Jednotné náhodné rozdelenie. Prevod rovnomerne rozloženej náhodnej premennej na normálne rozloženú
Ako príklad spojitej náhodnej premennej uvažujme náhodnú premennú X rovnomerne rozloženú v intervale (a; b). Hovoríme, že náhodná premenná X rovnomerne rozložené na intervale (a; b), ak jeho hustota rozloženia nie je na tomto intervale konštantná:
Z normalizačnej podmienky určíme hodnotu konštanty c . Plocha pod krivkou hustoty rozloženia by sa mala rovnať jednej, ale v našom prípade je to plocha obdĺžnika so základňou (b - α) a výškou c (obr. 1). 
Ryža. 1 Rovnomerná hustota rozloženia
Odtiaľ nájdeme hodnotu konštanty c: 
Hustota rovnomerne rozloženej náhodnej premennej sa teda rovná 
Teraz nájdime distribučnú funkciu podľa vzorca:
1) pre 
2) pre
3) pre 0+1+0=1.
Touto cestou, 
Distribučná funkcia je spojitá a neklesá (obr. 2). 
Ryža. 2 Distribučná funkcia rovnomerne rozloženej náhodnej premennej
Poďme nájsť matematické očakávanie rovnomerne rozloženej náhodnej premennej podľa vzorca:
Rozptyl rovnomerného rozdelenia sa vypočíta podľa vzorca a rovná sa
Príklad č. 1. Hodnota dielika stupnice meracieho prístroja je 0,2. Údaje prístroja sa zaokrúhľujú na najbližší celý dielik. Nájdite pravdepodobnosť, že počas čítania dôjde k chybe: a) menšia ako 0,04; b) veľká 0,02
Riešenie. Chyba zaokrúhľovania je náhodná premenná rovnomerne rozložená v intervale medzi susednými celočíselnými dielikmi. Za takéto delenie považujte interval (0; 0,2) (obr. a). Zaokrúhľovanie je možné vykonať smerom k ľavému okraju - 0 aj smerom doprava - 0,2, čo znamená, že chyba menšia alebo rovná 0,04 môže byť vykonaná dvakrát, čo je potrebné vziať do úvahy pri výpočte pravdepodobnosti: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
V druhom prípade môže chybová hodnota tiež presiahnuť 0,02 na oboch hraniciach delenia, to znamená, že môže byť väčšia ako 0,02 alebo menšia ako 0,18. 
Potom pravdepodobnosť chyby, ako je táto:
Príklad č. 2. Predpokladalo sa, že stabilitu ekonomickej situácie v krajine (neexistencia vojen, prírodných katastrof atď.) za posledných 50 rokov možno posudzovať podľa charakteru rozloženia obyvateľstva podľa veku: v pokojnej situácii, to by malo byť uniforma. Ako výsledok štúdie boli pre jednu z krajín získané nasledujúce údaje.
Existuje dôvod domnievať sa, že v krajine bola nestabilná situácia?Rozhodovanie vykonávame pomocou kalkulačky Testovanie hypotéz. Tabuľka na výpočet ukazovateľov.
| skupiny | Stred intervalu, x i | Množstvo, fi | x i * f i | Kumulatívna frekvencia, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Frekvencia, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Vážený priemer
Variačné ukazovatele.
Absolútna miera variácie.
Rozsah variácie je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami atribútu primárnej série.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Disperzia- charakterizuje mieru rozptylu okolo svojej strednej hodnoty (miera rozptylu, t. j. odchýlky od priemeru).
Smerodajná odchýlka.
Každá hodnota série sa líši od priemernej hodnoty 43 najviac o 23,92
Testovanie hypotéz o type distribúcie.
