Modele matematyczne systemów kolejkowych do rozwiązywania problemów ekonomicznych. · Przed rozpoczęciem pracy należy upewnić się, że nie ma widocznych uszkodzeń sprzętu i przewodów

Rysunek 0 - 2 Przebieg zdarzeń (a) i najprostszy przebieg (b)

10.5.2.1. Stacjonarność

Przepływ nazywa się stacjonarnym , jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zdarzeń w elementarnym segmencie czasu długość τ (

Rysunek 0-2 , A) zależy tylko od długości przekroju i nie zależy od dokładnego położenia na osi T ten obszar się znajduje.

Przepływ stacjonarny oznacza jego równomierność w czasie; probabilistyczna charakterystyka takiego przepływu nie zmienia się w czasie. W szczególności tak zwana intensywność (lub „gęstość”) przepływu zdarzeń – średnia liczba zdarzeń w jednostce czasu dla przepływu stacjonarnego – musi pozostać stała. Nie oznacza to oczywiście, że rzeczywista liczba zdarzeń występujących w jednostce czasu jest stała; w przepływie mogą występować lokalne kondensacje i rozrzedzenia. Ważne jest, aby dla przepływu stacjonarnego te kondensacje i rozrzedzenia nie miały charakteru regularnego, a średnia liczba zdarzeń przypadających na jeden okres czasu pozostawała stała w całym rozpatrywanym okresie.

W praktyce często występują potoki zdarzeń, które (przynajmniej przez ograniczony czas) można uznać za stacjonarne. Na przykład strumień połączeń przychodzących do centrali telefonicznej między godziną 12 a 13 można uznać za telefon stacjonarny. Ten sam przepływ nie będzie już stacjonarny przez cały dzień (w nocy intensywność przepływu połączeń jest znacznie mniejsza niż w ciągu dnia). Należy zauważyć, że to samo dotyczy większości procesów fizycznych, które nazywamy „stacjonarnymi”; w rzeczywistości są one stacjonarne tylko przez ograniczony okres czasu, a rozciąganie tego obszaru do nieskończoności jest tylko wygodną techniką stosowaną w tym celu uproszczenia.

10.5.2.2. Żadnych następstw

Strumień zdarzeń nazywany jest strumieniem bez następstw , jeśli dla dowolnych nienakładających się okresów liczba zdarzeń przypadających na jeden z nich nie zależy od liczby zdarzeń przypadających na drugi (lub inne, jeśli rozważa się więcej niż dwie sekcje).

W takich strumieniach zdarzenia tworzące strumień pojawiają się w kolejnych momentach czasu, niezależnie od siebie. Przykładowo, potok pasażerów wchodzących na stację metra można uznać za przepływ bez następstw, gdyż przyczyny, które zadecydowały o przybyciu konkretnego pasażera w danym momencie, a nie w innym, z reguły nie są powiązane z podobnymi przyczynami inni pasażerowie. Jeśli pojawi się taka zależność, naruszony zostanie warunek braku następstw.

Rozważmy na przykład ruch pociągów towarowych wzdłuż linii kolejowej. Jeżeli ze względów bezpieczeństwa nie mogą podążać za sobą częściej niż w odstępach czasu t 0 , wówczas istnieje zależność pomiędzy zdarzeniami w przepływie i zostaje naruszony warunek braku następstw. Jeśli jednak odstęp t 0 jest niewielka w porównaniu ze średnim odstępem między pociągami, wówczas naruszenie takie jest nieistotne.

Rysunek 0 - 3 Rozkład Poissona

Rozważ na osi T najprostszy strumień zdarzeń o natężeniu λ. (Rysunek 0-2 b) . Nas będzie interesował losowy odstęp czasu T pomiędzy sąsiednimi zdarzeniami w tym przepływie; Znajdźmy jego prawo dystrybucji. Najpierw znajdźmy funkcję dystrybucji:

F(t) = P(T ( 0-2)

tj. prawdopodobieństwo, że wartość T będzie miał wartość mniejszą niżT. Odłóżmy od początku przedziału T (punkty t 0) odcinek t i znajdź prawdopodobieństwo, że przedział T będzie mniej T . Aby to zrobić, konieczne jest, aby na odcinku długości T, sąsiadujący z punktem t 0 , co najmniej jedno trafienie w zdarzenie przepływu. Obliczmy prawdopodobieństwo tego F(t) poprzez prawdopodobieństwo wystąpienia odwrotnego zdarzenia (na sekcję T nie trafi w żadne zdarzenia przepływu):

