Nájdite maximálnu rýchlosť nárastu funkcie. Ako nájsť gradient funkcie

Gradient funkcie je vektorová veličina, ktorej nájdenie je spojené s definíciou parciálnych derivácií funkcie. Smer gradientu udáva cestu najrýchlejšieho rastu funkcie z jedného bodu skalárneho poľa do druhého.

Inštrukcia

1. Na vyriešenie problému o gradiente funkcie sa používajú metódy diferenciálneho počtu, konkrétne hľadanie parciálnych derivácií prvého rádu v troch premenných. Predpokladá sa, že samotná funkcia a všetky jej parciálne derivácie majú vlastnosť spojitosti v definíčnom obore funkcie.

2. Gradient je vektor, ktorého smer udáva smer najrýchlejšieho nárastu funkcie F. Na tento účel sa na grafe vyberú dva body M0 a M1, ktoré sú koncami vektora. Hodnota gradientu sa rovná rýchlosti nárastu funkcie z bodu M0 do bodu M1.

3. Funkcia je diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto vektora, preto sú projekcie vektora na súradnicové osi všetky jeho parciálne derivácie. Potom vzorec gradientu vyzerá takto: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, kde i, j, k sú súradnice jednotkového vektora. Inými slovami, gradient funkcie je vektor, ktorého súradnice sú jeho parciálne derivácie grad F = (?F/?х,?F/?y,?F/?z).

4. Príklad 1. Nech je daná funkcia F = sin (x z?) / y. Je potrebné nájsť jeho gradient v bode (?/6, 1/4, 1).

5. Riešenie. Určite parciálne derivácie vzhľadom na akúkoľvek premennú: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Dosaďte známe súradnice bodu: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(a/6) (-1)16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Použite vzorec funkčného gradientu: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Príklad 2. Nájdite súradnice gradientu funkcie F = y arсtg (z / x) v bode (1, 2, 1).

9. Riešenie. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1; F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4; F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (-1, a/4, 1).

Gradient skalárneho poľa je vektorová veličina. Na jeho nájdenie je teda potrebné určiť všetky zložky zodpovedajúceho vektora na základe poznatkov o rozdelení skalárneho poľa.

Inštrukcia

1. Prečítajte si v učebnici vyššej matematiky, čo je gradient skalárneho poľa. Ako viete, toto vektorové množstvo má smer charakterizovaný maximálnou rýchlosťou rozpadu skalárnej funkcie. Takýto zmysel danej vektorovej veličiny je odôvodnený výrazom na určenie jej zložiek.

2. Pamätajte, že každý vektor je definovaný hodnotami jeho komponentov. Vektorové komponenty sú vlastne projekcie tohto vektora na jednu alebo druhú súradnicovú os. Ak teda uvažujeme o trojrozmernom priestore, vektor musí mať tri zložky.

3. Napíšte, ako sa určujú zložky vektora, ktorý je gradientom nejakého poľa. Všetky súradnice takéhoto vektora sa rovnajú derivácii skalárneho potenciálu vzhľadom na premennú, ktorej súradnica sa počíta. To znamená, že ak potrebujete vypočítať zložku „x“ vektora gradientu poľa, potom musíte skalárnu funkciu diferencovať vzhľadom na premennú „x“. Všimnite si, že derivácia musí byť kvocient. To znamená, že pri diferenciácii treba zvyšné premenné, ktoré sa na nej nezúčastňujú, považovať za konštanty.

4. Napíšte výraz pre skalárne pole. Ako viete, tento pojem znamená každú iba skalárnu funkciu niekoľkých premenných, ktoré sú tiež skalárnymi veličinami. Počet premenných skalárnej funkcie je obmedzený rozmerom priestoru.

5. Samostatne diferencujte skalárnu funkciu vzhľadom na každú premennú. V dôsledku toho budete mať tri nové funkcie. Napíšte ľubovoľnú funkciu do výrazu pre gradientový vektor skalárneho poľa. Ktorákoľvek zo získaných funkcií je skutočne indikátorom pre jednotkový vektor danej súradnice. Konečný gradientový vektor by teda mal vyzerať ako polynóm s exponentmi ako deriváciami funkcie.