4. Testovanie hypotézy o Rovnomerné rozdelenie všeobecná populácia.
Aby bolo možné otestovať hypotézu o rovnomernom rozložení X, t.j. podľa zákona: f(x) = 1/(b-a) v intervale (a,b)
potrebné:
1. Odhadnite parametre a a b - konce intervalu, v ktorom boli pozorované možné hodnoty X, podľa vzorcov (znamienko * označuje odhady parametrov):
2. Nájdite hustotu pravdepodobnosti odhadovaného rozdelenia f(x) = 1/(b * - a *)
3. Nájdite teoretické frekvencie:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Porovnajte empirické a teoretické frekvencie pomocou Pearsonovho testu za predpokladu počtu stupňov voľnosti k = s-3, kde s je počet počiatočných intervalov vzorkovania; ak však bola vytvorená kombinácia malých frekvencií, a teda samotných intervalov, potom s je počet intervalov zostávajúcich po kombinácii.
Riešenie:
1. Nájdite odhady parametrov a * a b * rovnomerného rozdelenia pomocou vzorcov:
2. Nájdite hustotu predpokladaného rovnomerného rozdelenia:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Nájdite teoretické frekvencie:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Zvyšné n s sa budú rovnať:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (nj - n*i)2/n*i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4,0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3,5E-5 | 0.000199 |
| Celkom | 1 | 0.0532 |
Preto je kritická oblasť pre túto štatistiku vždy pravostranná: ak je jej hustota pravdepodobnosti v tomto segmente konštantná a mimo nej je 0 (t. j. náhodná premenná X zameraný na segment [ a, b], na ktorom má konštantnú hustotu). Podľa tejto definície je hustota rovnomerne rozložená na segmente [ a, b] náhodná premenná X vyzerá ako:
kde s existuje nejaké číslo. Je však ľahké ho nájsť pomocou vlastnosti hustoty pravdepodobnosti pre r.v. sústredenú na segment [ a,
b]:
. Z toho teda vyplýva 
, kde 
. Preto hustota rovnomerne rozložená na segmente [ a,
b] náhodná premenná X vyzerá ako:
.
Na posúdenie rovnomernosti rozdelenia n.s.v. X možné z nasledujúcej úvahy. Spojitá náhodná premenná má rovnomerné rozdelenie na intervale [ a, b] ak naberá hodnoty iba z tohto segmentu a žiadne číslo z tohto segmentu nemá výhodu oproti iným číslam tohto segmentu v tom zmysle, že môže byť hodnotou tejto náhodnej premennej.
Náhodné premenné s rovnomerným rozdelením zahŕňajú také premenné ako čakacia doba prepravy na zastávke (pri konštantnom intervale pohybu je čakacia doba rovnomerne rozložená v tomto intervale), chyba zaokrúhľovania čísla na celé číslo (rovnomerne rozložená dňa [−0,5 , 0.5 ]) a ďalšie.
Typ distribučnej funkcie F(X)
a,
b] náhodná premenná X sa hľadá podľa známej hustoty pravdepodobnosti f(X)
pomocou vzorca ich spojenia 
. Ako výsledok zodpovedajúcich výpočtov získame nasledujúci vzorec pre distribučnú funkciu F(X)
rovnomerne rozložený segment [ a,
b] náhodná premenná X
:
.
Obrázky znázorňujú grafy hustoty pravdepodobnosti f(X) a distribučné funkcie f(X) rovnomerne rozložený segment [ a, b] náhodná premenná X :
Matematické očakávanie, rozptyl, smerodajná odchýlka, modus a medián rovnomerne rozloženého segmentu [ a, b] náhodná premenná X vypočítané z hustoty pravdepodobnosti f(X) obvyklým spôsobom (a celkom jednoducho kvôli jednoduchému vzhľadu f(X) ). Výsledkom sú nasledujúce vzorce:
ale móda d(X) je ľubovoľné číslo segmentu [ a, b].
Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia rovnomerne rozloženého segmentu [ a,
b] náhodná premenná X v intervale 
, úplne ležiaci vo vnútri [ a,
b]. Ak vezmeme do úvahy známu formu distribučnej funkcie, získame:
Teda pravdepodobnosť zasiahnutia rovnomerne rozloženého segmentu [ a,
b] náhodná premenná X v intervale 
, úplne ležiaci vo vnútri [ a,
b], nezávisí od polohy tohto intervalu, ale závisí len od jeho dĺžky a je priamo úmerný tejto dĺžke.
