Zvýšenie mocniny na mocninu so záporným exponentom. Ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu - príklady s popisom v Exceli

Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:

a ma n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(am) n = a m n .

Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň delený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla A.

Povýšenie na zápornú mocninu je jedným zo základných prvkov matematiky, s ktorým sa často stretávame pri riešení algebraických úloh. Nižšie je podrobný návod.

Ako sa povýšiť na negatívnu silu - teória

Keď číslo zoberieme na obvyklú mocninu, jeho hodnotu niekoľkokrát vynásobíme. Napríklad 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Pri zápornom zlomku je opak pravdou. Všeobecný tvar podľa vzorca bude nasledovný: a -n = 1/a n . Ak teda chcete číslo zvýšiť na zápornú mocninu, musíte jednotku vydeliť daným číslom, ale už na kladnú mocninu.

Ako zvýšiť na zápornú mocninu - príklady na obyčajných číslach

S ohľadom na vyššie uvedené pravidlo, poďme vyriešiť niekoľko príkladov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpoveď: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpoveď je -4 -2 = 1/16.

Prečo je však odpoveď v prvom a druhom príklade rovnaká? Faktom je, že keď sa záporné číslo zvýši na párnu mocninu (2, 4, 6 atď.), znamienko sa stane kladným. Ak bol stupeň párny, zachová sa mínus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Ako zvýšiť na zápornú mocninu - čísla od 0 do 1

Pripomeňme si, že keď sa číslo medzi 0 a 1 zvýši na kladnú mocninu, hodnota sa so zvyšujúcou sa mocninou znižuje. Takže napríklad 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Príklad 3: Vypočítajte 0,5 -2
Riešenie: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpoveď: 0,5 -2 = 4

Analýza (postupnosť akcií):

• Preveďte desatinné číslo 0,5 na zlomok 1/2. Je to jednoduchšie.
  Zvýšte 1/2 na zápornú mocninu. 1/(2)-2. Vydelíme 1 číslom 1/(2) 2, dostaneme 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Príklad 4: Vypočítajte 0,5 -3
Riešenie: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Príklad 5: Vypočítajte -0,5 -3
Riešenie: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpoveď: -0,5 -3 = -8

Na základe 4. a 5. príkladu vyvodíme niekoľko záverov:

• Pre kladné číslo medzi 0 a 1 (príklad 4) umocnené na zápornú mocninu, či už je mocnina párna alebo nepárna, bude hodnota výrazu kladná. V tomto prípade platí, že čím väčší stupeň, tým väčšia hodnota.
• Pre záporné číslo medzi 0 a 1 (príklad 5), umocnené na zápornú mocninu, bez ohľadu na to, či je mocnina párna alebo nepárna, bude hodnota výrazu záporná. V tomto prípade platí, že čím vyšší stupeň, tým nižšia hodnota.

Ako zvýšiť na zápornú mocninu - mocninu ako zlomkové číslo

Výrazy tohto typu majú tvar: a -m/n, kde a je obyčajné číslo, m je čitateľ stupňa, n je menovateľ stupňa.

Zvážte príklad:
Vypočítajte: 8 -1/3

Riešenie (postupnosť akcií):

• Pamätajte na pravidlo zvýšenia čísla na zápornú mocninu. Dostaneme: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Všimnite si, že menovateľ je 8 na zlomkovú mocninu. Všeobecná forma výpočtu zlomkového stupňa je nasledovná: a m/n = n √8 m .
• Teda 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dostaneme odmocninu z ôsmich, čo je 2. Na základe toho 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odpoveď: 8-1/3 = 2

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.

Odds rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 sa rovná 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať ich pridaním k ich znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a3bn a 3a5b6 je a3bn + 3a5b6.

Odčítanie právomocí sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h2b6 - 4h2b6 = -h2b6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, s násobiacim znamienkom alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A a m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno vynásobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú - negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Delenie stupňov

Čísla s mocninou možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

alebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, že $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpoveď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Znížte exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpoveď: $\frac(2x)(1)$ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

9. Delenie (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo Jednotnej štátnej skúšky a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov vidíte nezmysel, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou možno napísať aj iným spôsobom: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet fliaš koly a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je. A riešte takéto hádanky v mysli - rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén veľký meter krát meter. Bazén je vo vašom dvore. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Škubaním prsta jednoducho spočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po metri. Ak sú vaše dlaždice meter na meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlaždicu? Dlaždica bude skôr cm na cm A potom vás bude trápiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keďže sa rovnaké číslo násobí, môžeme použiť techniku ​​umocňovania. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb Pre skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi, alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete použiť osem. Získajte bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno veľké meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek s rozmermi meter krát meter vstúpi do vášho bazén.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak to príliš zjednodušujú. Všetko zredukované na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí ... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:

Zostáva len zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly si vymysleli flákači a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión ďalší milión. To znamená, že každý z vašich miliónov sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a .. hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto počíta rýchlejšie, dostane tieto milióny ... Oplatí sa zapamätať si stupne čísel, čo myslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máte milión. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión o dva viac. Je to skvelé, že? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - násobte, potom výsledok ďalším ... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Štvrtá mocnina je teda milión. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby nedošlo k zámene

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No, vo všeobecnosti, aby sme zovšeobecnili a lepšie si zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "na stupeň" a píše sa nasledujúcim spôsobom:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní položiek: jeden, dva, tri ... Keď počítame položky, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Nehovoríme ani „jedna tretina“ alebo „nula päť desatín“. Toto nie sú prirodzené čísla. Aké sú podľa vás tieto čísla?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - vtedy nie je nič. A čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú dostatok prirodzených čísel na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, však?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

1. Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
2. Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
3. Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa, čo je A ?

A-priorita:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo tým istým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je inverznou hodnotou rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na tréning

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- toto je ako keby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec na skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desiatkové alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

• — základ titulu;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musí byť na rovnakom základe. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať tieto jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť tým, že zmeníme len jedno pre nás nevýhodné mínus!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon, podľa definície, iracionálne čísla sú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným negatívnym ukazovateľom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

Odpovede:

1. Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

Titul sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Exponent slúži na uľahčenie zápisu operácie násobenia čísla samotným. Napríklad namiesto písania môžete písať 4 5 (\displaystyle 4^(5))(vysvetlenie takéhoto prechodu je uvedené v prvej časti tohto článku). Mocniny uľahčujú písanie dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc; mocniny sa tiež ľahko pridávajú a odčítavajú, čo vedie k zjednodušeniu výrazu alebo rovnice (napr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Poznámka: ak potrebujete vyriešiť exponenciálnu rovnicu (v takejto rovnici je neznáma v exponente), čítajte.

Kroky

Riešenie jednoduchých problémov s mocnosťami

Vynásobte základ exponentu sám o sebe toľkokrát, koľkokrát sa rovná exponentu. Ak potrebujete vyriešiť problém s exponentmi ručne, prepíšte exponent ako operáciu násobenia, kde sa základ exponentu vynásobí sám. Napríklad vzhľadom na stupeň 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tomto prípade musí byť základ 3. stupňa sám vynásobený 4-krát: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu sú ďalšie príklady:

Najprv vynásobte prvé dve čísla. Napríklad, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nebojte sa - proces výpočtu nie je taký zložitý, ako sa na prvý pohľad zdá. Najprv vynásobte prvé dve štvorky a potom ich nahraďte výsledkom. Páči sa ti to:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Výsledok (v našom príklade 16) vynásobte nasledujúcim číslom. Každý nasledujúci výsledok sa úmerne zvýši. V našom príklade vynásobte číslo 16 číslom 4. Takto:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pokračujte v násobení výsledku násobenia prvých dvoch čísel ďalším číslom, kým nedostanete konečnú odpoveď. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvé dve čísla a potom vynásobte výsledok ďalším číslom v poradí. Táto metóda je platná pre akýkoľvek stupeň. V našom príklade by ste mali dostať: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Vyriešte nasledujúce problémy. Skontrolujte svoju odpoveď pomocou kalkulačky.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulačke vyhľadajte kľúč označený ako „exp“ alebo „ x n (\displaystyle x^(n))“ alebo „^“. Pomocou tohto kľúča zvýšite číslo na mocninu. Je prakticky nemožné ručne vypočítať stupeň s veľkým exponentom (napríklad stupeň 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulačka sa s touto úlohou ľahko vyrovná. V systéme Windows 7 je možné štandardnú kalkulačku prepnúť do inžinierskeho režimu; Ak to chcete urobiť, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Inžinierstvo". Ak chcete prejsť do normálneho režimu, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Normálne".

   • Skontrolujte prijatú odpoveď pomocou vyhľadávača (Google alebo Yandex). Pomocou klávesu „^“ na klávesnici počítača zadajte výraz do vyhľadávača, ktorý okamžite zobrazí správnu odpoveď (a prípadne navrhne podobné výrazy na štúdium).

