Ako dokázať, že priame čiary sa v priestore pretínajú. Prekračovanie čiar

V tomto článku najskôr zadefinujeme uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a poskytneme grafické znázornenie. Ďalej odpovieme na otázku: „Ako nájsť uhol medzi krížiacimi sa čiarami, ak sú známe súradnice smerových vektorov týchto čiar v pravouhlom súradnicovom systéme“? Na záver si precvičíme hľadanie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pri riešení príkladov a úloh.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami - definícia.

K určovaniu uhla medzi pretínajúcimi sa priamkami budeme pristupovať postupne.

Najprv si pripomeňme definíciu šikmých čiar: nazývajú sa dve čiary v trojrozmernom priestore kríženie, ak neležia v rovnakej rovine. Z tejto definície vyplýva, že pretínajúce sa čiary sa nepretínajú, nie sú rovnobežné a navyše sa nezhodujú, inak by obe ležali v určitej rovine.

Uveďme ďalšie pomocné zdôvodnenie.

Nech sú dve pretínajúce sa priamky aab dané v trojrozmernom priestore. Zostrojme priamky a 1 a b 1 tak, aby boli rovnobežné so šikmými priamkami a a b a prechádzali nejakým bodom v priestore M 1 . Tak dostaneme dve pretínajúce sa čiary a 1 a b 1. Nech je uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 rovný uhlu . Teraz zostrojme priamky a 2 a b 2 rovnobežné so šikmými priamkami a a b, ktoré prechádzajú bodom M 2, odlišným od bodu M 1. Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a 2 a b 2 bude tiež rovný uhlu. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože priame čiary a 1 a b 1 sa zhodujú s priamkami a 2 a b 2, ak sa vykoná paralelný prenos, v ktorom sa bod M 1 presunie do bodu M 2. Preto miera uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v bode M, respektíve rovnobežnými s danými priesečníkmi, nezávisí od výberu bodu M.

Teraz sme pripravení definovať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Definícia.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, ktoré sú v tomto poradí rovnobežné s danými pretínajúcimi sa čiarami.

Z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami tiež nebude závisieť od výberu bodu M. Preto ako bod M môžeme vziať ľubovoľný bod patriaci jednej z pretínajúcich sa priamok.

Uveďme ilustráciu určenia uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Pretože uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je určený uhlom medzi pretínajúcimi sa čiarami, nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je redukované na nájdenie uhla medzi zodpovedajúcimi pretínajúcimi sa čiarami v trojrozmernom priestore.

Metódy študované na hodinách geometrie na strednej škole sú nepochybne vhodné na zistenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami. To znamená, že po dokončení potrebných konštrukcií môžete požadovaný uhol spojiť s akýmkoľvek uhlom známym z podmienky na základe rovnosti alebo podobnosti obrázkov, v niektorých prípadoch to pomôže kosínusová veta a niekedy vedie k výsledku definícia sínusu, kosínusu a tangens uhla správny trojuholník.

Je však veľmi vhodné vyriešiť problém hľadania uhla medzi križujúcimi sa čiarami pomocou súradnicovej metódy. To je to, čo zvážime.

Nechajte Oxyz zaviesť v trojrozmernom priestore (hoci v mnohých problémoch doň musíte vstúpiť sami).

Dajme si úlohu: nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b, ktoré zodpovedajú niektorým rovniciam priamky v priestore v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz.

Poďme to vyriešiť.

Zoberme si ľubovoľný bod v trojrozmernom priestore M a predpokladajme, že ním prechádzajú priamky a 1 a b 1 rovnobežné s pretínajúcimi sa priamkami a a b. Potom sa požadovaný uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 podľa definície.

Musíme teda nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a1 a b1. Aby sme mohli použiť vzorec na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami v priestore, potrebujeme poznať súradnice smerových vektorov priamok a 1 a b 1.

Ako ich môžeme získať? A je to veľmi jednoduché. Definícia smerového vektora priamky nám umožňuje tvrdiť, že množiny smerových vektorov rovnobežných čiar sa zhodujú. Preto smerové vektory priamych čiar a 1 a b 1 možno považovať za smerové vektory A priamky a a b.

takže, Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b sa vypočíta podľa vzorca
, Kde A sú smerové vektory priamok a a b.

Vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b majú tvar .

Umožňuje vám nájsť sínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami, ak je známy kosínus: .

Zostáva analyzovať riešenia príkladov.

Príklad.

Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b, ktoré sú v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz definované rovnicami A .

Riešenie.

