Matematika a informatika. Študijný sprievodca počas celého kurzu
Nech je náhodná premenná X všeobecnej populácie normálne rozdelená, ak je známy rozptyl a smerodajná odchýlka s tohto rozdelenia. Je potrebné odhadnúť neznáme matematické očakávanie z priemeru vzorky. V tomto prípade sa problém redukuje na nájdenie intervalu spoľahlivosti pre matematické očakávanie so spoľahlivosťou b. Ak nastavíme hodnotu spoľahlivosti pravdepodobnosti (spoľahlivosti) b, potom pomocou vzorca (6.9a) nájdeme pravdepodobnosť pádu do intervalu pre neznáme matematické očakávanie:
kde Ф(t) je Laplaceova funkcia (5.17a).
V dôsledku toho môžeme formulovať algoritmus na nájdenie hraníc intervalu spoľahlivosti pre matematické očakávanie, ak je známy rozptyl D = s 2:
- Nastavte hodnotu spoľahlivosti na b .
- Z (6.14) vyjadrite Ф(t) = 0,5× b. Hodnotu t vyberte z tabuľky pre Laplaceovu funkciu hodnotou Ф(t) (pozri prílohu 1).
- Vypočítajte odchýlku e pomocou vzorca (6.10).
- Napíšte interval spoľahlivosti podľa vzorca (6.12) tak, aby s pravdepodobnosťou b platila nasledujúca nerovnosť:
|
|
.Príklad 5.
Náhodná premenná X má normálne rozdelenie. Nájdite intervaly spoľahlivosti pre odhad so spoľahlivosťou b = 0,96 neznámeho priemeru a, ak je daný:
1) všeobecná smerodajná odchýlka s = 5;
2) priemer vzorky;
3) veľkosť vzorky n = 49.
Vo vzorci (6.15) intervalového odhadu matematického očakávania A pri spoľahlivosti b sú známe všetky veličiny okrem t. Hodnotu t možno nájsť pomocou (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.
Podľa tabuľky v Prílohe 1 pre Laplaceovu funkciu Ф(t) = 0,48 nájdite zodpovedajúcu hodnotu t = 2,06. teda 
. Dosadením vypočítanej hodnoty e do vzorca (6.12) môžeme získať interval spoľahlivosti: 30-1,47< a < 30+1,47.
Požadovaný interval spoľahlivosti pre odhad so spoľahlivosťou b = 0,96 neznámeho matematického očakávania je: 28,53< a < 31,47.
Zostavme si v MS EXCEL interval spoľahlivosti pre odhad strednej hodnoty rozdelenia v prípade známej hodnoty rozptylu.
Samozrejme výber úroveň dôveryúplne závisí od aktuálnej úlohy. Miera dôvery cestujúceho v leteckej doprave v spoľahlivosť lietadla by teda samozrejme mala byť vyššia ako miera dôvery kupujúceho v spoľahlivosť žiarovky.
Formulácia úlohy
Predpokladajme, že od populácia s prijatím vzorka veľkosť n. Predpokladá sa, že smerodajná odchýlka táto distribúcia je známa. Nevyhnutné na základe toho vzorky hodnotiť neznáme distribučný priemer(μ, ) a zostrojte zodpovedajúce bilaterálne interval spoľahlivosti.
Bodový odhad
Ako je známe z štatistiky(nazvime to X porov) je nestranný odhad priemeru toto populácia a má rozdelenie N(μ;σ 2 /n).
Poznámka: Čo ak potrebujete stavať interval spoľahlivosti v prípade distribúcie, ktorá nie je normálne? V tomto prípade prichádza na pomoc, ktorá hovorí, že s dostatočne veľkou veľkosťou vzorky n z distribúcie nie normálne, výberové rozdelenie štatistiky Х priem bude približne korešpondovať normálne rozdelenie s parametrami N(μ;σ 2 /n).
takže, bodový odhad stredná distribučné hodnoty máme je vzorový priemer, t.j. X porov. Teraz sa poďme zamestnať interval spoľahlivosti.
Budovanie intervalu spoľahlivosti
Zvyčajne, keď poznáme rozdelenie a jeho parametre, vieme vypočítať pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu z daného intervalu. Teraz urobme opak: nájdime interval, do ktorého náhodná premenná s danou pravdepodobnosťou spadá. Napríklad z nehnuteľností normálne rozdelenie je známe, že s pravdepodobnosťou 95% sa náhodná premenná rozloží normálny zákon, bude spadať do intervalu približne +/- 2 od stredná hodnota(pozri článok o). Tento interval bude slúžiť ako náš prototyp interval spoľahlivosti.
Teraz sa pozrime, či poznáme distribúciu , vypočítať tento interval? Aby sme odpovedali na otázku, musíme špecifikovať formu distribúcie a jej parametre.
Vieme, že forma distribúcie je normálne rozdelenie(pamätajte, že hovoríme o distribúcia vzoriek štatistiky X porov).
Parameter μ nám nie je známy (treba ho odhadnúť pomocou interval spoľahlivosti), ale máme jej odhad X cf, vypočítané na základe vzorka, ktoré možno použiť.
Druhým parametrom je priemerná štandardná odchýlka vzorky bude známy, rovná sa σ/√n.
Pretože nepoznáme μ, potom zostrojíme interval +/- 2 štandardné odchýlky nie z stredná hodnota, ale z jeho známeho odhadu X porov. Tie. pri výpočte interval spoľahlivosti nebudeme to predpokladať X porov bude spadať do intervalu +/- 2 štandardné odchýlky od μ s pravdepodobnosťou 95% a budeme predpokladať, že interval je +/- 2 štandardné odchýlky od X porov s pravdepodobnosťou 95 % pokryje μ - priemer bežnej populácie, z ktorých vzorka. Tieto dva výroky sú ekvivalentné, ale druhý výrok nám umožňuje konštruovať interval spoľahlivosti.
Okrem toho spresňujeme interval: náhodná premenná rozložená cez normálny zákon, s 95% pravdepodobnosťou spadá do intervalu +/- 1,960 štandardné odchýlky, nie +/- 2 štandardné odchýlky. Dá sa to vypočítať pomocou vzorca \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0,95) / 2), cm. vzorový súbor Sheet Spacing.
Teraz môžeme sformulovať pravdepodobnostné tvrdenie, ktoré nám poslúži na formovanie interval spoľahlivosti:
„Pravdepodobnosť, že priemer populácie nachádza sa od vzorový priemer do 1,960" štandardné odchýlky priemeru vzorky", sa rovná 95 %.
Hodnota pravdepodobnosti uvedená vo vyhlásení má špeciálny názov , ktorý je spojený s hladina významnosti α (alfa) jednoduchým vyjadrením úroveň dôvery =1 -α . V našom prípade úroveň významnosti α =1-0,95=0,05 .
Teraz na základe tohto pravdepodobnostného tvrdenia napíšeme výraz na výpočet interval spoľahlivosti:
kde Za/2 – štandardné normálne rozdelenie(taká hodnota náhodnej premennej z, Čo P(z>=Za/2 ) = a/2).
Poznámka: Horný α/2-kvantil definuje šírku interval spoľahlivosti V štandardné odchýlky vzorový priemer. Horný α/2-kvantil štandardné normálne rozdelenie je vždy väčšie ako 0, čo je veľmi výhodné.
V našom prípade pri α=0,05 horný α/2-kvantil rovná sa 1,960. Pre ostatné hladiny významnosti α (10 %; 1 %) horný α/2-kvantil Za/2 možno vypočítať pomocou vzorca \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) alebo, ak je známy úroveň dôvery, =NORM.ST.OBR((1+úroveň spoľahlivosti)/2).
Zvyčajne pri stavbe intervaly spoľahlivosti pre odhad priemeru iba použiť horné α/2-kvantil a nepoužívajte nižšie α/2-kvantil. Je to možné, pretože štandardné normálne rozdelenie symetrické okolo osi x ( hustota jeho distribúcie symetrický o priemer, t.j. 0). Preto nie je potrebné počítať nižší α/2-kvantil(nazýva sa jednoducho α /2-kvantil), pretože je to rovné horné α/2-kvantil so znamienkom mínus.
Pripomeňme si, že bez ohľadu na tvar rozdelenia x, zodpovedajúca náhodná premenná X porov distribuované približne Dobre N(μ;σ 2 /n) (pozri článok o). Preto vo všeobecnosti vyššie uvedený výraz pre interval spoľahlivosti je len približný. Ak je x rozdelené cez normálny zákon N(μ;σ 2 /n), potom výraz pre interval spoľahlivosti je presný.
Výpočet intervalu spoľahlivosti v MS EXCEL
Poďme vyriešiť problém.
Čas odozvy elektronického komponentu na vstupný signál je dôležitou charakteristikou zariadenia. Technik chce vykresliť interval spoľahlivosti pre priemerný čas odozvy na úrovni spoľahlivosti 95 %. Z predchádzajúcich skúseností inžinier vie, že štandardná odchýlka času odozvy je 8 ms. Je známe, že inžinier vykonal 25 meraní, aby odhadol čas odozvy, priemerná hodnota bola 78 ms.
Riešenie: Inžinier chce poznať čas odozvy elektronického zariadenia, ale chápe, že čas odozvy nie je pevný, ale náhodná premenná, ktorá má svoje vlastné rozdelenie. Takže najlepšie, v čo môže dúfať, je určiť parametre a tvar tohto rozdelenia.
Bohužiaľ, zo stavu problému nepoznáme formu rozloženia doby odozvy (nemusí byť normálne). , táto distribúcia je tiež neznáma. Len on je známy smerodajná odchýlka a = 8. Preto zatiaľ nevieme vypočítať pravdepodobnosti a konštruovať interval spoľahlivosti.
Hoci však distribúciu nepoznáme čas samostatná odpoveď, vieme, že podľa CPT, distribúcia vzoriek priemerný čas odozvy je približne normálne(predpokladáme, že podmienky CPT sa vykonávajú, pretože veľkosť vzorky dostatočne veľké (n=25)) .
navyše priemer toto rozdelenie sa rovná stredná hodnota distribúcie odozvy jednotiek, t.j. μ. A smerodajná odchýlka tohto rozdelenia (σ/√n) možno vypočítať pomocou vzorca =8/ROOT(25) .
Je tiež známe, že inžinier dostal bodový odhad parameter μ rovný 78 ms (X cf). Preto teraz môžeme vypočítať pravdepodobnosti, pretože poznáme formu distribúcie ( normálne) a jeho parametre (Х ср a σ/√n).
Inžinier chce vedieť očakávaná hodnotaμ distribúcie času odozvy. Ako je uvedené vyššie, toto μ sa rovná očakávanie distribúcie vzorky priemerného času odozvy. Ak použijeme normálne rozdelenie N(X cf; σ/√n), potom bude požadované μ v rozsahu +/-2*σ/√n s pravdepodobnosťou približne 95 %.
Úroveň významnosti sa rovná 1-0,95=0,05.
Nakoniec nájdite ľavý a pravý okraj interval spoľahlivosti.
Ľavý okraj: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) =
74,864
Pravý okraj: \u003d 78 + NORM. ST. OBR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81,136
Ľavý okraj: =NORM.INV(0,05/2; 78; 8/SQRT(25))
Pravý okraj: =NORM.INV(1-0,05/2; 78, 8/SQRT(25))
Odpoveď: interval spoľahlivosti pri 95 % hladina spoľahlivosti a σ=8ms rovná sa 78+/-3,136 ms
IN príklad súboru na hárku Sigma známy vytvoril formulár na výpočet a konštrukciu bilaterálne interval spoľahlivosti za svojvoľné vzorky s daným σ a úroveň významnosti.
Funkcia CONFIDENCE.NORM().
Ak hodnoty vzorky sú v rozsahu B20:B79
, A úroveň významnosti rovná 0,05; potom vzorec MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE(0,05;σ; COUNT(B20:B79))
vráti ľavý okraj interval spoľahlivosti.
Rovnakú hranicu možno vypočítať pomocou vzorca:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))
Poznámka: Funkcia TRUST.NORM() sa objavila v MS EXCEL 2010. Staršie verzie MS EXCEL používali funkciu TRUST().
