Cum se transformă o fracție improprie într-o zecimală. Operații cu fracții obișnuite

Toate fracțiile sunt împărțite în două tipuri: ordinare și zecimale. Fracțiile de acest tip se numesc ordinare: 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Au un număr de sus (numărător) și un număr de jos (numitor). Când numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția se numește proprie, în caz contrar, fracția se numește improprie. Fracțiile precum 1 7/8 constau dintr-o parte întreagă (1) și o parte fracțională (7/8) și se numesc mixte.

Deci, fracțiile sunt:

1. Comun
   1. Corect
   2. Gresit
   3. Amestecat
2. Zecimal

Cum se face o zecimală dintr-o fracție

Un curs de matematică de bază în școală învață cum să transformi o fracție într-o zecimală. Totul este extrem de simplu: trebuie să împărțiți „manual” numărătorul la numitor sau, dacă ești cu adevărat leneș, atunci folosind un microcalculator. Iată un exemplu: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Nu este mult mai greu să convertiți o fracție improprie într-o zecimală. Exemplu: 1 3/4= 7/4= 1,75. Ultimul rezultat se poate obține fără împărțire, dacă ținem cont de faptul că 3/4 = 0,75 și adunăm unul: 1 + 0,75 = 1,75.

Cu toate acestea, nu toate fracțiile obișnuite sunt atât de simple. De exemplu, să încercăm să convertim 1/3 din fracții obișnuite în zecimale. Chiar și cineva care a avut un C la matematică (folosind un sistem de cinci puncte) va observa că, indiferent cât de mult va continua împărțirea, după zero și virgulă va exista un număr infinit de triple 1/3 = 0,3333... . Se obișnuiește să se citească astfel: zero punct, trei în punct. Se scrie în consecință astfel: 1/3=0,(3). O situație similară va apărea dacă încercați să convertiți 5/6 într-o fracție zecimală: 5/6=0,8(3). Astfel de fracții se numesc periodic infinit. Iată un exemplu pentru fracția 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, adică 3/7=0.(428571).

Deci, ca rezultat al conversiei unei fracții comune într-o zecimală, puteți obține:

1. fracție zecimală neperiodică;
2. fracție zecimală periodică.

De remarcat că există și fracții neperiodice infinite care se obțin prin efectuarea următoarelor acțiuni: luarea rădăcinii a n-a, logaritmul, potențarea. De exemplu, √3= 1,732050807568877… . Celebrul număr π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Să înmulțim acum 3 cu 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Se dovedește că 0,(9) este o altă formă de unitate de scriere. La fel, 9=9/9,16=16,0 etc.

Întrebarea opusă celei din titlul acestui articol este, de asemenea, legitimă: „cum se transformă o fracție zecimală într-una obișnuită”. Răspunsul la această întrebare este dat de un exemplu: 0,5= 5/10=1/2. În ultimul exemplu, am redus numărătorul și numitorul fracției 5/10 cu 5. Adică, pentru a transforma o zecimală într-o fracție comună, trebuie să o reprezentați ca o fracție cu numitorul de 10.

Va fi interesant să urmăriți acest videoclip despre ce sunt fracțiile:

Pentru a afla cum să convertiți o fracție zecimală într-o fracție comună, vedeți aici:

Conversia unei fracții într-o zecimală

Să presupunem că vrem să convertim fracția 11/4 într-o zecimală. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este următorul:

						2∙2∙5∙5

Am reușit pentru că în acest caz descompunerea numitorului în factori primi este format doar din doi. Am completat această expansiune cu încă două cinci, am profitat de faptul că 10 = 2∙5 și am obținut o fracție zecimală. O astfel de procedură este în mod evident posibilă dacă și numai dacă descompunerea numitorului în factori primi nu conține decât doi și cinci. Dacă orice alt număr prim este prezent în expansiunea numitorului, atunci o astfel de fracție nu poate fi convertită într-o zecimală. Cu toate acestea, vom încerca să facem acest lucru, dar numai într-un mod diferit, cu care ne vom familiariza folosind exemplul aceleiași fracții 11/4. Să împărțim 11 la 4 folosind „colțul”:

În linia de răspuns am primit întreaga parte (2) și avem și restul (3). Anterior, am încheiat împărțirea aici, dar acum știm că putem adăuga o virgulă și câteva zerouri în dreapta dividendului (11), ceea ce acum vom face mental. După virgulă vine locul zecimii. Zerul care apare la dividendul din această cifră va fi adăugat la restul rezultat (3):

Acum împărțirea poate continua ca și cum nimic nu s-ar fi întâmplat. Trebuie doar să vă amintiți să puneți o virgulă după întreaga parte din linia de răspuns:

Acum adăugăm un zero la restul (2), care se află în locul sutimii al dividendului și completăm împărțirea:

Drept urmare, obținem, ca și înainte,

Să încercăm acum să calculăm exact în același mod cu ce este egală fracția 27/11:

Am primit numărul 2,45 în linia de răspuns, iar numărul 5 în linia de rest. Dar am mai întâlnit o astfel de rămășiță înainte. Prin urmare, putem spune imediat că dacă ne continuăm împărțirea cu un „colț”, atunci următorul număr din linia de răspuns va fi 4, apoi va veni numărul 5, apoi din nou 4 și din nou 5 și așa mai departe, la infinit :

27 / 11 = 2,454545454545...

Avem așa-zisul periodic o fracție zecimală cu o perioadă de 45. Pentru astfel de fracții se folosește o notație mai compactă, în care perioada se scrie o singură dată, dar este cuprinsă în paranteze:

2,454545454545... = 2,(45).

În general, dacă împărțim un număr natural la altul cu un „colț”, scriind răspunsul sub forma unei fracții zecimale, atunci sunt posibile doar două rezultate: (1) fie mai devreme sau mai târziu vom obține zero în linia rămasă. , (2) sau acolo va exista un astfel de rest, pe care l-am întâlnit deja înainte (mulțimea resturilor posibile este limitată, deoarece toate sunt în mod evident mai mici decât divizorul). În primul caz, rezultatul divizării este o fracție zecimală finită, în al doilea caz - una periodică.

Convertiți zecimală periodică în fracție

Să ni se dea o fracție zecimală periodică pozitivă cu o parte întreagă zero, de exemplu:

A = 0,2(45).

Cum pot converti această fracție înapoi într-o fracție comună?

Să o înmulțim cu 10 k, Unde k este numărul de cifre dintre punctul zecimal și paranteza de deschidere care indică începutul perioadei. În acest caz k= 1 și 10 k = 10:

A∙ 10 k = 2,(45).

Înmulțiți rezultatul cu 10 n, Unde n- „lungimea” perioadei, adică numărul de cifre cuprinse între paranteze. În acest caz n= 2 și 10 n = 100:

A∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Acum să calculăm diferența

A∙ 10 k ∙ 10 n − A∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Deoarece părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului sunt aceleași, atunci partea fracțională a diferenței este egală cu zero și ajungem la o ecuație simplă pentru A:

A∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Această ecuație se rezolvă folosind următoarele transformări:

A∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

A∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

În mod deliberat nu completăm încă calculele, astfel încât să se vadă clar cum acest rezultat poate fi notat imediat, omițând argumentele intermediare. Minuendul din numărătorul (245) este partea fracționară a numărului

A = 0,2(45)

dacă ștergeți parantezele din intrarea ei. Subtraendul din numărătorul (2) este partea neperiodică a numărului A, situat între virgulă și paranteza de deschidere. Primul factor din numitorul (10) este o unitate, căreia îi sunt alocate atâtea zerouri câte cifre sunt în partea neperiodică ( k). Al doilea factor din numitorul (99) este atât de multe nouă câte cifre există în perioada ( n).

Acum calculele noastre pot fi finalizate:

Aici numărătorul conține perioada, iar numitorul conține atâtea nouă câte cifre sunt în perioadă. După reducerea cu 9, fracția rezultată este egală cu

In acelasi fel,

O fracție este un număr format din una sau mai multe unități. Există trei tipuri de fracții în matematică: comună, mixtă și zecimală.

• 
  Fracții comune

O fracție obișnuită este scrisă ca un raport în care numărătorul reflectă câte părți sunt luate din număr, iar numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci avem o fracție proprie, de exemplu: ½, 3/5, 8/9.

Dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci avem de-a face cu o fracție improprie. De exemplu: 5/5, 9/4, 5/2 Împărțirea numărătorului poate avea ca rezultat un număr finit. De exemplu, 40/8 = 5. Prin urmare, orice număr întreg poate fi scris ca o fracție improprie obișnuită sau o serie de astfel de fracții. Să luăm în considerare intrările aceluiași număr sub forma unui număr de altele diferite.

• Fracții mixte

În general, o fracție mixtă poate fi reprezentată prin formula:

Astfel, o fracție mixtă este scrisă ca un întreg și o fracție proprie obișnuită, iar o astfel de notație este înțeleasă ca suma întregului și a părții sale fracționale.

• zecimale

O zecimală este un tip special de fracție în care numitorul poate fi reprezentat ca o putere a lui 10. Există zecimale infinite și finite. La scrierea acestui tip de fracție se indică mai întâi întreaga parte, apoi se înregistrează partea fracționară printr-un separator (punct sau virgulă).

Notarea unei părți fracționale este întotdeauna determinată de dimensiunea acesteia. Notația zecimală arată astfel:

Reguli de conversie între diferite tipuri de fracții

• Transformarea unei fracții mixte într-o fracție comună

O fracție mixtă poate fi convertită doar într-o fracție improprie. Pentru a traduce, este necesar să aduceți întreaga parte la același numitor cu partea fracțională. În general, va arăta astfel:
Să ne uităm la utilizarea acestei reguli folosind exemple specifice:

• Transformarea unei fracții comune într-o fracție mixtă

O fracție improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă prin simplă împărțire, rezultând întreaga parte și restul (partea fracțională).

De exemplu, să convertim fracția 439/31 în mixt:
​​

• Conversia fracțiilor

În unele cazuri, conversia unei fracții într-o zecimală este destul de simplă. În acest caz, se aplică proprietatea de bază a unei fracții: numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr pentru a aduce divizorul la o putere de 10.

De exemplu:

În unele cazuri, poate fi necesar să găsiți coeficientul împărțind prin colțuri sau folosind un calculator. Și unele fracții nu pot fi reduse la o zecimală finală. De exemplu, fracția 1/3 atunci când este împărțită nu va da niciodată rezultatul final.

Ele sunt utilizate extrem de larg și într-o mare varietate de domenii ale activității umane, fie că este vorba de calcul științific și aplicat, dezvoltarea și funcționarea diferitelor echipamente, calcule economice etc. Din diverse motive, este adesea necesar să se efectueze conversie zecimală, precum și procesul invers. Trebuie remarcat faptul că similar transformare sunt produse relativ ușor și în conformitate cu anumite reguli și tehnici care au existat în matematică de multe sute de ani.

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție primă

Conversie zecimalăîn fracția „obișnuită” este destul de ușor și simplu. Pentru a face acest lucru, se folosește următoarea tehnică: numărul situat în dreapta punctului zecimal al numărului inițial este luat ca numărător al noii fracții; numărul zece este folosit ca numitor, la o putere egală cu numărul de cifre ale numărătorului. În ceea ce privește întreaga parte rămasă, aceasta rămâne neschimbată. Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci după transformare este pur și simplu omisă.

EXEMPLUL 1

Cincizeci virgulă douăzeci și cinci este egal cu cincizeci virgulă unu și douăzeci și cinci împărțit la o sută este egal cu cincizeci virgulă unu patru.

Conversia unei fracții într-o zecimală

Conversia unei fracții într-o zecimală, de fapt, este inversul conversia unei fracții zecimale într-o fracție primă. De asemenea, implementarea sa nu provoacă dificultăți și este, de fapt, o operație aritmetică destul de simplă. Pentru a converti o fracție într-o zecimală trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul său în conformitate cu anumite reguli.

EXEMPLUL 1

Trebuie implementat conversia fracțiunilor cinci optimi în zecimal.

Împărțirea cinci la opt dă zecimal zero virgulă șase sute douăzeci și cinci de miimi.

=

0.625

Rotunjirea rezultatului conversiei unei fracții la zecimală

Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de un proces precum conversie zecimală, această procedură poate dura adesea la nesfârșit. În astfel de cazuri ei spun că rezultatul procedurii conversia unei fracții în zecimală poate să nu fie exactă. Cu toate acestea, practica arată că, în marea majoritate a cazurilor, nu este necesară obținerea unui rezultat perfect exact. De regulă, procesul de împărțire se încheie atunci când a obținut deja valorile acelor fracții zecimale care prezintă interes practic în fiecare caz specific.

EXEMPLUL 1

Trebuie să tăiați o bucată de unt care cântărește un kilogram în nouă bucăți de greutate egală. La efectuarea acestei proceduri, se dovedește că masa fiecăruia dintre ele este de 1/9 kilogram. Dacă se efectuează conform tuturor regulilor transformare acest fracție comună V fracție zecimală, atunci se dovedește că masa fiecăreia dintre părțile rezultate este egală cu zero întreg și unu în perioada unui kilogram.

Rotunjirea se efectuează conform regulilor standard prevăzute în aritmetică: dacă prima dintre cifrele „aruncate” are o valoare de 5 sau mai mult, atunci ultima dintre cele semnificative este mărită cu unu. In rest ramane neschimbat.

EXEMPLUL 2

Convertiți fracția o optime la o fracție zecimală.

Când unul este împărțit la opt, rezultatul este zero virgulă o sută douăzeci și cinci de miimi, sau rotunjit - zero virgulă treisprezece sutimi.

O fracție improprie este unul dintre formatele de scriere a unei fracții comune. Ca orice fracție obișnuită, are un număr deasupra liniei (numărătorul) și sub ea - numitorul. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, acesta este un semn distinctiv al unei fracții incorecte. O fracție mixtă poate fi convertită în această formă. Decimalul poate fi reprezentat și sub forma neregulată de notație, dar numai dacă punctul de separare este precedat de un alt număr decât zero.

Instrucțiuni

Într-un format de fracție mixtă, numărătorul și numitorul sunt separate de întreaga parte printr-un spațiu. Pentru a converti o astfel de intrare în , înmulțiți mai întâi partea sa întreagă (numărul dinaintea spațiului) cu numitorul părții fracționale. Adăugați valoarea rezultată la numărător. Valoarea calculată în acest fel va fi numărătorul fracției improprie și va pune numitorul fracției mixte în numitorul acesteia fără nicio modificare. De exemplu, 5 7/11 în format neregulat obișnuit poate fi scris după cum urmează: (5*11+7)/11 = 62/11.

Pentru a converti o fracție zecimală într-o notație obișnuită incorectă, determinați numărul de cifre după virgulă zecimală care separă întreaga parte de partea fracțională - este egal cu numărul de cifre din dreapta acestui punct zecimal. Utilizați numărul rezultat ca indicator al puterii la care trebuie să ridicați zece pentru a calcula numitorul fracției improprii. Numătorul se obține fără calcule - doar eliminați virgula din fracția zecimală. De exemplu, dacă fracția zecimală inițială este 12,585, numărătorul fracției neregulate corespunzătoare ar trebui să conțină numărul 10³ = 1000, iar numitorul - 12585: 12,585 = 12585/1000.