Kanonické rovnice priamky v priestore umožňujú okamžite určiť súradnice smerového vektora tejto priamky - sú dané číslami v menovateľoch zlomkov, tj. . Parametrické rovnice priamky v priestore tiež umožňujú okamžite zapísať súradnice smerového vektora - rovnajú sa koeficientom pred parametrom, tj. - priamy vektor . Máme teda všetky potrebné údaje na použitie vzorca, podľa ktorého sa vypočíta uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami:

odpoveď:

Uhol medzi danými pretínajúcimi sa čiarami je rovný .

Príklad.

Nájdite sínus a kosínus uhla medzi priesečníkmi, na ktorých ležia hrany AD a BC pyramídy ABCD, ak sú známe súradnice jej vrcholov: .

Riešenie.

Smerové vektory križujúcich sa čiar AD a BC sú vektory a . Vypočítajme ich súradnice ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami koncového a počiatočného bodu vektora:

Podľa vzorca môžeme vypočítať kosínus uhla medzi určenými čiarami kríženia:

Teraz vypočítajme sínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami:

odpoveď:

Na záver zvážime riešenie problému, v ktorom je potrebné nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a pravouhlý súradnicový systém musí byť zadaný nezávisle.

Príklad.

Je daný pravouhlý rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ktorý má AB = 3, AD = 2 a AA 1 = 7 jednotiek. Bod E leží na hrane AA 1 a delí ju v pomere 5 ku 2, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi čiarami BE a A 1 C.

Riešenie.

Pretože hrany pravouhlého rovnobežnostena v jednom vrchole sú navzájom kolmé, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém a určiť uhol medzi vyznačenými krížiacimi sa čiarami pomocou súradnicovej metódy cez uhol medzi smerovými vektormi týchto čiar.

Zavedieme pravouhlý súradnicový systém Oxyz takto: nech sa počiatok zhoduje s vrcholom A, os Ox sa zhoduje s priamkou AD, os Oy s priamkou AB a os Oz s priamkou AA 1.

Potom bod B má súradnice, bod E - (v prípade potreby pozri článok), bod A 1 - a bod C -. Zo súradníc týchto bodov vieme vypočítať súradnice vektorov a . Máme , .

Zostáva použiť vzorec na nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc smerových vektorov:

odpoveď:

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov strednej školy.
• Pogorelov A.V., Geometria. Učebnica pre 7. – 11. ročník vo všeobecnovzdelávacích inštitúciách.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

priamky l1 a l2 sa nazývajú šikmé, ak neležia v rovnakej rovine. Nech a a b sú smerové vektory týchto priamok a body M1 a M2 patria k priamkam l1 a l2.

Potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne, a preto sa ich zmiešaný súčin nerovná nule, t.j. (a, b, M1M2>) =/= 0. Platí aj opačné tvrdenie: ak (a, b , M1M2> ) =/= 0, potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne, a preto priamky l1 a l2 neležia v tej istej rovine, čiže sa pretínajú. Dve priamky sa teda pretínajú práve vtedy, ak podmienka (a, b, M1M2>) =/= 0, kde a a b sú smerové vektory čiar a M1 a M2 sú body patriace týmto čiaram. Podmienka (a, b, M1M2>) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou toho, že priamky ležia v rovnakej rovine. Ak sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

potom a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) a podmienka (2) je napísaná takto:

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami

toto je vzdialenosť medzi jednou z pretínajúcich sa priamok a rovinou rovnobežnou s ňou a prechádzajúcou inou priamkou. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami je vzdialenosť od niektorého bodu jednej z pretínajúcich sa priamok k rovine prechádzajúcej inou priamkou rovnobežnou s prvou riadok.

26.Definícia elipsy, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti.

Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvoch zaostrených bodov F1 a F2 tejto roviny, nazývaných ohniská, konštantnou hodnotou. V tomto prípade je zhoda ohniskov elipsy nie je vylúčené. Ak sa chute zhodujú, potom je elipsa kruh. Pre každú elipsu môžete nájsť kartézsky súradnicový systém, takže elipsa bude opísaná rovnicou (kanonická rovnica elipsy):

Opisuje elipsu so stredom v počiatku, ktorej osi sa zhodujú so súradnicovými osami.

Ak je na pravej strane jednotka so znamienkom mínus, výsledná rovnica je:

opisuje imaginárnu elipsu. Takúto elipsu nie je možné znázorniť v reálnej rovine, ohniská označme F1 a F2 a vzdialenosť medzi nimi 2c a súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy k ohniskám 2a.

