Găsirea derivatei a doua dată parametric. Derivată a unei funcții definită parametric

Până acum, am luat în considerare ecuații de drepte pe un plan care conectează direct coordonatele curente ale punctelor acestor drepte. Cu toate acestea, este adesea folosită o altă metodă de definire a unei linii, în care coordonatele curente sunt considerate ca funcții ale unei a treia variabile.

Să fie date două funcții ale unei variabile

considerat pentru aceleași valori ale lui t. Atunci oricare dintre aceste valori ale lui t corespunde unei anumite valori și unei anumite valori a lui y și, prin urmare, unui anumit punct. Când variabila t parcurge toate valorile din domeniul de definire a funcțiilor (73), punctul descrie în plan o anumită dreaptă C. Ecuațiile (73) se numesc ecuații parametrice ale acestei linii, iar variabila se numește un parametru.

Să presupunem că funcția are o funcție inversă, înlocuind această funcție în a doua dintre ecuațiile (73), obținem ecuația

exprimând y ca funcție

Să fim de acord să spunem că această funcție este dată parametric de ecuațiile (73). Trecerea de la aceste ecuații la ecuația (74) se numește eliminarea parametrilor. Când luăm în considerare funcțiile definite parametric, excluderea parametrului nu numai că nu este necesară, dar nici nu este întotdeauna posibilă practic.

În multe cazuri, este mult mai convenabil, având în vedere valori diferite ale parametrului, să se calculeze apoi, folosind formulele (73), valorile corespunzătoare ale argumentului și funcției y.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1. Fie un punct arbitrar pe un cerc cu un centru la origine și raza R. Coordonatele carteziene x și y ale acestui punct sunt exprimate prin raza polară și unghiul polar, pe care le notăm aici cu t, după cum urmează ( a se vedea capitolul I, § 3, paragraful 3):

Ecuațiile (75) se numesc ecuații parametrice ale unui cerc. Parametrul din ele este unghiul polar, care variază de la 0 la .

Dacă ecuațiile (75) sunt pătrate termen cu termen și adăugate, atunci în virtutea identității parametrul este eliminat și se obține ecuația unui cerc în sistemul de coordonate carteziene, care definește două funcții elementare:

Fiecare dintre aceste funcții este specificată parametric prin ecuațiile (75), dar intervalele de parametri pentru aceste funcții sunt diferite. Pentru primul dintre ei; Graficul acestei funcții este semicercul superior. Pentru a doua funcție, graficul său este semicercul inferior.

Exemplul 2. Considerăm simultan o elipsă

şi un cerc cu un centru la origine şi raza a (Fig. 138).

Fiecărui punct M al elipsei asociem un punct N al cercului, care are aceeași abscisă cu punctul M și este situat cu acesta de aceeași parte a axei Ox. Poziția punctului N, și deci a punctului M, este complet determinată de unghiul polar t al punctului.În acest caz, pentru abscisa lor comună obținem următoarea expresie: x = a. Găsim ordonata în punctul M din ecuația elipsei:

Semnul a fost ales deoarece ordonata punctului M și ordonata punctului N trebuie să aibă aceleași semne.

Astfel, se obțin următoarele ecuații parametrice pentru elipsă:

Aici parametrul t variază de la 0 la .

Exemplul 3. Să considerăm un cerc cu centrul în punctul a) și raza a, care în mod evident atinge axa x la origine (Fig. 139). Să presupunem că acest cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul axei x. Apoi punctul M al cercului, care la momentul inițial a coincis cu originea coordonatelor, descrie o dreaptă numită cicloidă.

