Dacă indicatorii sunt aceiași, dar motivele sunt diferite. Lecția „Înmulțirea și împărțirea puterilor”

Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi scrisă și încearcă să o simplifice. Acesta a fost cândva cazul cu operația de adăugare. Oamenii trebuiau să efectueze adăugarea repetată de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3+3+3+…+3 = 300. Datorită naturii sale greoaie, sa decis să se scurteze notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați una sute trei și adună-le împreună. Înmulțirea a prins și a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a apărut nevoia de a efectua înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarele cantități ca recompensă pentru munca depusă: pentru primul pătrat al tablei de șah a cerut un bob, pentru al doilea - două, pentru al treilea - patru, pentru al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu doi cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*...*2 = 2^63 de boabe, ceea ce este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.

Operația de exponențiere a prins destul de repede și a apărut rapid și nevoia de a efectua adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea puterilor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți o terminologie de bază. Expresia a^b (se citește „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, „a” fiind numită baza puterii și „b” exponentul puterii. Dacă bazele gradelor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu specific: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și aceleași” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Rezultă că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două puteri anterioare.

Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, puteți demonstra validitatea egalității a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) poate fi redus și unul rămâne. De aici se deduce regula că câtul puterilor cu aceleași baze este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a^n: a^m = a^(n-m) . Exemplu: simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, prin urmare, trebuie să adăugați mai întâi exponenții de înmulțire: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. În continuare, trebuie să te ocupi de diviziunea cu o putere negativă. Este necesar să se scadă exponentul divizorului din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Rezultă că operația de împărțire a gradului la negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Ar trebui date câteva exemple de diferite tehnici posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite de trei. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a^n * b^n = (a*b) ^n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când bazele și exponenții sunt diferiți, înmulțirea completă nu poate fi efectuată. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.

Formule de grade utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A Când:

Operații cu grade.

1. Prin înmulțirea gradelor cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

a m·a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(a m) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul radical la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp construi în n Puterea este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii în n extrage rădăcina în același timp n-a putere a unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n =a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și cu m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n =a m - n a devenit corect când m=n, este necesară prezența gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu un exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real A la gradul m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m-a-a putere a acestui număr A.

Conceptul de licență în matematică este introdus în clasa a VII-a la ora de algebră. Și ulterior, pe parcursul întregului curs de studiere a matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra cu grade mai rapid și mai bine, matematicienii au venit cu proprietăți ale gradului. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută proprietățile de bază ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

Proprietăți ale gradului

Vom analiza 12 proprietăți ale gradelor, inclusiv proprietăți ale gradelor cu aceleași baze, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade și, de asemenea, vă va salva de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate și greșesc, reprezentând un număr la puterea zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită numai la înmulțirea numerelor; nu funcționează cu o sumă! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceleași baze.

a 4-a proprietate.

Dacă un număr din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat în paranteze pentru a schimba corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu se aplică la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și în direcția opusă. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la puterea minus.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Creșterea unei sume sau diferențe la o putere folosește mai degrabă formule de înmulțire abreviate decât proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice putere fracționară cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar puterea rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul puterii.

Această proprietate este adesea folosită și în sens invers. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acest număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina unui număr nu poate fi extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcini pătrate și puteri secundare. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată coincid, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini; poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru a lua decizia corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile; trebuie să exersați și să încorporați alte cunoștințe matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Licențele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile și inegalitățile exponențiale sunt rezolvate, iar ecuațiile și exemplele legate de alte ramuri ale matematicii sunt adesea complicate de puteri. Puterile ajută la evitarea calculelor mari și lungi; puterile sunt mai ușor de abreviat și calculat. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile puterii, ci și să lucrați competent cu bazele, să le puteți extinde pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul la rezolvare, eliminând necesitatea calculelor lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este o putere a unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Proprietățile gradelor nu pot fi folosite în ele; ele sunt extinse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire abreviată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate conversiile la sistemul SI se fac folosind puteri, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se folosesc proprietățile puterii. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ pentru confortul numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversia unităților de măsură sau calcule ale problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile grade.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar vezi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta notarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, atunci când se calculează suprafețe, volume și distanțe.

Gradele sunt folosite pentru a înregistra cantități foarte mari și foarte mici în orice domeniu al științei.

Ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradelor ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursurile școlare, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților de grad. Necunoscutul se găsește întotdeauna în gradul în sine, așa că cunoașterea tuturor proprietăților, rezolvarea unei astfel de ecuații sau inegalități nu este dificilă.

În ultima lecție video, am învățat că gradul unei anumite baze este o expresie care reprezintă produsul bazei în sine, luat într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să prezentăm această lucrare în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, după cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca produsul aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă îl socotiți, atunci:

Astfel, putem concluziona cu încredere că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate a înmulțirii puterii decurge din regula că sensul expresiilor este păstrat în timpul transformărilor într-un produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a)x și (a)y este egal cu a(x + y). Cu alte cuvinte, atunci când sunt produse orice expresii cu aceeași bază, monomiul rezultat are un grad total format prin adăugarea gradelor primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca toată lumea să aibă aceleași baze. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, într-adevăr, să desfășurați acțiuni comune bazate pe putere cu două elemente ale unei expresii dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor într-un produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să transformăm expresia termen cu termen în forma sa completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în procesul de rezolvare este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este doi care se obține prin scăderea gradului celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. Sub formă de abstractizare avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Din regula împărțirii bazelor identice cu grade, urmează definiția pentru gradul zero. Evident, următoarea expresie arată astfel:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Pe de altă parte, dacă facem împărțirea într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care încă dă 0 pentru orice înmulțire) este într-un fel egal cu unu, așa că o expresie de forma (0) 0 (zero la puterea zero) pur și simplu nu are sens, iar formula ( a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Să rezolvăm exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: expresia este egală cu unu.