomto prípade bude 3200 denov. Jednotky

Príklad 2

Úloha

Vyriešte problém lineárneho programovania pomocou grafickej metódy.

Riešenie

Riešime to graficky.
Nakreslite súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 6) a (6; 0) vedieme priamku.

Staviame priamku.
Odtiaľ.
o .
o .
Cez body (3; 0) a (7; 2) vedieme priamku.

Staviame priamku.
Postavíme priamku (os x).

Oblasť prípustných riešení (DDR) je obmedzená zostrojenými priamkami. Aby sme zistili, z ktorej strany, všimneme si, že bod patrí do ODT, pretože spĺňa systém nerovností:

Plochu po hraniciach zostrojených čiar vytieňujeme tak, aby bod (4; 1) padal do tieňovanej časti. Dostaneme trojuholník ABC.

Zostrojíme ľubovoľnú úrovňovú čiaru účelovej funkcie, napr.
.
o .
o .
Cez body (0; 6) a (4; 0) nakreslíme priamku.
Keďže účelová funkcia rastie s rastúcim a , nakreslíme priamku rovnobežnú s čiarou úrovne a čo najďalej od nej v smere stúpania a prechádzajúc aspoň jedným bodom trojuholníka ABC. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.

Riešenie problému: ;

Odpoveď

Príklad žiadneho riešenia

Úloha

Vyriešte graficky problém lineárneho programovania. Nájdite maximálnu a minimálnu hodnotu účelovej funkcie.

Riešenie

Úlohu riešime graficky.
Nakreslite súradnicové osi a .

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 8) a (2,667; 0) vedieme priamku.

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (0; 3) a (6; 0) vedieme priamku.

Staviame priamku.
o .
o .
Cez body (3; 0) a (6; 3) vedieme priamku.

Čiary a sú súradnicové osi.

Oblasť prípustných riešení (SDR) je obmedzená zostrojenými priamkami a súradnicovými osami. Aby sme zistili, z ktorej strany, všimneme si, že bod patrí do ODT, pretože spĺňa systém nerovností:

Plochu vytieňujeme tak, aby bod (3; 3) padal do zatienenej časti. Získame neobmedzenú oblasť ohraničenú prerušovanou čiarou ABCDE.

Zostrojíme ľubovoľnú úrovňovú čiaru účelovej funkcie, napr.
(P3.1) .
o .
o .
Cez body (0; 7) a (7; 0) vedieme priamku.
Pretože koeficienty pri a sú kladné, potom sa zvyšuje so zvyšujúcim sa a .

Ak chcete nájsť maximum, musíte nakresliť rovnobežnú čiaru, pokiaľ je to možné, v smere nárastu a prechádzať aspoň jedným bodom oblasti ABCDE. Keďže však oblasť nie je ohraničená na strane veľkých hodnôt a , takúto priamku nemožno nakresliť. Nech nakreslíme akúkoľvek priamku, vždy budú v regióne body, ktoré sú v smere nárastu a . Preto neexistuje žiadne maximum. môžete ho urobiť tak veľký, ako chcete.

Hľadáme minimum. Vedieme priamku rovnobežnú s priamkou (A3.1) a čo najďalej od nej v smere klesania a prechádzajúcu aspoň jedným bodom oblasti ABCDE. Takáto priamka prechádza bodom C. Z konštrukcie určíme jej súradnice.
.
Minimálna hodnota účelovej funkcie:

Odpoveď

Neexistuje žiadna maximálna hodnota.
Minimálna hodnota
.