Na odvodenie rovnice elipsy zvolíme súradnicový systém Oxy tak, aby ohniská F1 a F2 ležali na osi Ox a počiatok sa zhodoval so stredom úsečky F1F2. Potom budú mať ohniská tieto súradnice: a Nech M(x;y) je ľubovoľný bod elipsy. Potom podľa definície elipsy, t.j.

Toto je v podstate rovnica elipsy.

27. Definícia hyperboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti

Hyperbola je geometrické miesto bodov na rovine, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov F1 a F2 tejto roviny, nazývaná ohniská, konštantná. Nech M(x;y) je ľubovoľné bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly |MF 1 – MF 2 |=2a alebo MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definícia paraboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti. Parabola je HMT roviny, pre ktorú sa vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F tejto roviny rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke, ktorá sa tiež nachádza v uvažovanej rovine. F – ohnisko paraboly; pevná čiara je osou paraboly. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; r 2 =2px;

Vlastnosti: 1. Parabola má os súmernosti (os paraboly); 2.Všetky

parabola sa nachádza v pravej polrovine roviny Oxy pri p>0 a v ľavej

ak p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Relatívna poloha dvoch čiar v priestore.

Vzájomnú polohu dvoch čiar v priestore charakterizujú nasledujúce tri možnosti.

Priamky ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body – rovnobežky.

Priamky ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod – priamky sa pretínajú.

V priestore môžu byť dve priamky umiestnené aj tak, že neležia v žiadnej rovine. Takéto čiary sa nazývajú šikmé (nepretínajú sa alebo sú rovnobežné).

PRÍKLAD:

ÚLOHA 434 Trojuholník ABC leží v rovine, a

Trojuholník ABC leží v rovine, ale bod D nie je v tejto rovine. Body M, N a K sú stredovými bodmi segmentov DA, DB a DC

Veta. Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sa tieto priamky pretínajú.

Na obr. 26 priamka a leží v rovine a priamka c sa pretína v bode N. Priamky a a c sa pretínajú.

Veta. Každou z dvoch pretínajúcich sa čiar prechádza len jedna rovina rovnobežná s druhou čiarou.

Na obr. 26 čiar aab sa pretína. Nakreslí sa priamka a nakreslí sa rovina (alfa) || b (v rovine B (beta) je vyznačená priamka a1 || b).

Veta 3.2.

Dve čiary rovnobežné s treťou sú rovnobežné.

Táto vlastnosť je tzv prechodnosť rovnobežnosť čiar.

Dôkaz

Nech sú priamky a a b súčasne rovnobežné s priamkou c. Predpokladajme, že a nie je rovnobežné s b, potom priamka a pretína priamku b v nejakom bode A, ktorý neleží na priamke c podľa podmienky. V dôsledku toho máme dve priamky a a b, ktoré prechádzajú bodom A, neležia na danej priamke c a zároveň sú s ňou rovnobežné. To je v rozpore s axiómou 3.1. Veta bola dokázaná.

Veta 3.3.

Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou.

Dôkaz

Nech (AB) je daná priamka, C bod, ktorý na nej neleží. Čiara AC rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Bod B leží v jednom z nich. V súlade s axiómou 3.2 je možné uložiť uhol (ACD) z lúča C A rovný uhlu (CAB) do inej polroviny. ACD a CAB sú rovnaké vnútorné priečne ležiace s priamkami AB a CD a sečnicou (AC) Potom podľa vety 3.1 (AB) || (CD). Berúc do úvahy axiómu 3.1. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť rovnobežiek je daná nasledujúcou vetou, opačne k vete 3.1.

Veta 3.4.

Ak dve rovnobežné priamky pretína tretia priamka, potom sú vnútorné uhly pretínania rovnaké.

Dôkaz

Nech (AB) || (CD). Predpokladajme, že ACD ≠ BAC. Cez bod A vedieme priamku AE tak, že EAC = ACD. Ale potom, podľa vety 3.1 (AE ) || (CD ), a podľa podmienok – (AB ) || (CD). V súlade s vetou 3.2 (AE ) || (AB). To je v rozpore s vetou 3.3, podľa ktorej cez bod A, ktorý neleží na priamke CD, možno nakresliť jedinečnú priamku rovnobežnú s ním. Veta bola dokázaná.

Obrázok 3.3.1.

Na základe tejto vety možno ľahko zdôvodniť nasledujúce vlastnosti.

Ak dve rovnobežné čiary pretína tretia čiara, potom sú príslušné uhly rovnaké.

Ak dve rovnobežné priamky pretína tretia priamka, potom súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 3.2.

