Punctele maxime și minime ale unei funcții. Ce sunt extremele unei funcții: punctele critice de maxim și minim

Multe probleme necesită calcularea valorii maxime sau minime a unei funcții pătratice. Maximul sau minimul poate fi găsit dacă funcția originală este scrisă în formă standard: sau prin coordonatele vârfului parabolei: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Mai mult, maximul sau minimul oricărei funcții pătratice poate fi calculat folosind operații matematice.

Pași

Funcția pătratică este scrisă în formă standard

Scrieți funcția în formă standard. O funcție pătratică este o funcție a cărei ecuație implică o variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)). Ecuația poate include sau nu o variabilă x (\displaystyle x). Dacă o ecuație include o variabilă cu un exponent mai mare de 2, ea nu descrie o funcție pătratică. Dacă este necesar, furnizați termeni similari și rearanjați-i pentru a scrie funcția în formă standard.

• De exemplu, având în vedere funcția f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adăugați termeni cu variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)) si membri cu variabila x (\displaystyle x) pentru a scrie ecuația în formă standard:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) cu variabila x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aici a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Aici, deci, parabola este îndreptată în jos.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aici a = 1 (\displaystyle a=1), deci parabola este îndreptată în sus.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să-i căutați minimul. Dacă parabola este îndreptată în jos, căutați maximul său.

2. Calculați -b/2a. Sens − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) este coordonata x (\displaystyle x) vârfurile parabolei. Dacă o funcție pătratică este scrisă în formă standard a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilizați coeficienții pentru x (\displaystyle x)Și x 2 (\displaystyle x^(2)) in felul urmator:

   • În coeficienții de funcție a = 1 (\displaystyle a=1)Și b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Ca un al doilea exemplu, luați în considerare funcția. Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3)Și b = 6 (\displaystyle b=6). Prin urmare, calculați coordonata „x” a vârfului parabolei după cum urmează:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Găsiți valoarea corespunzătoare a lui f(x). Introduceți valoarea găsită a lui „x” în funcția originală pentru a găsi valoarea corespunzătoare a lui f(x). În acest fel veți găsi minimul sau maximul funcției.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) ați calculat că coordonata x a vârfului parabolei este x = − 5 (\displaystyle x=-5). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) ați descoperit că coordonata x a vârfului parabolei este x = 1 (\displaystyle x=1). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui 1 (\displaystyle 1) pentru a-i găsi valoarea maximă:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Notează-ți răspunsul. Recitiți enunțul problemei. Dacă trebuie să găsiți coordonatele vârfului unei parabole, notați ambele valori în răspunsul dvs x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Dacă trebuie să calculați maximul sau minimul unei funcții, notați doar valoarea din răspunsul dvs y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Privește din nou semnul coeficientului a (\displaystyle a) pentru a verifica dacă ați calculat maxim sau minim.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) sens a (\displaystyle a) pozitiv, deci ai calculat minimul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (− 5 , - 26) (\displaystyle (-5,-26)), iar valoarea minimă a funcției este − 26 (\displaystyle -26).
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) sens a (\displaystyle a) negativ, deci ai găsit maximul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (1 , - 1) (\displaystyle (1,-1)), iar valoarea maximă a funcției este − 1 (\displaystyle -1).

5. Determinați direcția parabolei. Pentru a face acest lucru, uitați-vă la semnul coeficientului a (\displaystyle a). Dacă coeficientul a (\displaystyle a) pozitiv, parabola este îndreptată în sus. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) negativ, parabola este îndreptată în jos. De exemplu:

   • . Aici a = 2 (\displaystyle a=2), adică coeficientul este pozitiv, deci parabola este îndreptată în sus.
   • . Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3), adică coeficientul este negativ, deci parabola este îndreptată în jos.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să calculați valoarea minimă a funcției. Dacă parabola este îndreptată în jos, trebuie să găsiți valoarea maximă a funcției.

6. Găsiți valoarea minimă sau maximă a funcției. Dacă funcția este scrisă prin coordonatele vârfului parabolei, minimul sau maximul este egal cu valoarea coeficientului k (\displaystyle k). În exemplele de mai sus:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici k = - 4 (\displaystyle k=-4). Aceasta este valoarea minimă a funcției deoarece parabola este îndreptată în sus.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici k = 2 (\displaystyle k=2). Aceasta este valoarea maximă a funcției deoarece parabola este îndreptată în jos.

