Erori de măsurare absolute și relative. Eroare absolută de măsurare
Eroare de măsurare- evaluarea abaterii valorii măsurate a unei mărimi de la valoarea ei adevărată. Eroarea de măsurare este o caracteristică (măsură) a preciziei de măsurare.
Deoarece este imposibil să se determine cu exactitate absolută valoarea adevărată a oricărei mărimi, este imposibil să se indice valoarea abaterii valorii măsurate față de cea adevărată. (Această abatere este de obicei numită eroare de măsurare. Într-o serie de surse, de exemplu, în Marea Enciclopedie Sovietică, termenii Eroare de măsurareȘi Eroare de măsurare sunt folosite ca sinonime, dar conform RMG 29-99 termenul Eroare de măsurare Nu este recomandat pentru utilizare ca fiind mai puțin reușit). Este posibil să se estimeze amploarea acestei abateri, de exemplu, folosind metode statistice. În practică, în locul adevăratei valori, ei folosesc valoarea reală a cantității x d, adică valoarea unei mărimi fizice obținută experimental și atât de apropiată de valoarea adevărată încât poate fi folosită în locul acesteia în sarcina de măsurare dată. Această valoare este de obicei calculată ca valoare medie obținută din prelucrarea statistică a rezultatelor unei serii de măsurători. Această valoare obţinută nu este exactă, ci doar cea mai probabilă. Prin urmare, este necesar să se indice în măsurători care este precizia lor. Pentru a face acest lucru, este indicată eroarea de măsurare împreună cu rezultatul obținut. De exemplu, înregistrați T=2,8±0,1 c. înseamnă că adevărata valoare a cantității T se află în intervalul de la 2,7 s. inainte de 2,9 s. cu o anumită probabilitate specificată
În 2004, la nivel internațional a fost adoptat un nou document, care dicta condițiile pentru efectuarea măsurătorilor și stabilește noi reguli de comparare a standardelor de stat. Conceptul de „eroare” a devenit învechit; în schimb, a fost introdus conceptul de „incertitudine de măsurare”, totuși GOST R 50.2.038-2004 permite utilizarea termenului eroare pentru documentele folosite în Rusia.
Se disting următoarele tipuri de erori:
· eroare absolută;
· eroare relativă;
· eroare redusă;
· eroare de bază;
· eroare suplimentară;
· eroare sistematică;
· eroare aleatorie;
· eroare instrumentală;
· eroare metodică;
· eroare personală;
· eroare statică;
· eroare dinamică.
Erorile de măsurare sunt clasificate după următoarele criterii.
· Conform metodei de exprimare matematică, erorile se împart în erori absolute și erori relative.
· În funcție de interacțiunea schimbărilor în timp și a valorii de intrare, erorile sunt împărțite în erori statice și erori dinamice.
· Pe baza naturii apariției lor, erorile sunt împărțite în erori sistematice și erori aleatorii.
· În funcție de natura dependenței erorii de mărimile care influențează, erorile se împart în de bază și suplimentare.
· Pe baza naturii dependenței erorii de valoarea de intrare, erorile sunt împărțite în aditive și multiplicative.
Eroare absolută– aceasta este o valoare calculată ca diferență între valoarea unei mărimi obținute în timpul procesului de măsurare și valoarea reală (reală) a acestei mărimi. Eroarea absolută se calculează folosind următoarea formulă:
AQ n =Q n /Q 0 , unde AQ n este eroarea absolută; Qn– valoarea unei anumite marimi obtinuta in timpul procesului de masurare; Q 0– valoarea aceleiași mărimi luată ca bază de comparație (valoarea reală).
Eroarea absolută a măsurii– aceasta este o valoare calculată ca diferență între număr, care este valoarea nominală a măsurii, și valoarea reală (reala) a mărimii reproduse de măsură.
Eroare relativă este un număr care reflectă gradul de precizie a măsurării. Eroarea relativă se calculează folosind următoarea formulă:
Unde ∆Q este eroarea absolută; Q 0– valoarea reală (reala) a mărimii măsurate. Eroarea relativă este exprimată ca procent.
Eroare redusă este o valoare calculată ca raport dintre valoarea erorii absolute și valoarea de normalizare.