F (t) = 1 - P 0

Prawdopodobieństwo P 0 znajdujemy ze wzoru (1), zakładającM = 0:

skąd dystrybuantą wartości T będzie:

(0-3)

Aby znaleźć gęstość dystrybucji f(t) zmienna losowa T, konieczne jest rozróżnienie wyrażenia (0-1) przezT:

0-4)

Prawo rozkładu o gęstości (0-4) nazywa się wykładniczym (lub wykładniczy ). Wielkość λ nazywana jest parametrem prawo demonstracyjne.

Rysunek 0 - 4 Rozkład wykładniczy

Znajdźmy charakterystykę liczbową zmiennej losowej T- oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) M [ t ] = m t , i wariancja Dt. Mamy

( 0-5)

(całkowanie przez części).

Rozproszenie wartości T wynosi:

(0-6)

Biorąc pierwiastek kwadratowy z wariancji, znajdujemy odchylenie standardowe zmiennej losowej T.

Zatem w przypadku rozkładu wykładniczego oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe są sobie równe i odwrotne do parametru λ, gdzie λ. intensywność przepływu.

Zatem wygląd M zdarzeń w danym okresie czasu odpowiada rozkładowi Poissona, a prawdopodobieństwo, że odstępy czasowe pomiędzy zdarzeniami będą mniejsze od pewnej z góry określonej liczby odpowiada rozkładowi wykładniczemu. Wszystko to są po prostu różne opisy tego samego procesu stochastycznego.

Przykład SMO-1 .

Jako przykład rozważmy system bankowy działający w czasie rzeczywistym i obsługujący dużą liczbę klientów. W godzinach szczytu żądania od kasjerów bankowych pracujących z klientami tworzą strumień Poissona i przychodzą średnio dwa na 1 s (λ = 2) Przepływ składa się z żądań przychodzących z intensywnością 2 żądań na sekundę.

Obliczmy prawdopodobieństwo P ( m) wygląd m wiadomości w ciągu 1 s. Ponieważ λ = 2, to z poprzedniego wzoru mamy

Podstawiając m = 0, 1, 2, 3 otrzymujemy następujące wartości (z dokładnością do czterechmiejsca dziesiętne):

Rysunek 0 - 5 Przykład prostego przepływu

Możliwe jest otrzymanie więcej niż 9 wiadomości w ciągu 1 sekundy, ale prawdopodobieństwo tego jest bardzo niskie (około 0,000046).

Otrzymany rozkład można przedstawić w postaci histogramu (pokazanego na rysunku).

Przykład SMO-2.

Urządzenie (serwer) przetwarzające trzy wiadomości w ciągu 1 sekundy.

Niech istnieje sprzęt, który może przetworzyć trzy komunikaty w ciągu 1 s (µ=3). Średnio na 1s odbierane są dwie wiadomości i zgodnie z C Rozkład Poissona. Jaka część tych wiadomości zostanie przetworzona natychmiast po otrzymaniu?

Prawdopodobieństwo, że szybkość przybycia będzie mniejsza lub równa 3 s, jest określone przez

Jeżeli system może przetworzyć maksymalnie 3 komunikaty w ciągu 1 s, to prawdopodobieństwo, że nie zostanie przeciążony, wynosi

Inaczej mówiąc, 85,71% wiadomości zostanie dostarczonych natychmiast, a 14,29% z pewnym opóźnieniem. Jak widać, opóźnienie w przetworzeniu jednej wiadomości o czas dłuższy niż czas przetwarzania 3 wiadomości będzie zdarzać się rzadko. Czas przetwarzania 1 wiadomości wynosi średnio 1/3 s. Dlatego opóźnienie większe niż 1 s będzie rzadkim zjawiskiem, co jest całkiem akceptowalne w większości systemów.

Przykład SMO- 3

· Jeśli kasjer bankowy jest zajęty przez 80% swojego czasu pracy, a resztę czasu spędza na czekaniu na klientów, to można go uznać za urządzenie o współczynniku wykorzystania równym 0,8.

