Ako vypočítať plochu rovnobežnostena. Bočný povrch rôznych pyramíd

Pri príprave na skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje vedomosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných plôch až po celú plochu. Ak je situácia jasná s bočnými plochami, pretože sú to trojuholníky, základňa je vždy iná.

Čo robiť pri hľadaní oblasti základne pyramídy?

Môže to byť úplne akýkoľvek obrázok: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nesprávna. V úlohách USE, ktoré zaujímajú školákov, sú na základni iba úlohy so správnymi figúrkami. Preto budeme hovoriť iba o nich.

správny trojuholník

To je rovnostranné. Taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a označuje sa písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:

S = (a 2 * √3) / 4.

Námestie

Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší, tu je "a" opäť strana:

Ľubovoľný pravidelný n-uholník

Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet rohov sa používa latinské písmeno n.

S = (n*a2)/(4*tg (180°/n)).

Ako postupovať pri výpočte bočnej a celkovej plochy?

Keďže základňa je pravidelná postava, všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, aby ste mohli vypočítať bočnú plochu pyramídy, potrebujete vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomiálov. Počet členov je určený počtom strán základne.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre bočný povrch je:

S \u003d ½ P * A, kde P je obvod základne pyramídy.

Sú situácie, keď strany základne nie sú známe, ale sú dané bočné hrany (c) a plochý uhol v jej vrchole (α). Potom sa má použiť takýto vzorec na výpočet bočnej plochy pyramídy:

S = n/2 * v 2 sin α .

Úloha č.1

Podmienka. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa leží na strane 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Riešenie. Musíte začať výpočtom obvodu základne. Keďže ide o pravidelný trojuholník, potom P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Keďže apotém je známy, môžete okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pre trojuholník na základni sa získa nasledujúca hodnota plochy: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Ak chcete určiť celú plochu, budete musieť pridať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpoveď. 10√3 cm2.

Úloha č. 2

Podmienka. Je tu pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžka strany základne je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Musíte poznať jeho povrch.

Riešenie. Pretože mnohosten je štvoruholníkový a pravidelný, jeho základňou je štvorec. Po naučení plôch základne a bočných plôch bude možné vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A na bočných stranách sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k tomuto číslu: 49 mm 2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžete vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existujú iba štyri takéto trojuholníky, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.

Ukázalo sa: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odpoveď. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úloha č. 3

Podmienka. Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. V ňom je strana štvorca 6 cm a výška 4 cm.

Riešenie. Najjednoduchšie je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhý je trochu náročnejší.

Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť, že je tvorená výškou pyramídy a apotémom, čo je prepona. Druhá noha sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu spadá do jeho stredu.

Požadovaná apotéma (prepona pravouhlého trojuholníka) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odpoveď. 96 cm2.

Úloha č. 4

Podmienka. Správna strana jeho základne je 22 mm, bočné rebrá sú 61 mm. Aká je plocha bočného povrchu tohto mnohostenu?

Riešenie.Úvaha v nej je rovnaká ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.

V prvom rade sa plocha základne vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca: (6 * 22 2) / (4 * tg (180 ° / 6)) \u003d 726 / (tg30 °) \u003d 726 ° 3 cm 2.

Teraz musíte zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, ktorý je bočnou stenou. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Zostáva vypočítať plochu každého takého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca a potom ho vynásobiť šiestimi a pridať k tomu, ktorý sa ukázal pre základňu.

Výpočty pomocou Heronovho vzorca: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Zostáva ich spočítať, aby ste zistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpoveď. Základňa - 726√3 cm 2, bočná plocha - 3960 cm 2, celá plocha - 5217 cm 2.

Valec je postava pozostávajúca z valcovej plochy a dvoch paralelne usporiadaných kruhov. Výpočet plochy valca je problém v geometrickom odvetví matematiky, ktorý je vyriešený celkom jednoducho. Existuje niekoľko metód na jeho riešenie, ktoré vo výsledku vždy vychádzajú z jedného vzorca.