Príklad. Interval autobusu je 10 minút. Aká je pravdepodobnosť, že cestujúci, ktorý príde na zastávku, bude čakať na autobus menej ako 3 minúty? Aká je priemerná doba čakania na autobus?
Normálne rozdelenie
S týmto rozdelením sa najčastejšie stretávame v praxi a zohráva výnimočnú úlohu v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike a ich aplikáciách, keďže takéto rozdelenie má toľko náhodných premenných v prírodných vedách, ekonómii, psychológii, sociológii, vojenských vedách a pod. Toto rozdelenie je obmedzujúcim zákonom, ku ktorému sa (za určitých prírodných podmienok) približujú mnohé iné zákony rozdelenia. Pomocou zákona normálneho rozdelenia sú opísané aj javy, ktoré podliehajú pôsobeniu mnohých nezávislých náhodných faktorov akejkoľvek povahy a akéhokoľvek zákona ich rozdelenia. Prejdime k definíciám.
Spojitá náhodná premenná sa nazýva distribuovaná normálny zákon (alebo Gaussov zákon), ak má hustota pravdepodobnosti tvar:
,
kde sú čísla a a σ (σ>0 ) sú parametre tohto rozdelenia.
Ako už bolo spomenuté, Gaussov zákon rozdelenia náhodných premenných má množstvo aplikácií. Podľa tohto zákona sa rozdeľujú chyby merania prístrojmi, odchýlka od stredu terča pri streľbe, rozmery vyrobených dielov, hmotnosť a výška osôb, ročné zrážky, počet novorodencov a mnohé ďalšie.
Vyššie uvedený vzorec pre hustotu pravdepodobnosti normálne rozloženej náhodnej premennej obsahuje, ako bolo povedané, dva parametre a a σ a preto definuje rodinu funkcií, ktoré sa líšia v závislosti od hodnôt týchto parametrov. Ak použijeme obvyklé metódy matematickej analýzy štúdia funkcií a vykresľovania na hustotu pravdepodobnosti normálneho rozdelenia, môžeme vyvodiť nasledujúce závery.
sú jej inflexné body.
Na základe získaných informácií zostavíme graf hustoty pravdepodobnosti f(X) normálne rozdelenie (nazýva sa Gaussova krivka - obrazec).
Poďme zistiť, ako zmena parametrov ovplyvňuje a a σ na tvare Gaussovej krivky. Je zrejmé (možno to vidieť zo vzorca pre hustotu normálneho rozdelenia), že zmena parametra a nemení tvar krivky, ale vedie len k jej posunutiu doprava alebo doľava pozdĺž osi X. Závislosť σ ťažšie. Z vyššie uvedenej štúdie je zrejmé, ako závisí hodnota maxima a súradnice inflexných bodov od parametra σ . Okrem toho je potrebné vziať do úvahy, že pre akékoľvek parametre a a σ plocha pod Gaussovou krivkou zostáva rovná 1 (toto je všeobecná vlastnosť hustoty pravdepodobnosti). Z povedaného vyplýva, že so zvýšením parametra σ krivka sa stáva plochejšia a tiahne sa pozdĺž osi X. Obrázok ukazuje Gaussove krivky pre rôzne hodnoty parametra σ (σ 1 < σ< σ 2 ) a rovnakú hodnotu parametra a.
Zistite pravdepodobnostný význam parametrov a a σ
normálne rozdelenie. Už zo symetrie Gaussovej krivky vzhľadom na vertikálu prechádzajúcu číslom a na náprave X je jasné, že priemerná hodnota (t.j. matematické očakávanie M(X)) normálne rozloženej náhodnej premennej sa rovná a. Z rovnakých dôvodov sa modus a medián musia rovnať číslu a. Presné výpočty podľa zodpovedajúcich vzorcov to potvrdzujú. Ak napíšeme vyššie uvedený výraz pre f(X)
nahradiť vo vzorci pre rozptyl 
, potom po (dosť náročnom) výpočte integrálu dostaneme v odpovedi číslo σ
2
. Teda pre náhodnú premennú X rozdelené podľa normálneho zákona boli získané tieto hlavné číselné charakteristiky:
Preto pravdepodobnostný význam parametrov normálneho rozdelenia a a σ Ďalšie. Ak r.v. Xa a σ a σ.
