Erori de măsurare. Erori absolute, relative

Eroare de măsurare

Eroare de măsurare- evaluarea abaterii valorii măsurate a unei mărimi de la valoarea ei adevărată. Eroarea de măsurare este o caracteristică (măsură) a preciziei de măsurare.

• Eroare redusă- eroare relativă, exprimată ca raportul dintre eroarea absolută a instrumentului de măsurare și valoarea convențional acceptată a unei mărimi, constantă pe întregul interval de măsurare sau pe o parte a intervalului. Calculat prin formula

Unde X n- valoare de normalizare, care depinde de tipul de scară a dispozitivului de măsurare și este determinată de calibrarea acestuia:

Dacă cântarul instrumentului este unilateral, de ex. atunci limita inferioară de măsurare este zero X n determinat egal cu limita superioară de măsurare;
- dacă scara instrumentului este cu două fețe, atunci valoarea de normalizare este egală cu lățimea domeniului de măsurare al instrumentului.

Eroarea dată este o mărime adimensională (poate fi măsurată ca procent).

Datorita aparitiei

• Erori instrumentale/instrumentale- erori care sunt determinate de erorile instrumentelor de măsură folosite și sunt cauzate de imperfecțiuni ale principiului de funcționare, inexactitatea calibrării scalei și lipsa vizibilității aparatului.
• Erori metodologice- erori datorate imperfecțiunii metodei, precum și simplificărilor care stau la baza metodologiei.
• Erori subiective / operator / personale- erori datorate gradului de atenție, concentrare, pregătire și alte calități ale operatorului.

În tehnologie, instrumentele sunt folosite pentru a măsura numai cu o anumită precizie predeterminată - eroarea principală permisă de normal în condiții normale de funcționare pentru un dispozitiv dat.

Dacă dispozitivul funcționează în alte condiții decât cele normale, atunci apare o eroare suplimentară, crescând eroarea generală a dispozitivului. Erori suplimentare includ: temperatura, cauzată de o abatere a temperaturii ambientale de la normal, instalare, cauzată de o abatere a poziției dispozitivului de la poziția normală de funcționare etc. Temperatura ambientală normală este de 20°C, iar presiunea atmosferică normală este de 01,325 kPa.

O caracteristică generalizată a instrumentelor de măsură este clasa de precizie, determinată de erorile principale și suplimentare maxime admise, precum și de alți parametri care afectează precizia instrumentelor de măsurare; sensul parametrilor este stabilit prin standarde pentru anumite tipuri de instrumente de măsurare. Clasa de precizie a instrumentelor de măsurare caracterizează proprietățile lor de precizie, dar nu este un indicator direct al acurateței măsurătorilor efectuate cu ajutorul acestor instrumente, deoarece acuratețea depinde și de metoda de măsurare și de condițiile de implementare a acestora. Instrumentelor de măsurare, ale căror limite ale erorii de bază admisibile sunt specificate sub forma erorilor de bază (relative) date, li se atribuie clase de precizie selectate dintre următoarele numere: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ; 5,0) 6,0)*10n, unde n = 1; 0; -1; -2 etc.

După natura manifestării

• Eroare aleatorie- eroare care variază (în mărime și semn) de la măsură la măsură. Erorile aleatorii pot fi asociate cu imperfecțiunea instrumentelor (frecare în dispozitive mecanice etc.), tremurări în condiții urbane, cu imperfecțiune a obiectului de măsurat (de exemplu, la măsurarea diametrului unui fir subțire, care poate să nu aibă o rotundă completă). secțiune transversală ca urmare a imperfecțiunilor din procesul de fabricație), cu caracteristicile mărimii măsurate în sine (de exemplu, la măsurarea numărului de particule elementare care trec pe minut printr-un contor Geiger).
• Eroare sistematică- o eroare care se modifică în timp conform unei anumite legi (un caz special este o eroare constantă care nu se modifică în timp). Erorile sistematice pot fi asociate cu erorile instrumentului (scara incorectă, calibrare etc.) neluând în considerare de către experimentator.
• Eroare progresivă (derivare).- o eroare imprevizibilă care se modifică lent în timp. Este un proces aleator non-staționar.
• Eroare grosolană (rată)- o eroare rezultată dintr-o neglijare a experimentatorului sau o defecțiune a echipamentului (de exemplu, dacă experimentatorul a citit incorect numărul de diviziuni pe scara instrumentului, dacă a apărut un scurtcircuit în circuitul electric).