Ako nájsť plochu valca - pravidlá výpočtu

• Ak chcete zistiť plochu valca, musíte pridať dve základné oblasti s plochou bočného povrchu: S \u003d S strana. + 2 S hlavná. V podrobnejšej verzii tento vzorec vyzerá takto: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočný povrch daného geometrického telesa možno vypočítať, ak je známa jeho výška a polomer kruhu pod základňou. V tomto prípade môžete polomer vyjadriť z obvodu, ak je daný. Výšku možno nájsť, ak je v podmienke špecifikovaná hodnota generatrix. V tomto prípade sa tvoriaca čiara bude rovnať výške. Vzorec pre bočný povrch daného telesa vyzerá takto: S= 2 π rh.
• Plocha základne sa vypočíta podľa vzorca na nájdenie plochy kruhu: S osn= π r 2 . Pri niektorých problémoch nemusí byť daný polomer, ale je daný obvod. Pomocou tohto vzorca je polomer vyjadrený pomerne jednoducho. С=2π r, r= С/2π. Treba tiež pamätať na to, že polomer je polovica priemeru.
• Pri vykonávaní všetkých týchto výpočtov sa číslo π zvyčajne neprekladá na 3,14159 ... Stačí ho pridať vedľa číselnej hodnoty, ktorá bola získaná ako výsledok výpočtov.
• Ďalej je potrebné iba vynásobiť nájdenú plochu základne 2 a k výslednému číslu pridať vypočítanú plochu bočného povrchu obrázku.
• Ak problém naznačuje, že valec má axiálny prierez a toto je obdĺžnik, riešenie bude mierne odlišné. V tomto prípade bude šírka obdĺžnika priemer kruhu, ktorý leží na spodnej časti tela. Dĺžka obrázku sa bude rovnať tvoriacej čiare alebo výške valca. Je potrebné vypočítať požadované hodnoty a nahradiť ich v už známom vzorci. V tomto prípade musí byť šírka obdĺžnika rozdelená na dve, aby sa našla plocha základne. Na nájdenie bočného povrchu sa dĺžka vynásobí dvoma polomermi a číslom π.
• Môžete vypočítať plochu daného geometrického telesa prostredníctvom jeho objemu. K tomu je potrebné odvodiť chýbajúcu hodnotu zo vzorca V=π r 2 h.
• Pri výpočte plochy valca nie je nič ťažké. Stačí poznať vzorce a vedieť z nich odvodiť množstvá potrebné na výpočty.

Povrchová plocha pyramídy. V tomto článku s vami zvážime problémy s bežnými pyramídami. Pripomínam, že pravidelná pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník, vrchol pyramídy sa premieta do stredu tohto mnohouholníka.

Bočná strana takejto pyramídy je rovnoramenný trojuholník.Výška tohto trojuholníka, nakresleného z vrcholu pravidelnej pyramídy, sa nazýva apotém, SF je apotém:

V nižšie uvedenom type problémov je potrebné nájsť plochu celej pyramídy alebo plochu jej bočného povrchu. Blog sa už zaoberal niekoľkými problémami s pravidelnými pyramídami, kde bola nastolená otázka o hľadaní prvkov (výška, hrana základne, bočná hrana), .

V úlohách skúšky sa spravidla berú do úvahy pravidelné trojuholníkové, štvoruholníkové a šesťuholníkové pyramídy. Nevidel som problémy s pravidelnými päťuholníkovými a sedemhrannými pyramídami.

Vzorec pre plochu celého povrchu je jednoduchý - musíte nájsť súčet plochy základne pyramídy a plochy jej bočného povrchu:

Zvážte úlohy:

Strany základne pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy sú 72, bočné hrany sú 164. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.

Plocha pyramídy sa rovná súčtu plôch bočnej plochy a základne:

*Bočná plocha pozostáva zo štyroch trojuholníkov rovnakej plochy. Základňa pyramídy je štvorec.

Plochu strany pyramídy je možné vypočítať pomocou:

Plocha pyramídy je teda:

Odpoveď: 28224

Strany základne pravidelnej šesťhrannej pyramídy sú 22, bočné hrany sú 61. Nájdite plochu bočného povrchu tejto pyramídy.

Základom pravidelného šesťhranného ihlana je pravidelný šesťuholník.

Bočný povrch tejto pyramídy pozostáva zo šiestich oblastí rovnakých trojuholníkov so stranami 61,61 a 22:

Nájdite obsah trojuholníka pomocou Heronovho vzorca:

Takže plocha bočného povrchu je:

Odpoveď: 3240

*V problémoch uvedených vyššie je možné nájsť oblasť bočnej plochy pomocou iného trojuholníkového vzorca, ale na to musíte vypočítať apotém.

27155. Nájdite povrch pravidelnej štvorhrannej pyramídy, ktorej strany základne sú 6 a výška je 4.

Aby sme našli plochu pyramídy, potrebujeme poznať plochu základne a plochu bočnej plochy:

Plocha základne je 36, pretože ide o štvorec so stranou 6.

Bočná plocha pozostáva zo štyroch plôch, ktoré sú rovnakými trojuholníkmi. Aby ste našli oblasť takéhoto trojuholníka, musíte poznať jeho základňu a výšku (apotém):

* Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu základne a výšky k tejto základni.

Základ je známy, rovná sa šiestim. Nájdeme výšku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený žltou farbou):

Jedna noha sa rovná 4, pretože toto je výška pyramídy, druhá sa rovná 3, pretože sa rovná polovici okraja základne. Preponu môžeme nájsť pomocou Pytagorovej vety:

Takže plocha bočného povrchu pyramídy je:

Plocha celej pyramídy je teda:

odpoveď: 96

27069. Strany podstavy pravidelnej štvorhrannej pyramídy sú 10, bočné hrany 13. Nájdite plochu tejto pyramídy.

27070. Strany základne pravidelného šesťuholníkového ihlana sú 10, bočné hrany sú 13. Nájdite plochu bočného povrchu tohto ihlana.

Existujú aj vzorce pre bočný povrch pravidelnej pyramídy. V pravidelnej pyramíde je základňa ortogonálnym priemetom bočného povrchu, preto:

P- obvod základne, l- apotéma pyramídy

*Tento vzorec je založený na vzorci pre oblasť trojuholníka.