Teraz nájdime distribučnú funkciu F(X)
pre náhodnú premennú X, rozdelené podľa normálneho zákona, s použitím vyššie uvedeného výrazu pre hustotu pravdepodobnosti f(X)
a vzorec 
. Pri striedaní f(X)
získame „neprebratý“ integrál. Všetko, čo sa dá urobiť, aby sa výraz zjednodušil F(X),
toto je reprezentácia tejto funkcie vo forme:
,
kde F(x)- takzvaný Laplaceova funkcia, ktorý vyzerá
.
Integrál, v ktorom je Laplaceova funkcia vyjadrená, tiež nie je braný (ale pre každého X tento integrál možno vypočítať približne s akoukoľvek vopred určenou presnosťou). Nie je však potrebné to vypočítať, pretože na konci každej učebnice teórie pravdepodobnosti je tabuľka na určenie hodnôt funkcie F(x) pri danej hodnote X. V nasledujúcom texte budeme potrebovať vlastnosť oddity Laplaceovej funkcie: F(-x)=−F(x) pre všetky čísla X.
Nájdime teraz pravdepodobnosť, že normálne rozložená r.v. X bude nadobúdať hodnotu z daného číselného intervalu (α, β) . Zo všeobecných vlastností distribučnej funkcie Р(α< X< β)= F(β) − F(α) . Nahrádzanie α a β do vyššie uvedeného výrazu pre F(X) , dostaneme
.
Ako je uvedené vyššie, ak r.v. X distribuované normálne s parametrami a a σ , potom sa jeho stredná hodnota rovná a a štandardná odchýlka sa rovná σ. Preto priemer odchýlka hodnôt tejto r.v. pri testovaní z čísla a rovná sa σ. Ale toto je priemerná odchýlka. Preto sú možné aj väčšie odchýlky. Zisťujeme, ako sú možné tieto alebo tie odchýlky od priemernej hodnoty. Nájdite pravdepodobnosť, že hodnota náhodnej premennej je rozdelená podľa normálneho zákona X odchýliť sa od svojho priemeru M(X)=a menšie ako nejaké číslo δ, t.j. R(| X− a|<δ ): . Touto cestou,
.
Dosadzovanie do tejto rovnosti 5 = 3σ, získame pravdepodobnosť, že hodnota r.v. X(v jednom pokuse) sa odchýli od priemeru menej ako trikrát σ (s priemernou odchýlkou, ako si pamätáme, rovnou σ ): (význam F(3) prevzaté z tabuľky hodnôt Laplaceovej funkcie). Je to skoro 1 ! Potom pravdepodobnosť opačnej udalosti (že sa hodnota odchyľuje aspoň o 3σ) rovná sa 1 −0.997=0.003 , ktorá je veľmi blízko 0 . Preto je táto udalosť "takmer nemožná" − sa stáva veľmi zriedkavo (v priemere 3 uplynú časy 1000 ). Táto úvaha je odôvodnením známeho „pravidla troch sigma“.
Pravidlo troch sigma. Normálne rozdelená náhodná premenná v jedinom teste prakticky nevybočuje zo svojho priemeru ďalej ako 3σ.
Ešte raz zdôrazňujeme, že hovoríme o jednom teste. Ak existuje veľa pokusov náhodnej premennej, potom je celkom možné, že niektoré z jej hodnôt sa budú pohybovať ďalej od priemeru ako 3σ. To potvrdzuje nasledovné
Príklad. Aká je pravdepodobnosť, že po 100 pokusoch normálne rozložená náhodná premenná X aspoň jedna z jeho hodnôt sa bude odchyľovať od priemeru o viac ako trojnásobok štandardnej odchýlky? A čo 1000 pokusov?