Prin metoda de măsurare

• Eroare de măsurare directă
• Eroare de măsurători indirecte- eroarea mărimii calculate (nu măsurate direct):

Dacă F = F(X 1 ,X 2 ...X n) , Unde X i- mărimi independente măsurate direct cu o eroare Δ X i, Apoi:

Vezi si

• Măsurarea mărimilor fizice
• Sistem de colectare automată a datelor de la contoare prin canal radio

Literatură

• Nazarov N. G. Metrologie. Concepte de bază și modele matematice. M.: Şcoala superioară, 2002. 348 p.

• Cursuri de laborator de fizică. Manual/Goldin L.L., Igoshin F.F., Kozel S.M. et al.; editat de Goldina L.L. - M.: Știință. Redacția principală de literatură fizică și matematică, 1983. - 704 p.

Fundația Wikimedia. 2010.

eroare de măsurare a timpului- laiko matavimo paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. eroare de măsurare a timpului vok. Zeitmeßfehler, m rus. eroare de măsurare a timpului, f pranc. erreur de mesure de temps, f … Automatikos terminų žodynas

eroare sistematică (măsurare)- introduceți o eroare sistematică - Subiecte industria petrolului și gazelor Sinonime introduce o eroare sistematică EN bias ...

EROARE DE MĂSURARE STANDARD- O evaluare a gradului în care un anumit set de măsurători obținute într-o situație dată (de exemplu, într-un test sau într-una din mai multe forme paralele ale unui test) poate fi de așteptat să devieze de la valorile adevărate. Notat cu (M)...

eroare de suprapunere- Cauzat de suprapunerea impulsurilor de ieșire a semnalului de răspuns pe termen scurt atunci când intervalul de timp dintre impulsurile curentului de intrare este mai mic decât durata unui impuls de ieșire a semnalului de răspuns individual. Erorile de suprapunere pot fi... ... Ghidul tehnic al traducătorului

eroare- 02/01/47 eroare (date digitale) (1)4): Rezultatul colectării, stocării, prelucrării și transmiterii datelor în care un bit sau biți iau valori inadecvate sau există biți lipsă în fluxul de date. 4) Terminologic… … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Nu există mișcare, spuse înțeleptul cu barbă. Celălalt a tăcut și a început să meargă în fața lui. Nu ar fi putut obiecta mai tare; Toată lumea a lăudat răspunsul complicat. Dar, domnilor, această întâmplare amuzantă îmi vine în minte un alt exemplu: La urma urmei, în fiecare zi... Wikipedia

OPȚIUNI DE EROARE- Cantitatea de variație care nu poate fi explicată prin factori controlabili. Eroarea de varianță este compensată de erori de eșantionare, erori de măsurare, erori experimentale etc... Dicționar explicativ de psihologie

Măsurarea unei mărimi este o operație în urma căreia aflăm de câte ori mărimea măsurată este mai mare (sau mai mică) decât valoarea corespunzătoare luată ca standard (unitate de măsură). Toate măsurătorile pot fi împărțite în două tipuri: directe și indirecte.

DIRECT sunt măsurători în care se măsoară cantitatea fizică de interes imediat pentru noi (masă, lungime, intervale de timp, modificarea temperaturii etc.).

INDIRECTE sunt măsurători în care cantitatea de interes pentru noi este determinată (calculată) din rezultatele măsurătorilor directe ale altor mărimi asociate cu aceasta printr-o anumită relație funcțională. De exemplu, determinarea vitezei de mișcare uniformă prin măsurarea distanței parcurse într-o perioadă de timp, măsurarea densității unui corp prin măsurarea masei și volumului corpului etc.

O caracteristică comună a măsurătorilor este imposibilitatea de a obține valoarea adevărată a valorii măsurate; rezultatul măsurării conține întotdeauna un fel de eroare (inecizie). Acest lucru se explică atât prin acuratețea de măsurare limitată fundamental, cât și prin natura obiectelor măsurate în sine. Prin urmare, pentru a indica cât de aproape este rezultatul obținut de valoarea adevărată, eroarea de măsurare este indicată împreună cu rezultatul obținut.

De exemplu, am măsurat distanța focală a unui obiectiv f și am scris asta

f = (256 ± 2) mm (1)

Aceasta înseamnă că distanța focală variază de la 254 la 258 mm. Dar de fapt, această egalitate (1) are un sens probabilist. Nu putem spune cu deplină încredere că valoarea se află în limitele specificate; există doar o anumită probabilitate pentru aceasta, prin urmare egalitatea (1) trebuie completată cu o indicație a probabilității cu care această relație are sens (vom formula această afirmație). mai precis mai jos).

O evaluare a erorilor este necesară deoarece, fără a ști care sunt acestea, este imposibil să se tragă anumite concluzii din experiment.

De obicei, se calculează eroarea absolută și relativă. Eroarea absolută Δx este diferența dintre valoarea adevărată a mărimii măsurate μ și rezultatul măsurării x, adică. Δx = μ - x

Raportul dintre eroarea absolută și valoarea adevărată a mărimii măsurate ε = (μ - x)/μ se numește eroare relativă.

Eroarea absolută caracterizează eroarea metodei alese pentru măsurare.

Eroarea relativă caracterizează calitatea măsurătorilor. Precizia măsurării este reciproca erorii relative, adică 1/ε.

§ 2. Clasificarea erorilor

Toate erorile de măsurare sunt împărțite în trei clase: erori (erori brute), erori sistematice și aleatorii.

O greșeală este cauzată de o încălcare bruscă a condițiilor de măsurare în timpul observațiilor individuale. Aceasta este o eroare asociată cu un șoc sau o defecțiune a dispozitivului, o greșeală gravă de calcul a experimentatorului, o intervenție neprevăzută etc. o eroare grosolană apare de obicei în nu mai mult de una sau două dimensiuni și diferă brusc ca amploare de alte erori. Prezența unei rateuri poate distorsiona foarte mult rezultatul care conține ratarea. Cel mai simplu mod este de a stabili cauza greșelii și de a o elimina în timpul procesului de măsurare. Dacă o greșeală nu a fost exclusă în timpul procesului de măsurare, atunci aceasta ar trebui făcută la procesarea rezultatelor măsurătorii, folosind criterii speciale care să permită identificarea obiectivă a unei erori grosolane, dacă există, în fiecare serie de observații.

EROAREA SISTEMATICĂ este o componentă a erorii de măsurare care rămâne constantă și se modifică în mod natural cu măsurători repetate de aceeași cantitate. Apar erori sistematice dacă, de exemplu, dilatarea termică nu este luată în considerare atunci când se măsoară volumul unui lichid sau gaz produs la o temperatură care se schimbă lent; dacă la măsurarea masei nu se ține cont de efectul forței de plutire a aerului asupra corpului cântărit și asupra greutăților etc.

Se observă erori sistematice dacă scara riglei este aplicată incorect (neuniform); capilarul termometrului în diferite zone are o secțiune transversală diferită; în absența curentului electric prin ampermetru, acul instrumentului nu este la zero etc.

După cum se poate observa din exemple, o eroare sistematică este cauzată de anumite motive, valoarea ei rămâne constantă (deplasarea zero a scalei instrumentului, cântare cu brațe inegale) sau se modifică conform unei anumite legi (uneori destul de complexe) (denivelare). a scalei, secțiunea transversală neuniformă a capilarului termometrului etc.).

Putem spune că eroarea sistematică este o expresie atenuată care înlocuiește cuvintele „eroare de experimentare”.

Astfel de erori apar din cauza:

1. instrumentele de măsurare sunt inexacte;
2. instalarea reală diferă într-un fel de cea ideală;
3. Teoria fenomenului nu este în întregime corectă, adică. unele efecte nu sunt luate în considerare.

Știm ce să facem în primul caz; este nevoie de calibrare sau calibrare. În celelalte două cazuri nu există o rețetă gata făcută. Cu cât cunoașteți mai bine fizica, cu atât aveți mai multă experiență, cu atât este mai probabil să descoperiți astfel de efecte și, prin urmare, să le eliminați. Nu există reguli generale sau rețete pentru identificarea și eliminarea erorilor sistematice, dar se pot face anumite clasificări. Să distingem patru tipuri de erori sistematice.

1. Erorile sistematice, a căror natură vă este cunoscută, iar valoarea pot fi găsite, prin urmare, eliminate prin introducerea de corecții. Exemplu. Cântărirea pe cântare cu brațe inegale. Fie diferența de lungimi ale brațelor de 0,001 mm. Cu o lungime balansier de 70 mm iar greutatea corpului cântărit 200 G eroarea sistematică va fi 2,86 mg. Eroarea sistematică a acestei măsurători poate fi eliminată prin utilizarea unor metode speciale de cântărire (metoda Gauss, metoda Mendeleev etc.).
2. Erori sistematice despre care se știe că sunt mai mici decât o anumită valoare. În acest caz, la înregistrarea răspunsului, poate fi indicată valoarea maximă a acestora. Exemplu. Fișa tehnică furnizată împreună cu micrometrul precizează: „Eroarea admisă este de ±0,004 mm. Temperatura +20 ± 4° C. Aceasta înseamnă că la măsurarea dimensiunilor oricărui corp cu acest micrometru la temperaturile indicate în pașaport, vom avea o eroare absolută care nu depășește ± 0,004 mm pentru orice rezultat al măsurătorilor.

   Adesea, eroarea absolută maximă dată de un anumit dispozitiv este indicată folosind clasa de precizie a dispozitivului, care este reprezentată pe scara dispozitivului de numărul corespunzător, cel mai adesea încercuit.

   Numărul care indică clasa de precizie arată eroarea absolută maximă a dispozitivului, exprimată ca procent din cea mai mare valoare a valorii măsurate la limita superioară a scalei.

   Să fie folosit un voltmetru în măsurători, având o scară de la 0 la 250 ÎN, clasa sa de precizie este 1. Aceasta înseamnă că eroarea absolută maximă care poate fi făcută la măsurarea cu acest voltmetru nu va fi mai mare de 1% din cea mai mare valoare a tensiunii care poate fi măsurată pe această scară de instrument, cu alte cuvinte:

   5 = ±0,01.250 ÎN= ±2,5 ÎN.

   Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsurare determină eroarea maximă, a cărei valoare nu se modifică la trecerea de la începutul la sfârșitul scalei. În acest caz, eroarea relativă se modifică brusc, deoarece instrumentele oferă o precizie bună atunci când acul deviază aproape întreaga scară și nu o oferă atunci când măsoară la începutul scalei. Aceasta este recomandarea: selectați un dispozitiv (sau scara unui dispozitiv multi-gamă) astfel încât săgeata dispozitivului să depășească mijlocul scalei în timpul măsurătorilor.

   Dacă clasa de precizie a dispozitivului nu este specificată și nu există date de pașaport, atunci jumătate din prețul celei mai mici diviziuni la scară a dispozitivului este considerată eroarea maximă a dispozitivului.

   Câteva cuvinte despre acuratețea conducătorilor. Riglele metalice sunt foarte precise: diviziunile milimetrice sunt marcate cu o eroare de cel mult ±0,05 mm, iar cele centimetrice nu sunt mai rele decât cu o precizie de 0,1 mm. Eroarea măsurătorilor efectuate cu acuratețea unor astfel de rigle este aproape egală cu eroarea citirii cu ochiul (≤0,5). mm). Este mai bine să nu folosiți rigle din lemn și plastic; erorile lor pot fi neașteptat de mari.

   Un micrometru de lucru oferă o precizie de 0,01 mm, iar eroarea de măsurare cu un șubler este determinată de precizia cu care se poate face citirea, adică. precizie vernier (de obicei 0,1 mm sau 0,05 mm).