7. Aflați coordonatele vârfului parabolei. Dacă problema necesită găsirea vârfului unei parabole, coordonatele acesteia sunt (h, k) (\displaystyle (h,k)). Vă rugăm să rețineți că atunci când o funcție pătratică este scrisă prin coordonatele vârfului unei parabole, operația de scădere trebuie să fie inclusă în paranteze. (x - h) (\displaystyle (x-h)), deci valoarea h (\displaystyle h) este luată cu semnul opus.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici operația de adunare (x+1) este inclusă în paranteze, care poate fi rescrisă după cum urmează: (x-(-1)). Prin urmare, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Prin urmare, coordonatele vârfului parabolei acestei funcții sunt egale cu (− 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici, între paranteze, este expresia (x-2). Prin urmare, h = 2 (\displaystyle h=2). Coordonatele vârfului sunt (2,2).

Cum se calculează minimum sau maxim folosind operații matematice

1. Mai întâi, să ne uităm la forma standard a ecuației. Scrieți funcția pătratică în formă standard: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Dacă este necesar, adăugați termeni similari și rearanjați-i pentru a obține ecuația standard.

   • De exemplu: .

2. Găsiți prima derivată. Prima derivată a unei funcții pătratice, care este scrisă în formă standard, este egală cu f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Prima derivată a acestei funcții se calculează după cum urmează:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Echivalează derivata cu zero. Reamintim că derivata unei funcții este egală cu panta funcției la un anumit punct. La minim sau maxim, panta este zero. Prin urmare, pentru a găsi valoarea minimă sau maximă a unei funcții, derivata trebuie setată la zero. În exemplul nostru.

77419.Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –48x+17

Să găsim zerourile derivatei:

Să luăm rădăcinile:

Să determinăm semnele derivatei funcției prin înlocuirea valorilor din intervale în derivata rezultată și să descriem comportamentul funcției în figură:

Am constatat că la punctul –4 derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ. Astfel, punctul x=–4 este punctul maxim dorit.

Răspuns: -4

77423. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –3x 2 +2

Să găsim derivata funcției date:

Să echivalăm derivata cu zero și să rezolvăm ecuația:

În punctul x=0, derivata își schimbă semnul de la pozitiv la negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim.

77427. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 +2x 2 +x+3

Să găsim derivata funcției date:

Când egalăm derivata la zero și rezolvăm ecuația:

Să determinăm semnele derivatei funcției și să descriem în figură intervalele de creștere și scădere ale funcției prin înlocuirea valorilor din fiecare interval în expresia derivatei:

În punctul x=–1, derivata își schimbă semnul de la pozitiv la negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

Raspunsul 1

77431. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –5x 2 +7x–5

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

În punctul x = 1, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

77435. Aflați punctul maxim al funcției y=7+12x–x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

12 – 3x 2 = 0

Rezolvând ecuația pătratică obținem:

*Aceste puncte sunt de maxim (minim) posibil al funcției.

Să construim o dreaptă numerică și să marchem zerourile derivatei. Să determinăm semnele derivatei prin înlocuirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și să descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

În punctul x = 2, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este punctul x = – 2.

77439. Aflați punctul maxim al funcției y=9x 2 – x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Rezolvând ecuația obținem:

*Aceste puncte sunt de maxim (minim) posibil al funcției.

Să construim o dreaptă numerică și să marchem zerourile derivatei. Să determinăm semnele derivatei prin înlocuirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și să descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

În punctul x=6, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este punctul x = 0.

Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

y=

pe segmentul [ ;]

Includeți teoria

Reguli de intrare în funcții:

Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile

Ecuația f" 0 (x *) = 0 este o condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Ea identifică punctele staționare x c ​​la care funcția nu dispare. creste sau scade.

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile

Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minim local (global) al funcției.

Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Atunci punctul x * este un maxim local (global).

Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1

Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile la extrem.

Creșterea, descreșterea și extremele unei funcții

Găsirea intervalelor de creștere, scădere și extreme ale unei funcții este atât o sarcină independentă, cât și o parte esențială a altor sarcini, în special, studiu complet al funcției. Informațiile inițiale despre creșterea, scăderea și extremele funcției sunt date în capitol teoretic despre derivată, pe care îl recomand cu căldură pentru studiu preliminar (sau repetare)– și pentru motivul că următorul material se bazează pe foarte în esență derivată, fiind o continuare armonioasă a acestui articol. Deși, dacă timpul este scurt, atunci este posibilă și o practică pur formală a exemplelor din lecția de astăzi.

