Symetria ako kritérium vonkajšej krásy. Asymetria tváre: príčiny patologických porúch a metódy ich korekcie

)
Dátum: 2017-10-17 Názory: 18 963 stupeň: 5.0

Účel školenia: opraviť asymetriu tváre v 3 bodoch (obočie, oči, pery).

Ľudská tvár nie je symetrická, rovnako ako telo, a nie je na tom nič prekvapivé.

Existujú však prípady, keď je asymetria tváre výrazná a dáva vám psychické nepohodlie. Okamžite urobím výhradu, že nie všetky typy asymetrie sa dajú opraviť pomocou cvičení.

Asymetriu nemožno korigovať cvičeniami, ak:

• je to spôsobené deformáciami kostí;
• patologické deformácie;
• veľmi "stará" neuritída tvárového nervu;
• v niektorých prípadoch dôsledky botoxových injekcií, takzvaný vedľajší účinok.

Príčiny asymetrie

Tiež asymetria tváre do značnej miery závisí od stavu vášho tela. O vzťahu tváre a tela.

Stručne povedané, pri skolióze, lordóze, distorziách panvy a iných zmenách v pohybovom aparáte prebieha asymetria a jej náprava by mala začať od päty!

ASYMETRIA však môže byť výsledkom nadmernej mimiky, tvárových šaškov a návykov správania. To všetko prezrádza napríklad pozorný pohľad na vašu tvár vo videu.

Úsmev, rozprávanie, žuvanie len na jednej strane alebo neustále dvíhanie jedného obočia. Pamätáte si na existenciu svalovej pamäte? A ona si na vás pamätá a neustále ťahá aktívne obočie a jedno oko robí menej vizuálne.

Ako merať asymetriu?

Ako skontrolovať symetriu tváre? Treba fotku! Odsuňte si vlasy z tváre a požiadajte vás, aby ste sa odfotili. Fotografia je ako pas: neusmievame sa, nesnažíme sa na obrázku vyzerať cool.

Vezmeme si pravítko a nakreslíme vodorovnú čiaru cez oči (v zreničkách), cez obočie, cez pery. Začnite očami. Naša vnútorná vodováha (hladina) má totiž sklon k horizontu práve v oblasti očí, aby ste mohli plynule chodiť a nespadnúť.

A teraz sa pozrieme na 3 výsledné riadky. Možno bude jedno obočie vyššie a druhé nižšie, kútiky pier nemusia byť na rovnakej línii.

Pamätajte, že existujú prijateľné hodnoty asymetrie a to je úplne prirodzené a nevyžaduje úpravu.

Tam, kde sú odchýlky od horizontu, treba pracovať so svalmi a niekomu postačí napraviť stereotypy správania a na tvári všetko zapadne.

Cvičenie na tvár s asymetriou

Prejdime k cvičeniam.Mimochodom, môžu byť kombinované s ktorýmkoľvek z komplexov:,. Stačí ich pridať do tréningového programu. Napríklad vykonaním a potom vykonajte cvičenia na korekciu asymetrie tej istej zóny.

V príklade uvažujem o možnosti korekcie jednostrannej asymetrie tváre, kedy časť tváre umiestnená nižšie voči jej polovici horšie funguje, menej ju cítite! Napríklad ľavé obočie, ľavé oko, ľavý kútik pery sú nižšie ako na pravej strane tváre – táto asymetria sa nazýva JEDNOSTRANNÁ.

Asymetria tváre môže byť diagonálna, komplexná. V takýchto prípadoch je lepšie vyberať cvičenia individuálne.

Odporúča sa 30 opakovaní, na poslednom účte statické oneskorenie 5 sekúnd. Tréning je založený na implementácii „BASE“ – základných cvikov s doplnením špeciálnych cvikov na korekciu asymetrie konkrétnej zóny.

Čelo. Korekcia obočia

Cvičenie číslo 1: Zdvihnite obočie

Toto je základné cvičenie. Pri tom dávať pozor na obočie? Ktorá stúpa horšie? Čo cítite menej?

Položte prsty na obočie. S námahou tlačte obočie nahor, vzdorujte prstami. Uistite sa, že počas cvičenia nie sú na čele žiadne horizontálne vrásky, pokúste sa uvoľniť a znížiť ramená, pevne fixovať pokožku nad obočím. Po dokončení cvičenia si poklepte prstami na čelo.

Prejdime k súboru cvičení na korekciu rôznych pozícií výšky obočia:

Cvičenie číslo 2: striedavo dvíhajte obočie

Na čelo, nad obočie, položte prsty a falangy zľahka držte pokožku, aby sa nezhlukovala do záhybov. Teraz striedavo zdvihnite obočie: potom doľava, potom doprava.

Cíťte, ktoré z obočia sa dvíha horšie, alebo pri zdvihnutí jedného obočia vzniká napätie a nepohodlie. Horšie stúpajúce obočie treba vytiahnuť o 2 body: 1-zdvihnuté, 2-natiahnuté. Po dokončení cvičenia si poklepte prstami na čelo.

Cvičenie číslo 3: zdvihnutie jedného obočia

Keď už ste našli obočie, ktoré funguje horšie a nachádza sa nižšie, treba ho „trénovať“ samostatne.

Obočie, ktoré sa nachádza vyššie, zafixujeme rukou a druhú zdvihneme nahor, pričom kožu nad obočím držíme falangami prstov, aby sa nezhromažďovala v záhyboch. Po dokončení cvičenia si poklepte prstami na čelo.

Oči

Všeobecné video:

Cvičenie číslo 1: na posilnenie horného viečka

Toto je základné cvičenie. Počas vykonávania sledujte pocity pod ukazovákmi, pod jedným z prstov dochádza k pulzácii, chvenie svalu bude menej výrazné. Keď toto oko zavriete, pokúste sa horným viečkom stlačiť dolné viečko trochu silnejšie. DÔLEŽITÉ! Netlačte silno prstami a nenaťahujte pokožku rôznymi smermi!

Prstami pridržíme kútiky očí a s trochou úsilia zatvoríme oči, pričom horné viečko pritlačíme na spodné. Snažte sa držať obočie na mieste a neplaziť sa za horným viečkom, uvoľnite čelo. Potom otvoríme oči. Po vykonaní cvičenia žmurknite očami.

Cvičenie číslo 2: striedajte prácu očí

Zatvorme oči jeden po druhom. Ukazovák a prostredník vložíme do kútikov očí, pokožku netlačíme a neťaháme. Postupne zatvárame oči: vľavo, vpravo, vľavo .... Keď zavriete jedno oko, druhé musí zostať otvorené. Nezabudnite uvoľniť čelo, aby obočie nekleslo spolu s horným viečkom. Po vykonaní cvičenia žmurknite očami.

Rohy pier

Všeobecné video:

Cvičenie číslo 1: pomáha zdvihnúť ovisnuté kútiky pier

Toto je základné cvičenie. Prsty fixujú nasolabiálnu zónu (od kútika úst po nosnú dierku). Kútiky pier dvíhame nahor, akoby sme sa usmievali, prstami vzdorujeme, pohyb kútikov pier ide hore pod oči, pričom stred pier je uvoľnený. Snažte sa „nejazdiť“ prstami po tvári, pri zdvíhaní sa kútik pery opiera o vaše prsty.

Cvičenie číslo 2 striedavo zdvíhajte kútiky pier

Prsty fixujú nasolabiálnu zónu (od kútika úst po nosnú dierku). Kútiky pier POSTUPNE dvíhame nahor, akoby sme sa usmievali jedným kútikom pier, prstami vzdorujeme, pohyb kútikov pier ide hore pod oči, pričom stred pier je uvoľnený. Snažte sa „nejazdiť“ prstami po tvári, pri zdvíhaní sa kútik pery opiera o vaše prsty.

Cvičenie číslo 3 zdvíhanie jedného rohu pery

Prstami fixujeme nasolabiálnu zónu (od kútika úst po nosnú dierku) zo strany kútika pery, ktorý sa nachádza nižšie. Opačný kútik úst jednoducho zafixujeme rukou, aby sa nám nezaplietol do práce. Kútik pier zdvihneme hore, akoby sme sa usmiali jedným kútikom pery, prstami odporujeme, pohyb kútika pier ide hore pod oko, pričom stred pier je uvoľnený. Snažte sa „nejazdiť“ prstami po tvári, pri zdvíhaní sa kútik pery opiera o vaše prsty.