Ak sa chcete dozvedieť viac o tom, ako sú tieto vzorce odvodené, nenechajte si to ujsť, sledujte publikovanie článkov.To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Valec je geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou. V článku si povieme, ako nájsť plochu valca a pomocou vzorca vyriešime napríklad niekoľko problémov.

Valec má tri povrchy: horný, spodný a bočný povrch.

Horná a spodná časť valca sú kruhy a dajú sa ľahko identifikovať.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná πr 2 . Preto vzorec pre oblasť dvoch kruhov (horná a spodná časť valca) bude vyzerať ako πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Tretí, bočný povrch valca, je zakrivená stena valca. Aby sme tento povrch lepšie reprezentovali, skúsme ho transformovať, aby získal rozpoznateľný tvar. Predstavte si, že valec je obyčajná plechová dóza, ktorá nemá vrchné veko a spodok. Urobme zvislý rez na bočnej stene od vrchu po spodok banky (krok 1 na obrázku) a pokúsme sa čo najviac otvoriť (narovnať) výslednú figúru (krok 2).

Po úplnom odhalení výslednej nádoby uvidíme známy obrázok (krok 3), toto je obdĺžnik. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať. Ešte predtým sa však na chvíľu vráťme k pôvodnému valcu. Vrchol pôvodného valca je kruh a vieme, že obvod kruhu sa vypočíta podľa vzorca: L = 2πr. Na obrázku je označený červenou farbou.

Keď je bočná stena valca úplne roztiahnutá, vidíme, že obvod sa stáva dĺžkou výsledného obdĺžnika. Stranami tohto obdĺžnika bude obvod (L = 2πr) a výška valca (h). Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán - S = dĺžka x šírka = L x h = 2πr x h = 2πrh. V dôsledku toho sme získali vzorec na výpočet bočného povrchu valca.

Vzorec pre oblasť bočného povrchu valca
S strana = 2ph

Celá plocha valca

Nakoniec, ak spočítame plochu všetkých troch plôch, dostaneme vzorec pre celkovú plochu valca. Plocha povrchu valca sa rovná ploche hornej časti valca + plocha základne valca + plocha bočného povrchu valca alebo S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Niekedy je tento výraz napísaný identickým vzorcom 2πr (r + h).

Vzorec pre celkový povrch valca
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r je polomer valca, h je výška valca

Príklady výpočtu povrchovej plochy valca

Aby sme pochopili vyššie uvedené vzorce, skúsme vypočítať povrch valca pomocou príkladov.

1. Polomer základne valca je 2, výška je 3. Určte plochu bočného povrchu valca.

Celková plocha sa vypočíta podľa vzorca: strana S. = 2ph

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočný povrch valca je 37,68.

2. Ako nájsť povrch valca, ak je výška 4 a polomer 6?

Celkový povrch sa vypočíta podľa vzorca: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Toto je mnohostenná postava, na ktorej základni leží mnohouholník a zvyšné plochy sú znázornené trojuholníkmi so spoločným vrcholom.

Ak je základňa štvorec, potom sa nazýva pyramída štvoruholníkový, ak je trojuholník trojuholníkový. Výška pyramídy je nakreslená z jej vrcholu kolmo na základňu. Používa sa aj na výpočet plochy apotéma je výška bočnej plochy zníženej od jej vrcholu.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch, ktoré sú si navzájom rovné. Tento spôsob výpočtu sa však používa veľmi zriedkavo. V podstate sa plocha pyramídy počíta cez obvod základne a apotému:

Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.

Nech je daná pyramída so základňou ABCDE a vrcholom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotéma a = 5 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Nájdeme obvod. Pretože všetky plochy základne sú rovnaké, obvod päťuholníka sa bude rovnať:
Teraz môžete nájsť bočnú oblasť pyramídy:

Plocha pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo základne, v ktorej leží pravidelný trojuholník, a troch bočných plôch, ktoré majú rovnakú plochu.
Vzorec pre bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy možno vypočítať mnohými spôsobmi. Môžete použiť obvyklý vzorec na výpočet cez obvod a apotém, alebo môžete nájsť oblasť svojej tváre a vynásobiť ju tromi. Pretože tvár pyramídy je trojuholník, použijeme vzorec pre oblasť trojuholníka. Bude to vyžadovať apotém a dĺžku základne. Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.

Daná pyramída s apotémou a = 4 cm a základnou plochou b = 2 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Najprv nájdite oblasť jednej z bočných plôch. V tomto prípade to bude:
Nahraďte hodnoty vo vzorci:
Pretože v bežnej pyramíde sú všetky strany rovnaké, plocha bočného povrchu pyramídy sa bude rovnať súčtu plôch troch plôch. Respektíve:

Oblasť zrezanej pyramídy

skrátený Pyramída je mnohosten tvorený ihlanom a jeho rezom rovnobežným so základňou.
Vzorec pre bočnú plochu zrezanej pyramídy je veľmi jednoduchý. Plocha sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému: