Vzorec pre objem pyramídy z hľadiska trojstenného uhla. Vzorce pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Jednou z najjednoduchších objemových figúrok je trojuholníková pyramída, pretože pozostáva z najmenšieho počtu plôch, z ktorých možno v priestore vytvoriť postavu. V tomto článku zvážime vzorce, pomocou ktorých môžete nájsť objem trojuholníkovej pravidelnej pyramídy.

trojuholníková pyramída

Podľa všeobecnej definície je pyramída mnohouholník, ktorého všetky vrcholy sú spojené s jedným bodom, ktorý sa nenachádza v rovine tohto mnohouholníka. Ak je to trojuholník, potom sa celá postava nazýva trojuholníková pyramída.

Uvažovaná pyramída pozostáva zo základne (trojuholníka) a troch bočných plôch (trojuholníkov). Bod, v ktorom sú tri bočné plochy spojené, sa nazýva vrchol obrázku. Kolmica spustená k základni z tohto vrcholu je výška pyramídy. Ak sa priesečník kolmice so základňou zhoduje s priesečníkom stredníc trojuholníka na základni, potom hovoria o pravidelnej pyramíde. V opačnom prípade bude šikmá.

Ako už bolo povedané, základňa trojuholníkovej pyramídy môže byť všeobecný trojuholník. Ak je však rovnostranná a samotná pyramída je rovná, potom hovoria o správnej trojrozmernej postave.

Každý má 4 plochy, 6 hrán a 4 vrcholy. Ak sú dĺžky všetkých hrán rovnaké, potom sa takýto obrazec nazýva štvorsten.

všeobecný typ

Pred zapísaním pravidelnej trojuholníkovej pyramídy uvedieme výraz pre túto fyzikálnu veličinu pre pyramídu všeobecného typu. Tento výraz vyzerá takto:

Tu S o je plocha základne, h je výška postavy. Táto rovnosť bude platná pre akýkoľvek typ základne pyramídového mnohouholníka, ako aj pre kužeľ. Ak je na základni trojuholník s dĺžkou strany a a výškou h o k nemu zníženou, potom vzorec pre objem bude napísaný takto:

Vzorce pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Trojuholník má na základni rovnostranný trojuholník. Je známe, že výška tohto trojuholníka súvisí s dĺžkou jeho strany podľa rovnosti:

Nahradením tohto výrazu do vzorca pre objem trojuholníkovej pyramídy, napísaného v predchádzajúcom odseku, dostaneme:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2*h.

Objem pravidelnej pyramídy s trojuholníkovou základňou je funkciou dĺžky strany základne a výšky postavy.

Pretože každý pravidelný mnohouholník môže byť vpísaný do kruhu, ktorého polomer jednoznačne určuje dĺžku strany mnohouholníka, potom tento vzorec možno zapísať pomocou zodpovedajúceho polomeru r:

Tento vzorec sa dá ľahko získať z predchádzajúceho, pretože polomer r kružnice opísanej cez dĺžku strany a trojuholníka je určený výrazom:

Úloha určiť objem štvorstenu

Ukážme si, ako použiť vyššie uvedené vzorce pri riešení konkrétnych geometrických problémov.

Je známe, že štvorsten má dĺžku hrany 7 cm Nájdite objem pravidelného trojuholníkového ihlanu-štvorstenu.

Pripomeňme si, že štvorsten je pravidelná trojuholníková pyramída, v ktorej sú všetky základne rovnaké. Ak chcete použiť vzorec pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, musíte vypočítať dve množstvá:

• dĺžka strany trojuholníka;
• výška postavy.

Prvá hodnota je známa zo stavu problému:

Na určenie výšky zvážte obrázok znázornený na obrázku.

Označený trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník, kde uhol ABC je 90o. Strana AC je prepona, ktorej dĺžka je a. Jednoduchým geometrickým uvažovaním možno ukázať, že strana BC má dĺžku:

Všimnite si, že dĺžka BC je polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Teraz môžete nahradiť h a a do zodpovedajúceho vzorca pre objem:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Takto sme získali vzorec pre objem štvorstenu. Je vidieť, že objem závisí len od dĺžky rebra. Ak do výrazu dosadíme hodnotu z podmienky problému, dostaneme odpoveď:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Ak túto hodnotu porovnáme s objemom kocky, ktorá má rovnakú hranu, dostaneme, že objem štvorstenu je 8,5-krát menší. To naznačuje, že štvorsten je kompaktný obrazec, ktorý sa realizuje v niektorých prírodných látkach. Napríklad molekula metánu je tetraedrická a každý atóm uhlíka v diamante je spojený so štyrmi ďalšími atómami, aby vytvorili štvorsten.

