Uveďte vlastnosti sčítania pri ich čítaní. Vlastnosti sčítania, násobenia, odčítania a delenia celých čísel

Na papier do klietky nakreslíme obdĺžnik so stranami 5 cm a 3 cm, ktorý rozlomíme na štvorce so stranou 1 cm ( obr. 143). Spočítajme počet buniek umiestnených v obdĺžniku. Dá sa to urobiť napríklad takto.

Počet štvorcov so stranou 1 cm je 5 * 3. Každý takýto štvorec pozostáva zo štyroch buniek. Celkový počet buniek je teda (5 * 3 ) * 4 .

Ten istý problém sa dá riešiť inak. Každý z piatich stĺpcov obdĺžnika pozostáva z troch štvorcov so stranou 1 cm. Jeden stĺpec teda obsahuje 3 * 4 bunky. Celkovo teda bude 5 * (3 * 4 ) buniek.

Počet buniek na obrázku 143 ilustruje dvoma spôsobmi asociatívna vlastnosť násobenia pre čísla 5, 3 a 4 . Máme: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho čísla.

(ab)c = a(bc)

Z komutatívnych a asociatívnych vlastností násobenia vyplýva, že pri násobení viacerých čísel možno faktory zamieňať a uzatvárať do zátvoriek, čím sa určuje poradie výpočtov.

Napríklad rovnosť je pravdivá:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na obrázku 144 segment AB rozdeľuje obdĺžnik uvažovaný vyššie na obdĺžnik a štvorec.

Počet štvorcov so stranou 1 cm spočítame dvoma spôsobmi.

Na jednej strane sú vo výslednom štvorci 3 * 3 a v obdĺžniku 3 * 2. Celkovo dostaneme 3 * 3 + 3 * 2 štvorce. Na druhej strane každý z troch radov tohto obdĺžnika obsahuje 3 + 2 štvorce. Ich celkový počet je potom 3 * (3 + 2 ).

Rovná sa 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustruje distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.

Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, môžete toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledné produkty.

V doslovnej forme je táto vlastnosť napísaná takto:

a(b + c) = ab + ac

Z distributívnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie vyplýva, že

ab + ac = a(b + c).

Táto rovnosť umožňuje, aby vzorec P = 2 a + 2 b našiel obvod obdĺžnika napísaný takto:

P = 2 (a + b).

Všimnite si, že distribučná vlastnosť je platná pre tri alebo viac termínov. Napríklad:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Platí aj distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na odčítanie: ak b > c alebo b = c, potom

a(b − c) = ab − ac

Príklad 1 . Vypočítajte pohodlným spôsobom:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Používame komutatívne a potom asociatívne vlastnosti násobenia:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Máme:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Príklad 2 . Zjednodušte výraz:

1) 4a*3b;

2) 18 m − 13 m.

1) Pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností násobenia dostaneme:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Použitím distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na odčítanie dostaneme:

18 m - 13 m = m (18 - 13 ) = m * 5 = 5 m.

Príklad 3 . Napíšte výraz 5 (2 m + 7) tak, aby neobsahoval zátvorky.

Podľa distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie máme:

5 (2 m + 7) = 5 x 2 m + 5 x 7 = 10 m + 35.

Takáto premena je tzv otváracie konzoly.

Príklad 4 . Pohodlným spôsobom vypočítajte hodnotu výrazu 125 * 24 * 283.

Riešenie. Máme:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Príklad 5 . Vykonajte násobenie: 3 dni 18 hodín * 6.

Riešenie. Máme:

3 dni 18 hodín * 6 = 18 dní 108 hodín = 22 dní 12 hodín

Pri riešení príkladu bola použitá distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie:

3 dni 18 hodín * 6 = (3 dni + 18 hodín) * 6 = 3 dni * 6 + 18 hodín * 6 = 18 dní + 108 hodín = 18 dní + 96 hodín + 12 hodín = 18 dní + 4 dni + 12 hodín = 22 dní 12 hodín

Je možné zaznamenať množstvo výsledkov, ktoré sú súčasťou tejto akcie. Tieto výsledky sú tzv vlastnosti sčítania prirodzených čísel. V tomto článku budeme podrobne analyzovať vlastnosti sčítania prirodzených čísel, napíšeme ich pomocou písmen a uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Asociačná vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Teraz uvedieme príklad ilustrujúci asociatívnu vlastnosť sčítania prirodzených čísel.

Predstavte si situáciu: 1 jablko spadlo z prvej jablone a 2 jablká a 4 ďalšie jablká spadli z druhej jablone. Teraz zvážte nasledujúcu situáciu: 1 jablko a 2 ďalšie jablká spadli z prvej jablone a 4 jablká spadli z druhej jablone. Je jasné, že rovnaký počet jabĺk bude na zemi v prvom aj druhom prípade (čo je možné skontrolovať prepočítanie). To znamená, že výsledok pridania čísla 1 k súčtu čísel 2 a 4 sa rovná výsledku pridania súčtu čísel 1 a 2 k číslu 4.