P.S. Vyvíjam individuálne tréningové programy pre budovanie Facebooku, vediem kurzy cez Skype. Ak máš záujem -

Vytvorenie asymetrie tváre sa stalo akýmsi pocitom, pretože asymetria je zriedka zrejmá. Ukázalo sa, že ľudia sa líšia v miere asymetrie rovnako ako v črtách tváre. Potvrdili to nielen merania, ale aj porovnanie portrétov zložených z fotografií pravej a ľavej polovice (jedna z nich musí byť pri tlači otočená hore nohami) s obyčajným portrétom človeka nasnímaným presne vpredu. Získate úplne iné tváre.

Na svete neexistuje dokonalá symetria. Je chybou považovať symetriu tváre za nevyhnutnú podmienku pre jej krásu. Zmes dedičných vlastností sa nemôže neodraziť na tvári dieťaťa. Na posúdenie krásy tváre je dôležitá kombinácia čŕt a mierna asymetria, ktorá je mimochodom vlastná tváram všetkých ľudí a vôbec neuberá na prednostiach portrétu. Ani v sochách Venuše de Milo a Apollo Belvedere nemajú ich tváre úplnú symetriu. Z dobrého dôvodu môžeme povedať, že neexistuje jediný človek s nespornou prísnou symetriou pravej a ľavej polovice. Pravdepodobne preto Claudius Galen napísal, že „skutočná krása je vyjadrená v dokonalosti účelu a že prvým cieľom všetkých častí je účelnosť štruktúry“. P.F.Lesgaft mal nepochybne pravdu, keď napísal, že „pri harmonickom rozvoji všetkých svalov a svalových skupín by tvár stratila svoj definitívny výraz. Individualita čŕt tváre sa získava častým používaním zodpovedajúcich svalov.

Michelle Monaghanová

Ako fakt by sa teda mala uznať asymetria tváre, t.j. nerovnosť jej pravej a ľavej polovice: jedna z nich je spravidla širšia, druhá je užšia, jedna je vyššia, druhá je nižšia. . Dôvodom asymetrie je vo väčšine prípadov nerovnosť konštrukčných prvkov kostí lebky. Na tvári človeka je nárast asymetrie spôsobený špecifickosťou výrazov tváre (fyziologická asymetria).

Naomi Wattsová

Existujú vedecké práce, v ktorých vedci identifikujú nasledujúce vzorce asymetrie tváre. Ak je jedna polovica tváre vyššia, potom je aj užšia. V tomto prípade je obočie umiestnené vyššie ako na opačnej, širšej polovici tváre, palpebrálna štrbina je väčšia. Oko ako celok sa zdá byť otočené nahor. Ľavá polovica tváre je zvyčajne vyššie ako pravá. Mnohí autori sa stále domnievajú, že pravá polovica tváre je väčšia ako ľavá, výraznejšie vystupuje a vyjadruje mužnosť. Ľavá polovica je celkovo jemnejšia, odráža črty ženskosti.

Kate Bosworthová

Asymetria tváre bola dlho pozorovaná ako odraz všeobecnej asymetrie tela. Uskutočnili sa pokusy obnoviť tvár na portréte z presnej polovice fotografie a jej zrkadlového obrazu. Pravá a ľavá polovica poskytli rôzne obrázky. Nezhodovali sa s originálom. Mimická asymetria, aj keď je superponovaná na disproporciách pravej a ľavej polovice lebky tváre, má tiež svoje vlastné charakteristiky. Zistilo sa, že nervová regulácia pravého mimického svalstva je bohatšia, pohyby hlavy a očí doprava sa reprodukujú ľahšie. Dokonca aj prižmúrenie pravého oka je zvyčajnejšie.

Kandidát lekárskych vied, plastický chirurg ""

Ešte v 15. storočí vytvoril Leonardo da Vinci kresby, ktoré zobrazujú „božské“ proporcie ľudskej tváre a tela, ktoré sú dodnes štandardom (obr. 1). Tieto proporcie však nezohľadňujú skutočnosť, že v živej prírode neexistujú absolútne symetrické objekty: v každom z nich je vždy jednota symetrie a asymetrie.

Ryža. jeden.

Počas histórie sa ľudia pokúšali „merať“ krásu, opísať ju pomocou matematických vzorcov alebo geometrických proporcií, čím umožnili jej opätovné vytvorenie. Takže v starovekom Grécku bol poriadok a harmónia pozorovaná v prírode zosobnená v žiarivých obrazoch bohov a bohýň, zvečnených v krásnych sochách.

Podľa gréckych sochárov symetria charakterizuje harmóniu, proporcionalitu, harmóniu prírodných tiel a ľudského tela. Preto sú pojmy symetria a krása totožné. Stačí pripomenúť prísne symetrickú konštrukciu architektonických pamiatok, pravidelne sa opakujúce vzory tradičných ornamentov, úžasnú harmóniu gréckych váz (obr. 2).

Skutočnosť asymetrie tváre a tela človeka bola známa umelcom a sochárom starovekého sveta a používali ju na to, aby vytváraným dielam dodali expresivitu a spiritualitu.

Výrazným príkladom asymetrie je tvár Venuše de Milo (obr. 3). Zástancovia symetrie kritizovali asymetriu foriem tohto všeobecne uznávaného štandardu ženskej krásy a verili, že tvár Venuše by bola krajšia, keby bola symetrická. Pri pohľade na zložené zábery však vidíme, že to tak nie je.

Samotný pojem „symetria“ priamo súvisí s harmóniou. Pochádza zo starogréckeho slova συμμετρία (proporcionalita) a znamená niečo harmonické a proporcionálne v objekte. Koncept "zrkadlovej" symetrie je použiteľný pre osobu. Táto symetria je hlavným zdrojom nášho estetického obdivu k proporčnému ľudskému telu.

Takáto symetria je nielen krásna, ale aj funkčná. Takže symetrické končatiny uľahčujú pohyb v priestore, umiestnenie očí - na vytvorenie správneho vizuálneho obrazu poskytuje plochá nosná prepážka dostatočné dýchanie. Symetria živých organizmov sa však v dôsledku nerovnomerného vývoja a funkcie neprejavuje s matematickou presnosťou.

Symetria tváre a štandardy krásy

Postupom času sa štandardy krásy zmenili, ale princípy a parametre, ktoré určujú pomery a proporcie tváre, a teda aj jej príťažlivosť, sa zachovali už od staroveku. Aby bola tvár harmonická, jej jednotlivé časti musia spolu v určitom pomere súvisieť, pomocou čoho sa dosiahne celková rovnováha. Žiadna časť tváre neexistuje ani nefunguje izolovane od ostatných. Akákoľvek zmena v ktorejkoľvek konkrétnej časti tváre bude mať skutočný alebo zdanlivý vplyv na vnímanie ostatných častí a tváre ako celku.

Je prirodzené, že všetky proporcie ľudskej tváre majú pre jej estetiku len približnú hodnotu z niekoľkých dôvodov:

• Po prvé, proporcie tváre sa líšia v závislosti od veku, pohlavia, fyzického vývoja človeka a sú do značnej miery určené individuálnymi štrukturálnymi znakmi.
• Po druhé, posúdenie proporcionality sa stáva komplikovanejším v závislosti od postavenia hlavy.
• Tretia ťažkosť spočíva v asymetrii ľudskej tváre, ktorá sa často prejavuje tvarom nosa, postavením palpebrálnych štrbín a obočia a postavením ústnych kútikov. Obe strany tváre nedávajú rovnaký zrkadlový obraz, aj keď tvár vnímame ako úplne správnu.

Preto je dnes všeobecne uznávaná skutočnosť asymetrie tváre, vyjadrená nerovnakou pravou a ľavou polovicou, z ktorých jedna je spravidla širšia a vyššia, druhá je užšia a nižšia.

Z fotografií prezentovaných na obr. 4 je vidieť, že absolútne symetrické tváre sa zreteľne líšia od pôvodného obrazu tváre s prirodzenou asymetriou. Podľa nášho názoru "syntetické" symetrické tváre nie sú také atraktívne, ako na pôvodných fotografiách, aj keď sme na vytvorenie kompozitných portrétov vybrali tváre hercov, ktorých vzhľad je hodnotený najviac. Navyše sú to práve tieto tváre, ktoré majú výraznejšiu symetriu, ako sa pozoruje u väčšiny ľudí, no mierna asymetria len zdôrazňuje ich príťažlivosť.

Krása v asymetrii?