Problém s homotetickými pyramídami

Poďme vyriešiť jeden zaujímavý geometrický problém. Predpokladajme, že existuje trojuholníková pravidelná pyramída s určitým objemom V 1 . Koľkokrát by sa mala veľkosť tohto obrazca zmenšiť, aby sa získala homotetická pyramída s objemom trikrát menším ako pôvodný?

Začnime riešiť problém napísaním vzorca pre pôvodnú pravidelnú pyramídu:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Nech objem obrazca požadovaný podmienkou úlohy získame vynásobením jeho parametrov koeficientom k. Máme:

V2 = √3/12*k2*a12*k*h1 = k3*V1.

Keďže pomer objemov obrazcov je známy z podmienky, dostaneme hodnotu koeficientu k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Všimnite si, že podobnú hodnotu koeficientu k by sme získali pre ľubovoľný typ pyramídy, a nie len pre obyčajný trojuholníkový.

Definícia. Bočná tvár- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a jeho opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je rohov v polygóne.

Definícia. výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu na základňu pyramídy.

Definícia. Apothem- toto je kolmica na bočnú stranu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.

Definícia. Správna pyramída- Toto je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom môže byť okolo základne pyramídy opísaný kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).

Ak sú všetky bočné rebrá rovnaké, potom sú naklonené k základnej rovine v rovnakých uhloch.

Bočné rebrá sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak možno okolo základne pyramídy opísať kruh.

Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod jedným uhlom, potom môže byť do základne pyramídy vpísaný kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.

4. Apotémy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.

8. Guľa môže byť vpísaná do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet plochých uhlov na vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie pyramídy s guľou

Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy leží mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.

Guľa môže byť vždy opísaná okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa nazýva vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy rovnaké.

Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.

Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.

Spojenie pyramídy s valcom

O pyramíde sa hovorí, že je vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak môže byť kruh opísaný okolo základne pyramídy.

Definícia. Zrezaná pyramída (pyramídový hranol)- Toto je mnohosten, ktorý sa nachádza medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Pyramída má teda veľkú základňu a menšiu základňu, ktorá je podobná tej väčšej. Bočné plochy sú lichobežníkové.

Definícia. Trojuholníková pyramída (tetrahedron)- je to pyramída, v ktorej sú tri steny a základňa ľubovoľné trojuholníky.

Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojstenný uhol.

Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).

Bimedián sa nazýva segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány v pomere 3: 1 začínajúc zhora.

Definícia. naklonená pyramída je ihlan, v ktorom jedna z hrán zviera tupý uhol (β) so základňou.

Definícia. Obdĺžniková pyramída je pyramída, v ktorej je jedna z bočných plôch kolmá na základňu.

Definícia. Akútna uhlová pyramída je pyramída, v ktorej má apotém viac ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. tupá pyramída je pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. pravidelný štvorstenŠtvorsten, ktorého štyri strany sú rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten nazýva sa štvorsten, ktorý má vo vrchole pravý uhol medzi tromi hranami (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojstenný uhol a plochy sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.

Definícia. Izoedrický štvorsten Nazýva sa štvorsten, v ktorom sú bočné strany rovnaké a základňa je pravidelný trojuholník. Tváre takého štvorstenu sú rovnoramenné trojuholníky.

Definícia. Ortocentrický štvorsten nazýva sa štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.

Definícia. hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.

Definícia. bipyramída- mnohosten pozostávajúci z dvoch rôznych pyramíd (pyramídy môžu byť aj odrezané), ktoré majú spoločnú základňu a vrcholy ležia na opačných stranách základnej roviny.

Ak chcete zistiť objem pyramídy, musíte poznať niekoľko vzorcov. Zvážme ich.