Să derivăm ecuațiile parametrice ale cicloidei, luând ca parametru t unghiul MSV de rotație al cercului la deplasarea punctului său fix din poziția O în poziția M. Atunci pentru coordonatele și y ale punctului M obținem următoarele expresii:

Datorită faptului că cercul se rostogolește de-a lungul axei fără alunecare, lungimea segmentului OB este egală cu lungimea arcului BM. Deoarece lungimea arcului BM este egală cu produsul dintre raza a și unghiul central t, atunci . De aceea . Dar de aceea,

Aceste ecuații sunt ecuațiile parametrice ale cicloidei. Când parametrul t se schimbă de la 0 la cerc va face o revoluție completă. Punctul M va descrie un arc al cicloidă.

Excluderea parametrului t conduce la expresii greoaie și este practic nepractică.

Definirea parametrică a liniilor este folosită în special în mecanică, iar rolul parametrului este jucat de timp.

Exemplul 4. Să determinăm traiectoria unui proiectil tras dintr-un tun cu o viteză inițială la un unghi a față de orizontală. Neglijăm rezistența aerului și dimensiunile proiectilului, considerându-l un punct material.

Să alegem un sistem de coordonate. Să luăm punctul de plecare al proiectilului din bot ca origine a coordonatelor. Să direcționăm axa Ox pe orizontală, iar axa Oy pe verticală, plasându-le în același plan cu botul pistolului. Dacă nu ar exista forța gravitațională, atunci proiectilul s-ar deplasa în linie dreaptă, formând un unghi a cu axa Ox, iar în timpul t ar fi parcurs distanța.Coordonatele proiectilului în momentul t ar fi, respectiv, egale. la: . Datorită gravitației, proiectilul trebuie să coboare pe verticală în acest moment, prin urmare, în realitate, la momentul t, coordonatele proiectilului sunt determinate de formulele:

Aceste ecuații conțin cantități constante. Când t se schimbă, coordonatele la punctul traiectoriei proiectilului se vor schimba și ele. Ecuațiile sunt ecuații parametrice ale traiectoriei proiectilului, în care parametrul este timpul

Exprimând din prima ecuație și substituind-o în

a doua ecuație, obținem ecuația traiectoriei proiectilului sub forma Aceasta este ecuația unei parabole.

Luați în considerare definirea unei linii pe un plan în care variabilele x, y sunt funcții ale unei a treia variabile t (numită parametru):

Pentru fiecare valoare t dintr-un anumit interval corespund anumite valori XȘi y, a, prin urmare, un anumit punct M (x, y) al planului. Când t parcurge toate valorile dintr-un interval dat, apoi punctul M (X y) descrie o linie L. Ecuațiile (2.2) se numesc ecuații de linii parametrice L.

Dacă funcția x = φ(t) are un invers t = Ф(x), atunci substituind această expresie în ecuația y = g(t), obținem y = g(Ф(x)), care specifică y ca o funcție a X. În acest caz, spunem că ecuațiile (2.2) definesc funcția y parametric.

Exemplul 1. Lăsa M(x,y)– punct arbitrar pe un cerc de rază Rși centrat la origine. Lăsa t– unghiul dintre axe Bou si raza OM(vezi Fig. 2.3). Apoi X y sunt exprimate prin t:

Ecuațiile (2.3) sunt ecuații parametrice ale unui cerc. Să excludem parametrul t din ecuațiile (2.3). Pentru a face acest lucru, pătram fiecare ecuație și o adunăm, obținem: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) sau x 2 + y 2 = R 2 – ecuația unui cerc în cartezian sistem de coordonate. Definește două funcții: Fiecare dintre aceste funcții este dată de ecuații parametrice (2.3), dar pentru prima funcție și pentru a doua.

Exemplul 2. Ecuații parametrice

definiți o elipsă cu semi-axe a, b(Fig. 2.4). Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 3. Un cicloid este o linie descrisă de un punct situat pe un cerc dacă acest cerc se rostogolește fără să alunece într-o linie dreaptă (Fig. 2.5). Să introducem ecuațiile parametrice ale cicloidei. Fie raza cercului de rulare A, punct M, descriind cicloidul, la începutul mișcării a coincis cu originea coordonatelor.

Să stabilim coordonatele X, y puncte M după ce cercul s-a rotit printr-un unghi t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Lungimea arcului M.B. egală cu lungimea segmentului O.B. deoarece cercul se rostogolește fără să alunece, așadar

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Deci, se obțin ecuațiile parametrice ale cicloidei:

La modificarea unui parametru t de la 0 la 2π cercul se rotește cu o rotație, iar punctul M descrie un arc de cicloid. Ecuațiile (2.5) dau y ca o funcție a X. Deşi funcţia x = a(t – sint) are o funcție inversă, dar nu se exprimă în termeni de funcții elementare, deci funcția y = f(x) nu se exprimă prin funcţii elementare.

Să considerăm diferențierea unei funcții definită parametric prin ecuațiile (2.2). Funcția x = φ(t) pe un anumit interval de schimbare t are funcție inversă t = Ф(x), Apoi y = g(Ф(x)). Lăsa x = φ(t), y = g(t) au derivate și x"t≠0. Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe y"x=y"t×t"x. Pe baza regulii de diferențiere a funcției inverse, deci:

Formula rezultată (2.6) permite găsirea derivatei pentru o funcție specificată parametric.

Exemplul 4. Fie funcția y, în funcție de X, este specificat parametric:

Soluţie. .
Exemplul 5. Găsiți panta k tangentă la cicloidă în punctul M 0 corespunzător valorii parametrului.
Soluţie. Din ecuațiile cicloidale: y" t = asint, x" t = a(1 – cost), De aceea

Pantă tangentă la un punct M0 egală cu valoarea la t 0 = π/4:

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ

Lăsați funcția la punct x 0 are un derivat. Prioritate A:
prin urmare, conform proprietăților limitei (Secțiunea 1.8), unde A– infinitezimal la Δx → 0. De aici

Δy = f „(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ca Δx → 0, al doilea termen din egalitatea (2.7) este un infinitezimal de ordin superior, comparativ cu , prin urmare Δy și f " (x 0)×Δx sunt echivalente, infinitezimale (pentru f "(x 0) ≠ 0).

Astfel, incrementul funcției Δy este format din doi termeni, dintre care primul f "(x 0)×Δx este parte principală increment Δy, liniar în raport cu Δx (pentru f "(x 0)≠ 0).

Diferenţial funcția f(x) în punctul x 0 se numește partea principală a incrementului funcției și se notează: dy sau df(x0). Prin urmare,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Exemplul 1. Aflați diferența unei funcții dy iar incrementul funcției Δy pentru funcția y = x 2 la:
1) arbitrar Xşi Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Soluţie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Dacă x 0 = 20, Δx = 0,1, atunci Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Să scriem egalitatea (2.7) sub forma:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Incrementul Δy este diferit de diferenţial dy la un infinitezimal de ordin superior, în comparație cu Δx, prin urmare, în calcule aproximative, egalitatea aproximativă Δy ≈ dy este utilizată dacă Δx este suficient de mic.

Considerând că Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), obținem o formulă aproximativă:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)

Exemplul 2. Calculați aproximativ.

Soluţie. Considera:

Folosind formula (2.10), obținem:

Deci, ≈ 2,025.

Să luăm în considerare semnificația geometrică a diferenţialului df(x 0)(Fig. 2.6).

Să desenăm o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M 0 (x0, f(x 0)), fie φ unghiul dintre tangentei KM0 și axa Ox, apoi f"( x 0) = tanφ Din ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Dar PN este incrementul ordonatei tangentei pe măsură ce x se schimbă de la x 0 la x 0 + Δx.

În consecință, diferența funcției f(x) în punctul x 0 este egală cu incrementul ordonatei tangentei.

Să găsim diferența funcției
y = x. Deoarece (x)" = 1, atunci dx = 1×Δx = Δx. Vom presupune că diferența variabilei independente x este egală cu incrementul acesteia, adică dx = Δx.