Ak je čiara kolmá na jednu z rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.

Koncept paralelizmu nám umožňuje predstaviť nasledujúci nový koncept, ktorý bude potrebný neskôr v kapitole 11.

Dva lúče sú tzv rovnako smerované, ak existuje priamka taká, že po prvé sú na túto priamku kolmé a po druhé lúče ležia v rovnakej polrovine vzhľadom na túto priamku.

Dva lúče sú tzv opačne smerované, ak je každý z nich rovnako nasmerovaný s lúčom komplementárnym k druhému.

Budeme označovať identicky smerujúce lúče AB a CD: a opačne smerujúce lúče AB a CD -

Obrázok 3.3.2.

Znak prekračovania čiar.

Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sa tieto priamky pretínajú.

Prípady vzájomného usporiadania čiar v priestore.

1. Existujú štyri rôzne prípady usporiadania dvoch čiar v priestore:

   
   

   – priamy prechod, t.j. neležte v rovnakej rovine;

   – priamky sa pretínajú, t.j. ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod;

   – rovnobežné čiary, t.j. ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa;

   - čiary sa zhodujú.

   
   

   Získame charakteristiky týchto prípadov relatívnej polohy priamok danej kanonickými rovnicami

   
   
   Kde — body patriace k čiaram A podľa toho a— smerové vektory (obr. 4.34). Označme podľavektor spájajúci dané body.
   
   

   Nasledujúce charakteristiky zodpovedajú prípadom relatívnej polohy čiar uvedených vyššie:

   
   

   – priame a krížové vektory nie sú koplanárne;

   
   

   – priame čiary a pretínajúce sa vektory sú koplanárne, ale vektory nie sú kolineárne;

   
   

   – priame a paralelné vektory sú kolineárne, ale vektory nie sú kolineárne;

   
   

   – priame čiary a zhodné vektory sú kolineárne.

   
   

   Tieto podmienky možno zapísať pomocou vlastností zmiešaných a vektorových produktov. Pripomeňme, že zmiešaný súčin vektorov v pravom pravouhlom súradnicovom systéme sa nachádza podľa vzorca:

   
   
   a determinant pretína je nula a jeho druhý a tretí riadok nie sú proporcionálne, t.j.
   

   – priama a rovnobežná druhá a tretia čiara determinantu sú proporcionálne, t.j. a prvé dva riadky nie sú proporcionálne, t.j.

   
   

   – priamky a všetky priamky determinantu sa zhodujú a sú proporcionálne, t.j.

Dôkaz testu šikmej čiary.

Ak jedna z dvoch priamok leží v rovine a druhá pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí do prvej priamky, potom sa tieto dve priamky pretínajú.

Dôkaz

Nech a patrí do α, b pretína α = A, A nepatrí do a (Výkres 2.1.2). Predpokladajme, že priamky a a b sa nekrížia, to znamená, že sa pretínajú. Potom existuje rovina β, do ktorej patria priamky a a b. V tejto rovine β leží priamka a a bod A. Keďže priamka a a bod A mimo nej definujú jednu rovinu, potom β = α. Ale b riadi β a b nepatrí do α, preto je rovnosť β = α nemožná.

Veta. Ak jedna priamka leží v danej rovine a iná priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí do prvej priamky, potom sa tieto dve priamky pretnú. Znak kríženia čiar Dôkaz. Nech priamka a leží v rovine a priamka b pretína rovinu v bode B, ktorý nepatrí do priamky a. Ak by priamky a a b ležali v rovnakej rovine, potom by v tejto rovine ležal aj bod B. Keďže priamkou prechádza iba jedna rovina a bod mimo tejto priamky, potom táto rovina musí byť rovinou. Ale potom by priamka b ležala v rovine, čo je v rozpore s podmienkou. V dôsledku toho priamky a a b neležia v rovnakej rovine, t.j. krížiť sa.

Koľko párov šikmých čiar obsahuje hrany pravidelného trojuholníkového hranolu? Riešenie: Pre každý okraj základne existujú tri hrany, ktoré sa s ním pretínajú. Pre každú bočnú hranu sú dve rebrá, ktoré sa s ňou pretínajú. Požadovaný počet párov šikmých čiar je preto cvičenie 5

Koľko párov šikmých čiar obsahuje hrany pravidelného šesťhranného hranolu? Riešenie: Každá hrana základne sa podieľa na 8 pároch krížiacich sa čiar. Každá bočná hrana sa zúčastňuje 8 párov krížiacich sa čiar. Požadovaný počet párov šikmých čiar je preto cvičenie 6