Ca orice fracții obișnuite, ele pot și ar trebui reduse. Pentru a face acest lucru, după obținerea rezultatului folosind metodele descrise în cei doi pași anteriori, încercați să selectați cel mai mare divizor comun pentru numărător și numitor. Dacă puteți face acest lucru, împărțiți la ceea ce ați găsit pe ambele părți ale liniei de fracțiuni. Pentru exemplul din a doua etapă, acest divizor va fi numărul 5, deci fracția improprie poate fi redusă: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. Dar pentru exemplul de la primul pas nu există divizor comun, deci nu este nevoie să reduceți fracția necorespunzătoare rezultată.

Video pe tema

Fracțiile zecimale sunt mai convenabile pentru calcule automate decât fracțiile naturale. Orice natural fracțiune poate fi convertit în numere naturale fie fără pierderi de precizie, fie cu precizie la un anumit număr de zecimale, în funcție de relația dintre numărător și numitor.

Instrucțiuni

Dacă este necesar, rotunjiți rezultatul la numărul necesar de zecimale. Regulile de rotunjire sunt următoarele: dacă cea mai mare cifră care trebuie ștearsă conține o cifră de la 0 la 4, atunci următoarea cifră cea mai mare (care nu este ștearsă) nu se modifică, iar dacă cifra este de la 5 la 9, aceasta crește cu unu. Dacă ultima dintre aceste operații este supusă cifrei cu numărul 9, unitatea este transferată într-o altă cifră, și mai mare, ca o coloană. Vă rugăm să rețineți că rotunjirea la numărul disponibil de locuri familiare nu realizează întotdeauna această operațiune. Uneori există biți ascunși în memoria sa care nu sunt afișați pe indicator. Logaritmic, având o precizie scăzută (până la două zecimale), adesea gestionează mai bine rotunjirea în direcția corectă.

Dacă descoperiți că o anumită secvență de numere se repetă după un punct zecimal, plasați acea secvență în paranteze. Ei spun despre el că se află „” pentru că se repetă periodic. De exemplu, număr 53.7854785478547854... poate fi scris ca 53,(7854).

O fracție proprie, a cărei valoare este mai mare decât unu, constă din două părți: un întreg și o fracție. Mai întâi, împărțiți numărătorul fracției la numitorul său. Apoi adăugați rezultatul divizării întregii părți. După aceasta, dacă este necesar, rotunjiți rezultatul la numărul necesar de zecimale sau găsiți periodicitatea și evidențiați-o între paranteze.

Fracțiile zecimale sunt ușor de utilizat. Sunt recunoscuți de calculatoare și de multe programe de calculator. Dar uneori este necesar, de exemplu, să se întocmească o proporție. Pentru a face acest lucru, va trebui să convertiți fracția zecimală într-o fracție obișnuită. Acest lucru nu va fi dificil dacă faceți o scurtă excursie în programa școlară.

Instrucțiuni

Reduceți partea fracțională a rezultatului. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției trebuie împărțite la același divizor. În acest caz este numărul „5”. Deci „5/10” este convertit în „1/2”.

Alegeți un număr astfel încât rezultatul înmulțirii lui cu numitorul să fie 10. Raționați invers: este posibil să transformați numărul 4 în 10? Răspuns: nu, pentru că 10 nu este divizibil cu 4. Atunci 100? Da, 100 se împarte la 4 fără rest, rezultatul este 25. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu 25 și scrieți răspunsul sub formă zecimală:
¼ = 25/100 = 0,25.

Nu este întotdeauna posibilă utilizarea metodei de selecție; există încă două moduri. Principiul lor este practic același, doar înregistrarea diferă. Una dintre ele este alocarea treptată a zecimale. Exemplu: convertiți fracția 1/8.