Uvažovaný príklad nám umožňuje formulovať asociatívnu vlastnosť sčítania prirodzených čísel: ak chcete k danému číslu pridať daný súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu pridať prvý člen tohto súčtu a pridať druhý člen tento súčet k získanému výsledku. Táto vlastnosť môže byť napísaná pomocou písmen, ako je toto: a+(b+c)=(a+b)+c, kde a , b a c sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že v rovnosti a+(b+c)=(a+b)+c sú zátvorky „(“ a „)“. Zátvorky sa používajú vo výrazoch na označenie poradia vykonávania akcií - najskôr sa vykonávajú akcie v zátvorkách (viac o tom v sekcii). Inými slovami, zátvorky uzatvárajú výrazy, ktorých hodnoty sa vyhodnocujú ako prvé.

Na záver tejto časti poznamenávame, že asociatívna vlastnosť sčítania nám umožňuje jednoznačne určiť sčítanie troch, štyroch alebo viacerých prirodzených čísel.

Vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla, vlastnosť sčítania nuly k nule.

Vieme, že nula NIE JE prirodzené číslo. Prečo sme sa teda v tomto článku rozhodli zvážiť vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla? Sú na to tri dôvody. Po prvé, táto vlastnosť sa používa, keď stĺpcové sčítanie prirodzených čísel. Po druhé, táto vlastnosť sa používa, keď odčítanie prirodzených čísel. Po tretie: ak predpokladáme, že nula znamená neprítomnosť niečoho, potom význam pridania nuly a prirodzeného čísla je rovnaký ako zmysel sčítania dvoch prirodzených čísel.

Urobme úvahy, ktoré nám pomôžu sformulovať vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla. Predstavte si, že v krabici nie sú žiadne položky (inými slovami, v krabici je 0 položiek) a sú v nej umiestnené položky, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo. To znamená, že sa pridala 0 a položky. Je jasné, že po tejto akcii sú položky v krabici. Preto platí rovnosť 0+a=a.

Podobne, ak krabica obsahuje položky a je do nej pridaných 0 položiek (to znamená, že nie sú pridané žiadne položky), potom po tejto akcii budú položky v krabici. Takže a+0=a .

Teraz môžeme uviesť vlastnosť sčítania nuly a prirodzeného čísla: súčet dvoch čísel, z ktorých jedno je nula, sa rovná druhému číslu. Matematicky možno túto vlastnosť zapísať ako nasledujúcu rovnosť: 0+a=a alebo a+0=a, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo.

Samostatne venujeme pozornosť skutočnosti, že pri sčítaní prirodzeného čísla a nuly zostáva pravdivá komutatívna vlastnosť sčítania, teda a+0=0+a .

Nakoniec sformulujeme vlastnosť sčítania nula-nula (je celkom zrejmá a nepotrebuje ďalšie komentáre): súčet dvoch čísel, ktoré sú každé nula, je nula. teda 0+0=0 .

Teraz je čas zistiť ako sčítanie prirodzených čísel.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 1., 2., 3., 4. ročník vzdelávacích inštitúcií.
• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.

Témou, ktorej je venovaná táto lekcia, je „Vlastnosti sčítania.“ V nej sa zoznámite s komutatívnymi a asociatívnymi vlastnosťami sčítania a preskúmate ich na konkrétnych príkladoch. Zistite, kedy ich môžete použiť na uľahčenie procesu výpočtu. Testovacie prípady pomôžu určiť, ako dobre ste sa materiál naučili.

Lekcia: Vlastnosti sčítania

Pozrite sa pozorne na výraz:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Musíme nájsť jeho hodnotu. Poďme na to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Výsledok výrazu 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Povedz mi, bolo to pohodlné počítať? Počítanie nebolo veľmi pohodlné. Pozrite sa znova na čísla v tomto výraze. Je možné ich zameniť, aby boli výpočty pohodlnejšie?

Ak čísla preusporiadame inak:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Konečný výsledok výrazu je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidíme, že výsledky výrazov sú rovnaké.

Pojmy možno zamieňať, ak je to vhodné pre výpočty, a hodnota súčtu sa od toho nezmení.

V matematike existuje zákon: Komutatívny zákon sčítania. Hovorí, že súčet sa nemení od preusporiadania podmienok.

Strýko Fjodor a Šarik sa hádali. Sharik našiel hodnotu výrazu tak, ako bol napísaný, a strýko Fjodor povedal, že pozná iný, pohodlnejší spôsob výpočtu. Vidíte pohodlnejší spôsob výpočtu?