Valoarea standard este determinată după cum urmează:
· pentru instrumentele de măsurare pentru care este aprobată o valoare nominală, această valoare nominală este luată ca valoare standard;
· pentru instrumentele de masura la care valoarea zero este situata la marginea scalei de masurare sau in afara scalei, valoarea de normalizare se ia egala cu valoarea finala din domeniul de masurare. Excepție fac instrumentele de măsurare cu o scară de măsurare semnificativ neuniformă;
· pentru instrumentele de măsură al căror marcaj zero este situat în interiorul domeniului de măsurare, valoarea de normalizare se ia egală cu suma valorilor numerice finale ale domeniului de măsurare;
· pentru instrumentele de măsură (instrumente de măsură) la care scara este neuniformă, valoarea de normalizare se ia egală cu întreaga lungime a scalei de măsurare sau lungimea acelei părți a acesteia care corespunde domeniului de măsurare. Eroarea absolută este apoi exprimată în unități de lungime.
Eroarea de măsurare include eroarea instrumentală, eroarea de metodă și eroarea de numărare. Mai mult, eroarea de numărare apare din cauza inexactității în determinarea fracțiilor de divizare a scalei de măsurare.
Eroare instrumentală– aceasta este o eroare care apare din cauza erorilor comise în timpul procesului de fabricație a pieselor funcționale ale instrumentelor de măsură.
Eroare metodologică este o eroare care apare din următoarele motive:
· inexactitatea în construirea unui model al procesului fizic pe care se bazează instrumentul de măsurare;
· utilizarea incorectă a instrumentelor de măsură.
Eroare subiectivă– aceasta este o eroare apărută din cauza gradului scăzut de calificare a operatorului instrumentului de măsurare, precum și din cauza erorii organelor vizuale umane, adică cauza erorii subiective este factorul uman.
Erorile în interacțiunea modificărilor în timp și cantitatea de intrare sunt împărțite în erori statice și dinamice.
Eroare statică– aceasta este o eroare care apare în procesul de măsurare a unei cantități constante (care nu se modifică în timp).
Eroare dinamică este o eroare, a cărei valoare numerică este calculată ca diferența dintre eroarea care apare la măsurarea unei mărimi neconstante (variabilă în timp) și eroarea statică (eroarea în valoarea mărimii măsurate la un anumit punct în timp).
În funcție de natura dependenței erorii de mărimile care influențează, erorile sunt împărțite în de bază și suplimentare.
Eroare de bază– aceasta este eroarea obținută în condiții normale de funcționare a instrumentului de măsură (la valori normale ale mărimilor de influență).
Eroare suplimentară– aceasta este o eroare care apare atunci când valorile mărimilor de influență nu corespund valorilor lor normale sau dacă mărimea de influență depășește limitele regiunii valorilor normale.
Condiții normale– acestea sunt condiții în care toate valorile cantităților de influență sunt normale sau nu depășesc limitele intervalului normal.
Conditii de lucru– acestea sunt condiții în care modificarea cantităților de influență are o gamă mai largă (valorile de influență nu depășesc limitele intervalului de lucru al valorilor).
Interval de lucru al cantităților de influență– acesta este intervalul de valori în care sunt normalizate valorile erorii suplimentare.
Pe baza naturii dependenței erorii de valoarea de intrare, erorile sunt împărțite în aditive și multiplicative.
Eroare de aditiv– aceasta este o eroare care apare din cauza însumării valorilor numerice și nu depinde de valoarea mărimii măsurate luate modulo (absolut).
Prejudecată multiplicativă este o eroare care se modifică odată cu modificările valorilor mărimii măsurate.
Trebuie remarcat faptul că valoarea erorii aditive absolute nu este legată de valoarea mărimii măsurate și de sensibilitatea instrumentului de măsurare. Erorile aditive absolute sunt constante pe întregul domeniu de măsurare.
Valoarea erorii aditive absolute determină valoarea minimă a mărimii care poate fi măsurată de instrumentul de măsurare.
Valorile erorilor multiplicative se modifică proporțional cu modificările valorilor mărimii măsurate. Valorile erorilor multiplicative sunt, de asemenea, proporționale cu sensibilitatea instrumentului de măsurare.Eroarea multiplicativă apare din cauza influenței cantităților de influență asupra caracteristicilor parametrice ale elementelor dispozitivului.
Erorile care pot apărea în timpul procesului de măsurare sunt clasificate în funcție de natura apariției lor. A evidentia:
· erori sistematice;
· erori aleatorii.
În timpul procesului de măsurare pot apărea și erori grave și erori.