Pri zvažovaní problémov týkajúcich sa reprezentácie gradientu je bežnejšie každý z nich považovať za skalárne pole. Preto musíme zaviesť vhodný zápis.

Budete potrebovať

• - bum;
• - pero.

Inštrukcia

1. Nech je funkcia daná tromi argumentmi u=f(x, y, z). Čiastočná derivácia funkcie, napríklad vzhľadom na x, je definovaná ako derivácia vzhľadom na tento argument, získaná fixovaním zostávajúcich argumentov. Ostatné argumenty sú podobné. Čiastočná derivačná notácia je napísaná ako: df / dx \u003d u'x ...

2. Celkový diferenciál sa bude rovnať du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Čiastočné derivácie možno chápať ako derivácie v smeroch súradnicových osí. Následne vyvstáva otázka, ako nájsť deriváciu vzhľadom na smer daného vektora s v bode M(x, y, z) (nezabudnite, že smer s určuje jednotkový vektor-ort s^o). V tomto prípade je diferenciálny vektor argumentov (dx, dy, dz)=(dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).

3. Vzhľadom na tvar celkového diferenciálu du je možné dospieť k záveru, že derivácia vzhľadom na smer s v bode M je: (du/ds)|M=(((df/dx)|M)cos(alfa) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Ak s= s(sx,sy,sz), potom smerové kosínusy (cos(alfa), cos(beta), cos(gama)) sa vypočítajú (pozri obr. 1a).

4. Definíciu derivácie v smere, berúc do úvahy bod M ako premennú, možno prepísať ako bodový súčin: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Tento výraz bude objektívny pre skalárne pole. Ak uvažujeme ľahkú funkciu, potom gradf je vektor so súradnicami zhodnými s parciálnymi deriváciami f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz). )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tu (i, j, k) sú jednotkové vektory súradnicových osí v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme.

5. Ak použijeme Hamiltonov Nabla diferenciálny vektorový operátor, potom gradf môžeme zapísať ako násobenie tohto operátorového vektora skalárnou f (pozri obr. 1b). Z hľadiska spojenia gradf so smerovou deriváciou je prípustná rovnosť (gradf, s^o)=0, ak sú tieto vektory ortogonálne. V dôsledku toho je gradf často definovaný ako smer najrýchlejšej metamorfózy skalárneho poľa. A z hľadiska diferenciálnych operácií (gradf je jednou z nich) vlastnosti gradf presne opakujú vlastnosti diferenciácie funkcií. Najmä ak f=uv, potom gradf=(vgradu+ugradv).

Podobné videá

Gradient ide o nástroj, ktorý v grafických editoroch vyplní siluetu plynulým prechodom jednej farby do druhej. Gradient môže dať siluete výsledok objemu, simulovať osvetlenie, odrazy svetla na povrchu objektu alebo výsledok západu slnka na pozadí fotografie. Tento nástroj má široké využitie, preto je pre spracovanie fotografií alebo tvorbu ilustrácií veľmi dôležité naučiť sa ho používať.

Budete potrebovať

• Počítač, grafický editor Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net alebo iné.

Inštrukcia

1. Otvorte obrázok v programe alebo vytvorte nový. Vytvorte siluetu alebo vyberte požadovanú oblasť na obrázku.

2. Zapnite nástroj Gradient na paneli nástrojov grafického editora. Umiestnite kurzor myši na bod vo vybranej oblasti alebo siluete, kde začne 1. farba prechodu. Kliknite a podržte ľavé tlačidlo myši. Presuňte kurzor do bodu, kde by mal prechod prejsť do konečnej farby. Uvoľnite ľavé tlačidlo myši. Vybraná silueta bude vyplnená prechodovou výplňou.

3. Gradient y je možné nastaviť priehľadnosť, farby a ich pomer v určitom bode výplne. Ak to chcete urobiť, otvorte okno Úprava prechodu. Ak chcete otvoriť okno úprav vo Photoshope, kliknite na príklad prechodu na paneli Možnosti.

4. V okne, ktoré sa otvorí, sa ako príklady zobrazia dostupné možnosti prechodovej výplne. Ak chcete upraviť jednu z možností, vyberte ju kliknutím myši.