Je teda asymetria vlastná každému z nás naozaj krásna alebo nie? Je celkom zrejmé, že výrazné porušenia symetrie v štruktúre tváre nepovažujeme za atraktívne. Malé odchýlky od symetrie však nezavádzajú disharmóniu, ale iba priaznivo naštartujú individualitu.

Väčšina pacientov, ktorí sa obrátia na plastického chirurga, si nevšimne asymetriu proporcií tváre a tela. Preto je jednou z dôležitých úloh chirurga počas konzultácie upozorniť pacienta na vlastnosti jeho proporcií, podrobne opísať nadchádzajúce zmeny v dôsledku operácie. Korekcia asymetrie tváre je značne uľahčená použitím minimálne invazívnych metód, ako sú a.

Výrazná asymetria sa teda zvyčajne považuje za neestetickú a v takýchto prípadoch je túžba dosiahnuť symetrickejší vzhľad celkom prirodzená a môže slúžiť ako indikácia pre plastickú operáciu. Mierna asymetria tváre ju však robí len atraktívnou a individuálnou, a preto by ste sa nemali snažiť o absolútnu symetriu.

Symetria a proporcionalita sú dôležitými zložkami vonkajšej krásy človeka a v niektorých prípadoch aj ukazovateľmi zdravia. No nie každý vie zhodnotiť proporcie a symetriu svojej tváre a tela. Presne o tom sa bude diskutovať.

Môže dlhý nos vôbec nepokaziť vzhľad človeka? Určite áno. Ak je nos v pomere k jeho tvári.

Ak chcete posúdiť proporcie vašej tváre, musíte ísť k zrkadlu a zmerať tri vzdialenosti:
od hranice rastu vlasov na čele po koreň nosa
od mosta nosa po hornú peru
od hornej pery po bradu.

Ak sú si rovní, ste šťastným majiteľom proporčnej tváre.

Ak nie, potom je tu nepomer, ktorý vôbec nie je dôvodom na skľúčenosť. Po prvé, môže to byť určitá príťažlivosť a originalita tváre a po druhé, proporcie sa dajú zmeniť.

Zväčšenie alebo zníženie prvej vzdialenosti je možné dosiahnuť pomocou účesov, ako aj poskytnutím určitého tvaru obočiu. Druhá vzdialenosť je takmer vždy korigovaná zmenou dĺžky nosa. Vhodne zvolený rúž alebo odolnejšie opatrenie – zväčšenie pier – môže opticky ovplyvniť tretiu vzdialenosť.

Symetria tváre sa tiež ľahko hodnotí. Je potrebné venovať pozornosť umiestneniu a tvaru spárovaných anatomických štruktúr: obočie, oči, uši, nasolabiálne záhyby.

Ak sú umiestnené na rovnakej úrovni a majú rovnaký tvar, potom je tvár symetrická. Symetria tváre je veľmi dôležitá nielen z estetického hľadiska. Jej náhle porušenie je dôležitým diagnostickým znakom pri rade závažných neurologických ochorení.

Najjednoduchšie je posúdiť proporcie tela podľa jeho objemov: objem hrudníka, pásu a bokov.

U proporčne zloženého muža prevláda objem hrudníka. Geometricky je ideálom mužskej postavy rovnoramenný trojuholník obrátený hore nohami.

V proporcionálnej ženskej postave sú objemy hrudníka a bokov približne rovnaké. A pás by mal byť o 1/3 menší ako tieto dva objemy. Stačí pripomenúť známy štandard: 90 cm -60 cm -90 cm. Avšak pomer 120cm-80cm-120cm nie je o nič menej úmerný. Geometrickým vyjadrením ideálu je tvar presýpacích hodín.

Vizuálne požadované proporcie sa dosahujú oblečením, korzetovým spodným prádlom, určitými fyzickými cvičeniami. Sú však problémové partie, ktoré sa korigujú pomerne ťažko, napríklad notoricky známe „nohavice“ – horná časť bočných plôch stehien. Tu môže pomôcť liposukcia.

Symetria tela je hodnotená aj párovými formáciami. Kľúčové kosti, bradavky, lopatky, predné horné ilické chrbtice, gluteálne záhyby by mali byť na rovnakej úrovni.

Stojí za to vedieť, že viditeľné porušenie symetrie tela je vždy dôvodom na dôkladné vyšetrenie pohybového aparátu.

Vo všeobecnosti platí, že pri hodnotení svojho vzhľadu podľa akéhokoľvek parametra, či už ide o proporcionalitu, symetriu alebo niečo iné, nemusíte byť prehnane vyberavý.

Určité vlastnosti, nedokonalosti, disproporcie – to je to, čo nás od seba odlišuje, a preto nás robí jedinečnými.

Či naozaj existuje absolútne symetrický človek, to ešte nepochopíme. Každý, samozrejme, bude mať krtek, prameň vlasov alebo nejaký iný detail, ktorý narúša vonkajšiu symetriu. Ľavé oko nie je nikdy úplne rovnaké ako pravé a kútiky úst sú v rôznych výškach, aspoň u väčšiny ľudí. Sú to však len drobné nezrovnalosti. Nikto nebude pochybovať, že navonok je človek stavaný symetricky: ľavá ruka vždy zodpovedá pravej ruke a obe ruky sú úplne rovnaké! Stop. Tu sa oplatí zastaviť. Ak by boli naše ruky skutočne rovnaké, mohli by sme si ich kedykoľvek vymeniť. Bolo by možné, povedzme, transplantáciou, transplantovať ľavú ruku na pravú ruku, alebo, jednoduchšie povedané, ľavá rukavica by potom sedela na pravú ruku, ale v skutočnosti to tak nie je.

No, samozrejme, každý vie, že podobnosť medzi našimi rukami, ušami, očami a inými časťami tela je rovnaká ako medzi predmetom a jeho odrazom v zrkadle. Kniha pred vami sa venuje problematike symetrie a zrkadlového odrazu.

Mnohí umelci venovali veľkú pozornosť symetrii a proporciám ľudského tela, aspoň dovtedy, kým sa neriadili túžbou čo najtesnejšie nasledovať prírodu vo svojich dielach. Známe sú kánony prodorcií, ktoré zostavili Albrecht Dürer a Leonardo da Vinci. Podľa týchto kánonov je ľudské telo nielen symetrické, ale aj proporcionálne. Leonardo zistil, že telo zapadá do kruhu a štvorca. Dürer hľadal jedinú mieru, ktorá by bola v určitom pomere s dĺžkou trupu alebo nohy (za takú mieru považoval dĺžku paže po lakeť).

V moderných školách maľby sa vertikálna veľkosť hlavy najčastejšie berie ako jediné opatrenie. S určitým predpokladom môžeme predpokladať, že dĺžka tela osemkrát presahuje veľkosť hlavy. Na prvý pohľad sa to zdá zvláštne. Nesmieme však zabúdať, že väčšina vysokých ľudí sa vyznačuje predĺženou lebkou a naopak, málokedy nájdete nízkeho tučného muža s predĺženou hlavou.

Veľkosť hlavy je úmerná nielen dĺžke tela, ale aj rozmerom ostatných častí tela. Na tomto princípe sú stavaní všetci ľudia, a preto sme si vo všeobecnosti podobní. (K podobnosti či podobnosti sa vrátime o pár strán.) Naše proporcie sa však zhodujú len približne, a preto sú ľudia iba podobní, ale nie rovnakí. Každopádne, všetci sme symetrickí! Okrem toho niektorí umelci vo svojich dielach obzvlášť zdôrazňujú túto symetriu.

PERFEKTNÁ SYMETRIA JE NUDA

A v oblečení sa človek spravidla snaží zachovať dojem symetrie: pravý rukáv zodpovedá ľavému, pravá noha zodpovedá ľavému.

Gombíky na saku a na košeli sedia presne v strede a ak od neho ustupujú, tak v symetrických vzdialenostiach. Len málokedy má žena odvahu obliecť si skutočne asymetrické šaty (aká veľká odchýlka od symetrie je prijateľná, uvidíme neskôr).

Ale na pozadí tejto všeobecnej symetrie v malých detailoch zámerne povoľujeme asymetriu, napríklad česanie vlasov v bočnej časti - vľavo alebo vpravo. Alebo povedzme umiestnením asymetrického vrecka na hrudi na obleku, často podčiarknutého vreckovkou. Alebo navliecť prsteň na prstenník len jednej ruky. Rády a odznaky sa nosia len na jednej strane hrudníka (častejšie na ľavej strane).