3. Erori sistematice cauzate de proprietățile obiectului măsurat. Aceste erori pot fi adesea reduse la întâmplare. Exemplu.. Se determină conductivitatea electrică a unui anumit material. Dacă pentru o astfel de măsurare se ia o bucată de sârmă care are un fel de defect (îngroșare, fisurare, neomogenitate), atunci se va face o eroare în determinarea conductivității electrice. Repetarea măsurătorilor dă aceeași valoare, adică s-a făcut o eroare sistematică. Să măsurăm rezistența mai multor bucăți de astfel de sârmă și să găsim valoarea medie a conductibilității electrice a acestui material, care poate fi mai mare sau mai mică decât conductivitatea electrică a măsurătorilor individuale; prin urmare, erorile făcute în aceste măsurători pot fi atribuite așa-numitele erori aleatorii.
4. Erori sistematice despre care nu se știe că există. Exemplu.. Determinați densitatea oricărui metal. În primul rând, găsim volumul și masa probei. Există un gol în interiorul eșantionului despre care nu știm nimic. Se va face o eroare la determinarea densității, care se va repeta pentru orice număr de măsurători. Exemplul dat este simplu; sursa erorii și amploarea acesteia pot fi determinate fără prea multe dificultăți. Erorile de acest tip pot fi identificate cu ajutorul unor cercetări suplimentare, prin efectuarea de măsurători folosind o metodă complet diferită și în condiții diferite.

RANDOM este componenta erorii de măsurare care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi.

Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorilor indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.

Eroarea aleatorie apare din influența simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar influența totală a tuturor surselor poate fi destul de puternică.

O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care sunt imposibil de prezis pentru o anumită măsurătoare. Această eroare poate fi la fel de pozitivă sau negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, acestea provoacă împrăștierea măsurătorilor repetate în raport cu valoarea adevărată ( Fig.14).

Dacă, în plus, există o eroare sistematică, atunci rezultatele măsurătorii vor fi împrăștiate în raport cu nu valoarea adevărată, ci valoarea părtinitoare ( Fig.15).

Orez. 14 Fig. 15

Să presupunem că perioada de oscilație a unui pendul este măsurată cu ajutorul unui cronometru, iar măsurarea se repetă de mai multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea de citire, o ușoară denivelare în mișcarea pendulului - toate acestea provoacă împrăștierea rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate ca erori aleatorii.

Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi oarecum subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, ceasul este și în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.

Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în timpii de pornire și oprire ale ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, ne grăbim să pornim cronometrul de fiecare dată și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.

Erorile aleatorii sunt cauzate de eroarea de paralaxă la numărarea diviziunilor instrumentului, scuturarea fundației unei clădiri, influența mișcării ușoare a aerului etc.

Deși este imposibil să se elimine erorile aleatorii în măsurătorile individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii ne permite să reducem influența acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât trebuie făcute mai multe măsurători.

Trebuie avut în vedere faptul că, dacă eroarea aleatorie obținută din datele de măsurare se dovedește a fi semnificativ mai mică decât eroarea determinată de precizia dispozitivului, atunci, evident, nu are rost să încercăm să reduceți și mai mult valoarea eroare aleatorie; oricum, rezultatele măsurătorilor nu vor deveni mai precise.

Dimpotrivă, dacă eroarea aleatorie este mai mare decât eroarea instrumentală (sistematică), atunci măsurarea trebuie efectuată de mai multe ori pentru a reduce valoarea erorii pentru o serie dată de măsurători și pentru a face această eroare mai mică sau egală. ordinul de mărime ca eroarea instrumentului.

Erorile absolute și relative sunt utilizate pentru a evalua inexactitatea în calcule extrem de complexe. Ele sunt, de asemenea, utilizate în diferite măsurători și pentru rotunjirea rezultatelor calculelor. Să ne uităm la cum să determinăm eroarea absolută și relativă.

Eroare absolută

Eroare absolută a numărului numiți diferența dintre acest număr și valoarea lui exactă.
Să ne uităm la un exemplu : În școală sunt 374 de elevi. Dacă rotunjim acest număr la 400, atunci eroarea absolută de măsurare este 400-374=26.

Pentru a calcula eroarea absolută, trebuie să scădeți numărul mai mic din numărul mai mare.

Există o formulă pentru eroarea absolută. Să notăm numărul exact cu litera A, iar litera a - aproximarea la numărul exact. Un număr aproximativ este un număr care diferă ușor de cel exact și îl înlocuiește de obicei în calcule. Apoi formula va arăta astfel:

Δa=A-a. Am discutat mai sus cum să găsim eroarea absolută folosind formula.