5. Príklad prechodu je zobrazený v spodnej časti okna vo forme širokej škály s posuvníkmi. Posúvače označujú body, v ktorých by mal mať prechod špecifikované porovnania, a v intervale medzi posúvačmi farba rovnomerne prechádza od farby zadanej v prvom bode k farbe 2. bodu.

6. Posuvníky umiestnené v hornej časti mierky nastavujú priehľadnosť prechodu. Ak chcete zmeniť priehľadnosť, kliknite na požadovaný posúvač. Pod stupnicou sa zobrazí pole, do ktorého zadajte požadovaný stupeň priehľadnosti v percentách.

7. Posuvníky v spodnej časti stupnice nastavujú farby prechodu. Kliknutím na jeden z nich budete môcť uprednostniť požadovanú farbu.

8. Gradient môže mať viacero prechodových farieb. Ak chcete nastaviť inú farbu, kliknite na prázdne miesto v spodnej časti stupnice. Objaví sa na ňom ďalší posuvník. Nastavte mu požadovanú farbu. Mierka zobrazí príklad prechodu s jedným bodom navyše. Posúvače môžete posúvať ich podržaním s podporou ľavého tlačidla myši, aby ste dosiahli požadovanú kombináciu.

9. Gradient Existuje niekoľko typov, ktoré môžu dať tvar plochým siluetám. Povedzme, že na to, aby kruh získal tvar gule, použije sa radiálny gradient a na vytvorenie tvaru kužeľa sa použije kužeľový gradient. Zrkadlový gradient môže byť použitý na dodanie povrchu ilúzie vydutia a diamantový gradient môže byť použitý na vytvorenie zvýraznenia.