Úplná dokonalá symetria by pôsobila neznesiteľne nudne. Práve malé odchýlky od nej dávajú charakteristické, individuálne črty. Slávny autoportrét Albrechta Dürera sa na prvý pohľad zdá byť absolútne symetrický. Pri bližšom pohľade si však všimnete malý asymetrický detail, ktorý dodáva obrázku živosť a vitalitu: prameň vlasov v blízkosti rozchodu.

A zároveň sa niekedy človek snaží zdôrazniť, posilniť rozdiel medzi ľavicou a pravicou. V stredoveku muži naraz vychvaľovali pantalóny s nohami rôznych farieb (napríklad jedna červená a druhá čierna alebo biela). A v týchto dňoch boli populárne džínsy s jasnými záplatami alebo farebnými škvrnami. Takáto móda je však vždy krátkodobá. Dlho zostávajú len taktné, skromné ​​odchýlky od symetrie.

ČO JE PODOBNOSŤ?

Často hovoríme, že niektorí dvaja ľudia sú si podobní. Deti sa väčšinou podobajú na svojich rodičov (aspoň podľa ich starých mám). Podobné, ale nie rovnaké!

Skúsme prísť na to, čo sa v matematike myslí pod pojmom podobnosť alebo podobnosť. Na podobných obrázkoch sú zodpovedajúce segmenty navzájom proporcionálne. V našom prípade môžeme túto situáciu formulovať nasledovne: podobné nosy majú rovnaký tvar, ale môžu sa líšiť veľkosťou. V tomto prípade by mala byť každá jednotlivá časť nosa (napríklad most nosa) úmerná všetkým ostatným.

Tento zákon podobnosti je niekedy plný háčika. Napríklad v úlohe, ako je táto:

Výška veže A je 10 m. V určitej vzdialenosti X od nej stojí šesťmetrová veža B. Ak nakreslíme rovné čiary od úpätia a od vrcholu veže A cez vrchol veže B, potom sa stretnú , respektíve s pätou a vrcholom veže C, ktorá má výšku 15 m. Aká je vzdialenosť medzi vežou A a vežou B?

Zdá sa, že na riešenie stačí zobrať kompas a pravítko. Potom sa však ukáže, že odpovedí bude nekonečné množstvo. Inými slovami, na otázku o hodnote X nemôže existovať jednoznačná odpoveď.

V tejto knihe sa často stretnete s problémami, ktoré si vyžadujú zamyslenie. Má to určitý pedagogický význam. Takéto problémy, aj keď nemajú žiadne riešenie, ako napríklad ten navrhnutý vyššie, sa týkajú nejakého problému, ktorý leží na hraniciach nášho poznania. Z veľkej časti sú to práve tie hranice, pred ktorými ustupuje povestný „zdravý rozum“ a k správnemu rozhodnutiu môže viesť iba striktne matematické logické myslenie spojené s prírodovednými poznatkami.

Vráťme sa opäť k človeku: pri porovnávaní živých bytostí je podobnosť zreteľne cítiť, ak sa ich proporcie zhodujú. Preto môžu byť deti a dospelí podobní. Hoci hmotnosť a veľkosť ktorejkoľvek časti tela, či už ide o nos alebo ústa, sú rôzne, ale proporcie podobných jedincov sú rovnaké.

Pozoruhodným príkladom podobnosti je vizuálny odhad vzdialenosti pomocou palca. Týmto spôsobom armáda a námorníci odhadujú vzdialenosť medzi dvoma bodmi na zemi alebo na mori, pričom ich porovnávajú so šírkou prsta alebo päste. V najjednoduchšom prípade zatvoria jedno oko a pozerajú otvoreným okom na prst natiahnutej ruky, pričom ho používajú ako pohľad.

Pri zameriavaní palcom natiahnutej ruky (raz ľavým okom a raz pravým) prst „odskočí“ asi o 6°

Ak otvoríte predtým zatvorené oko (a zatvoríte druhé), prst sa posunie na stranu o viditeľnú vzdialenosť. V stupňoch je táto vzdialenosť 6°. A okrem toho, veľkosť tohto „skoku“ (v rámci chyby) je pre všetkých ľudí rovnaká! Takže spoločnosť na pravom boku, chlap s výškou dvoch metrov, a najmenší - jeden z ľavého boku, vysoký iba šesťdesiat metrov, pri porovnaní týchto "skokov" prsta dostane rovnakú hodnotu.

Dôvod tohto javu v konečnom dôsledku spočíva v podobnosti ľudí a, samozrejme, v zákonoch optiky, ktorým sa naša vízia podriaďuje.

„Pravidlo pästi“ je tiež známe – v najpriamejšom zmysle slova – pre hrubý odhad veľkosti uhla. Ak sa jedným okom pozrieme na päsť natiahnutej ruky (tentokrát tým istým okom), potom bude šírka päste 10 ° a vzdialenosť medzi dvoma kosťami falangov 3 °. Päsť a palec vyčnievajúce do strany budú mať 15 °. Kombináciou týchto meraní môžete približne zmerať všetky uhly na zemi.

A na záver ešte jedno hranaté meranie nášho tela, ktoré sa môže hodiť na domácu úlohu. Uhol medzi palcom a malíčkom rozprestretej dlane je 90°. Zdá sa to nepravdepodobné, ale všetko si môžete okamžite skontrolovať sami, keď si natiahnuté prsty dlane priložíte k rohu našej knihy. Umiestnite malíček presne rovnobežne s jedným okrajom a posúvajte ruku pozdĺž neho nadol, kým palec tiež neleží na spodnom okraji. Presvedčený?

Samozrejme, tu sa chyba niekedy ukáže ako pomerne veľká, keďže v závislosti od veku a vývoja ruky môže byť palec odložený na rôzne vzdialenosti. Ale pre prvý test, ktorý vám umožňuje rozhodnúť, či sa nameraný uhol výrazne odchyľuje od priamky, je táto metóda celkom vhodná.

LINELAND A FLATLAND

Predstavitelia si už dávno všimli, že zákony kongruencie, také prísne pre dve dimenzie, často vyžadujú použitie tretej dimenzie, keď sa aplikujú v praxi.

Keď je stôl pripravený na veľkolepú recepciu, obrúsky sú zvyčajne zložené do trojuholníka. Ale stojí za to zhromaždiť tieto trojuholníky na hromadu, jeden na druhom, pretože sa ukazuje, že tieto trojuholníky sú dvoch typov: niektoré do seba okamžite „pasujú“, zatiaľ čo iné sa musia otočiť „na pravú stranu“ . Podobný problém vzniká pri lisovaní malých dielov, keď sa niekto pokúša naskladať hotové výrobky.

Je bežné, že básnici a spisovatelia fantazírujú o viac či menej pravdepodobných situáciách. Existujú teda diela, v ktorých je život zobrazený v dvojrozmernom priestore (kde „obrúsok“ nemôžete žiadnym spôsobom prevrátiť).

Niektorí autori idú ešte ďalej a snažia sa predstaviť si život v jednorozmernom priestore, v Land of the Line – Lineland. Lineland obývajú len tenké drevené palice, ktoré sa v najjednoduchšom prípade od seba nelíšia. Stojí však za to dať im hlavy (zápasy im okamžite prídu na myseľ!), A hneď majú dve možnosti.

Alebo sú všetky zápasy otočené jedným smerom - potom ich kombinácia nespôsobuje ťažkosti. Alebo niektoré zápalky ležia hlavou vľavo a niektoré ležia hlavou vpravo. Linelandský matematik nemá žiadny praktický spôsob, ako preložiť „ľavé“ zápasy na „správne“. Matematik z Land of the Plane - Flatland, ktorý má ale ešte jeden rozmer, nájde hneď jednoduché riešenie: otočí zápalku v lietadle.

Podľa niektorých spisovateľov však život v Flatlande tiež nie je taký jednoduchý. Predstavte si, že obyvatelia tejto krajiny sú malé obdĺžniky s okom (a majú len jedno oko) v jednom z rohov. Takýto obdĺžnik môže, samozrejme, vidieť iba v rovine a nikdy sa mu nepodarí pozrieť sa na túto rovinu zhora. Žiadny Flatlander si teda nikdy nebude vedieť predstaviť, ako skutočne vyzerá: na to je už potrebný pohľad z trojrozmerného priestoru. Domy Flatlanders by boli približne rovnaké ako v detských kresbách. S tým rozdielom, že dvere by boli na boku a otvárali by sa len v rovnakej rovine. Ale pánty dverí by museli byť vyrobené mimo roviny, nad alebo pod ňou. Okrem toho by bol potrebný zložitý systém rekvizít, ktorý by zabránil zrúteniu steny domu, keď jeho obyvatelia chceli otvoriť dvere. A dvaja Flatlandčania by sa na seba mohli pozerať len vtedy, ak by sa jeden z nich dokázal postaviť na hlavu.

