Formule de integrare pe părți cu exemple. Integrale complexe

Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivată a funcției f(x), sau integrala lui f(x), dacă pentru fiecare x ∈X este valabilă următoarea egalitate:

F " (x) = f(x). (8.1)

Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Funcție integrală nedefinită f(x) pe un interval dat X este mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentru funcția f(x); denumire -

Dacă F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

unde C este o constantă arbitrară.

Tabelul integralelor

Direct din definiție obținem principalele proprietăți ale integralei nedefinite și o listă de integrale tabelare:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista integralelor tabelare

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Înlocuire variabilă

Pentru a integra multe funcții, utilizați metoda de înlocuire a variabilei sau substituții, permițându-vă să reduceți integralele la formă tabelară.

Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Mai mult, după integrarea din partea dreaptă, trebuie făcută înlocuirea z=g(x).

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

De exemplu:

Metoda de integrare pe părți

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Se numește o sumă de forma f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcţiile f(x) ale A inainte de b si este desemnata:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru o integrală definită:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Bou.

Integrale improprii

Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). nu a ta. Integrale improprii de primul fel - Acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile X segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Soluţie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Soluţie.

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. = .

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. De asemenea, integrăm integrala ∫e x cosxdx prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați integrala J = .

Soluţie. Avem: . Prin urmare =
=
=. introdus astfel: sqrt(tan(x/2)).

Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.

Calculatorul rezolvă integralele cu o descriere a acțiunilor în DETALII în rusă și gratuit!

Rezolvarea integralelor nedefinite

Acesta este un serviciu online în un pas:

Rezolvarea integralelor definite

Acesta este un serviciu online în un pas:

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți o limită inferioară pentru integrală
• Introduceți o limită superioară pentru integrală

Rezolvarea integralelor duble

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)

Rezolvarea integralelor improprii

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți regiunea superioară de integrare (sau + infinit)
• Introduceți regiunea inferioară de integrare (sau - infinit)

Mergi la: Serviciul online „Integral nepotrivit” →

Rezolvarea integralelor triple

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți limitele inferioare și superioare pentru prima regiune de integrare
• Introduceți limita inferioară și superioară pentru a doua regiune de integrare
• Introduceți limita inferioară și superioară pentru a treia regiune de integrare

Mergi la: Serviciul online „Triple Integral” →

Acest serviciu vă permite să verificați calculele pentru corectitudine

Posibilitati

• Suportă toate funcțiile matematice posibile: sinus, cosinus, exponent, tangentă, cotangentă, rădăcini pătrate și cubice, puteri, exponențiale și altele.
• Există exemple de intrare, atât pentru integrale nedefinite, cât și pentru cele improprie și definite.
• Corectează erorile din expresiile pe care le introduceți și vă oferă propriile opțiuni pentru introducere.
• Soluție numerică pentru integrale definite și improprie (inclusiv integrale duble și triple).
• Suport pentru numere complexe, precum și diverși parametri (puteți specifica nu numai variabila de integrare, ci și alte variabile de parametri în expresia integrand)

Integrare pe părți- o metodă folosită pentru rezolvarea integralelor definite și nedefinite, când unul dintre integranți este ușor integrabil, iar celălalt este diferențiabil. O metodă destul de comună pentru găsirea integralelor, atât nedefinite, cât și definite. Semnul principal atunci când trebuie să îl utilizați este o anumită funcție constând din produsul a două funcții care nu pot fi integrate direct.

Formulă

Pentru a utiliza cu succes această metodă, trebuie să înțelegeți și să învățați formulele.

Formula de integrare pe părți în integrala nedefinită:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formula pentru integrarea pe părți într-o integrală definită:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Exemple de soluții

Să luăm în practică exemple de soluții de integrare pe părți, care sunt adesea propuse de profesori în timpul testelor. Vă rugăm să rețineți că sub simbolul integral există un produs a două funcții. Acesta este un semn că această metodă este potrivită pentru soluție.

Exemplul 1

Găsiți integrala $ \int xe^xdx $

Soluţie

Vedem că integrandul constă din două funcții, dintre care una, la diferențiere, se transformă instantaneu în unitate, iar cealaltă este ușor de integrat. Pentru a rezolva integrala, folosim metoda integrării pe părți. Să presupunem că $ u = x \rightarrow du=dx $ și $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Înlocuim valorile găsite în prima formulă de integrare și obținem: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Exemplul 4

Calculați integrala $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Soluţie

Prin analogie cu exemplele rezolvate anterior, ne vom da seama ce funcție să integrăm fără probleme, pe care să diferențiem. Vă rugăm să rețineți că dacă diferențiam $ (x+5) $, atunci această expresie va fi convertită automat în unitate, ceea ce va fi în avantajul nostru. Deci facem asta: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Acum toate funcțiile necunoscute au fost găsite și pot fi introduse în a doua formulă de integrare prin părți pentru o integrală definită. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Răspuns

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Printr-o integrală definită dintr-o funcție continuă f(X) pe segmentul final [ A, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, se folosește notația

După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), o integrală determinată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ(Se calculează ca diferența dintre valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(A)).

Numerele AȘi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării și segmentul [ A, b] – segment de integrare.

Astfel, dacă F(X) – oarecare funcție antiderivată pt f(X), apoi, conform definiției,

(38)

Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferență F(b) – F(A) se scrie pe scurt după cum urmează:

Prin urmare, vom scrie formula Newton-Leibniz astfel:

(39)

Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lăsa F(X) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(X) + C. De aceea

Aceasta stabilește că pe segmentul [ A, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(X) se potrivesc.

Astfel, pentru a calcula o integrală definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant CU excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare A si se calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..

La A = b prin definiție acceptat

Exemplul 1.

Soluţie. Mai întâi, să găsim integrala nedefinită:

Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat

(la CU= 0), obținem

Cu toate acestea, atunci când se calculează o integrală definită, este mai bine să nu se găsească antiderivată separat, ci să se scrie imediat integrala în forma (39).

Exemplul 2. Calculați integrala definită

Soluţie. Folosind formula

Proprietățile integralei definite

Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică

(40)

Lăsa F(X) – antiderivat pt f(X). Pentru f(t) antiderivatul are aceeași funcție F(t), în care variabila independentă este desemnată doar diferit. Prin urmare,

Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor

Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite, adică

(41)

Teorema 4.Integrala definită a unei sume algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică

(42)

Teorema 5.Dacă un segment de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale, adică Dacă

(43)

Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică

(44)

Teorema 7(teorema valorii medii). O integrală definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică

(45)

Teorema 8.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. Dacă

Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea

pot fi integrate termen cu termen, adică

(46)

Proprietățile integralei definite fac posibilă simplificarea calculului direct al integralelor.

Exemplul 5. Calculați integrala definită

Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale de tabel (7) și (6), obținem

Integrală definită cu limită superioară variabilă

Lăsa f(X) – continuu pe segmentul [ A, b] funcția și F(X) este antiderivatul său. Luați în considerare integrala definită

(47)

si prin t variabila de integrare este desemnată pentru a nu o confunda cu limita superioară. Când se schimbă X se modifică și integrala definită (47), adică. este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care o notăm prin F(X), adică

(48)

Să demonstrăm că funcția F(X) este un antiderivat pentru f(X) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim

deoarece F(X) – antiderivat pt f(X), A F(A) este o valoare constantă.

Funcţie F(X) – unul din numărul infinit de antiderivate pt f(X), și anume cel care X = A merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem X = Ași folosiți teorema 1 din paragraful anterior.

Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei

unde, prin definiție, F(X) – antiderivat pt f(X). Dacă schimbăm variabila în integrand

apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie

În această expresie

functie antiderivata pentru

De fapt, derivatul său, conform regula de diferentiere a functiilor complexe, este egal

Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția

ia valori în consecință AȘi b, adică

Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(A) Există

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite? Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați integralele și de ce nu vă puteți descurca fără ea.

Studiem conceptul de „integral”

Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Și Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să utilizați valori gata făcute:

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții. Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții?

Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

Bari Alibasov și grupul „Integral”

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.