Ako zistiť objem pyramídy - 1. spôsob

Objem pyramídy možno nájsť pomocou výšky a plochy jej základne. V = 1/3 x S x h. Napríklad, ak je výška pyramídy 10 cm a plocha jej základne je 25 cm 2, potom sa objem bude rovnať V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 2. metóda

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), kde a je strana mnohouholníka ležiaca na základňa a n je počet jej strán. Napríklad: Základňa je pravidelný šesťuholník, teda n = 6. Keďže je pravidelný, všetky jeho strany sú rovnaké, teda všetky a sú rovnaké. Povedzme a = 10 a h - 15. Čísla dosadíme do vzorca a dostaneme približnú odpoveď - 1299 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 3. spôsob

Ak rovnostranný trojuholník leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť podľa nasledujúceho vzorca: V = ha 2 /4√3, kde a je strana rovnostranného trojuholníka. Napríklad: výška pyramídy je 10 cm, strana základne je 5 cm. Objem sa bude rovnať V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Zvyčajne to, čo sa stalo v menovateľ sa nevypočítava a ponecháva sa v rovnakom tvare. Môžete tiež vynásobiť čitateľa aj menovateľa číslom 4√3, aby ste dostali 1000√3/48. Zmenšením dostaneme 125√ 3/6 cm 3.

Ako zistiť objem pyramídy - 4. cesta

Ak štvorec leží na základni pyramídy, potom jeho objem možno zistiť podľa nasledujúceho vzorca: V = 1/3*h*a 2, kde a sú strany štvorca. Napríklad: výška - 5 cm, strana štvorca - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Ako zistiť objem pyramídy - 5. cesta

Ak je pyramída štvorsten, to znamená, že všetky jej strany sú rovnostranné trojuholníky, môžete zistiť objem pyramídy pomocou nasledujúceho vzorca: V = a 3 √2/12, kde a je hrana štvorstenu. Napríklad: hrana štvorstenu \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Slovo „pyramída“ sa nedobrovoľne spája s majestátnymi obrami v Egypte, verne udržiavajúcimi pokoj faraónov. Možno aj preto pyramídu neomylne pozná každý, dokonca aj deti.

Skúsme mu však dať geometrickú definíciu. Predstavme si niekoľko bodov (A1, A2,..., An) na rovine a ešte jeden (E), ktorý do nej nepatrí. Ak je teda bod E (vrchol) spojený s vrcholmi mnohouholníka tvoreného bodmi A1, A2, ..., An (základňa), dostaneme mnohosten, ktorý sa nazýva pyramída. Je zrejmé, že mnohouholník na základni pyramídy môže mať ľubovoľný počet vrcholov a v závislosti od ich počtu môže byť pyramída nazývaná trojuholníková a štvoruholníková, päťuholníková atď.

Pri pozornom pohľade na pyramídu bude jasné, prečo je tiež definovaná inak - ako geometrický útvar s mnohouholníkom na základni a trojuholníky spojené spoločným vrcholom ako bočné steny.

Keďže pyramída je priestorový útvar, má aj takú kvantitatívnu charakteristiku, keďže sa vypočítava zo známej rovnej tretiny súčinu podstavy pyramídy a jej výšky:

Objem pyramídy sa pri odvodzovaní vzorca spočiatku vypočíta pre trojuholníkový, pričom sa za základ berie konštantný pomer týkajúci sa tejto hodnoty k objemu trojuholníkového hranolu s rovnakou základňou a výškou, ktorý, ako sa ukázalo, je trikrát väčší ako tento objem.

A keďže každá pyramída je rozdelená na trojuholníkové a jej objem nezávisí od konštrukcií vykonaných v dôkaze, platnosť vyššie uvedeného objemového vzorca je zrejmá.

Medzi všetkými pyramídami sú tie správne, v ktorých leží základňa, ktorá by mala „končiť“ v strede základne.

V prípade nepravidelného mnohouholníka na základni budete na výpočet plochy základne potrebovať:

• rozdeľte ho na trojuholníky a štvorce;

• vypočítajte plochu každého z nich;

• pridajte prijaté údaje.

V prípade pravidelného mnohouholníka na základni pyramídy sa jeho plocha vypočíta pomocou hotových vzorcov, takže objem pravidelnej pyramídy sa vypočíta veľmi jednoducho.

Napríklad na výpočet objemu štvorhrannej pyramídy, ak je pravidelná, sa dĺžka strany pravidelného štvoruholníka (štvorca) v základni umocní na druhú a vynásobením výškou pyramídy sa výsledný produkt vydelí tri.

Objem pyramídy možno vypočítať pomocou ďalších parametrov:

• ako tretina súčinu polomeru gule vpísanej do pyramídy a plochy jej celkového povrchu;

• ako dve tretiny súčinu vzdialenosti medzi dvoma ľubovoľne vybratými krížiacimi sa hranami a plochou rovnobežníka, ktorý tvorí stredy zvyšných štyroch hrán.

Objem pyramídy sa jednoducho vypočíta aj v prípade, keď sa jej výška zhoduje s jednou z bočných hrán, teda v prípade pravouhlej pyramídy.