Situácia by bola ešte komplikovanejšia, keby Flatland obývali dva národy. Povedzme Flatlandčania ľaváci a praváci. Na vykreslenie všetkých možných dôsledkov takejto situácie je potrebná veľká fantázia, najmä ak vezmeme do úvahy, že sme zvyknutí myslieť trojrozmerne!

Keďže Lineland aj Flatland boli spisovateľom prezentované v humornom svetle, nie je prekvapujúce, že literatúra na túto tému vznikla v Anglicku.

V roku 1880 Anglický pedagóg Edwin Ebony Abbott napísal knihu o Flatlande a jeho obyvateľoch ( Abbott E. E. Flatland. In: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, ktorý vo sne spadol do Linelandu, sa márne pokúša presvedčiť tamojších obyvateľov o existencii lietadla.

V priebehu akcie sa jednému z Flatlanderov podarí spoznať trojrozmerný priestor, pre ktorý je uznávaný ako „najšialenejší z šialencov“.

O viac ako dvadsať rokov neskôr, v roku 1907, vydal C. G. Hinton The Incident in Flatland. V ňom sú vo vojne dva národy Flatlandu. Keďže všetci Flatlandčania čelia rovnakým smerom, jeden z Ľudov je vždy beznádejne stratený: nemôže sa otočiť a vrátiť úder správnym smerom - na krku mu neustále sedí nenávidený nepriateľ. Ale nakoniec dobro zvíťazí. Nejaká inteligentná hlava si všimne, že Plochá krajina sa nachádza na guli, a preto je možné pobehovaním okolo nej prejsť za nepriateľské línie.

Autor románu stavia svoj príbeh na tichom predpoklade, že Flatlandčania sa môžu pohybovať len určitými všeobecnými smermi, s výnimkou bočných obchádzok, a je nemožné, aby prevrátili nepriateľa nad hlavu.

Ako vidíte, boli predložené najsofistikovanejšie teórie o živote v dvojrozmernom priestore, ale nikdy nenašli uplatnenie. Treba si myslieť, že na tieto knihy aj na ich autorov by sa už dávno zabudlo, keby Lineland a Flatland neboli také potrebné na vysvetlenie teórie zrkadlového odrazu a keby sa kompilátori problémov s rýchlym rozumom nemuseli znova a znova obracať na Flatland, aby získali myšlienky z jeho dvojrozmernosti (mimochodom, nie je to tak dávno, čo v Maďarsku vznikla karikatúra o ceste školáka Adoljara do Flatlandu).

Flatlanders okrem iného prepravujú tovar rolovacími plošinami do kruhov. Vždy, keď náklad prejde okolo kruhu, miestny dopravný dôstojník odvalí kruh dopredu a umiestni ho pred nástupište.

Je tu veľa zaujímavých problémov. Nás však zaujíma len jedno: ak sa náprava kolesa pohybuje rýchlosťou 10 m za minútu, akou rýchlosťou sa pohybuje náklad?

O našom pozemskom aute vieme, že žiadne koleso (presnejšie žiadna náprava kolesa) sa nemôže pohybovať rýchlejšie ako celé auto. Ale v rovinatom aute nie je koleso pevne spojené s nákladom. Keď o tom premýšľate, nie je ťažké zistiť, že zaťaženie sa tu podieľa na dvoch pohyboch.

Najprv sa pohybuje spolu s osou otáčania kolesa (je to rovnaké ako pri aute). A okrem toho sa náklad stále valí po obvode kolesa a zároveň rýchlosťou, ktorá sa tiež rovná rýchlosti otáčania nápravy. Vo všeobecnosti sa teda náklad odvaľuje dvojnásobnou rýchlosťou ako koleso. Samozrejme, náklad sa musí pohybovať rýchlejšie, už len preto, že kolesá sú vždy pozadu a musia sa neustále posúvať dopredu.

Niektorí čitatelia si budú myslieť: „Problém je naozaj zaujímavý, ale čo už?“

Princíp rovinatej dopravy si však v našej technike nachádza svoje miesto. Takže dizajnér, ktorý navrhuje dvere v malej miestnosti (napríklad v blízkosti malého výťahu), je nútený opustiť pánty. Dvere rozdelí na dve polovice (ak ho, samozrejme, napadne taký trik!), ktoré idú paralelne vedľa seba. Jedna polovica dvierok je pevne pripevnená k osi valčeka a druhá sa pohybuje po obvode tohto valčeka. Zatiaľ čo jedna polovica sa pohybuje o polovicu šírky dverí, druhá má čas prejsť cez celú šírku dverí (dvojnásobnou rýchlosťou).

Nepozerajme sa zvrchu na Flatland a spisovateľské fantázie. Predpokladajme, že Flatlandčania skutočne žijú na povrchu zemegule. Táto plocha je taká veľká, že obyvatelia si jej zakrivenie nemusia všimnúť. Prirodzene si myslia, že žijú v rovine, keďže si nevedia predstaviť guľu: napokon, tretí rozmer je im v princípe neznámy. Flatlandskí profesori preto rozvíjajú Flatlandskú matematiku, ktorá sa vyučuje na školách. Deti si tam zapamätajú napríklad takú definíciu: dve rovnobežné čiary sa pretínajú v konečnej vzdialenosti. Alebo: súčet uhlov trojuholníka je väčší ako 180°. My, ľudia trojrozmerného priestoru, vieme, že guľový povrch je dvojrozmerný neeuklidovský priestor, ktorý nezapadá do bežnej euklidovskej geometrie.

Pri pohľade na zemeguľu vidíme, že dva poludníky, rovnobežné na rovníku, sa pretínajú na póle. Pri pohľade na zemeguľu sa možno tiež presvedčiť, že dva poludníky zvierajú s rovníkom uhol 90°. V priesečníku na póle vzniká ďalší uhol. A súčet všetkých troch uhlov je aj tak väčší ako 180°. Ale toto všetko si úbohí Flatlandčania, samozrejme, nevedia ani len predstaviť. Sú si istí, že žijú v lietadle.

Jeden skeptický matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vážne uvažoval, či sme my ľudia v rovnakej pozícii ako Flatlandčania. Možno, pomyslel si Gauss, tiež žijeme v neeuklidovskom svete, ale jednoducho si to nevšimneme. Ak by to tak bolo, priestor by bol zakrivený (čo by sme si určite nevedeli predstaviť) a dostatočne veľký trojuholník by mal súčet uhlov iný ako 180°. Gauss zmeral trojuholník medzi Brockenom, Inselbergom a High Hagenom, ale nenašiel žiadnu významnú odchýlku od 180°. To, samozrejme, nemohlo slúžiť ako nespochybniteľný dôkaz, pretože trojuholník môže byť stále príliš malý.

Nemožno však jednoducho porovnávať predmetný neeuklidovský priestor s priestorom v teórii relativity. My Flatlanders a Gauss hovoríme o čisto geometrickom, priestorovom probléme a o tom, či sú určité axiómy pravdivé (napríklad o priesečníku dvoch rovnobežných priamok v nekonečne). Prívrženci teórie relativity zavádzajú čas ako štvrtú priestorovú súradnicu.

O KONGRUENCII

Dva rovinné obrazce sú zhodné, ak sú všetky ich uhly a úsečky medzi príslušnými bodmi rovnaké.

V škole študujeme vety o zhode trojuholníkov. Zistilo sa napríklad, že plochy trojuholníkov sú rovnaké, ak majú jednu stranu a dva priľahlé uhly sa zhodujú. To znamená, že hoci môžete použiť stranu a dva priľahlé rohy na vytvorenie trojuholníkov, trojuholníky sa musia zhodovať so všetkými svojimi časťami.

V hovorovej reči (ktorú používame v tejto knihe) môžeme povedať, že zhodné roviny sa navzájom presne prekrývajú, alebo naopak, ak jedna rovinná postava presne prekrýva druhú, potom sú zhodné. To isté platí pre trojrozmerné telesá: ak sa dajú kombinovať, potom sú zhodné.