Interval spoľahlivosti pre matematické očakávania - ide o taký interval vypočítaný z údajov, ktorý so známou pravdepodobnosťou obsahuje matematické očakávanie bežnej populácie. Prirodzeným odhadom matematického očakávania je aritmetický priemer jeho pozorovaných hodnôt. Preto budeme ďalej počas hodiny používať pojmy „priemer“, „priemerná hodnota“. V úlohách výpočtu intervalu spoľahlivosti sa najčastejšie vyžaduje odpoveď „Interval spoľahlivosti priemerného čísla [hodnota v konkrétnom probléme] je od [nižšia hodnota] po [vyššia hodnota]“. Pomocou intervalu spoľahlivosti je možné vyhodnotiť nielen priemerné hodnoty, ale aj podiel jedného alebo druhého znaku všeobecnej populácie. V lekcii sú analyzované stredné hodnoty, rozptyl, smerodajná odchýlka a chyba, cez ktoré sa dostaneme k novým definíciám a vzorcom. Charakteristika vzorky a populácie .
Bodové a intervalové odhady priemeru
Ak sa stredná hodnota všeobecnej populácie odhaduje číslom (bodom), potom sa za odhad neznámeho priemeru všeobecnej populácie berie špecifický priemer vypočítaný zo vzorky pozorovaní. V tomto prípade sa hodnota výberového priemeru – náhodná premenná – nezhoduje so strednou hodnotou všeobecnej populácie. Preto pri uvádzaní strednej hodnoty vzorky je potrebné súčasne uviesť aj výberovú chybu. Štandardná chyba sa používa ako miera vzorkovacej chyby, ktorá je vyjadrená v rovnakých jednotkách ako priemer. Preto sa často používa tento zápis: .
Ak sa vyžaduje, aby bol odhad priemeru spojený s určitou pravdepodobnosťou, potom sa parameter všeobecnej záujmovej populácie musí odhadnúť nie jedným číslom, ale intervalom. Interval spoľahlivosti je interval, v ktorom s určitou pravdepodobnosťou P zistí sa hodnota odhadovaného ukazovateľa bežnej populácie. Interval spoľahlivosti, v ktorom s pravdepodobnosťou P = 1 - α je náhodná premenná, vypočíta sa takto:
,
α = 1 - P, ktorý nájdete v prílohe takmer každej knihy o štatistike.
V praxi nie je známy priemer a rozptyl populácie, takže rozptyl populácie je nahradený rozptylom vzorky a priemer populácie priemerom vzorky. Interval spoľahlivosti sa teda vo väčšine prípadov vypočíta takto:
.
Vzorec intervalu spoľahlivosti možno použiť na odhad priemernej hodnoty populácie, ak
- štandardná odchýlka všeobecnej populácie je známa;
- alebo štandardná odchýlka populácie nie je známa, ale veľkosť vzorky je väčšia ako 30.
Priemer vzorky je nezaujatý odhad priemeru populácie. Na druhej strane, rozptyl vzorky 
nie je nezaujatým odhadom rozptylu populácie . Na získanie nestranného odhadu rozptylu populácie vo vzorci rozptylu vzorky je veľkosť vzorky n by mal byť nahradený n-1.
Príklad 1 Zo 100 náhodne vybraných kaviarní v určitom meste sa zbierajú informácie, že priemerný počet zamestnancov v nich je 10,5 so štandardnou odchýlkou 4,6. Určte interval spoľahlivosti 95 % počtu zamestnancov kaviarne.
kde je kritická hodnota štandardného normálneho rozdelenia pre hladinu významnosti α = 0,05 .
95 % interval spoľahlivosti pre priemerný počet zamestnancov kaviarní bol teda medzi 9,6 a 11,4.
Príklad 2 Pre náhodnú vzorku zo všeobecnej populácie 64 pozorovaní boli vypočítané tieto celkové hodnoty:
súčet hodnôt v pozorovaniach,
súčet štvorcových odchýlok hodnôt od priemeru 
.
Vypočítajte 95 % interval spoľahlivosti pre očakávanú hodnotu.
vypočítajte štandardnú odchýlku:
,
vypočítajte priemernú hodnotu:
.
Interval spoľahlivosti nahraďte hodnotami vo výraze:
kde je kritická hodnota štandardného normálneho rozdelenia pre hladinu významnosti α = 0,05 .
Dostaneme:
95 % interval spoľahlivosti pre matematické očakávanie tejto vzorky sa teda pohyboval od 7,484 do 11,266.
Príklad 3 Pre náhodnú vzorku zo všeobecnej populácie 100 pozorovaní bola vypočítaná stredná hodnota 15,2 a štandardná odchýlka 3,2. Vypočítajte 95 % interval spoľahlivosti pre očakávanú hodnotu a potom 99 % interval spoľahlivosti. Ak výkon vzorky a jej variácie zostanú rovnaké, ale faktor spoľahlivosti sa zvýši, bude sa interval spoľahlivosti zužovať alebo rozširovať?
Tieto hodnoty dosadíme do výrazu pre interval spoľahlivosti:
kde je kritická hodnota štandardného normálneho rozdelenia pre hladinu významnosti α = 0,05 .
Dostaneme:
.
95 % interval spoľahlivosti pre priemer tejto vzorky bol teda od 14,57 do 15,82.
Opäť dosadíme tieto hodnoty do výrazu pre interval spoľahlivosti:
kde je kritická hodnota štandardného normálneho rozdelenia pre hladinu významnosti α = 0,01 .
Dostaneme:
.
99 % interval spoľahlivosti pre priemer tejto vzorky bol teda od 14,37 do 16,02.
Ako vidíte, so zvyšujúcim sa faktorom spoľahlivosti sa zvyšuje aj kritická hodnota štandardného normálneho rozdelenia, a preto sú začiatočné a koncové body intervalu umiestnené ďalej od priemeru, a teda intervalu spoľahlivosti pre matematické očakávania. zvyšuje.
Bodové a intervalové odhady špecifickej hmotnosti
Podiel niektorého znaku vzorky možno interpretovať ako bodový odhad podielu p rovnaká vlastnosť v bežnej populácii. Ak je potrebné túto hodnotu spájať s pravdepodobnosťou, potom by sa mal vypočítať interval spoľahlivosti špecifickej hmotnosti p v bežnej populácii s pravdepodobnosťou P = 1 - α :
.
Príklad 4 V určitom meste sú dvaja kandidáti A A B kandidovať na primátora. Náhodne opýtaných bolo 200 obyvateľov mesta, z ktorých 46 % odpovedalo, že by volili kandidáta A, 26 % - pre kandidáta B a 28 % nevie, koho budú voliť. Určte 95 % interval spoľahlivosti pre podiel obyvateľov mesta, ktorí podporujú kandidáta A.
Interval spoľahlivosti sú hraničné hodnoty štatistickej veličiny, ktoré sa pri danej spoľahlivosti γ budú nachádzať v tomto intervale pri väčšej veľkosti vzorky. Označuje sa ako P(θ - ε . V praxi sa pravdepodobnosť spoľahlivosti γ vyberá z hodnôt γ = 0,9 , γ = 0,95 , γ = 0,99 dostatočne blízkych jednotke.Pridelenie služby. Táto služba definuje:
- interval spoľahlivosti pre všeobecný priemer, interval spoľahlivosti pre rozptyl;
- interval spoľahlivosti pre štandardnú odchýlku, interval spoľahlivosti pre všeobecný zlomok;
Príklad #1. Na JZD bolo z celkového stáda 1000 oviec 100 oviec podrobených selektívnemu kontrolnému strihaniu. V dôsledku toho sa stanovilo priemerné strihanie vlny 4,2 kg na ovcu. Určte s pravdepodobnosťou 0,99 smerodajnú chybu vzorky pri určovaní priemerného strihu vlny na ovcu a hranice, v ktorých leží hodnota strihu, ak je rozptyl 2,5. Vzorka sa neopakuje.
Príklad č. 2. Zo šarže dovezených výrobkov na pošte Moskovskej severnej colnice bolo odobratých 20 vzoriek produktu „A“ v poradí náhodného prevzorkovania. Výsledkom kontroly bol stanovený priemerný obsah vlhkosti produktu „A“ vo vzorke, ktorý sa ukázal ako 6 % so štandardnou odchýlkou 1 %.
Určte s pravdepodobnosťou 0,683 limity priemerného obsahu vlhkosti výrobku v celej šarži dovážaných výrobkov.