Keď už hovoríme o pyramídach, nemožno ignorovať skrátené pyramídy získané rezom pyramídy rovinou rovnobežnou so základňou. Ich objem sa takmer rovná rozdielu medzi objemami celej pyramídy a odrezaného vrcholu.

Prvý objem pyramídy, aj keď nie celkom v modernej podobe, ale rovnal sa 1/3 objemu nám známeho hranola, našiel Demokritos. Archimedes nazval svoju metódu počítania „bez dôkazu“, pretože Demokritos sa k pyramíde priblížil ako postava zložená z nekonečne tenkých, podobných dosiek.

Vektorová algebra sa tiež „zaoberala“ otázkou nájdenia objemu pyramídy pomocou súradníc jej vrcholov. Pyramída postavená na trojici vektorov a,b,c sa rovná jednej šestine modulu zmiešaného súčinu daných vektorov.

Tu budeme analyzovať príklady súvisiace s pojmom objem. Na vyriešenie takýchto úloh musíte poznať vzorec pre objem pyramídy:

S

h - výška pyramídy

Základňa môže byť ľubovoľný mnohouholník. Vo väčšine úloh na skúške je však podmienkou spravidla správne pyramídy. Dovoľte mi pripomenúť jednu z jeho vlastností:

Vrch pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne

Pozrite sa na projekciu pravidelných trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťhranných pyramíd (POHĽAD ZHOR):

Môžete na blogu, kde sa riešili úlohy súvisiace so zisťovaním objemu pyramídy.Zvážte úlohy:

27087. Nájdite objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 1 a výška sa rovná odmocnine troch.

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Nájdite oblasť základne pyramídy, je to pravidelný trojuholník. Používame vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Odpoveď: 0,25

27088. Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy so stranami základne rovnými 2 a objemom rovným odmocnine z troch.

Pojmy ako výška pyramídy a charakteristiky jej základne sú spojené objemovým vzorcom:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme samotný objem, môžeme nájsť oblasť základne, pretože strany trojuholníka, ktorý je základňou, sú známe. Keď poznáme tieto hodnoty, výšku ľahko zistíme.

Na nájdenie oblasti základne používame vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Nahradením týchto hodnôt do objemového vzorca teda môžeme vypočítať výšku pyramídy:

Výška je tri.

odpoveď: 3

27109. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je výška 6, bočná hrana 10. Nájdite jeho objem.

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme výšku. Musíte nájsť oblasť základne. Pripomínam, že vrchol pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne. Základom pravidelného štvorbokého ihlana je štvorec. Nájdeme jej uhlopriečku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený modrou):

Úsečka spájajúca stred štvorca s bodom B je noha, ktorá sa rovná polovici uhlopriečky štvorca. Túto nohu môžeme vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

Takže BD = 16. Vypočítajte plochu štvorca pomocou štvoruholníkového vzorca:

V dôsledku toho:

Objem pyramídy je teda:

odpoveď: 256

27178. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde je výška 12, objem 200. Nájdite bočnú hranu tejto pyramídy.

Výška pyramídy a jej objem sú známe, takže môžeme nájsť plochu štvorca, ktorá je základňou. Keď poznáme plochu štvorca, môžeme nájsť jeho uhlopriečku. Ďalej, po zvážení pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety vypočítame bočnú hranu:

Nájdite plochu štvorca (základňa pyramídy):

Vypočítajte uhlopriečku štvorca. Keďže jeho plocha je 50, strana sa bude rovnať odmocnine z päťdesiatky a podľa Pytagorovej vety:

Bod O rozdeľuje uhlopriečku BD na polovicu, takže rameno pravouhlého trojuholníka OB = 5.

Môžeme teda vypočítať, čomu sa rovná bočná hrana pyramídy:

odpoveď: 13

245353. Nájdite objem pyramídy znázornenej na obrázku. Jeho základňa je mnohouholník, ktorého priľahlé strany sú kolmé a jedna z bočných hrán je kolmá na rovinu základne a rovná sa 3.

Ako už bolo opakovane povedané - objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Bočná hrana kolmá na základňu je tri, čo znamená, že výška pyramídy je tri. Základňa pyramídy je mnohouholník, ktorého plocha je:

Touto cestou:

odpoveď: 27

27086. Základňa pyramídy je obdĺžnik so stranami 3 a 4. Jej objem je 16. Nájdite výšku tejto pyramídy.