Lopta vyriešila výraz tak, ako sa píše. A strýko Fjodor povedal, že pozná zákon, ktorý vám umožňuje meniť podmienky, a vymenil čísla 25 a 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vidíme, že výsledok zostáva rovnaký, ale výpočet je oveľa jednoduchší.

Pozrite si nasledujúce výrazy a prečítajte si ich.

6 + (24 + 51) = 81 (k 6 pridajte súčet 24 a 51)
Existuje pohodlný spôsob výpočtu?
Vidíme, že ak sčítame 6 a 24, dostaneme okrúhle číslo. K okrúhlemu číslu je vždy jednoduchšie niečo pridať. Vezmite do zátvoriek súčet čísel 6 a 24.
(6 + 24) + 51 = …
(pripočítajte 51 k súčtu čísel 6 a 24)

Vypočítajme hodnotu výrazu a uvidíme, či sa hodnota výrazu zmenila?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vidíme, že hodnota výrazu zostáva rovnaká.

Precvičme si ešte jeden príklad.

(27 + 19) + 1 = 47 (pripočítajte 1 k súčtu čísel 27 a 19)
Aké čísla možno pohodlne zoskupiť tak, aby sa získal pohodlný spôsob?
Uhádli ste, že ide o čísla 19 a 1. Zoberme si súčet čísel 19 a 1 v zátvorkách.
27 + (19 + 1) = …
(k 27 pridajte súčet čísel 19 a 1)
Poďme zistiť hodnotu tohto výrazu. Pamätáme si, že najprv sa vykoná akcia v zátvorkách.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Význam nášho výrazu zostáva rovnaký.

Asociačný zákon sčítania: dva susedné výrazy možno nahradiť ich súčtom.

Teraz si precvičme používanie oboch zákonov. Musíme vypočítať hodnotu výrazu:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Najprv použijeme komutatívnu vlastnosť sčítania, ktorá nám umožňuje zamieňať pojmy. Vymeňme si pojmy 14 a 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Teraz používame asociatívnu vlastnosť, ktorá nám umožňuje nahradiť dva susedné členy ich súčtom.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Najprv zistíme hodnotu súčtu 38 a 2.

Teraz je súčet 14 a 6.

3. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().

robiť doma

1. Vypočítajte súčet členov rôznymi spôsobmi:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Vypočítajte výsledky výrazov:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Vypočítajte si množstvo pohodlným spôsobom:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Definovali sme sčítanie, násobenie, odčítanie a delenie celých čísel. Tieto akcie (operácie) majú množstvo charakteristických výsledkov, ktoré sa nazývajú vlastnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať základnými vlastnosťami sčítania a násobenia celých čísel, z ktorých vyplývajú všetky ostatné vlastnosti týchto operácií, ako aj vlastnosti odčítania a delenia celých čísel.

Navigácia na stránke.

Celočíselné sčítanie má niekoľko ďalších veľmi dôležitých vlastností.

Jeden z nich súvisí s existenciou nuly. Táto vlastnosť celočíselného sčítania hovorí, že pridanie nuly k celému číslu toto číslo nezmení. Túto vlastnosť sčítania zapíšme pomocou písmen: a+0=a a 0+a=a (táto rovnosť platí vďaka komutatívnej vlastnosti sčítania), a je ľubovoľné celé číslo. Môžete počuť, že celá nula sa navyše nazýva neutrálny prvok. Uveďme pár príkladov. Súčet celého čísla −78 a nuly je −78 ; ak pripočítame kladné celé číslo 999 k nule, dostaneme ako výsledok číslo 999.

Teraz sformulujeme ďalšiu vlastnosť celočíselného sčítania, ktorá súvisí s existenciou opačného čísla pre ľubovoľné celé číslo. Súčet akéhokoľvek celého čísla s opačným číslom je nula. Tu je doslovný tvar tejto vlastnosti: a+(−a)=0 , kde a a −a sú opačné celé čísla. Napríklad súčet 901+(-901) je nula; podobne súčet opačných celých čísel −97 a 97 je nula.

Základné vlastnosti násobenia celých čísel

Násobenie celých čísel má všetky vlastnosti násobenia prirodzených čísel. Uvádzame hlavné z týchto vlastností.

Rovnako ako nula je neutrálne celé číslo vzhľadom na sčítanie, jedna je neutrálne celé číslo vzhľadom na násobenie celých čísel. teda vynásobením akéhokoľvek celého čísla jednou sa nezmení číslo, ktoré sa násobí. Takže 1·a=a , kde a je ľubovoľné celé číslo. Posledná rovnosť môže byť prepísaná ako 1=a , čo nám umožňuje vytvoriť komutatívnu vlastnosť násobenia. Uveďme dva príklady. Súčin celého čísla 556 x 1 je 556; súčin jednej a záporného celého čísla −78 je −78 .