În practică, eroarea absolută nu este suficientă pentru a evalua cu precizie o măsurătoare. Rareori este posibil să se cunoască valoarea exactă a mărimii măsurate pentru a calcula eroarea absolută. Măsurând o carte de 20 cm lungime și permițând o eroare de 1 cm, se poate considera măsurarea ca fiind cu o eroare mare. Dar dacă s-a făcut o eroare de 1 cm la măsurarea unui perete de 20 de metri, această măsurătoare poate fi considerată cât se poate de precisă. Prin urmare, în practică, determinarea erorii relative de măsurare este mai importantă.

Înregistrați eroarea absolută a numărului folosind semnul ±. De exemplu , lungimea unei role de tapet este de 30 m ± 3 cm Limita de eroare absolută se numește eroare absolută maximă.

Eroare relativă

Eroare relativă Ei numesc raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. Pentru a calcula eroarea relativă din exemplul cu studenți, împărțim 26 la 374. Obținem numărul 0,0695, îl transformăm în procent și obținem 6%. Eroarea relativă se notează procentual deoarece este o mărime adimensională. Eroarea relativă este o estimare precisă a erorii de măsurare. Dacă luăm o eroare absolută de 1 cm la măsurarea lungimii segmentelor de 10 cm și 10 m, atunci erorile relative vor fi egale cu 10%, respectiv 0,1%. Pentru un segment de 10 cm lungime, o eroare de 1 cm este foarte mare, aceasta este o eroare de 10%. Dar pentru un segment de zece metri, 1 cm nu contează, doar 0,1%.

Există erori sistematice și aleatorii. Sistematică este eroarea care rămâne neschimbată în timpul măsurătorilor repetate. Eroarea aleatorie apare ca urmare a influenței factorilor externi asupra procesului de măsurare și poate modifica valoarea acesteia.

Reguli pentru calcularea erorilor

Există mai multe reguli pentru estimarea nominală a erorilor:

• la adunarea și scăderea numerelor, este necesar să se adună erorile absolute ale acestora;
• la împărțirea și înmulțirea numerelor, este necesar să adăugați erori relative;
• Când este ridicată la o putere, eroarea relativă este înmulțită cu exponent.

Numerele aproximative și exacte sunt scrise folosind fracții zecimale. Se ia doar valoarea medie, deoarece valoarea exactă poate fi infinit de lungă. Pentru a înțelege cum să scrieți aceste numere, trebuie să aflați despre numerele adevărate și dubioase.

Numerele adevărate sunt acele numere al căror rang depășește eroarea absolută a numărului. Dacă cifra unei cifre este mai mică decât eroarea absolută, se numește îndoielnică. De exemplu , pentru fracția 3,6714 cu o eroare de 0,002, numerele corecte vor fi 3,6,7, iar cele îndoielnice vor fi 1 și 4. În înregistrarea numărului aproximativ au rămas doar numerele corecte. Fracția în acest caz va arăta astfel - 3,67.

Eroare absolută de măsurare este o mărime determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:

Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a lui π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0,00159. Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate de loc a ultimei cifre a numărului a, atunci se spune că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52400 este 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, ca 524·10 2 sau 0,524·10 5. Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând câte cifre semnificative corecte conține. Când se numără cifrele semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.

De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.

Reguli pentru rotunjirea numerelor. Dacă numărul aproximativ conține cifre suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară care nu depășește jumătate de unitate din locul ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire, sunt reținute doar cifrele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în zecimale sunt aruncate (la fel ca și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zerouri și aruncată este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148935 cu o precizie de măsurare de 50 are o valoare de rotunjire de 148900. Dacă prima dintre cifrele înlocuite cu zerouri sau aruncate este 5 și nu există cifre sau zerouri după el, atunci este rotunjit la cea mai apropiată. număr par. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră zero sau scădere este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar este urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este incrementată cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.

Exemplul 2.2. La rotunjirea de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 - 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 - 1284 = 4.

Exemplul 2.3. La rotunjirea numărului de la 197 la 200, eroarea absolută este 200 - 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.

Exemplul 2.4. Un vânzător cântărește un pepene verde pe o cântar. Cea mai mică greutate din set este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelor este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.

Erori la rezolvarea problemei pe PC

Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea se numesc erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, atunci când se utilizează metode iterative pentru căutarea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care oferă o soluție exactă.

Erori de trunchiere

Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă sarcinii în sine. Poate fi din cauza inexactității în determinarea datelor sursă. De exemplu, dacă în declarația problemei sunt specificate dimensiuni, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.

Erori de propagare

Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a unei probleme. În timpul calculelor, se produce inevitabil acumularea de erori sau, cu alte cuvinte, propagarea. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorilor depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.

Erori de rotunjire

Acest tip de eroare apare deoarece valoarea reală a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în același mod în care un număr este afișat pe un calculator.

În fizică și în alte științe, este foarte obișnuit să se facă măsurători de diferite mărimi (de exemplu, lungime, masă, timp, temperatură, rezistență electrică etc.).

Măsurare– procesul de aflare a valorii unei marimi fizice folosind mijloace tehnice speciale – instrumente de masura.

Instrument de masurare este un dispozitiv care este folosit pentru a compara o mărime măsurată cu o mărime fizică de același fel, luată ca unitate de măsură.

Există metode de măsurare directe și indirecte.

Metode de măsurare directă – metode în care valorile mărimilor care se determină se regăsesc prin compararea directă a obiectului măsurat cu unitatea de măsură (standard). De exemplu, lungimea unui corp măsurată de o riglă este comparată cu o unitate de lungime - un metru, masa unui corp măsurată cu cântare este comparată cu o unitate de masă - un kilogram etc. Astfel, ca urmare a masurare directa, valoarea determinata se obtine imediat, direct.

Metode indirecte de măsurare– metode în care valorile mărimilor care se determină sunt calculate din rezultatele măsurătorilor directe ale altor mărimi cu care sunt legate printr-o relație funcțională cunoscută. De exemplu, determinarea circumferinței din rezultatele măsurării diametrului sau determinarea volumului unui corp din rezultatele măsurării dimensiunilor sale liniare.

Din cauza imperfecțiunii instrumentelor de măsură, a simțurilor noastre, a influenței influențelor externe asupra echipamentului de măsurat și a obiectului măsurat, precum și a altor factori, toate măsurătorile pot fi efectuate doar cu un anumit grad de precizie; prin urmare, rezultatele măsurătorilor nu dau valoarea adevărată a valorii măsurate, ci doar una aproximativă. Dacă, de exemplu, greutatea corporală este determinată cu o precizie de 0,1 mg, aceasta înseamnă că greutatea găsită diferă de greutatea corporală reală cu mai puțin de 0,1 mg.

Precizia măsurătorilor – caracteristică a calității măsurătorii, reflectând apropierea rezultatelor măsurătorilor de valoarea reală a mărimii măsurate.

Cu cât erorile de măsurare sunt mai mici, cu atât este mai mare precizia măsurării. Precizia măsurătorilor depinde de instrumentele utilizate în măsurători și de metodele generale de măsurare. Este complet inutil să ne străduim să depășim această limită de precizie atunci când facem măsurători în aceste condiții. Este posibil să se minimizeze impactul motivelor care reduc acuratețea măsurătorilor, dar este imposibil să scapi complet de ele, adică erori mai mult sau mai puțin semnificative (erori) sunt întotdeauna făcute în timpul măsurătorilor. Pentru a crește acuratețea rezultatului final, orice măsurătoare fizică trebuie făcută nu o dată, ci de mai multe ori în aceleași condiții experimentale.

În urma celei de-a i-a măsurători (i – număr de măsurare) a valorii „X”, se obține un număr aproximativ X i, care diferă de valoarea adevărată a lui Xist cu o anumită cantitate ∆X i = |X i – X|, care este o eroare făcută sau, cu alte cuvinte, eroare. Eroarea adevărată nu ne este cunoscută, deoarece nu știm valoarea adevărată a mărimii măsurate. Valoarea adevărată a mărimii fizice măsurate se află în interval

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

unde X i este valoarea lui X obținută în timpul măsurării (adică valoarea măsurată); ∆X – eroare absolută în determinarea valorii lui X.

Greșeală absolută (eroarea) de măsurare ∆Х este valoarea absolută a diferenței dintre valoarea adevărată a mărimii măsurate Hist și rezultatul măsurării X i: ∆Х = |Х sursa – X i |.

Eroare relativă (eroarea) de măsurare δ (care caracterizează acuratețea măsurării) este numeric egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare ∆X și valoarea adevărată a valorii măsurate X sursa (deseori exprimată ca procent): δ = (∆X / sursa X) 100%.

Erorile sau erorile de măsurare pot fi împărțite în trei clase: sistematice, aleatorii și brute.

Sistematic ei numesc o astfel de eroare care rămâne constantă sau se modifică în mod natural (în funcție de o anumită dependență funcțională) cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi. Astfel de erori apar ca urmare a caracteristicilor de proiectare ale instrumentelor de măsurare, a deficiențelor metodei de măsurare adoptate, a oricăror omisiuni ale experimentatorului, a influenței condițiilor externe sau a unui defect al obiectului de măsurare în sine.

Orice instrument de măsurare conține una sau alta eroare sistematică, care nu poate fi eliminată, dar a cărei ordine poate fi luată în considerare. Erorile sistematice fie măresc, fie scad rezultatele măsurătorilor, adică aceste erori sunt caracterizate de un semn constant. De exemplu, dacă în timpul cântăririi una dintre greutăți are o masă cu 0,01 g mai mare decât cea indicată pe ea, atunci valoarea găsită a masei corporale va fi supraestimată cu această sumă, indiferent de câte măsurători se fac. Uneori erorile sistematice pot fi luate în considerare sau eliminate, alteori acest lucru nu se poate face. De exemplu, erorile fatale includ erorile de instrument, despre care putem spune doar că nu depășesc o anumită valoare.

Erori aleatorii se numesc erori care își schimbă amploarea și semnează într-un mod imprevizibil de la experiment la experiment. Apariția erorilor aleatorii se datorează multor motive diverse și incontrolabile.

De exemplu, la cântărirea cu cântar, aceste motive pot fi vibrațiile aerului, particulele de praf depuse, frecarea diferită în suspensia din stânga și din dreapta a cupelor etc. Erorile aleatoare se manifestă prin faptul că, făcând măsurători de aceeași valoare X sub în aceleași condiții experimentale, obținem mai multe valori diferite: X1, X2, X3,..., Xi,..., Xn, unde Xi este rezultatul celei de-a i-a măsurători. Nu este posibil să se stabilească niciun tipar între rezultate, prin urmare rezultatul celei de-a i-a măsurători a lui X este considerat o variabilă aleatorie. Erorile aleatorii pot avea un anumit impact asupra unei singure măsurări, dar cu măsurători repetate se supun legilor statistice și influența lor asupra rezultatelor măsurătorilor poate fi luată în considerare sau redusă semnificativ.

Greșeli și erori grosolane– erori excesiv de mari care distorsionează clar rezultatul măsurării. Această clasă de erori este cauzată cel mai adesea de acțiuni incorecte ale experimentatorului (de exemplu, din cauza neatenției, în loc de instrumentul care citește „212”, este înregistrat un număr complet diferit - „221”). Măsurătorile care conțin greșeli și erori grave trebuie eliminate.

Măsurătorile pot fi efectuate în ceea ce privește precizia lor folosind metode tehnice și de laborator.

Când se utilizează metode tehnice, măsurarea se efectuează o singură dată. În acest caz, aceștia sunt mulțumiți de o asemenea acuratețe încât eroarea să nu depășească o anumită valoare, predeterminată, determinată de eroarea echipamentului de măsurare utilizat.

Cu metodele de măsurare de laborator, este necesar să se indice mai precis valoarea mărimii măsurate decât este permisă de măsurarea sa unică folosind o metodă tehnică. În acest caz, se fac mai multe măsurători și se calculează media aritmetică a valorilor obținute, care este considerată cea mai fiabilă valoare (adevărată) a valorii măsurate. Apoi se evaluează acuratețea rezultatului măsurării (ținând cont de erorile aleatorii).

Din posibilitatea efectuării măsurătorilor folosind două metode, rezultă că există două metode de evaluare a preciziei măsurătorilor: tehnică și de laborator.