Pozrite sa na trojuholníky zobrazené na obrázku. Všetky sú zhodné. Je zrejmé, že obidva trojuholníky umiestnené vľavo budú zarovnané, ak ich jednoducho presuniete. A tu je trojuholník umiestnený vpravo, je síce zhodný s dvoma ľavými, ale nemôžeme ho s nimi spojiť iba pohybom v rovine. Bez ohľadu na to, ako ho otáčame v rovine, nikdy sa nezmestí so žiadnym ľavým trojuholníkom. Aby ste to dosiahli, musíte trojuholník zdvihnúť nad rovinu, otočiť ho v priestore a vrátiť ho späť do roviny. Ale ak porovnáme vzájomné usporiadanie trojuholníkov kombinované posunutím a prevrátením, uvidíme, že v oboch prípadoch sa ich rôzne strany zhodujú. Pri strihaní spodný povrch jedného papierového trojuholníka prekrýva horný povrch druhého trojuholníka. Priestorová orientácia povrchu listu papiera sa nezmenila. V tomto prípade sa hovorí o identickej kongruencii. Ak sa pri otáčaní v priestore spoja obidve horné plochy papiera, ploché obrazce sa nazývajú zrkadlovo zhodné.

Rovinné obrazce sa nazývajú kongruentné, ktoré vnímame ako rovnocenné a ktoré možno navzájom kombinovať posúvaním v rovine alebo otáčaním v priestore.

ZHODNOSŤ TROJUHOLNÍKOV

Kongruencia - vlastnosť geometrických rovinných útvarov vzájomne sa zhodovať vo veľkosti a tvare.

Tvary, ktoré možno navzájom kombinovať rotáciou a (alebo) posunutím, sú identicky zhodné.

Zrkadlovo-kongruentné sú obrazce, pre kombináciu ktorých je potrebná dodatočná operácia zrkadlového odrazu.

Existujú štyri znaky zhody trojuholníkov. Trojuholníky sú zhodné, ak:

1) tri strany jedného trojuholníka sa rovnajú trom stranám druhého (S, S, S);

2) dve strany a vnútorný uhol jedného trojuholníka uzavretého medzi nimi sa rovnajú dvom stranám a vnútorný uhol ďalšieho trojuholníka uzavretého medzi nimi (S, W, S);

3) dve strany a vnútorný uhol opačný k najväčšej z nich v jednom trojuholníku sa rovnajú dvom stranám a uhol opačný k najväčšej z nich v druhom trojuholníku (S, S, W);

4) strana a obidva vnútorné uhly susediace s ňou jedného trojuholníka sa rovnajú strane a obidva vnútorné uhly susediace s ňou iného trojuholníka (W, S, W).

PODOBNOSŤ

Zhoda rovinných útvarov v tvare, ale nie vo veľkosti, sa nazýva podobnosť.

Každý uhol jedného z obrázkov zodpovedá rovnakému uhlu podobného obrázku.

Na podobných obrázkoch sú zodpovedajúce segmenty proporcionálne.

Posúvaním, otáčaním a (alebo) zrkadlením môžu byť dve podobné figúry uvedené do polohy homoteity. V tejto polohe sú zodpovedajúce strany oboch obrázkov navzájom rovnobežné.

AXIÁLNA SÚMERNOSŤ

Nech je rovina rozdelená priamkou s na dve polroviny. Ak teraz otočíme jednu polrovinu okolo priamky 5 o 180°, tak všetky body tejto polroviny sa budú zhodovať s bodmi druhej polroviny.

Priamka s sa nazýva os symetrie.

Pretože body na obrátenej polrovine sú v zrkadlovej polohe vzhľadom na ich pôvodnú polohu, tento preklop sa nazýva aj zrkadlový obraz. Ak sa na jednu polrovinu použijú čiary označujúce niektoré smery otáčania, potom sa po zrkadlovom odraze tento smer zmení na opačný. Preto jediná operácia zrkadlenia vytvára zrkadlovo zhodné obrázky. Dve takéto operácie vedú k identicky zhodným číslam. Zodpovedajú posunu alebo rotácii.

RADIÁLNA SYMETRIA

Radiálne symetrické obrazce je možné navzájom zarovnať otáčaním okolo bodu S. Tento bod sa nazýva stred symetrie.

Pri otáčaní sa zodpovedajúce body obrázkov kombinujú. Smer otáčania sa nemení. Takto odrazený obrazec je identicky zhodný.

Následné rotácie žiadnym spôsobom neovplyvnia identitu figúrok. Pri uhle natočenia 180° sa hovorí o stredovej symetrii.

KOCKOVÝ TRIK

Učitelia hovoria, že hra s kockami rozvíja priestorovú predstavivosť. A teraz rodičia kupujú svojim potomkom škatule so svetlými kockami polepenými úlomkami obrázkov z obľúbených rozprávok. Keď tieto kocky poskladáte správnym spôsobom, uvidíte Červenú čiapočku so sivým vlkom alebo Snehulienku so siedmimi trpaslíkmi.

Tento druh kociek a hlavolamov totiž rozvíja priestorovú predstavivosť nielen u detí, ale u každého – od malých až po veľkých. Niekedy musíme poskladať kocku z rôznych tvarov polená.

Pri bližšom skúmaní týchto jednotlivých prvkov sa ukáže, že minimálne dva z nich majú rovnaký tvar a veľkosť, ale súvisia spolu ako ľavá a pravá rukavica. Tvorcovia hlavolamov tohto druhu očividne dúfajú, že hráči tento rozdiel hneď nezachytia. Ak si spomenieme, koľkokrát sme si poplietli pravé a ľavé rukavice, musíme uznať, že takéto nádeje nie sú neopodstatnené.

Kombinovať tieto prvky je takmer nemožné. Treba poznamenať, že ak tu (alebo niekde nižšie) použijeme výraz „prakticky možné“, máme na mysli realizáciu takejto úlohy v praxi.

Existujú však aj matematické alebo fyzikálne metódy, ktoré umožňujú kombinovať prvky aspoň teoreticky alebo podľa vonkajších znakov - to bude predmetom ďalších úvah. A keďže sa tu diskutovalo o kombinácii jedného prvku s druhým, treba zvlášť upozorniť na jednu dôležitú okolnosť. V Flatlande by bolo možné kombinovať ploché figúrky tak, že by sme ich vytiahli z lietadla a otočili v priestore. Rovnakým spôsobom by to v Linelande potrebovalo len o jeden rozmer viac: jednu rotáciu v rovine a segmenty by sa stali kompatibilnými.

Ale priestorové konštrukcie môžeme otáčať len v priestore! A keďže je nám štvrtá dimenzia napriek všetkým Gaussovým úvahám uzavretá, je dokonca ťažké si predstaviť, ako prakticky (!) možno naše „tehly“ rozmiestniť niekde inde ako v trojrozmernom priestore tak, aby boli zarovnané s každým iné!

V bežnom živote musíme veľmi často riešiť takéto hádanky (zdôrazňujem: riešiť prakticky, a nie sa hrať!), Napríklad pri balení rôznych predmetov. Alebo si napríklad predstavte radiátory ústredného kúrenia. Pre niektoré z nich je ventil na nastavenie vľavo, pre iných - vpravo. Ako pripojiť niekoľko radiátorov do jednej batérie?

Chladničky, sporáky a iné predmety pre domácnosť sa zvyčajne vyrábajú s pravou a ľavou rukoväťou, kľúčmi, kohútikmi. Fantastická možnosť otočenia takýchto predmetov do štvrtej dimenzie by veľmi potešila každého, kto sa zaoberá ich prepravou a montážou.

POZRITE SI SLOVNÍK!

Na začiatku knihy sme človeka nazvali symetrickou bytosťou. V budúcnosti sa výraz „symetria“ už nepoužíval. Pravdepodobne ste si však už všimli, že vo všetkých prípadoch, keď boli úsečky, ploché postavy alebo priestorové telesá podobné, ale bez dodatočných akcií ich nebolo možné, „prakticky“ skombinovať, sme sa stretli s fenoménom symetrie. Tieto prvky sa k sebe hodili, ako obraz a jeho zrkadlový obraz. Ako ľavá a pravá ruka. Ak si dáme tú námahu a pozrieme sa do Slovníka cudzích slov, zistíme, že symetria znamená „proporcionalita, úplná zhoda v usporiadaní častí celku vzhľadom na stredovú čiaru, stred... také usporiadanie bodov vzhľadom na a bod (stred symetrie), priamka (os symetrie) alebo rovina (rovina symetrie), v ktorej každé dva zodpovedajúce body ležia na tej istej priamke prechádzajúcej stredom symetrie, kolmo na os alebo rovina symetrie, sú od nich v rovnakej vzdialenosti ... "( Slovník cudzích slov: Ed. 7., revidované. -M.; Ruský jazyk 1980, s. 465)

A to nie je všetko, ako to už pri cudzích slovách býva, pre slovo „symetria“ existuje veľa významov. Výhodou takýchto výrazov je, že sa dajú použiť, keď nechcú dať jednoznačnú definíciu, alebo jednoducho nepoznajú jasný rozdiel medzi dvoma objektmi.