Podobné videá

Podobné videá

Ak je v každom bode priestoru alebo časti priestoru definovaná hodnota určitej veličiny, potom sa hovorí, že pole tejto veličiny je dané. Pole sa nazýva skalárne, ak je uvažovaná hodnota skalárna, t.j. dobre charakterizovaný svojou číselnou hodnotou. Napríklad teplotné pole. Skalárne pole je dané skalárnou funkciou bodu u = /(M). Ak sa v priestore zavedie kartézsky súradnicový systém, potom existuje funkcia troch premenných x, yt z - súradnice bodu M: Definícia. Hladina povrchu skalárneho poľa je množina bodov, v ktorých má funkcia f(M) rovnakú hodnotu. Príklad rovnice povrchu úrovne 1. Nájdite povrchy úrovne skalárneho poľa VEKTOROVÁ ANALÝZA Povrchy úrovne skalárneho poľa a čiary úrovne Smerový derivačný derivačný gradient skalárneho poľa Základné vlastnosti gradientu Invariant Definícia gradientu Pravidlá pre výpočet gradientu -4 Podľa definície úroveň povrchová rovnica bude. Toto je rovnica gule (s Ф 0) so stredom v počiatku. Skalárne pole sa nazýva ploché, ak je pole rovnaké vo všetkých rovinách rovnobežných s niektorou rovinou. Ak je zadaná rovina braná ako rovina xOy, potom funkcia poľa nebude závisieť od súradnice z, t.j. bude funkciou iba argumentov x a y a tiež významu. Rovnica nivelety - Príklad 2. Nájdite nivelačné čiary skalárneho poľa Hladinové čiary sú dané rovnicami Pri c = 0 dostaneme dvojicu čiar, dostaneme rodinu hyperbol (obr. 1). 1.1. Smerová derivácia Nech existuje skalárne pole definované skalárnou funkciou u = /(Af). Vezmime si bod Afo a zvolíme smer určený vektorom I. Zoberme ďalší bod M tak, aby vektor M0M bol rovnobežný s vektorom 1 (obr. 2). Dĺžku vektora MoM označme A/ a prírastok funkcie /(Af) - /(Afo), zodpovedajúcej posunutiu D1, Di. Pomer určuje priemernú rýchlosť zmeny skalárneho poľa na jednotku dĺžky k danému smeru. Teraz sa prikloníme k nule, aby vektor М0М zostal po celý čas rovnobežný s vektorom I. Definícia. Ak pre D/O existuje konečná limita vzťahu (5), potom sa nazýva derivácia funkcie v danom bode Afo do daného smeru I a označuje sa symbolom zr!^. Takže, podľa definície, Táto definícia nesúvisí s výberom súradnicového systému, to znamená, že má **variantný charakter. Nájdime výraz pre deriváciu vzhľadom na smer v karteziánskom súradnicovom systéme. Nech je funkcia / diferencovateľná v bode. Zvážte hodnotu /(Af) v bode. Potom je možné celkový prírastok funkcie zapísať v nasledujúcom tvare: kde a symboly znamenajú, že parciálne derivácie sú vypočítané v bode Afo. Preto sú tu veličiny jfi, ^ smerové kosínusy vektora. Keďže vektory MoM a I sú spolusmerované, ich smerové kosínusy sú rovnaké: derivácie, sú deriváciami funkcie a pozdĺž smerov súradnicových osí s vonkajším nno- Príklad 3. Nájdite deriváciu funkcie smerom k bodu. Vektor má dĺžku. Jeho smer kosínus: Podľa vzorca (9) budeme mať Skutočnosť, že, znamená, že skalárne pole v bode v danom smere veku- Pre ploché pole sa derivácia v smere I v bode vypočíta podľa vzorca kde a je uhol, ktorý zviera vektor I s osou Oh. Zmmchmm 2. Vzorec (9) na výpočet derivácie pozdĺž smeru I v danom bode Afo zostáva v platnosti aj vtedy, keď bod M smeruje k bodu Mo pozdĺž krivky, pre ktorú je vektor I dotyčnicou v bode PrISchr 4. Vypočítajte derivácia skalárneho poľa v bode Afo(l, 1). patriace parabole v smere tejto krivky (v smere rastúcej úsečky). Smer ] paraboly v bode je smer dotyčnice k parabole v tomto bode (obr. 3). Nech dotyčnica k parabole v bode Afo zviera s osou Ox uhol o. Potom odkiaľ smerovanie kosínusov dotyčnice Vypočítajme hodnoty a v bode. Teraz dostaneme podľa vzorca (10). Nájdite deriváciu skalárneho poľa v bode v smere kružnice Vektorová rovnica kružnice má tvar. Nájdeme jednotkový vektor m dotyčnice ku kružnici Bod zodpovedá hodnote parametra. Gradient skalárneho poľa Nech je skalárne pole definované skalárnou funkciou, o ktorej sa predpokladá, že je diferencovateľná. Definícia. Gradient skalárneho poľa » v danom bode M je vektor označený symbolom grad a definovaný rovnosťou Je zrejmé, že tento vektor závisí tak od funkcie /, ako aj od bodu M, v ktorom je vypočítaná jeho derivácia. Nech 1 je jednotkový vektor v smere Potom vzorec pre smerovú deriváciu môžeme zapísať takto: . teda derivácia funkcie u v smere 1 