Príklad č. 3. Prieskum medzi 36 študentmi ukázal, že priemerný počet nimi prečítaných učebníc za akademický rok vyšiel na 6. Za predpokladu, že počet prečítaných učebníc študentom za semester má zákon normálneho rozdelenia so štandardnou odchýlkou rovnajúcou sa 6, nájdite : A) so spoľahlivosťou 0,99 intervalového odhadu pre matematické očakávanie tejto náhodnej premennej; B) s akou pravdepodobnosťou možno tvrdiť, že priemerný počet prečítaných učebníc študentom za semester, vypočítaný pre túto vzorku, sa v absolútnej hodnote odchyľuje od matematického očakávania najviac o 2.
Klasifikácia intervalov spoľahlivosti
Podľa typu hodnoteného parametra:
Podľa typu vzorky:
- Interval spoľahlivosti pre nekonečné vzorkovanie;
- Interval spoľahlivosti pre konečnú vzorku;
Výpočet strednej výberovej chyby pre náhodný výber
Nesúlad medzi hodnotami ukazovateľov získanými zo vzorky a zodpovedajúcimi parametrami všeobecnej populácie sa nazýva chyba reprezentatívnosti.Označenia hlavných parametrov všeobecnej a výberovej populácie.
| Vzorce vzorcov pre priemernú chybu | |||
| opätovný výber | neopakovateľný výber | ||
| pre stred | na zdieľanie | pre stred | na zdieľanie |
 |
|||
Vzorce na výpočet veľkosti vzorky pomocou vhodnej metódy náhodného výberu
Nech CB X tvorí všeobecnú populáciu a β je neznámy parameter CB X. Ak je štatistický odhad v * konzistentný, potom čím väčšia je veľkosť vzorky, tým presnejšia je hodnota β. V praxi však nemáme príliš veľké vzorky, takže nemôžeme zaručiť väčšiu presnosť.
Nech s* je štatistický odhad pre s. Množstvo |v* - v| sa nazýva presnosť odhadu. Je jasné, že presnosť je CB, pretože s* je náhodná premenná. Nastavíme malé kladné číslo 8 a vyžadujeme presnosť odhadu |in* - in| bolo menej ako 8, t.j. | v* - v |< 8.
Spoľahlivosť g alebo pravdepodobnosť spoľahlivosti odhadu v by in * je pravdepodobnosť g, s ktorou nerovnosť |in * - in|< 8, т. е.
Spoľahlivosť g je zvyčajne nastavená vopred a pre g má číslo blízke 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).
Pretože nerovnosť |v * - v|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:
Interval (v * - 8, v * + 5) sa nazýva interval spoľahlivosti, t. j. interval spoľahlivosti pokrýva neznámy parameter s pravdepodobnosťou y. Všimnite si, že konce intervalu spoľahlivosti sú náhodné a líšia sa od vzorky k vzorke, takže je presnejšie povedať, že interval (pri * - 8, pri * + 8) pokrýva neznámy parameter β a nie β patrí do tohto intervalu. .
Nech je všeobecná populácia daná náhodnou premennou X, rozdelenou podľa normálneho zákona, navyše je známa smerodajná odchýlka a. Matematické očakávanie a = M (X) nie je známe. Je potrebné nájsť interval spoľahlivosti pre a pre danú spoľahlivosť y.
Ukážkový priemer
je štatistický odhad pre xr = a.
Veta. Náhodná premenná xB má normálne rozdelenie, ak X má normálne rozdelenie a M(XB) = a,
A (XB) \u003d a, kde a \u003d y / B (X), a \u003d M (X). l/i
Interval spoľahlivosti pre a má tvar:
Nájdeme 8.
Použitie vzťahu
kde Ф(г) je Laplaceova funkcia, máme:
P ( | XB - a |<8} = 2Ф
nájdeme hodnotu t v tabuľke hodnôt Laplaceovej funkcie.
Označenie
T, dostaneme F(t) = g
Z rovnosti Nájsť - presnosť odhadu.
Interval spoľahlivosti pre a má teda tvar:
Ak je poskytnutá vzorka zo všeobecnej populácie X
| ng | do" | X2 | xm |
| n. | n1 | n2 | nm |
n = U1 + ... + nm, potom bude interval spoľahlivosti:
Príklad 6.35. Nájdite interval spoľahlivosti pre odhad očakávania a normálneho rozdelenia so spoľahlivosťou 0,95, pričom poznáte priemer vzorky Xb = 10,43, veľkosť vzorky n = 100 a štandardnú odchýlku s = 5.
Použime vzorec