Pojem „proporcionálny“ používame vo vzťahu k osobe, obrázku alebo akémukoľvek predmetu, keď nám drobné nezrovnalosti nedovoľujú použiť slovo „symetrický“.

Keďže sa prehrabávame v príručkách, pozrime si Encyklopedický slovník ( Sovietsky encyklopedický slovník - M.: Sovietska encyklopédia, 1980, s. 1219-1220). Nájdeme tu šesť článkov začínajúcich slovom „symetria“. Okrem toho sa toto slovo nachádza v mnohých iných článkoch.

V matematike má slovo "symetria" najmenej sedem významov (medzi nimi sú symetrické polynómy, symetrické matice). V logike existujú symetrické vzťahy. Symetria hrá dôležitú úlohu v kryštalografii (niečo sa o tom dočítate neskôr v tejto knihe). Pojem symetria v biológii je zaujímavo interpretovaný. Popisuje šesť rôznych druhov symetrie. Dozvieme sa napríklad, že ctenofory sú asymetrické, zatiaľ čo kvety hľadavy sú obojstranne symetrické. Zistíme, že symetria existuje v hudbe a choreografii (v tanci). Tu záleží na striedaní cyklov. Ukazuje sa, že mnohé ľudové piesne a tance sú postavené symetricky.

Musíme sa teda dohodnúť, o akej symetrii sa budeme baviť. Bez ohľadu na povahu uvažovaných objektov bude pre nás hlavným záujmom zrkadlová symetria - symetria ľavej a pravej strany. Uvidíme, že toto zdanlivé obmedzenie nás zavedie ďaleko do sveta vedy a techniky a umožní nám z času na čas otestovať schopnosti nášho mozgu (keďže práve ten je naprogramovaný na symetriu).

HRA BODKOV A ČIAR

Ešte sme neopustili Lineland a Flatland. A má to zvláštny dôvod. Aj keď tam nie sú žiadni obyvatelia, potom sú samotné priame čiary a lietadlá celkom skutočné!

Zamyslime sa nad situáciou so symetriou na priamke. Pomocou dvoch zápasov si vieme veľmi jednoducho predstaviť dva možné prípady. (Niektoré aspekty tejto situácie sme už zvážili skôr.) Zápalky môžu ležať jedným smerom. Potom do seba ľahko zapadnú. Alebo hlavy (alebo tipy) k sebe. V tomto prípade je na čiare bod, v ktorom je možné zrkadlo umiestniť tak, aby sa zápalka zhodovala s jeho odrazom. Inými slovami, na čiare je stred symetrie. Budeme si musieť predstaviť, že zrkadlo sa zmestí do jedného bodu a ten odráža polovičnú úsečku. V matematickom uvažovaní je to celkom možné.

Rovinné postavy sa „odrážajú“ v osiach symetrie

Pri konštrukcii na rovine môže naše zrkadlo stále zostať bodom, alebo to môže byť priamka. Pravdepodobne je správnejšie povedať to v opačnom poradí: ako zrkadlo bude slúžiť priamka alebo bod. Koniec koncov, ak je niekde priamka, potom je na nej možný bodový stred symetrie.

Zrkadlové odrazy polovíc rovín vyzerajú rovnako ako skutočné roviny: otáčaním roviny okolo priamky – zrkadla – sa dá spojiť s odrazom, a preto vznikol výraz „os symetrie“.

Kruh má nekonečný počet osí symetrie. "Ďatelinový list" - iba jeden

Takže teraz vieme, čo je stred symetrie a os symetrie, a tiež, že nejaký objekt (vezmite si toto neutrálne slovo) je symetrický, ak jeho jedna polovica súvisí s druhou, ako je obraz a jeho zrkadlový obraz.

Kruh má nekonečný počet osí symetrie a všetky prechádzajú spoločným stredom symetrie. Iné obrazce majú konečný počet osí symetrie, ale všetky osi (dve alebo viac z nich) prechádzajú stredom symetrie. To znamená, že tvar môžeme otočiť do určitého uhla (maximálne 180°) a opäť bude ležať presne na tom istom mieste ako pred otočením.

Pokračujme v úvahách o zrkadlovej symetrii. Je ľahké zistiť, že každá symetrická rovinná postava môže byť kombinovaná sama so sebou pomocou zrkadla. Je prekvapujúce, že také zložité obrazce ako päťcípa hviezda alebo rovnostranný päťuholník sú tiež symetrické. Ako vyplýva z počtu osí, vyznačujú sa práve vysokou symetriou. A naopak: nie je také ľahké pochopiť, prečo taká zdanlivo pravidelná postava, podobne ako šikmý rovnobežník, nie je symetrická. Najprv sa zdá, že os symetrie by mohla prebiehať rovnobežne s jednou z jeho strán. Ale stojí za to to psychicky vyskúšať, pretože ste okamžite presvedčení, že to tak nie je. Asymetrické a špirálové.

Napodiv, taká "symetricky" vyzerajúca postava, ako rovnobežník, nielenže nemá osi symetrie, ale ani zrkadlovú symetriu vo všeobecnosti.

Kým symetrické figúry plne zodpovedajú svojmu odrazu, nesymetrické sa od neho líšia: zo špirály točenia sprava doľava sa špirála točenia zľava doprava ukáže v zrkadle. Táto vlastnosť sa často používa v masových hrách a súťažiach organizovaných televíziou. Hráči sú vyzvaní, aby pri pohľade do zrkadla nakreslili nejaký druh asymetrickej postavy, napríklad špirálu. A potom ešte raz nakreslite „presne tú istú“ špirálu, ale bez zrkadla. Porovnanie oboch výkresov ukazuje, že špirály sa ukázali byť odlišné: jedna sa krúti zľava doprava, druhá sprava doľava.

Ale to, čo tu vyzerá ako vtip, v praktickom živote spôsobuje veľa ťažkostí nielen deťom, ale aj dospelým. Často deti píšu niektoré písmená „naruby“. Ich latinské N vyzerá ako A namiesto S a Z dostanú S a Z. Ak sa pozorne pozrieme na písmená latinskej abecedy (a to sú v skutočnosti tiež ploché čísla!), uvidíme symetrické a asymetrické medzi nimi. Písmená ako N, S, Z nemajú žiadnu os symetrie (ani F, G, J, L, P, Q a R). Ale N, S a Z sa obzvlášť ľahko píšu „naopak“ ( Majú stred symetrie. - Približne. vyd). Ostatné veľké písmená majú aspoň jednu os symetrie. Písmená A, M, T, U, V, W a Y možno pozdĺžnou osou symetrie rozdeliť na polovicu. Písmená B, C, D, E, I, K - priečna os symetrie. Písmená H, O a X majú dve navzájom kolmé osi súmernosti.

Ak písmená umiestnite pred zrkadlo rovnobežne s čiarou, všimnete si, že tie s vodorovnou osou symetrie sa dajú prečítať aj v zrkadle. Ale tie, v ktorých je os umiestnená vertikálne alebo úplne chýba, sa stávajú „nečitateľnými“.

Otázka, prečo sa písmená s pozdĺžnou osou správajú inak ako s priečnou, je celkom zaujímavá. Možno sa nad tým zamyslíte. Dôvod tohto javu bude diskutovaný neskôr.

Sú deti, ktoré píšu ľavou rukou a všetky písmená dostanú v zrkadlovej, odrazenej podobe. Denníky Leonarda da Vinciho sú písané zrkadlovým písmom. Pravdepodobne neexistuje dobrý dôvod, prečo by sme mali písať listy tak, ako to robíme. Je nepravdepodobné, že zrkadlové písmo je ťažšie zvládnuť ako naše obvyklé.

Nezjednodušilo by to pravopis a niektoré slová, ako napríklad OTTO, by sa vôbec nezmenili. Existujú jazyky, v ktorých je nápis znakov založený na prítomnosti symetrie. Takže v čínskom písaní hieroglyf znamená presne ten pravý stred.

V architektúre sa osi symetrie používajú ako prostriedok na vyjadrenie architektonického zámeru. V strojárstve sú osi symetrie najjasnejšie označené tam, kde je potrebná odchýlka od nuly, ako napríklad na volante nákladného auta alebo na volante lode.