Și astăzi există un spirit de unanimitate rară în aer și pot simți direct că toți cei prezenți arde de dorință învață să explorezi o funcție folosind derivata ei. Prin urmare, terminologia rezonabilă, bună, eternă apare imediat pe ecranele monitorului dumneavoastră.

Pentru ce? Unul dintre motive este cel mai practic: astfel încât să fie clar ce ți se cere în general într-o anumită sarcină!

Monotonitatea funcției. Punctele extreme și extremele unei funcții

Să luăm în considerare o funcție. Pentru a spune simplu, presupunem că ea continuu pe întreaga linie numerică:

Pentru orice eventualitate, să scăpăm imediat de eventualele iluzii, mai ales pentru acei cititori care s-au familiarizat recent cu intervale de semn constant ale funcției. Acum noi NU SUNT INTERESAT, cum este situat graficul funcției în raport cu axa (deasupra, dedesubt, unde se intersectează axa). Pentru a fi convingător, ștergeți mental axele și lăsați un grafic. Pentru că acolo este interesul.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul său merge „de jos în sus”. Funcția demonstrativă crește pe interval.

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul său merge „de sus în jos”. Funcția noastră scade pe intervale .

Dacă o funcție crește sau scade pe un interval, atunci se numește strict monoton la acest interval. Ce este monotonia? Luați-o la propriu – monotonie.

De asemenea, puteți defini nescădere funcția (condiție relaxată în prima definiție) și necrescătoare funcția (condiție atenuată în a 2-a definiție). O funcție care nu descrește sau nu crește pe un interval se numește funcție monotonă pe un interval dat (monotonitatea strictă este un caz special de monotonitate „pur și simplu”).

Teoria are în vedere și alte abordări pentru determinarea creșterii/scăderii unei funcții, inclusiv pe semiintervale, segmente, dar pentru a nu vă turna ulei-ulei-ulei pe cap, vom fi de acord să operam cu intervale deschise cu definiții categorice. - acest lucru este mai clar și pentru rezolvarea multor probleme practice destul de mult.

Prin urmare, în articolele mele formularea „monotonitatea unei funcții” va fi aproape întotdeauna ascunsă intervale monotonie strictă(funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare).

Vecinătatea unui punct. Cuvinte după care elevii fug oriunde pot și se ascund îngroziți în colțuri. ...Deși după postare Limitele Cauchy Probabil că nu se mai ascund, ci doar tremură puțin =) Nu vă faceți griji, acum nu vor exista dovezi ale teoremelor de analiză matematică - aveam nevoie de împrejurimi pentru a formula definițiile mai strict puncte extremum. Să ne amintim:

Vecinătatea unui punct se numește un interval care conține un punct dat și, pentru comoditate, se presupune adesea că intervalul este simetric. De exemplu, un punct și vecinătatea sa standard:

De fapt, definițiile:

Punctul se numește punct maxim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În exemplul nostru specific, acesta este un punct.

Punctul se numește punct minim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În desen există punctul „a”.

Notă : cerința simetriei vecinătății nu este deloc necesară. În plus, este important însuşi faptul existenţei cartier (fie mic sau microscopic) care satisface conditiile specificate

Punctele sunt numite puncte strict extremum sau pur și simplu puncte extremum funcții. Adică este un termen generalizat pentru puncte maxime și puncte minime.

Cum înțelegem cuvântul „extrem”? Da, la fel de direct ca monotonia. Puncte extreme de roller coaster.

Ca și în cazul monotonității, postulate libere există și sunt chiar mai frecvente în teorie (în care, desigur, se încadrează cazurile stricte luate în considerare!):

Punctul se numește punct maxim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toți
Punctul se numește punct minim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toți valorile acestui cartier, inegalitatea este valabilă.

Rețineți că, conform ultimelor două definiții, orice punct al unei funcții constante (sau o „secțiune plată” a unei funcții) este considerat atât un punct maxim, cât și un punct minim! Funcția, apropo, este atât necreștere, cât și nedescrescătoare, adică monotonă. Cu toate acestea, vom lăsa aceste considerații în seama teoreticienilor, deoarece în practică aproape întotdeauna contemplăm „dealurile” și „golurile” tradiționale (vezi desenul) cu un „rege al dealului” sau „prințesa mlaștinii” unic. Ca varietate, apare bacsis, direcționat în sus sau în jos, de exemplu, minimul funcției în punct.

Oh, și vorbind despre regalitate:
– se numește sensul maxim funcții;
– se numește sensul minim funcții.

Denumirea comună - extreme funcții.

Vă rog să aveți grijă la cuvintele voastre!

Puncte extreme– acestea sunt valori „X”.
Extreme– semnificații „joc”.

! Notă : uneori termenii enumerați se referă la punctele „X-Y” care se află direct pe GRAFUL funcției ÎNSEȘI.

Câte extreme poate avea o funcție?

Niciuna, 1, 2, 3, ... etc. catre infinit. De exemplu, sinusul are infinit de minime și maxime.

IMPORTANT! Termenul „maxim de funcție” nu identice termenul „valoarea maximă a unei funcții”. Este ușor de observat că valoarea este maximă doar într-un cartier local, iar în stânga sus sunt „tovarăși mai cool”. La fel, „minimul unei funcții” nu este același lucru cu „valoarea minimă a unei funcții”, iar în desen vedem că valoarea este minimă doar într-o anumită zonă. În acest sens, se mai numesc puncte extremum punctele extreme locale, iar extrema - extreme locale. Se plimbă și se plimbă prin apropiere și global fraţi. Deci, orice parabolă are la vârf minim global sau maxim global. În plus, nu voi face distincția între tipurile de extreme, iar explicația este exprimată mai mult în scopuri educaționale generale - adjectivele suplimentare „local”/„global” nu ar trebui să vă ia prin surprindere.

Să rezumăm scurta noastră excursie în teorie cu un test: ce înseamnă sarcina „găsește intervalele de monotonitate și punctele extreme ale funcției”?

Formularea vă încurajează să găsiți:

– intervale de funcție crescătoare/descrescătoare (nedescrescătoare, necrescătoare apare mult mai rar);

– puncte maxime și/sau minime (dacă există). Ei bine, pentru a evita eșecul, este mai bine să găsiți ei înșiși minimele/maximurile ;-)

Cum să determine toate acestea? Folosind funcția derivată!

Cum să găsiți intervale de creștere, scădere,
punctele extreme și extremele funcției?

Multe reguli, de fapt, sunt deja cunoscute și înțelese din lecție despre semnificația unui derivat.

Derivată tangentă aduce vestea veselă că funcția crește pe tot parcursul domeniul definirii.

Cu cotangentă și derivatul său situatia este exact inversa.

Arcsinusul crește pe interval - derivata aici este pozitivă: .
Când funcția este definită, dar nu este diferențiabilă. Cu toate acestea, în punctul critic există o derivată de dreapta și o tangentă de dreapta, iar la cealaltă margine sunt omologii lor stângaci.

Cred că nu vă va fi prea dificil să efectuați un raționament similar pentru arccosinus și derivata sa.

Toate cazurile de mai sus, dintre care multe sunt derivate tabulare, vă reamintesc, urmăriți direct de la definiții derivate.

De ce să explorezi o funcție folosind derivata ei?

Pentru a înțelege mai bine cum arată graficul acestei funcții: unde merge „de jos în sus”, unde „de sus în jos”, unde ajunge la minime și maxime (dacă ajunge deloc). Nu toate funcțiile sunt atât de simple - în majoritatea cazurilor nu avem nicio idee despre graficul unei anumite funcții.

Este timpul să trecem la exemple mai semnificative și să luăm în considerare algoritm pentru găsirea intervalelor de monotonitate și a extremelor unei funcții:

Exemplul 1

Găsiți intervalele de creștere/descreștere și extremele funcției

Soluţie:

1) Primul pas este să găsești domeniul unei funcții, și, de asemenea, luați notă de punctele de întrerupere (dacă există). În acest caz, funcția este continuă pe întreaga linie numerică, iar această acțiune este într-o anumită măsură formală. Dar, într-un număr de cazuri, pasiuni serioase izbucnesc aici, așa că să tratăm paragraful fără dispreț.

2) Al doilea punct al algoritmului se datorează

o condiție necesară pentru un extremum:

Dacă există un extremum într-un punct, atunci fie valoarea nu există.