   Sčítanie, odčítanie, násobenie mocniny

   1. Mocniny môžete pridávať a uberať, len ak majú rovnaký základ. Ak potrebujete sčítať mocniny s rovnakými základmi a exponentmi, potom môžete operáciu sčítania nahradiť operáciou násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamätajte, že stupeň 4 5 (\displaystyle 4^(5)) môže byť reprezentovaný ako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); teda 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kde 1 + 1 = 2). To znamená, že spočítajte počet podobných stupňov a potom vynásobte takýto stupeň a toto číslo. V našom príklade zvýšte 4 na piatu mocninu a potom vynásobte výsledok 2. Pamätajte, že operácia sčítania môže byť nahradená operáciou násobenia, napr. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu sú ďalšie príklady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty sčítajú (základ sa nemení). Napríklad vzhľadom na výraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tomto prípade stačí pridať ukazovatele a základňu ponechať nezmenenú. teda x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tu je vizuálne vysvetlenie tohto pravidla:

      Pri zvýšení mocniny na mocninu sa exponenty násobia. Napríklad daný titul. Keďže exponenty sú násobené, potom (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Zmyslom tohto pravidla je, že znásobíte silu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na seba päťkrát. Páči sa ti to:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Keďže základ je rovnaký, exponenty sa jednoducho sčítajú: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Exponent so záporným exponentom by sa mal previesť na zlomok (na prevrátenú mocninu). Nevadí, ak neviete, čo je to recipročné. Ak dostanete titul so záporným exponentom, napr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), túto mocninu zapíšte do menovateľa zlomku (do čitateľa dajte 1) a urobte kladný exponent. V našom príklade: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu sú ďalšie príklady:

      Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú (základ sa nemení). Operácia delenia je opakom operácie násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odčítajte exponent v menovateli od exponentu v čitateli (základ nemeňte). teda 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupeň v menovateli možno zapísať takto: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamätajte, že zlomok je číslo (mocnina, výraz) so záporným exponentom.

   4. Nižšie sú uvedené niektoré výrazy, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť problémy s napájaním. Vyššie uvedené výrazy pokrývajú materiál uvedený v tejto časti. Ak chcete zobraziť odpoveď, zvýraznite prázdne miesto za znakom rovnosti.

   Riešenie problémov so zlomkovými exponentmi

   Stupeň s zlomkovým exponentom (napríklad ) sa prevedie na operáciu extrakcie koreňa. V našom príklade: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nezáleží na tom, aké číslo je v menovateli zlomkového exponentu. Napríklad, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je štvrtý koreň z "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ak je exponentom nevlastný zlomok, potom je možné takýto exponent rozložiť na dve mocniny, aby sa riešenie úlohy zjednodušilo. Nie je na tom nič zložité – stačí si zapamätať pravidlo pre násobenie právomocí. Napríklad daný titul. Premeňte tento exponent na odmocninec, ktorého exponent sa rovná menovateľovi zlomkového exponentu, a potom tento koreň povýšte na exponent rovný čitateľovi zlomkového exponentu. Aby ste to urobili, pamätajte na to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našom príklade:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Niektoré kalkulačky majú tlačidlo na výpočet exponentov (najskôr musíte zadať základ, potom stlačiť tlačidlo a potom zadať exponent). Označuje sa ako ^ alebo x^y.
   3. Pamätajte, že každé číslo sa rovná prvej mocnine, napr. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Navyše, každé číslo vynásobené alebo delené jednou sa rovná samo sebe, napr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) A 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Vedzte, že stupeň 0 0 neexistuje (takýto stupeň nemá riešenie). Keď sa pokúsite vyriešiť takýto stupeň na kalkulačke alebo na počítači, dostanete chybu. Pamätajte však, že akékoľvek číslo s mocninou nuly sa rovná 1, napr. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Vo vyššej matematike, ktorá pracuje s imaginárnymi číslami: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Kde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konštanta približne rovná 2,7; a je ľubovoľná konštanta. Dôkaz tejto rovnosti možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici vyššej matematiky.

   Varovania

   • Keď sa exponent zvyšuje, jeho hodnota výrazne rastie. Preto, ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, v skutočnosti sa môže ukázať ako pravdivá. Môžete to skontrolovať vykreslením ľubovoľnej exponenciálnej funkcie, napríklad 2 x .