Riešenie. Nechajte udalosť ALE znamená, že pri testovaní náhodnej premennej X jeho hodnota sa odchýlila od priemeru o viac ako 3σ. Ako sa práve zistilo, pravdepodobnosť tejto udalosti p=P(A)=0,003. Uskutočnilo sa 100 takýchto testov. Musíme nájsť pravdepodobnosť, že udalosť ALE Stalo najmenej krát, t.j. prišiel z 1 predtým 100 raz. Toto je typický problém Bernoulliho schémy s parametrami n=100 (počet nezávislých pokusov), p=0,003(pravdepodobnosť udalosti ALE v jednom teste) q=1− p=0.997 . Chcel nájsť R 100 (1≤ k≤100) . V tomto prípade je samozrejme jednoduchšie najskôr nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti R 100 (0) − pravdepodobnosť, že udalosť ALE nikdy sa nestalo (t. j. stalo sa 0-krát). Ak vezmeme do úvahy súvislosť medzi pravdepodobnosťou samotnej udalosti a jej opakom, dostaneme:
Nie tak málo. Pokojne sa to môže stať (vyskytuje sa v priemere pri každej štvrtej sérii testov). o 1000 testy podľa rovnakej schémy, možno získať, že pravdepodobnosť aspoň jednej odchýlky je väčšia ako 3σ, rovná sa: . Je teda bezpečné počkať aspoň na jednu takúto odchýlku.
Príklad. Výška mužov určitej vekovej skupiny je normálne rozdelená podľa matematických očakávaní a a štandardná odchýlka σ . Aký podiel kostýmov k-tý prírastok by mal byť zahrnutý do celkovej produkcie pre danú vekovú skupinu ak k- rast je určený nasledujúcimi limitmi:
1 rast : 158 − 164 cm 2 rast : 164 - 170 cm 3 rast : 170 - 176 cm 4 rast : 176 - 182 cm
Riešenie. Vyriešme problém s nasledujúcimi hodnotami parametrov: a=178,σ=6,k=3
. Nech r.v. X
−
výška náhodne vybraného muža (je rozdelená podľa stavu normálne s danými parametrami). Nájdite pravdepodobnosť, ktorú bude náhodne vybraný muž potrebovať 3
rast. Pomocou zvláštnosti Laplaceovej funkcie F(x) a tabuľku jeho hodnôt: P(170
Rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorý preberá všetky hodnoty z intervalu , sa volá uniforma, ak je jeho hustota pravdepodobnosti na tomto segmente konštantná a mimo neho je rovná nule. Teda hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, rovnomerne rozložené na segmente , vyzerá ako:
Poďme definovať očakávaná hodnota, disperzia a pre náhodnú premennú s rovnomerným rozdelením.
, 
, 
.
Príklad. Všetky hodnoty rovnomerne rozloženej náhodnej premennej ležia na segmente . Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Binomické rozdelenie
Nech sa vyrába n testy a pravdepodobnosť výskytu udalosti A v každom teste je p a nezávisí od výsledku iných skúšok (nezávislých skúšok). Od pravdepodobnosti výskytu udalosti A v jednom teste je p, potom sa pravdepodobnosť jej nevyskytnutia rovná q = 1-p.
Nechajte udalosť A vošiel n skúšok m raz. Táto komplexná udalosť môže byť napísaná ako produkt:
.
Potom pravdepodobnosť, že n testovacie podujatie A príde m krát sa vypočíta podľa vzorca:
alebo 
(1)
Formula (1) sa nazýva Bernoulliho vzorec.
Nechaj X je náhodná premenná rovnajúca sa počtu výskytov udalosti A v n testy, ktoré nadobúdajú hodnoty s pravdepodobnosťou:
Výsledný zákon rozdelenia náhodnej premennej sa nazýva zákon binomického rozdelenia.
| X | m | n | ||||
| P |
Očakávaná hodnota, disperzia a smerodajná odchýlka Náhodné premenné rozdelené podľa binomického zákona sú určené vzorcami:
, , .