Confuz de final? Extremul funcției „modulu x”. .

Condiția este necesară, dar insuficient, iar inversul nu este întotdeauna adevărat. Deci, încă nu rezultă din egalitate că funcția să atingă un maxim sau un minim în punctul . Un exemplu clasic a fost deja evidențiat mai sus - aceasta este o parabolă cubică și punctul său critic.

Dar oricum ar fi, condiția necesară pentru un extremum dictează necesitatea de a găsi puncte suspecte. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata și rezolvați ecuația:

La începutul primului articol despre graficele de funcțiiȚi-am spus cum să construiești rapid o parabolă folosind un exemplu : „...luăm derivata întâi și o echivalăm cu zero: ...Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei...”. Acum, cred, toată lumea înțelege de ce vârful parabolei este situat exact în acest punct =) În general, ar trebui să începem cu un exemplu similar aici, dar este prea simplu (chiar și pentru un ceainic). În plus, există un analog la sfârșitul lecției despre derivata unei functii. Prin urmare, să creștem gradul:

Exemplul 2

Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O soluție completă și un eșantion final aproximativ al problemei la sfârșitul lecției.

A sosit momentul mult așteptat al întâlnirii cu funcțiile fracționare-raționale:

Exemplul 3

Explorați o funcție folosind derivata întâi

Fiți atenți la cât de variabil poate fi reformulată una și aceeași sarcină.

Soluţie:

1) Funcția suferă discontinuități infinite în puncte.

2) Detectăm punctele critice. Să găsim prima derivată și să o echivalăm cu zero:

Să rezolvăm ecuația. O fracție este zero când numărătorul ei este zero:

Astfel, obținem trei puncte critice:

3) Trasăm TOATE punctele detectate pe linia numerică și metoda intervalului definim semnele DERIVATULUI:

Vă reamintesc că trebuie să luați un punct în interval și să calculați valoarea derivatei la acesta și determinați-i semnul. Este mai profitabil să nu numărăm, ci să „estimați” verbal. Să luăm, de exemplu, un punct aparținând intervalului și să efectuăm înlocuirea: .

Două „plus” și unul „minus” dau un „minus”, prin urmare, ceea ce înseamnă că derivata este negativă pe întreg intervalul.

Acțiunea, după cum înțelegeți, trebuie efectuată pentru fiecare dintre cele șase intervale. Apropo, rețineți că factorul numărător și numitorul sunt strict pozitive pentru orice punct din orice interval, ceea ce simplifică foarte mult sarcina.

Deci, derivata ne-a spus că FUNCȚIA ÎNSĂȘI crește cu si scade cu . Este convenabil să conectați intervale de același tip cu pictograma de alăturare.

În momentul în care funcția atinge maximul:
În momentul în care funcția atinge un minim:

Gândește-te de ce nu trebuie să recalculezi a doua valoare ;-)

Când trece printr-un punct, derivata nu își schimbă semnul, așa că funcția nu are NU EXTREM acolo - a scăzut și a rămas în scădere.

! Să repetăm ​​un punct important: punctele nu sunt considerate critice - conțin o funcție nedeterminat. În consecință, aici În principiu, nu pot exista extreme(chiar dacă derivata își schimbă semnul).

Răspuns: functia creste cu și scade cu În punctul în care se atinge maximul funcției: , iar la punctul – minimul: .

Cunoașterea intervalelor de monotonitate și a extremelor, cuplate cu stabilite asimptote oferă deja o idee foarte bună despre aspectul graficului funcției. O persoană de pregătire medie este capabilă să determine verbal că graficul unei funcții are două asimptote verticale și o asimptotă oblică. Iată eroul nostru:

Încercați încă o dată să corelați rezultatele studiului cu graficul acestei funcții.
Nu există extremum în punctul critic, dar există inflexia graficului(ceea ce, de regulă, se întâmplă în cazuri similare).

Exemplul 4

Găsiți extremele funcției

Exemplul 5

Găsiți intervalele de monotonitate, maximele și minimele funcției

… este aproape ca un fel de vacanță „X într-un cub” astăzi...
Soooo, cine din galerie s-a oferit să bea pentru asta? =)

Fiecare sarcină are propriile sale nuanțe de fond și subtilități tehnice, care sunt comentate la sfârșitul lecției.