Dacă x este un număr arbitrar, atunci din egalitatea (2.8) obținem df(x) = f "(x)dx, de unde .
Astfel, derivata pentru o funcție y = f(x) este egală cu raportul dintre diferența sa și diferența argumentului.

Să luăm în considerare proprietățile diferențialei unei funcții.

Dacă u(x), v(x) sunt funcții diferențiabile, atunci următoarele formule sunt valabile:

Pentru a demonstra aceste formule, se folosesc formule derivate pentru suma, produsul și câtul unei funcții. Să demonstrăm, de exemplu, formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Să considerăm diferența unei funcții complexe: y = f(x), x = φ(t), adică. y = f(φ(t)).

Atunci dy = y" t dt, dar y" t = y" x ×x" t, deci dy =y" x x" t dt. Luand in considerare,

că x" t = dx, obținem dy = y" x dx =f "(x)dx.

Astfel, diferența unei funcții complexe y = f(x), unde x =φ(t), are forma dy = f "(x)dx, la fel ca și în cazul în care x este o variabilă independentă. Această proprietate se numește invarianţa formei diferenţialului A.

Fie specificată funcția într-un mod parametric:
(1)
unde este o variabilă numită parametru. Și să fie funcțiile să aibă derivate la o anumită valoare a variabilei. Mai mult, funcția are și o funcție inversă într-o anumită vecinătate a punctului. Atunci funcția (1) are o derivată în punct, care, în formă parametrică, este determinată de formulele:
(2)

Iată și sunt derivatele funcțiilor și față de variabilă (parametru). Ele sunt adesea scrise după cum urmează:
;
.

Atunci sistemul (2) poate fi scris după cum urmează:

Dovada

Prin condiție, funcția are o funcție inversă. Să o notăm ca
.
Atunci funcția originală poate fi reprezentată ca o funcție complexă:
.
Să-i găsim derivata folosind regulile de diferențiere a funcțiilor complexe și inverse:
.

Regula a fost dovedită.

Dovada în a doua cale

Să găsim derivata în al doilea mod, pe baza definiției derivatei funcției în punctul:
.
Să introducem notația:
.
Apoi formula anterioară ia forma:
.

Să profităm de faptul că funcția are o funcție inversă în vecinătatea punctului.
Să introducem următoarea notație:
; ;
; .
Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la:
.
La , . Apoi
.

Regula a fost dovedită.

Derivate de ordin superior

Pentru a găsi derivate de ordin superior, este necesar să se efectueze diferențierea de mai multe ori. Să presupunem că trebuie să găsim derivata de ordinul doi a unei funcții definite parametric, de următoarea formă:
(1)

Folosind formula (2) găsim prima derivată, care este, de asemenea, determinată parametric:
(2)

Să notăm prima derivată prin variabilă:
.
Apoi, pentru a găsi derivata a doua a unei funcții în raport cu variabila, trebuie să găsiți derivata întâi a funcției în raport cu variabila. Dependența unei variabile de o variabilă este de asemenea specificată într-un mod parametric:
(3)
Comparând (3) cu formulele (1) și (2), găsim:

Acum să exprimăm rezultatul prin funcțiile și . Pentru a face acest lucru, să înlocuim și să aplicăm formula fracției derivate:
.
Apoi
.

De aici obținem derivata a doua a funcției față de variabilă:

Este dat și sub formă parametrică. Rețineți că prima linie poate fi scrisă și după cum urmează:
.

Continuând procesul, puteți obține derivate ale funcțiilor dintr-o variabilă de ordin al treilea și superior.

Rețineți că nu trebuie să introducem o notație pentru derivată. O poti scrie asa:
;
.

Exemplul 1

Găsiți derivata unei funcții definită parametric:

Soluţie

Găsim derivate cu privire la .
Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Aplicam:

.
Aici .

.
Aici .

Derivatul necesar:
.

Răspuns

Exemplul 2

Găsiți derivata funcției exprimată prin parametrul:

Soluţie

Să deschidem parantezele folosind formule pentru funcțiile de putere și rădăcini:
.

Găsirea derivatei:

.

Găsirea derivatei. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

.

Găsim derivata dorită:
.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivatele de ordinul doi și trei ale funcției definite parametric în Exemplul 1:

Soluţie

În exemplul 1 am găsit derivata de ordinul întâi:

Să introducem denumirea. Atunci funcția este derivată în raport cu . Este specificat parametric:

Pentru a găsi derivata a doua în raport cu , trebuie să găsim derivata întâi în raport cu .

Să facem diferența prin .
.
Am găsit derivata lui în exemplul 1:
.
Derivata de ordinul doi în raport cu este egală cu derivata de ordinul întâi în ceea ce privește:
.

Deci, am găsit derivata de ordinul doi în raport cu forma parametrică:

Acum găsim derivata de ordinul trei. Să introducem denumirea. Apoi trebuie să găsim derivata de ordinul întâi a funcției, care este specificată într-un mod parametric:

Aflați derivata față de . Pentru a face acest lucru, îl rescriem într-o formă echivalentă:
.
Din
.

Derivata de ordinul trei în raport cu este egală cu derivata de ordinul întâi în ceea ce privește:
.

cometariu

Nu trebuie să introduceți variabilele și , care sunt derivate ale și, respectiv. Apoi o poți scrie așa:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Răspuns

În reprezentarea parametrică, derivata de ordinul doi are următoarea formă:

Derivată de ordinul trei.

Funcția poate fi specificată în mai multe moduri. Depinde de regula folosită pentru a-l specifica. Forma explicită de specificare a funcției este y = f (x). Există momente când descrierea sa este imposibilă sau incomodă. Dacă există multe perechi (x; y) care trebuie calculate pentru parametrul t pe intervalul (a; b). Pentru a rezolva sistemul x = 3 cos t y = 3 sin t cu 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definiția unei funcții parametrice

De aici avem că x = φ (t), y = ψ (t) sunt definite pentru o valoare t ∈ (a; b) și au o funcție inversă t = Θ (x) pentru x = φ (t), atunci vorbim despre precizarea unei ecuații parametrice a unei funcții de forma y = ψ (Θ (x)) .

Există cazuri când, pentru a studia o funcție, este necesară căutarea derivatei față de x. Să luăm în considerare formula pentru derivata unei funcții definite parametric de forma y x " = ψ " (t) φ " (t), să vorbim despre derivata de ordinul 2 și al n-lea.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții definite parametric

Avem că x = φ (t), y = ψ (t), definit și derivabil pentru t ∈ a; b, unde x t " = φ " (t) ≠ 0 și x = φ (t), atunci există o funcție inversă de forma t = Θ (x).

Pentru început, ar trebui să treceți de la o sarcină parametrică la una explicită. Pentru a face acest lucru, trebuie să obțineți o funcție complexă de forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), unde există un argument x.

Pe baza regulii de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem că y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Aceasta arată că t = Θ (x) și x = φ (t) sunt funcții inverse din formula funcției inverse Θ " (x) = 1 φ " (t), apoi y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Să trecem la rezolvarea mai multor exemple folosind un tabel de derivate conform regulii de diferențiere.

Exemplul 1

Aflați derivata pentru funcția x = t 2 + 1 y = t.

Soluţie

Prin condiție avem că φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aici obținem că φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Trebuie să utilizați formula derivată și să scrieți răspunsul sub forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Răspuns: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Când se lucrează cu derivata unei funcții h, parametrul t specifică expresia argumentului x prin același parametru t, pentru a nu pierde legătura dintre valorile derivatei și funcția definită parametric cu argumentul la cărora le corespund aceste valori.

Pentru a determina derivata de ordinul doi a unei funcții date parametric, trebuie să utilizați formula pentru derivata de ordinul întâi pe funcția rezultată, apoi obținem că

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Exemplul 2

Aflați derivatele de ordinul 2 și 2 ale funcției date x = cos (2 t) y = t 2 .

Soluţie

Prin condiție, constatăm că φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Apoi, după transformare

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Rezultă că y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Obținem că forma derivatei de ordinul I este x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Pentru a rezolva, trebuie să aplicați formula derivată de ordinul doi. Obținem o expresie a formei

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Apoi se specifică derivata de ordinul 2 folosind o funcție parametrică

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

O soluție similară poate fi rezolvată folosind o altă metodă. Apoi

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

De aici obținem asta

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Răspuns: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Derivatele de ordin superior cu funcții definite parametric se găsesc într-un mod similar.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Diferențierea logaritmică

Derivate ale funcţiilor elementare

Reguli de bază de diferențiere

Diferenţial de funcţie

Partea liniară principală a incrementului funcției A D Xîn determinarea diferenţiabilităţii unei funcţii

D f=f(X)-f(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

numită diferenţială a funcţiei f(X) la punct X 0 și se notează

df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.

Diferența depinde de punct X 0 și din incrementul D X. Pe D Xîn același timp ei îl privesc ca pe o variabilă independentă, deci în fiecare punct diferența este o funcție liniară a incrementului D X.

Dacă considerăm ca o funcţie f(X)=x, apoi primim dx= D x,dy=Adx. Acest lucru este în concordanță cu notația lui Leibniz

Interpretarea geometrică a diferenţialului ca o creştere a ordonatei unei tangente.

Orez. 4.3

1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Consecinţă. (cf(X))¢=cf¢(X), (c 1 f 1 (X)+…+c n f n(X))¢= c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 și derivata există, atunci f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Pentru concizie vom desemna u=u(X), u 0 =u(X 0), atunci

Trecerea la limita la D x® 0 obţinem egalitatea cerută.

5) Derivata unei functii complexe.

Teorema. Dacă există f¢(X 0), g¢(X 0)și x 0 =g(t 0), apoi în vreun cartier t 0 este definită funcția complexă f(g(t)), este diferențiabilă în punctul t 0 Și

Dovada.

f(X)-f(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ U(X 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(X 0)(g(t)- g(t 0))+ A( g(t))(g(t)- g(t 0)).

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități la ( t - t 0) si sa trecem la limita la t®t 0 .

6) Calculul derivatei funcției inverse.

Teorema. Fie f continuu și strict monoton pe[a,b]. Fie în punctul x 0 Î( a,b)există f¢(X 0)¹ 0 , atunci funcția inversă x=f -1 (y)are la punctul y 0 derivată egală cu

Dovada. Noi numărăm f crescând strict monoton, deci f -1 (y) este continuă, crește monoton cu [ f(A),f(b)]. Sa punem y 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,

y - y 0 =D y. Datorită continuității funcției inverse D y®0 Þ D X®0, avem

Trecând la limită, obținem egalitatea necesară.

7) Derivata unei functii pare este impara, derivata unei functii impare este pare.

Într-adevăr, dacă x® - x 0 , Acea - x® x 0 , De aceea

Pentru funcția pară pentru funcția impară

1) f= const, f¢(X)=0.

2) f(X)=x,f¢(X)=1.

3) f(X)=e x, f¢(X)= e x ,

4) f(X)=a x,(un x)¢ = un x ln A.

5) ln A.

6) f(X)=ln X,

Consecinţă. (derivata unei funcții pare este impară)

7) (X m )¢= m X m -1 , X>0, X m =e m ln X .

8) (păcat X)¢= cos X,

9) (cos X)¢=- păcat X,(cos X)¢= (păcat( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.

11) (ctg X)¢= -1/sin 2 X.

16) sh X, cap X.

f(x),, din care rezultă că f¢(X)=f(X)(ln f(X))¢ .

Aceeași formulă poate fi obținută diferit f(X)=e ln f(X) , f¢=e ln f(X) (ln f(X))¢.

Exemplu. Calculați derivata unei funcții f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Amplasarea geometrică a punctelor pe un plan

îl vom numi un grafic al unei funcții, dat parametric. Ei vorbesc, de asemenea, despre specificarea parametrică a unei funcții.

Nota 1. Dacă X y continuu pentru [a,b] Și X(t) strict monoton pe segment (de exemplu, crește strict monoton), apoi pe [ a,b], a=x(A) , b=x(b) functie definita f(X)=y(t(X)), unde t(X) – funcţie inversă la x(t). Graficul acestei funcții coincide cu graficul funcției

Dacă domeniul definiţiei o funcție dată parametric poate fi împărțită într-un număr finit de segmente ,k= 1,2,...,n, pe fiecare dintre care există o funcţie X(t) este strict monotonă, atunci funcția definită parametric se descompune într-un număr finit de funcții obișnuite fk(X)=y(t -1 (X)) cu domenii [ X(A k), X(b k)] pentru cresterea sectiunilor X(t) și cu domenii [ X(b k), X(A k)] pentru zonele cu funcție în scădere X(t). Funcțiile obținute în acest fel se numesc ramuri cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite parametric

Cu parametrizarea selectată, zona de definire este împărțit în cinci secțiuni de monotonitate strictă a funcției sin(2 t), exact: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , și, în consecință, graficul se va împărți în cinci ramuri clare corespunzătoare acestor secțiuni.

Orez. 4.4

Orez. 4.5

Puteți alege o parametrizare diferită a aceleiași locații geometrice a punctelor

În acest caz vor exista doar patru astfel de ramuri. Ele vor corespunde zonelor de strictă monotonie tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funcții păcatul (2 t).

Orez. 4.6

Patru secțiuni de monotonitate ale funcției sin(2 t) pe un segment lung.

Orez. 4.7

Reprezentarea ambelor grafice într-o singură figură vă permite să reprezentați aproximativ graficul unei funcții specificate parametric, folosind zonele de monotonitate ale ambelor funcții.

Ca exemplu, luați în considerare prima ramură corespunzătoare segmentului tÎ . La sfârșitul acestei secțiuni funcția x= păcatul (2 t) ia valori -1 și 1 , deci această ramură va fi definită la [-1,1] . După aceasta, trebuie să vă uitați la zonele de monotonie ale celei de-a doua funcții y= cos( t), ea are pe două secțiuni de monotonie . Acest lucru ne permite să spunem că prima ramură are două secțiuni de monotonitate. După ce ați găsit punctele finale ale graficului, le puteți conecta cu linii drepte pentru a indica natura monotoniei graficului. După ce am făcut acest lucru cu fiecare ramură, obținem zone de monotonitate ale ramurilor fără ambiguitate ale graficului (sunt evidențiate cu roșu în figură)

Orez. 4.8

Prima ramură cu valoare unică f 1 (X)=y(t(X)) , corespunzător site-ului va fi determinat pentru XО[-1,1] . Prima ramură cu valoare unică tÎ , XО[-1,1].

Toate celelalte trei ramuri vor avea, de asemenea, un domeniu de definiție [-1,1] .

Orez. 4.9

A doua ramură tÎ XО[-1,1].

Orez. 4.10

A treia ramură tÎ XО[-1,1]

Orez. 4.11

A patra ramură tÎ XО[-1,1]

Orez. 4.12

cometariu 2. Aceeași funcție poate avea setări parametrice diferite. Diferențele pot viza atât funcțiile în sine X(t), y(t) , și domeniul definiției aceste funcții.

Exemplu de atribuiri parametrice diferite pentru aceeași funcție

Și tО[-1, 1] .

Nota 3. Dacă x,y sunt continui pe , X(t)- strict monoton pe segment și există derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, atunci există f¢(X 0)= .

Într-adevăr, .

Ultima declarație se aplică și ramurilor cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

4.2 Derivate și diferențiale de ordin superior

Derivate și diferențiale superioare. Diferențierea funcțiilor specificate parametric. formula lui Leibniz.