Príklad. Na cieľ sa strieľajú tri výstrely a pravdepodobnosť zasiahnutia každého výstrelu je 0,8. Uvažujeme o náhodnej premennej X- počet zásahov do cieľa. Nájdite jeho distribučný zákon, matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku.
p = 0,8, q = 0,2, n=3, 
, , 
.
- pravdepodobnosť 0 zásahov;
Pravdepodobnosť jedného zásahu;
Pravdepodobnosť dvoch zásahov;
je pravdepodobnosť troch zásahov.
Dostávame distribučný zákon:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Úlohy
1. Mincou sa hodí 7-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že 4-krát spadne hore nohami.
2. Mincou sa hodí 8-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví najviac trikrát.
3. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z pištole p=0,6. Nájdite matematický odhad celkového počtu zásahov, ak padne 10 výstrelov.
4. Nájdite matematický predpoklad počtu žrebov, ktoré vyhrajú, ak sa zakúpi 20 tiketov a pravdepodobnosť výhry na jeden tiket je 0,3.
Distribučná funkcia v tomto prípade podľa (5.7) bude mať tvar:
kde: m je matematické očakávanie, s je štandardná odchýlka.
Normálne rozdelenie sa nazýva aj Gaussovo podľa nemeckého matematika Gaussa. Skutočnosť, že náhodná premenná má normálne rozdelenie s parametrami: m,, označujeme nasledovne: N (m, s), kde: m =a =M ;
Pomerne často sa vo vzorcoch matematické očakávanie označuje ako a . Ak je náhodná premenná rozdelená podľa zákona N(0,1), potom sa nazýva normalizovaná alebo štandardizovaná normálna hodnota. Distribučná funkcia pre ňu má tvar:
|
|
.Graf hustoty normálneho rozdelenia, ktorý sa nazýva normálna krivka alebo Gaussova krivka, je znázornený na obr. 5.4.
Ryža. 5.4. Normálna hustota distribúcie
Na príklade sa uvažuje o určení číselných charakteristík náhodnej veličiny jej hustotou.
Príklad 6.
Spojitá náhodná premenná je daná hustotou distribúcie: 
.
Určte typ rozdelenia, nájdite matematické očakávanie M(X) a rozptyl D(X).
Porovnaním danej hustoty rozdelenia s (5.16) môžeme konštatovať, že je daný zákon normálneho rozdelenia s m =4. Preto matematické očakávanie M(X)=4, rozptyl D(X)=9.
Smerodajná odchýlka s=3.
Laplaceova funkcia, ktorá má tvar:
|
|
,súvisí s funkciou normálneho rozdelenia (5.17) vzťahom:
F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.
Laplaceova funkcia je nepárna.
Ф(-x)=-Ф(x).
Hodnoty Laplaceovej funkcie Ф(х) sú tabuľkové a prevzaté z tabuľky podľa hodnoty x (pozri prílohu 1).
Normálne rozdelenie spojitej náhodnej veličiny hrá dôležitú úlohu v teórii pravdepodobnosti a pri popise reality, je veľmi rozšírené v náhodných prírodných javoch. V praxi sa veľmi často vyskytujú náhodné premenné, ktoré vznikajú práve ako výsledok súčtu mnohých náhodných pojmov. Najmä analýza chýb merania ukazuje, že sú súčtom rôznych druhov chýb. Prax ukazuje, že rozdelenie pravdepodobnosti chýb merania je blízke normálnemu zákonu.
Pomocou Laplaceovej funkcie je možné vyriešiť problémy výpočtu pravdepodobnosti pádu do daného intervalu a danej odchýlky normálnej náhodnej premennej.
Táto problematika bola dlho podrobne študovaná a najrozšírenejšia bola metóda polárnych súradníc, ktorú navrhli George Box, Mervyn Muller a George Marsaglia v roku 1958. Táto metóda vám umožňuje získať pár nezávislých normálne rozdelených náhodných premenných so strednou hodnotou 0 a rozptylom 1 takto:
Kde Z 0 a Z 1 sú požadované hodnoty, s \u003d u 2 + v 2 a u a v sú náhodné premenné rovnomerne rozdelené na segmente (-1, 1), vybrané tak, aby bola splnená podmienka 0< s < 1.
Mnohí používajú tieto vzorce bez rozmýšľania a mnohí ani netušia o ich existencii, pretože používajú hotové implementácie. Ale sú ľudia, ktorí majú otázky: „Odkiaľ sa vzal tento vzorec? A prečo získate pár hodnôt naraz? V nasledujúcom texte sa pokúsim dať na tieto otázky jasnú odpoveď.
Na začiatok pripomeniem, čo je hustota pravdepodobnosti, distribučná funkcia náhodnej premennej a inverzná funkcia. Predpokladajme, že existuje nejaká náhodná premenná, ktorej rozdelenie je dané funkciou hustoty f(x), ktorá má nasledujúci tvar:
To znamená, že pravdepodobnosť, že hodnota tejto náhodnej premennej bude v intervale (A, B), sa rovná ploche tieňovanej oblasti. V dôsledku toho by sa plocha celej zatienenej oblasti mala rovnať jednote, pretože v každom prípade bude hodnota náhodnej premennej spadať do domény funkcie f.
Distribučná funkcia náhodnej premennej je integrálom funkcie hustoty. A v tomto prípade bude jeho približná podoba nasledovná:
Tu to znamená, že hodnota náhodnej premennej bude menšia ako A s pravdepodobnosťou B. V dôsledku toho funkcia nikdy neklesne a jej hodnoty ležia v intervale.
Inverzná funkcia je funkcia, ktorá vracia argument pôvodnej funkcie, ak do nej vložíte hodnotu pôvodnej funkcie. Napríklad pre funkciu x 2 bude inverzná funkcia extrakcie koreňa, pre sin (x) je to arcsin (x) atď.
Pretože väčšina generátorov pseudonáhodných čísel dáva na výstupe iba rovnomerné rozdelenie, často je potrebné ho previesť na iné. V tomto prípade na normálny Gaussov:
Základom všetkých metód na transformáciu rovnomerného rozdelenia na akékoľvek iné rozdelenie je metóda inverznej transformácie. Funguje to nasledovne. Nájde sa funkcia, ktorá je inverzná k funkcii požadovaného rozdelenia a náhodná premenná rovnomerne rozložená na segmente (0, 1) sa jej odovzdá ako argument. Na výstupe získame hodnotu s požadovaným rozdelením. Pre prehľadnosť uvádzame nasledujúci obrázok.
Rovnomerný segment je teda akoby rozmazaný v súlade s novým rozdelením, pričom sa premieta na inú os prostredníctvom inverznej funkcie. Problém je však v tom, že integrál hustoty Gaussovho rozdelenia nie je ľahké vypočítať, takže vyššie uvedení vedci museli podvádzať.
Existuje chí-kvadrát rozdelenie (Pearsonovo rozdelenie), čo je rozdelenie súčtu druhých mocnín k nezávislých normálnych náhodných premenných. A v prípade, že k = 2, je toto rozdelenie exponenciálne.
To znamená, že ak má bod v pravouhlom súradnicovom systéme náhodné súradnice X a Y rozložené normálne, potom po prevode týchto súradníc na polárny systém (r, θ) sa použije druhá mocnina polomeru (vzdialenosť od začiatku k bodu) budú rozdelené exponenciálne, pretože druhá mocnina polomeru je súčtom druhých mocnín súradníc (podľa Pytagorovho zákona). Hustota rozloženia takýchto bodov v rovine bude vyzerať takto:
Pretože je rovnaký vo všetkých smeroch, uhol θ bude mať rovnomerné rozdelenie v rozsahu od 0 do 2π. Platí to aj naopak: ak určíte bod v polárnom súradnicovom systéme pomocou dvoch nezávislých náhodných premenných (uhol rozdelený rovnomerne a polomer rozložený exponenciálne), potom budú pravouhlé súradnice tohto bodu nezávislé normálne náhodné premenné. A exponenciálne rozdelenie z rovnomerného rozdelenia je už oveľa jednoduchšie získať pomocou rovnakej metódy inverznej transformácie. To je podstata Box-Mullerovej polárnej metódy.