Ďalšia vlastnosť celočíselného násobenia súvisí s násobením nulou. Výsledkom vynásobenia ľubovoľného celého čísla a nulou je nula, teda a 0=0 . Rovnosť 0·a=0 je tiež pravdivá vďaka komutatívnej vlastnosti násobenia celých čísel. V konkrétnom prípade, keď a=0, súčin nuly a nuly sa rovná nule.

Pre násobenie celých čísel platí aj vlastnosť opačná k predchádzajúcej. Tvrdí to súčin dvoch celých čísel sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. V doslovnom tvare možno túto vlastnosť zapísať nasledovne: a·b=0 , ak buď a=0 , alebo b=0 , alebo obe a aj b sa rovnajú nule súčasne.

Distributívna vlastnosť násobenia celých čísel vzhľadom na sčítanie

Spolu sčítanie a násobenie celých čísel nám umožňuje zvážiť distributívnu vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie, ktoré spája dva naznačené akcie. Spoločné používanie sčítania a násobenia otvára ďalšie možnosti, ktoré by nám chýbali, ak by sme sčítanie zvažovali oddelene od násobenia.

Distributívna vlastnosť násobenia s ohľadom na sčítanie teda hovorí, že súčin celého čísla a a súčtu dvoch celých čísel aab sa rovná súčtu súčinov ab a ac , tj. a (b+c)=a b+a c. Rovnaká vlastnosť môže byť napísaná v inej forme: (a+b) c=a c+b c .

Distributívna vlastnosť násobenia celých čísel vzhľadom na sčítanie spolu s asociatívnou vlastnosťou sčítania umožňuje určiť násobenie celého čísla súčtom troch alebo viacerých celých čísel a potom násobenie súčtu celých čísel súčet.

Všimnite si tiež, že všetky ostatné vlastnosti sčítania a násobenia celých čísel možno získať z vlastností, ktoré sme naznačili, to znamená, že sú dôsledkom vyššie uvedených vlastností.

Vlastnosti odčítania celého čísla

Zo získanej rovnosti, ako aj z vlastností sčítania a násobenia celých čísel vyplývajú nasledujúce vlastnosti odčítania celých čísel (a, b a c sú ľubovoľné celé čísla):

• Odčítanie celého čísla vo všeobecnosti NEMÁ komutatívnu vlastnosť: a−b≠b−a .
• Rozdiel rovnakých celých čísel sa rovná nule: a−a=0 .
• Vlastnosť odčítania súčtu dvoch celých čísel od daného celého čísla: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Vlastnosť odčítania celého čísla od súčtu dvoch celých čísel: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na odčítanie: a (b-c)=a b-a c a (a-b) c=a c-b c.
• A všetky ostatné vlastnosti celočíselného odčítania.

Vlastnosti celočíselného delenia

Pri hádke o význame delenia celých čísel sme zistili, že delenie celých čísel je prevrátená hodnota násobenia. Dali sme nasledujúcu definíciu: delenie celých čísel je nájdenie neznámeho faktora známym súčinom a známym faktorom. To znamená, že celé číslo c nazývame podielom celého čísla a deleného celým číslom b, keď sa súčin c·b rovná a .

Táto definícia, ako aj všetky vyššie uvedené vlastnosti operácií s celými číslami nám umožňujú stanoviť platnosť nasledujúcich vlastností delenia celých čísel:

• Žiadne celé číslo nemožno deliť nulou.
• Vlastnosť delenia nuly ľubovoľným nenulovým celým číslom a : 0:a=0 .
• Vlastnosť delenia rovnakých celých čísel: a:a=1 , kde a je ľubovoľné nenulové celé číslo.
• Vlastnosť delenia ľubovoľného celého čísla a jedným: a:1=a .
• Vo všeobecnosti delenie celých čísel NEMÁ komutatívnu vlastnosť: a:b≠b:a .
• Vlastnosti delenia súčtu a rozdielu dvoch celých čísel celým číslom sú: (a+b):c=a:c+b:c a (a−b):c=a:c−b:c , kde a , b a c sú celé čísla tak, že a aj b sú deliteľné c a c je nenulové.
• Vlastnosť delenia súčinu dvoch celých čísel a a b nenulovým celým číslom c : (a b):c=(a:c) b, ak a je deliteľné c ; (a b):c=a (b:c), ak b je deliteľné c; (a b):c=(a:c) b=a (b:c), ak obe a aj b sú deliteľné c .
• Vlastnosť delenia celého čísla a súčinom dvoch celých čísel b a c (čísla a , b a c také, že je možné deliť a b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b.
• Akákoľvek iná vlastnosť celočíselného delenia.