Eroare sistematică- aceasta este o componentă a întregii erori a rezultatului măsurării, care nu se modifică sau se modifică în mod natural cu măsurători repetate de aceeași cantitate. De obicei, o eroare sistematică se încearcă să fie eliminată în moduri posibile (de exemplu, prin utilizarea metodelor de măsurare care reduc probabilitatea apariției acesteia), dar dacă eroarea sistematică nu poate fi eliminată, atunci se calculează înainte de începerea măsurătorilor și este adecvată. se fac corecții la rezultatul măsurării. În procesul de normalizare a erorii sistematice, se determină limitele valorilor sale permise. Eroarea sistematică determină acuratețea măsurătorilor instrumentelor de măsură (proprietatea metrologică). Erorile sistematice în unele cazuri pot fi determinate experimental. Rezultatul măsurării poate fi apoi clarificat prin introducerea unei corecții.
Metodele de eliminare a erorilor sistematice sunt împărțite în patru tipuri:
· eliminarea cauzelor și surselor de erori înainte de începerea măsurătorilor;
· eliminarea erorilor în procesul de măsurare deja început prin substituţie, compensare a erorilor prin semn, opoziţie, observaţii simetrice;
· corectarea rezultatelor măsurătorilor prin efectuarea de corecții (eliminarea erorilor prin calcule);
· determinarea limitelor erorii sistematice în cazul în care aceasta nu poate fi eliminată.
Eliminarea cauzelor și surselor de erori înainte de începerea măsurătorilor. Această metodă este cea mai bună opțiune, deoarece utilizarea ei simplifică cursul ulterioar al măsurătorilor (nu este nevoie să eliminați erorile în procesul de măsurare deja început sau să faceți corecții la rezultatul obținut).
Pentru a elimina erorile sistematice în procesul de măsurare deja început, se folosesc diverse metode
Modul de introducere a amendamentelor se bazează pe cunoașterea erorii sistematice și a modelelor actuale ale schimbării acesteia. La utilizarea acestei metode, se fac corecții la rezultatul măsurării obținute cu erori sistematice, egale ca mărime cu aceste erori, dar cu semn opus.
Metoda de înlocuire consta in faptul ca marimea masurata este inlocuita cu o masura plasata in aceleasi conditii in care a fost situat obiectul masurarii. Metoda de înlocuire este utilizată la măsurarea următorilor parametri electrici: rezistență, capacitate și inductanță.
Metoda de compensare a erorilor de semnare constă în faptul că măsurătorile sunt efectuate de două ori în așa fel încât în rezultatele măsurătorilor cu semnul opus să fie inclusă o eroare de mărime necunoscută.
Metoda de opozitie similar cu metoda de compensare a semnelor. Această metodă constă în efectuarea măsurătorilor de două ori, astfel încât sursa de eroare din prima măsurare să aibă un efect opus asupra rezultatului celei de-a doua măsurători.
Eroare aleatorie- aceasta este o componentă a erorii rezultatului măsurării, modificându-se aleator, neregulat la efectuarea măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi. Apariția unei erori aleatoare nu poate fi prevăzută sau prezisă. Eroarea aleatorie nu poate fi eliminată complet; întotdeauna distorsionează într-o oarecare măsură rezultatele finale ale măsurătorilor. Dar puteți face ca rezultatul măsurării să fie mai precis luând măsurători repetate. Cauza unei erori aleatoare poate fi, de exemplu, o modificare aleatorie a factorilor externi care afectează procesul de măsurare. O eroare aleatorie atunci când se efectuează măsurători repetate cu un grad suficient de mare de precizie duce la împrăștierea rezultatelor.
Greșeli și erori grosolane– acestea sunt erori care depășesc cu mult erorile sistematice și aleatorii așteptate în condițiile de măsurare date. Erorile și erorile majore pot apărea din cauza erorilor grave în timpul procesului de măsurare, a defecțiunii tehnice a instrumentului de măsurare sau a modificărilor neașteptate ale condițiilor externe.
Lasă o variabilă aleatoare A măsurat n ori in aceleasi conditii. Rezultatele măsurătorilor au dat un set n numere diferite
Eroare absolută- valoare dimensională. Printre n Valorile absolute ale erorii sunt în mod necesar atât pozitive, cât și negative.
Pentru valoarea cea mai probabilă a cantității A de obicei luate in medie valoarea rezultatelor măsurătorilor
.
Cu cât este mai mare numărul de măsurători, cu atât valoarea medie este mai aproape de valoarea adevărată.
Eroare absolutăi
.
Eroare relativăi-a măsurătoare se numește cantitate
Eroarea relativă este o mărime adimensională. De obicei, eroarea relativă este exprimată ca procent, pentru aceasta e i inmultiti cu 100%. Mărimea erorii relative caracterizează acuratețea măsurării.
Eroare absolută medie este definit astfel:
.
Subliniem necesitatea însumării valorilor absolute (module) ale mărimilor D și eu.În caz contrar, rezultatul va fi identic zero.
Eroare relativă medie se numeste cantitate
.
Pentru un număr mare de măsurători.
Eroarea relativă poate fi considerată ca valoarea erorii pe unitatea de valoare măsurată.
Precizia măsurătorilor este apreciată prin compararea erorilor rezultatelor măsurătorilor. Prin urmare, erorile de măsurare sunt exprimate în așa formă încât pentru a aprecia acuratețea este suficient să se compare doar erorile rezultatelor, fără a compara dimensiunile obiectelor măsurate sau a cunoaște aceste dimensiuni foarte aproximativ. Din practică se știe că eroarea absolută în măsurarea unui unghi nu depinde de valoarea unghiului, iar eroarea absolută în măsurarea lungimii depinde de valoarea lungimii. Cu cât lungimea este mai mare, cu atât eroarea absolută este mai mare pentru o anumită metodă și condiții de măsurare. În consecință, eroarea absolută a rezultatului poate fi utilizată pentru a aprecia acuratețea măsurării unghiului, dar acuratețea măsurării lungimii nu poate fi apreciată. Exprimarea erorii în formă relativă face posibilă compararea preciziei măsurătorilor unghiulare și liniare în cazuri cunoscute.
Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Eroare aleatorie.
Eroare aleatorie numită componenta erorii de măsurare care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi.
Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorilor indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.
Eroarea aleatorie apare din influența simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar influența totală a tuturor surselor poate fi destul de puternică.
Erorile aleatorii sunt o consecință inevitabilă a oricăror măsurători și sunt cauzate de:
a) inexactitatea citirilor la scara instrumentelor si instrumentelor;
b) neidentitatea condițiilor pentru măsurători repetate;
c) modificări aleatorii ale condiţiilor externe (temperatură, presiune, câmp de forţă etc.), care nu pot fi controlate;
d) toate celelalte influențe asupra măsurătorilor, ale căror cauze ne sunt necunoscute. Mărimea erorii aleatoare poate fi minimizată prin repetarea experimentului de mai multe ori și prin prelucrarea matematică corespunzătoare a rezultatelor obținute.
O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care sunt imposibil de prezis pentru o anumită măsurătoare. Această eroare poate fi la fel de pozitivă sau negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, acestea provoacă împrăștierea măsurătorilor repetate în raport cu valoarea adevărată.
Să presupunem că perioada de oscilație a unui pendul este măsurată cu ajutorul unui cronometru, iar măsurarea se repetă de mai multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea de citire, o ușoară denivelare în mișcarea pendulului - toate acestea provoacă împrăștierea rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate ca erori aleatorii.
Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi oarecum subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, ceasul este și în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.
Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în timpii de pornire și oprire ale ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, ne grăbim să pornim cronometrul de fiecare dată și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.
Erorile aleatorii sunt cauzate de eroarea de paralaxă la numărarea diviziunilor instrumentului, scuturarea fundației unei clădiri, influența mișcării ușoare a aerului etc.
Deși este imposibil să se elimine erorile aleatorii în măsurătorile individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii ne permite să reducem influența acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât trebuie făcute mai multe măsurători.
Datorită faptului că apariția erorilor aleatoare este inevitabilă și inevitabilă, sarcina principală a oricărui proces de măsurare este reducerea erorilor la minimum.
Teoria erorilor se bazează pe două ipoteze principale, confirmate de experiență:
1. Cu un număr mare de măsurători, apar destul de des erori aleatorii de aceeași amploare, dar de semne diferite, adică erori în direcția de creștere și scădere a rezultatului.
2. Erorile care sunt mari în valoare absolută sunt mai puțin frecvente decât cele mici, astfel, probabilitatea apariției unei erori scade pe măsură ce amploarea acesteia crește.
Comportamentul variabilelor aleatoare este descris prin modele statistice, care fac obiectul teoriei probabilităților. Definiția statistică a probabilității w i evenimente i este relația
Unde n- numărul total de experimente, n i- numărul de experimente în care a avut loc evenimentul i s-a întâmplat. În acest caz, numărul total de experimente ar trebui să fie foarte mare ( n®¥). Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatoare se supun unei distribuții normale (distribuția Gauss), ale cărei caracteristici principale sunt următoarele:
1. Cu cât abaterea valorii măsurate de la valoarea adevărată este mai mare, cu atât este mai puțin probabil să obțineți un astfel de rezultat.
2. Abaterile în ambele direcții de la valoarea adevărată sunt la fel de probabile.
Din ipotezele de mai sus rezultă că pentru a reduce influența erorilor aleatoare este necesară măsurarea acestei valori de mai multe ori. Să presupunem că măsurăm o cantitate x. Lasă-l să fie produs n masuratori: x 1 , x 2 , ... x n- folosind aceeași metodă și cu aceeași grijă. Se poate aștepta ca numărul dn rezultate obţinute, care se află într-un interval destul de îngust de la X inainte de x + dx, trebuie să fie proporțional:
Mărimea intervalului luat dx;
Numărul total de măsurători n.
Probabilitate dw(X) că ceva valoare X se află în intervalul de la X inainte de x + dx, este definită după cum urmează :
(cu numărul de măsurători n ®¥).
Funcţie f(X) se numește funcție de distribuție sau densitate de probabilitate.
Ca postulat al teoriei erorii, se acceptă că rezultatele măsurătorilor directe și erorile lor aleatoare, atunci când există un număr mare de ele, respectă legea distribuției normale.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue găsită de Gauss X are următoarea formă:
, unde mis -
parametrii de distribuție .
Parametrul m al distribuției normale este egal cu valoarea medie b Xñ o variabilă aleatoare, care, pentru o funcție de distribuție cunoscută arbitrară, este determinată de integrală
.
Prin urmare, valoarea m este valoarea cea mai probabilă a mărimii măsurate x, adică. cea mai bună estimare a ei.
Parametrul s 2 al distribuției normale este egal cu varianța D a variabilei aleatoare, care în cazul general este determinată de următoarea integrală
.
Rădăcina pătrată a varianței se numește abaterea standard a variabilei aleatoare.
Abaterea medie (eroarea) variabilei aleatoare ásñ se determină folosind funcția de distribuție după cum urmează
Eroarea medie de măsurare ásñ, calculată din funcția de distribuție Gaussiană, este legată de valoarea abaterii standard s după cum urmează:
< s > = 0,8s.
Parametrii s și m sunt legați unul de celălalt după cum urmează:
.
Această expresie vă permite să găsiți abaterea standard s dacă există o curbă de distribuție normală.
Graficul funcției Gaussiene este prezentat în figuri. Funcţie f(X) este simetrică față de ordonata trasată în punct x = m; trece printr-un maxim în punct x = m și are o inflexiune în punctele m ±s. Astfel, varianța caracterizează lățimea funcției de distribuție sau arată cât de larg sunt împrăștiate valorile unei variabile aleatoare în raport cu valoarea ei adevărată. Cu cât măsurătorile sunt mai precise, cu atât rezultatele măsurătorilor individuale sunt mai aproape de valoarea reală, adică valoarea s este mai mică. Figura A prezintă funcția f(X) pentru trei valori ale s .
Aria unei figuri delimitată de o curbă f(X) și linii verticale trasate din puncte X 1 și X 2 (Fig.B) , egală numeric cu probabilitatea ca rezultatul măsurării să se încadreze în intervalul D x = x 1 - X 2, care se numește probabilitatea de încredere. Aria de sub întreaga curbă f(X) este egală cu probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul de la 0 la ¥, i.e.
,
întrucât probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Folosind distribuția normală, teoria erorii pune și rezolvă două probleme principale. Prima este o evaluare a preciziei măsurătorilor efectuate. Al doilea este o evaluare a preciziei valorii medii aritmetice a rezultatelor măsurătorilor.5. Interval de încredere. Coeficientul elevului.
Teoria probabilității ne permite să determinăm dimensiunea intervalului în care, cu o probabilitate cunoscută w se găsesc rezultatele măsurătorilor individuale. Această probabilitate se numește probabilitatea de încredere, și intervalul corespunzător (<X>±D X)w numit interval de încredere. Probabilitatea de încredere este, de asemenea, egală cu proporția relativă a rezultatelor care se încadrează în intervalul de încredere.
Dacă numărul de măsurători n este suficient de mare, atunci probabilitatea de încredere exprimă proporția din numărul total n acele măsurători în care valoarea măsurată a fost în intervalul de încredere. Fiecare probabilitate de încredere w corespunde intervalului său de încredere.w 2 80%. Cu cât intervalul de încredere este mai larg, cu atât este mai mare probabilitatea de a obține un rezultat în intervalul respectiv. În teoria probabilității, se stabilește o relație cantitativă între valoarea intervalului de încredere, probabilitatea de încredere și numărul de măsurători.