sa rovná skalárnemu súčinu gradientu funkcie u(M) a jednotkového vektora 1° smeru I. 2.1. Základné vlastnosti gradientu Veta 1. Gradient skalárneho poľa je kolmý na povrch roviny (alebo na čiaru hladiny, ak je pole ploché). (2) Cez ľubovoľný bod M nakreslíme rovnú plochu u = const a zvolíme hladkú krivku L na tejto ploche prechádzajúcu bodom M (obr. 4). Nech som vektorovou dotyčnicou krivky L v bode M. Keďže na rovnej ploche u(M) = u(M|) pre ľubovoľný bod Mj ∈ L, potom na druhej strane = (gradu, 1°) . Preto. To znamená, že vektory grad a a 1° sú ortogonálne. Teda vektor grad and je ortogonálny k ľubovoľnej dotyčnici roviny v bode M. Teda je ortogonálny k samotnej rovine v bode M. Veta 2 Gradient je nasmerovaný v smere zvyšujúcej sa funkcie poľa. Už skôr sme dokázali, že gradient skalárneho poľa smeruje pozdĺž normály k hladine, ktorá môže byť orientovaná buď k nárastu funkcie u(M), alebo k jej zníženiu. Označme n normálu povrchu hladiny orientovanú v smere rastúcej funkcie ti(M) a nájdime deriváciu funkcie u v smere tejto normály (obr. 5). Máme Od podľa podmienky obr.5 a teda VEKTOROVÁ ANALÝZA Skalárne pole Plochy a úrovňové čiary Smerová derivácia Derivácia Spád skalárneho poľa Základné vlastnosti gradientu Invariantná definícia gradientu Pravidlá pre výpočet gradientu Z toho vyplýva, že grad a smeruje v rovnaký smer, ako sme zvolili normálu n, teda v smere rastúcej funkcie u(M). Veta 3. Dĺžka gradientu sa rovná najväčšej derivácii vzhľadom na smer v danom bode poľa, (tu sa berie max $ vo všetkých možných smeroch v danom bode M k bodu). Máme kde je uhol medzi vektormi 1 a grad n. Keďže najväčšia hodnota je Príklad 1. Nájdite smer najväčšieho imonionu skalárneho poľa v bode a tiež veľkosť tejto najväčšej zmeny v zadanom bode. Smer najväčšej zmeny v skalárnom poli je označený vektorom. Máme tak Tento vektor určuje smer najväčšieho nárastu poľa do bodu. Hodnota najväčšej zmeny v poli v tomto bode je 2,2. Invariantná definícia gradientu Veličiny, ktoré charakterizujú vlastnosti skúmaného objektu a nezávisia od voľby súradnicového systému, nazývame invarianty daného objektu. Napríklad dĺžka krivky je invariant tejto krivky, ale uhol dotyčnice ku krivke s osou x nie je invariant. Na základe vyššie uvedených troch vlastností gradientu skalárneho poľa môžeme poskytnúť nasledujúcu invariantnú definíciu gradientu. Definícia. Gradient skalárneho poľa je vektor nasmerovaný pozdĺž normály k povrchu hladiny v smere zvyšujúcej sa funkcie poľa a má dĺžku rovnajúcu sa najväčšej smerovej derivácii (v danom bode). Nech je jednotkový normálový vektor nasmerovaný v smere rastúceho poľa. Potom Príklad 2. Nájdite gradient vzdialenosti - nejaký pevný bod a M(x,y,z) - aktuálny. 4 Máme kde je jednotkový smerový vektor. Pravidlá pre výpočet gradientu, kde c je konštantné číslo. Vyššie uvedené vzorce sú získané priamo z definície gradientu a vlastností derivátov. Podľa pravidla diferenciácie súčinu Dôkaz je podobný dôkazu vlastnosti Nech F(u) je diferencovateľná skalárna funkcia. Potom 4 Definíciou gradientu máme Použiť na všetky členy na pravej strane pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Najmä vzorec (6) vyplýva z roviny vzorca do dvoch pevných bodov tejto roviny. Uvažujme ľubovoľnú elipsu s ohniskami Fj a F] a dokážte, že každý svetelný lúč, ktorý vychádza z jedného ohniska elipsy, po odraze od elipsy vstupuje do jej druhého ohniska. Úrovňové čiary funkcie (7) sú VEKTOROVÁ ANALÝZA Skalárne pole Plochy a čiary úrovne Smerová derivácia Derivácia Gradient skalárneho poľa Základné vlastnosti gradientu Invariantná definícia gradientu Pravidlá výpočtu gradientu Rovnice (8) opisujú rodinu elips s ohniskami v bodoch F) a Fj. Podľa výsledku príkladu 2 máme a polomerové vektory. ťahané do bodu P(x, y) z ohniska F| a Fj, a teda leží na osi uhla medzi týmito vektormi polomerov (obr. 6). Podľa Tooroma 1 je gradient PQ kolmý na elipsu (8) v bode. Preto Obr.6. kolmica na elipsu (8) v ktoromkoľvek bode pretína uhol medzi vektormi polomerov nakreslenými do tohto bodu. Odtiaľ a zo skutočnosti, že uhol dopadu sa rovná uhlu odrazu, dostávame: lúč svetla vychádzajúci z jedného ohniska elipsy, ktorý sa od neho odráža, určite spadne do druhého ohniska tejto elipsy.