NÁŠ SVET V ZRKADLE

Z Linelandu sme vyňali koncept stredu symetrie az Flatlandu - okolo osi symetrie. V trojrozmernom svete priestorových telies, kde žijeme, existujú roviny symetrie, resp. „Zrkadlo“ má vždy o jeden rozmer menej ako svet, ktorý odráža. Pri pohľade na okrúhle telá je hneď jasné, že majú roviny symetrie, no koľko presne nie je vždy ľahké rozhodnúť.

Postavme loptičku pred zrkadlo a začnime ňou pomaly otáčať: obraz v zrkadle sa nebude nijako líšiť od originálu, samozrejme, ak guľa nebude mať na svojom povrchu žiadne výrazné znaky. Pingpongová loptička odhaľuje nespočetné množstvo rovín symetrie. Vezmite nôž, odrežte polovicu gule a položte ju pred zrkadlo. Zrkadlový odraz opäť doplní túto polovicu do celej lopty.

Ale ak vezmeme zemeguľu a zvážime jej symetriu, berúc do úvahy geografické obrysy na nej vyznačené, nenájdeme jedinú rovinu symetrie.

V Flatlande bol obrazcom s nespočetnými osami symetrie kruh. Preto sa nečudujme, že vo vesmíre sú podobné vlastnosti gule vlastné. Ale ak je kruh jediný svojho druhu, potom v trojrozmernom svete existuje množstvo telies, ktoré majú nekonečný počet rovín symetrie: rovný valec s kruhom na základni, kužeľ s kruhom alebo pologuľová základňa, guľa alebo segment gule. Alebo si vezmime príklady zo života: cigareta, cigara, pohár, kilo zmrzliny v tvare kužeľa, kúsok drôtu, fajka.

Ak sa na tieto telesá pozrieme bližšie, všimneme si, že všetky sa tak či onak skladajú z kruhu, cez ktorý prechádza nekonečný počet osí symetrie, z ktorých prechádza nekonečný počet rovín symetrie. Väčšina týchto telies (nazývajú sa rotačné telesá) má samozrejme aj stred symetrie (stred kruhu), cez ktorý prechádza aspoň jedna os symetrie.

Dobre viditeľná je napríklad os zmrzlinového kornútku. Vedie od stredu kruhu (trčí zo zmrzliny!) k ostrému koncu funky kužeľa. Súbor prvkov symetrie telesa vnímame ako akúsi mieru symetrie. Lopta je nepochybne z hľadiska symetrie neprekonateľným stelesnením dokonalosti, ideálom. Starí Gréci ho vnímali ako najdokonalejšie telo a kruh, samozrejme, ako najdokonalejšiu plochú postavu.

Vo všeobecnosti sú tieto myšlienky celkom prijateľné dodnes. Ďalej grécki filozofi dospeli k záveru, že vesmír musí byť, samozrejme, postavený podľa modelu matematického ideálu. Tento záver mal za následok chyby, ktorých dôsledky popíšeme neskôr. Je jasné, že starí Gréci ešte nemali zmrzlinové struky! Inak by takýto prozaický objekt s nespočetným množstvom rovín symetrie mohol narušiť ich harmonický systém.

Ak na porovnanie vezmeme do úvahy kocku, uvidíme, že má deväť rovín symetrie. Tri z nich pretínajú jeho steny a šesť prechádza cez vrcholy. V porovnaní s loptou to, samozrejme, nestačí.

Existujú však telesá, ktoré z hľadiska počtu rovín zaujímajú medzipolohu medzi guľou a kockou? Bez pochýb áno. Stačí si uvedomiť, že kruh v podstate vyzerá, že pozostáva z mnohouholníkov. Prešli sme si tým v škole pri výpočte čísla pí. Ak nad každým n-uholníkom postavíme n-uholníkovú pyramídu, môžeme cez ňu nakresliť n rovín symetrie.

Dalo by sa vymyslieť 32-strannú cigaru, ktorá by mala patričnú symetriu!

Ale ak kocku predsa len vnímame ako symetrickejší objekt ako notoricky známu zmrzlinovú libru, tak je to dané štruktúrou povrchu. Guľa má iba jeden povrch. Kocka ich má šesť – podľa počtu tvárí a každá tvár je znázornená štvorcom. Funtik so zmrzlinou pozostáva z dvoch plôch: kruhu a škrupiny v tvare kužeľa.

Už viac ako dve tisícročia (pravdepodobne vďaka priamemu vnímaniu) sa tradične preferujú „proporčné“ geometrické telesá. Grécky filozof Platón (427 – 347 pred Kristom) zistil, že z pravidelných zhodných rovinných útvarov možno postaviť iba päť objemových telies.

Zo štyroch pravidelných (rovnostranných) trojuholníkov sa získa štvorsten (tetrahedron). Z ôsmich pravidelných trojuholníkov môžete postaviť osemsten (oktaedr) a napokon z dvadsiatich pravidelných trojuholníkov - dvadsaťsten. A iba zo štyroch, ôsmich alebo dvadsiatich rovnakých trojuholníkov môžete získať trojrozmerné geometrické teleso. Zo štvorcov môžete vytvoriť iba jednu trojrozmernú postavu - šesťsten (hexahedrón) a z rovnostranných päťuholníkov - dvanásťsten (dodekaedrón).

A čo je v našom trojrozmernom svete úplne bez zrkadlovej symetrie?

Ak to bola v Flatland plochá špirála, tak v našom svete to bude určite špirálové schodisko alebo špirálová vŕtačka. Okrem toho existujú tisíce asymetrických vecí a predmetov v živote a technike okolo nás. Skrutka má spravidla pravý závit. Ale niekedy je tam aj ľavica. Takže pre väčšiu bezpečnosť sú propánové fľaše vybavené ľavým závitom, aby sa na ne nedal naskrutkovať ventil-reduktor určený napríklad pre fľašu s iným plynom. V každodennom živote to znamená, že v kempingu by ste si pred varením na kempingovom variči mali vždy vyskúšať, ktorým smerom sa fľaša odskrutkuje.

Medzi loptou a kockou na jednej strane a točitým schodiskom na druhej strane je ešte veľa stupňov symetrie. Z kocky môžete postupne odoberať roviny súmernosti, osi a stred, až kým sa nedostaneme do stavu úplnej asymetrie.

Takmer na konci tohto radu symetrie stojíme, my ľudia, iba jedna rovina symetrie, ktorá rozdeľuje naše telo na ľavú a pravú polovicu. Stupeň symetrie, ktorý máme, je rovnaký ako napríklad pri obyčajnom živci (minerál, ktorý spolu so sľudou a kremeňom tvorí rulu alebo žulu).

PÄŤ PLATÓN

Pre bežné mnohosteny platia nasledujúce tvrdenia:

1. V akomkoľvek mnohostene (vrátane pravidelného) je súčet všetkých uhlov medzi hranami zbiehajúcimi sa v jednom vrchole vždy menší ako 360°.

2. Podľa Eulerovej vety pre konvexné mnohosteny

kde e je počet vrcholov, ƒ je počet stien a k je počet hrán.

Stenami pravidelných mnohostenov môžu byť iba tieto pravidelné mnohouholníky:

3, 4 alebo 5 60° rovnostranných trojuholníkov. Šesť takýchto trojuholníkov už dáva 60° X 6 = 360°, a preto nemôžu obmedziť polyedrický uhol.

Tri štvorce (90° X 3 = 270°), 3 pravidelné päťuholníky (108° X 3 = 324°), 3 pravidelné šesťuholníky (120° X 3 = 360°) obmedzujú mnohostenný uhol.

Z Eulerovej vety a tvaru plôch vyplýva, že existuje iba 5 pravidelných mnohostenov:

Tabuľka piatich pravidelných mnohostenov

Tvary tváre	číslo				Platónske pevné látky
	tváre v jednom vrchole	vrcholov	tváre	rebrá
Rovnostranné trojuholníky	3	4	4	6	Tetrahedron
To isté	4	6	8	12	Octaedron
To isté	5	12	20	30	dvadsaťsten
štvorcov	3	8	6	12	Hexahedron (kocka)
Správne päťuholníky	3	20	12	20	Pentagon dvanásťsten

(Akákoľvek tvár Pentagonu-dvanásťstena je päťuholníková postava, v ktorej sú štyri strany rovnaké, ale odlišné od piatej. - Približne. preklad)