Dacă alegem ca interval de încredere intervalul corespunzător erorii medii, adică D a = anunț Añ, atunci pentru un număr suficient de mare de măsurători corespunde probabilității de încredere w 60%. Pe măsură ce numărul de măsurători scade, probabilitatea de încredere corespunzătoare unui astfel de interval de încredere (á Añ ± anunț Añ), scade.
Astfel, pentru a estima intervalul de încredere al unei variabile aleatoare, se poate folosi valoarea erorii medii áD Añ .
Pentru a caracteriza magnitudinea erorii aleatoare, este necesar să se precizeze două numere, și anume, valoarea intervalului de încredere și valoarea probabilității de încredere. . Indicarea doar a mărimii erorii fără probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de sens.
Dacă eroarea medie de măsurare ásñ este cunoscută, intervalul de încredere scris ca (<X> ± ásñ) w, determinat cu probabilitate de încredere w= 0,57.
Dacă abaterea standard s este cunoscută distribuția rezultatelor măsurătorilor, intervalul specificat are forma (<X>± t w s) w, Unde t w- coeficient în funcție de valoarea probabilității de încredere și calculat folosind distribuția gaussiană.
Cantitățile cele mai frecvent utilizate D X sunt prezentate în tabelul 1.
Pagina 1
Eroarea absolută de determinare nu depășește 0,01 μg de fosfor. Am folosit această metodă pentru a determina fosforul în acizii nitric, acetic, clorhidric și sulfuric și acetonă cu evaporarea lor preliminară.
Eroarea absolută de determinare este 0 2 - 0 3 mg.
Eroarea absolută în determinarea zincului în ferite zinc-mangan folosind metoda propusă nu depășește 0,2% rel.
Eroarea absolută în determinarea hidrocarburilor C2 - C4, când conținutul lor în gaz este de 0 2 - 5 0%, este de 0 01 - 0 2%, respectiv.
Aici Ау este eroarea absolută în determinarea r/, care rezultă din eroarea Da în determinarea a. De exemplu, eroarea relativă a pătratului unui număr este de două ori eroarea în determinarea numărului în sine, iar eroarea relativă a numărului de sub rădăcina cubă este pur și simplu o treime din eroarea în determinarea numărului.
Considerații mai complexe sunt necesare atunci când se alege o măsură pentru compararea erorilor absolute în determinarea orei de începere a accidentului TV - Ts, unde Tv și Ts sunt momentul reconstituit și respectiv al accidentului real. Prin analogie, se poate folosi aici timpul mediu de parcurs al vârfului de poluare de la deversarea efectivă la acele puncte de monitorizare care au înregistrat accidentul în timpul trecerii poluării Tsm. Calculul fiabilității determinării puterii accidentelor se bazează pe calculul erorii relative MV - Ms / Mv, unde Mv și Ms sunt puterea restabilită și respectiv puterea reală. În fine, eroarea relativă în determinarea duratei unei declanșări de urgență se caracterizează prin valoarea rv - rs / re, unde rv și rs sunt, respectiv, durata reconstruită și reală a accidentelor.
Considerații mai complexe sunt necesare atunci când se alege o măsură pentru compararea erorilor absolute în determinarea orei de începere a accidentului TV - Ts, unde Tv și Ts sunt momentul reconstituit și respectiv al accidentului real. Prin analogie, se poate folosi aici timpul mediu de parcurs al vârfului de poluare de la deversarea efectivă la acele puncte de monitorizare care au înregistrat accidentul în timpul trecerii poluării Tsm. Calculul fiabilității determinării puterii accidentelor se bazează pe calculul erorii relative Mv - Ms / Ms, unde Mv și Ms sunt puterea restabilită și respectiv puterea reală. În fine, eroarea relativă în determinarea duratei unei declanșări de urgență se caracterizează prin valoarea rv - rs / rs, unde rv și rs sunt, respectiv, durata reconstruită și reală a accidentelor.
Pentru aceeași eroare absolută de măsurare ay, eroarea absolută în determinarea mărimii ax scade cu creșterea sensibilității metodei.
Deoarece erorile se bazează nu pe erori aleatorii, ci pe erori sistematice, eroarea finală absolută în determinarea ventuzelor poate ajunge la 10% din cantitatea de aer necesară teoretic. Numai în cazul focarelor cu scurgeri inacceptabil (A a0 25) metoda general acceptată dă rezultate mai mult sau mai puțin satisfăcătoare. Acest lucru este bine cunoscut de către tehnicienii de service care, atunci când echilibrează balanța de aer a focarelor dense, primesc adesea valori negative de aspirație.
O analiză a erorii în determinarea valorii animalelor de companie a arătat că acesta constă din 4 componente: eroarea absolută în determinarea masei matricei, capacitatea eșantionului, cântărirea și eroarea relativă datorată fluctuațiilor masei probei în jurul echilibrului. valoare.
Dacă sunt respectate toate regulile pentru selectarea, măsurarea volumelor și analiza gazelor cu ajutorul analizorului de gaz GKhP-3, eroarea absolută totală în determinarea conținutului de CO2 și O2 nu trebuie să depășească 0 2 - 0 4% din valoarea lor adevărată.
De la masă 1 - 3 putem concluziona că datele pe care le folosim pentru substanțele inițiale, luate din surse diferite, au diferențe relativ mici, care se încadrează în erorile absolute în determinarea acestor cantități.
Erorile aleatorii pot fi absolute și relative. O eroare aleatorie având dimensiunea valorii măsurate se numește eroare absolută de determinare. Media aritmetică a erorilor absolute ale tuturor măsurătorilor individuale se numește eroarea absolută a metodei analitice.
Valoarea abaterii admisibile, sau a intervalului de încredere, nu este stabilită în mod arbitrar, ci este calculată pe baza datelor de măsurare specifice și a caracteristicilor instrumentelor utilizate. Abaterea rezultatului unei măsurători individuale de la valoarea adevărată a unei mărimi se numește eroare absolută de determinare sau pur și simplu eroare. Raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată se numește eroare relativă, care este de obicei exprimată ca procent. Cunoașterea erorii unei măsurători individuale nu are o semnificație independentă și, în orice experiment serios, trebuie efectuate mai multe măsurători paralele, din care se calculează eroarea experimentală. Erorile de măsurare, în funcție de motivele apariției lor, sunt împărțite în trei tipuri.
Este aproape imposibil să se determine valoarea adevărată a unei mărimi fizice absolut exact, deoarece orice operație de măsurare este asociată cu o serie de erori sau, cu alte cuvinte, inexactități. Motivele erorilor pot fi foarte diferite. Apariția lor poate fi asociată cu inexactități în fabricarea și reglarea dispozitivului de măsurare, datorită caracteristicilor fizice ale obiectului studiat (de exemplu, la măsurarea diametrului unui fir de grosime neuniformă, rezultatul depinde aleatoriu de alegerea locului de măsurare), motive aleatorii etc.
Sarcina experimentatorului este de a reduce influența acestora asupra rezultatului și, de asemenea, de a indica cât de aproape este rezultatul obținut de cel adevărat.
Există concepte de eroare absolută și relativă.
Sub eroare absolută măsurătorile vor înțelege diferența dintre rezultatul măsurării și valoarea adevărată a mărimii măsurate:
∆x i =x i -x și (2)
unde ∆x i este eroarea absolută a i-a măsurători, x i _ este rezultatul i-a măsurători, x și este valoarea adevărată a valorii măsurate.
Rezultatul oricărei măsurători fizice este de obicei scris sub forma:
unde este valoarea medie aritmetică a valorii măsurate, cea mai apropiată de valoarea adevărată (validitatea lui x și≈ va fi afișată mai jos), este eroarea absolută de măsurare.
Egalitatea (3) trebuie înțeleasă în așa fel încât valoarea adevărată a mărimii măsurate să fie în intervalul [ - , + ].
Eroarea absolută este o mărime dimensională; are aceeași dimensiune ca și mărimea măsurată.
Eroarea absolută nu caracterizează pe deplin acuratețea măsurătorilor efectuate. De fapt, dacă măsurăm segmente de 1 m și 5 mm lungime cu aceeași eroare absolută ± 1 mm, precizia măsurătorilor va fi incomparabilă. Prin urmare, împreună cu eroarea de măsurare absolută, se calculează eroarea relativă.
Eroare relativă măsurători este raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată în sine:
Eroarea relativă este o mărime adimensională. Se exprimă în procente:
În exemplul de mai sus, erorile relative sunt 0,1% și 20%. Ele diferă semnificativ unele de altele, deși valorile absolute sunt aceleași. Eroarea relativă oferă informații despre acuratețe
Erori de măsurare
În funcție de natura manifestării și motivele apariției erorilor, acestea pot fi împărțite în următoarele clase: instrumentale, sistematice, aleatorii și greșeli (erori grosolane).
Erorile sunt cauzate fie de o defecțiune a dispozitivului, fie de o încălcare a metodologiei sau a condițiilor experimentale, fie sunt de natură subiectivă. În practică, ele sunt definite ca rezultate care diferă mult de altele. Pentru a elimina apariția lor, este necesar să fiți atent și minuțios atunci când lucrați cu dispozitive. Rezultatele care conțin erori trebuie excluse din considerare (eliminate).
Erori de instrument. Dacă dispozitivul de măsurare este în stare bună de funcționare și reglat, atunci măsurătorile pot fi făcute pe el cu o precizie limitată, determinată de tipul de dispozitiv. Se obișnuiește să se considere eroarea instrumentului a unui instrument indicator ca fiind egală cu jumătate din cea mai mică diviziune a scalei sale. La instrumentele cu citire digitală, eroarea instrumentului este echivalată cu valoarea unei cifre mici a scalei instrumentului.
Erorile sistematice sunt erori ale căror mărime și semn sunt constante pentru întreaga serie de măsurători efectuate prin aceeași metodă și folosind aceleași instrumente de măsurare.
Atunci când se efectuează măsurători, este important nu numai să se țină seama de erorile sistematice, dar este și necesar să se asigure eliminarea acestora.
Erorile sistematice sunt împărțite în mod convențional în patru grupuri:
1) erori, a căror natură este cunoscută și amploarea lor poate fi determinată destul de precis. O astfel de eroare este, de exemplu, o modificare a masei măsurate în aer, care depinde de temperatură, umiditate, presiunea aerului etc.;
2) erori, a căror natură este cunoscută, dar amploarea erorii în sine este necunoscută. Astfel de erori includ erori cauzate de dispozitivul de măsurare: o defecțiune a dispozitivului în sine, o scară care nu corespunde valorii zero sau clasa de precizie a dispozitivului;
3) erori, a căror existență nu poate fi bănuită, dar amploarea lor poate fi adesea semnificativă. Astfel de erori apar cel mai adesea în măsurători complexe. Un exemplu simplu al unei astfel de erori este măsurarea densității unei probe care conține o cavitate în interior;
4) erori cauzate de caracteristicile obiectului de măsurat însuși. De exemplu, la măsurarea conductivității electrice a unui metal, din acesta din urmă se ia o bucată de sârmă. Pot apărea erori dacă există vreun defect al materialului - o fisură, îngroșarea firului sau neomogenitatea care îi modifică rezistența.
Erorile aleatorii sunt erori care se modifică aleator în semn și mărime în condiții identice de măsurători repetate ale aceleiași mărimi.
Informații conexe.
Eroare absolută de măsurare este o mărime determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:
Δ X = |X - X 0 |.
Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:
Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a lui π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0,00159. Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate de loc a ultimei cifre a numărului a, atunci se spune că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52400 este 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, ca 524·10 2 sau 0,524·10 5. Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând câte cifre semnificative corecte conține. Când se numără cifrele semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.
De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.
Reguli pentru rotunjirea numerelor. Dacă numărul aproximativ conține cifre suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară care nu depășește jumătate de unitate din locul ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire, sunt reținute doar cifrele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.
Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în zecimale sunt aruncate (la fel ca și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zerouri și aruncată este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148935 cu o precizie de măsurare de 50 are o valoare de rotunjire de 148900. Dacă prima dintre cifrele înlocuite cu zerouri sau aruncate este 5 și nu există cifre sau zerouri după el, atunci este rotunjit la cea mai apropiată. număr par. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră zero sau scădere este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar este urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este incrementată cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.
Exemplul 2.2. La rotunjirea de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 - 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 - 1284 = 4.
Exemplul 2.3. La rotunjirea numărului de la 197 la 200, eroarea absolută este 200 - 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.
Exemplul 2.4. Un vânzător cântărește un pepene verde pe o cântar. Cea mai mică greutate din set este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelui este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.
Erori la rezolvarea problemei pe PC
Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea se numesc erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, atunci când se utilizează metode iterative pentru căutarea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care oferă o soluție exactă.
Erori de trunchiere
Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă sarcinii în sine. Poate fi din cauza inexactității în determinarea datelor sursă. De exemplu, dacă în declarația problemei sunt specificate dimensiuni, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.
Erori de propagare
Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a unei probleme. În timpul calculelor, se produce inevitabil acumularea de erori sau, cu alte cuvinte, propagarea. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorilor depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.
Erori de rotunjire
Acest tip de eroare apare deoarece valoarea reală a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în același mod în care un număr este afișat pe un calculator.