Teraz poďme na vzorce.
(1)
Na získanie r a θ je potrebné vygenerovať dve náhodné premenné rovnomerne rozdelené na segmente (0, 1) (nazvime ich u a v), pričom rozdelenie jednej z nich (povedzme v) je potrebné previesť na exponenciálne na získať polomer. Funkcia exponenciálneho rozdelenia vyzerá takto:
Jeho inverzná funkcia:
Keďže rovnomerné rozdelenie je symetrické, transformácia bude s funkciou fungovať podobne
Zo vzorca rozdelenia chí-kvadrát vyplýva, že λ = 0,5. Do tejto funkcie dosadíme λ, v a získame druhú mocninu polomeru a potom samotný polomer:
Uhol získame natiahnutím segmentu jednotky na 2π:
Teraz dosadíme r a θ do vzorcov (1) a dostaneme:
(2)
Tieto vzorce sú pripravené na použitie. X a Y budú nezávislé a normálne rozdelené s rozptylom 1 a priemerom 0. Na získanie rozdelenia s inými charakteristikami stačí vynásobiť výsledok funkcie smerodajnou odchýlkou a pridať strednú hodnotu.
Ale je možné sa zbaviť goniometrických funkcií zadaním uhla nie priamo, ale nepriamo cez pravouhlé súradnice náhodného bodu v kruhu. Potom pomocou týchto súradníc bude možné vypočítať dĺžku vektora polomeru a potom nájsť kosínus a sínus delením x a y nimi. Ako a prečo to funguje?
Vyberieme náhodný bod z rovnomerne rozmiestneného v kruhu jednotkového polomeru a druhú mocninu dĺžky vektora polomeru tohto bodu označíme písmenom s:
Voľba sa uskutočňuje priradením náhodných pravouhlých súradníc x a y rovnomerne rozložených v intervale (-1, 1) a vyradením bodov, ktoré nepatria do kruhu, ako aj stredového bodu, v ktorom je uhol vektora polomeru. neurčené. Teda podmienka 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Dostaneme vzorce, ako na začiatku článku. Nevýhodou tejto metódy je odmietnutie bodov, ktoré nie sú zahrnuté v kruhu. To znamená, že s použitím iba 78,5 % vygenerovaných náhodných premenných. Na starších počítačoch bol nedostatok trigonometrických funkcií stále veľkou výhodou. Teraz, keď jedna inštrukcia procesora súčasne počíta sínus a kosínus v okamihu, myslím si, že tieto metódy môžu stále konkurovať.
Osobne mám ešte dve otázky:
- Prečo je hodnota s rovnomerne rozdelená?
- Prečo je súčet štvorcov dvoch normálnych náhodných premenných exponenciálne rozdelený?
Ak sa podobná transformácia vykoná pre normálnu náhodnú premennú, potom sa funkcia hustoty jej štvorca ukáže ako podobná hyperbole. A sčítanie dvoch štvorcov normálnych náhodných premenných je už oveľa zložitejší proces spojený s dvojitou integráciou. A to, že výsledkom bude exponenciálne rozdelenie, mi osobne zostáva overiť si to praktickou metódou alebo akceptovať ako axiómu. A pre tých, ktorí majú záujem, navrhujem, aby ste sa bližšie oboznámili s témou a čerpali poznatky z týchto kníh:
- Wentzel E.S. Teória pravdepodobnosti
- Knut D.E. Umenie programovania, zväzok 2
Na záver uvediem príklad implementácie normálne distribuovaného generátora náhodných čísel v JavaScripte:
Funkcia Gauss() ( var ready = false; var second = 0,0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == nedefinované ? 0,0: mean; dev = dev == nedefinované ? 1,0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // vytvorenie objektu a = g.next(); // vygenerujte pár hodnôt a získajte prvú b = g.next(); // získame druhé c = g.next(); // znova vygenerujte pár hodnôt a získajte prvú
Parametre priemer (matematické očakávanie) a dev (štandardná odchýlka) sú voliteľné. Upozorňujem na skutočnosť, že logaritmus je prirodzený.