· Jeżeli kanał komunikacyjny wykorzystywany jest do przesyłania symboli 8-bitowych z szybkością 2400 bps, czyli w ciągu 1 s przesyłanych jest maksymalnie 2400/8 symboli, a budujemy system, w którym łączna ilość danych wynosi 12000 symboli wysyłanych z różnych urządzeń kanałem komunikacyjnym na minutę największego obciążenia (w tym synchronizacja, symbole końca wiadomości, sterowanie itp.), wówczas stopień wykorzystania sprzętu kanału komunikacyjnego w tej minucie jest równy

· Jeśli mechanizm dostępu do plików wykona 9 000 dostępów do plików w godzinach szczytu, a średni czas dostępu wynosi 300 ms, wówczas wskaźnik wykorzystania sprzętu w godzinach szczytu wynosi

Pojęcie wykorzystania sprzętu będzie używane dość często. Im wykorzystanie sprzętu jest bliższe 100%, tym większe jest opóźnienie i dłuższe kolejki.

Korzystając z poprzedniego wzoru, możesz utworzyć tabele wartości funkcji Poissona, z których możesz określić prawdopodobieństwo przybyciaM lub więcej wiadomości w danym okresie czasu. Na przykład, jeśli na sekundę przypada średnio 3,1 wiadomości [tj. e. λ = 3.1], wówczas prawdopodobieństwo otrzymania 5 i więcej komunikatów w danej sekundzie wynosi 0,2018 (dlaM = 5 w tabeli). Lub w formie analitycznej

Za pomocą tego wyrażenia analityk systemowy może obliczyć prawdopodobieństwo, że system nie spełni danego kryterium obciążenia.

Często można wykonać wstępne obliczenia dla wartości obciążenia sprzętu

ρ ≤ 0,9

Wartości te można uzyskać za pomocą tablic Poissona.

Niech ponownie średnia szybkość nadejścia wiadomości λ = 3,1 wiadomości/s. Z tabel wynika, że ​​prawdopodobieństwo otrzymania 6 lub więcej wiadomości w ciągu 1 sekundy wynosi 0,0943. Dlatego liczbę tę można przyjąć jako kryterium obciążenia do wstępnych obliczeń.

10.6.2. Zadania projektowe

Jeśli wiadomości docierają do urządzenia losowo, urządzenie spędza część swojego czasu na przetwarzaniu lub obsłudze każdej wiadomości, co powoduje powstawanie kolejek. Kolejka w banku oczekuje na zwolnienie kasjera i jego komputera (terminalu). Kolejka komunikatów w buforze wejściowym komputera oczekuje na przetworzenie przez procesor. Kolejka żądań tablic danych oczekuje na zwolnienie kanałów itp. Kolejki mogą tworzyć się we wszystkich wąskich gardłach systemu.

Im wyższe wykorzystanie sprzętu, tym dłuższe kolejki. Jak zostanie pokazane poniżej, możliwe jest zaprojektowanie zadowalająco działającego systemu o współczynniku wykorzystania ρ = 0,7, jednak współczynnik przekraczający ρ > 0,9 może prowadzić do pogorszenia jakości usługi. Innymi słowy, jeśli zbiorcze łącze danych jest obciążone w 20%, jest mało prawdopodobne, że będzie na nim kolejka. Jeśli ładujesz; wynosi 0,9, wówczas z reguły tworzą się kolejki, czasem bardzo duże.

Współczynnik wykorzystania sprzętu jest równy stosunkowi obciążenia sprzętu do maksymalnego obciążenia, jakie może wytrzymać ten sprzęt, lub równy stosunkowi czasu zajętości sprzętu do całkowitego czasu jego działania.

Projektując system, często szacuje się współczynnik wykorzystania dla różnych typów sprzętu; odpowiednie przykłady zostaną podane w kolejnych rozdziałach. Znajomość tych współczynników pozwala obliczyć kolejki dla odpowiedniego sprzętu.

· Jaka jest długość kolejki?

· Ile czasu to zajmie?

Na tego typu pytania można odpowiedzieć, korzystając z teorii kolejek.

10.6.3. Systemy kolejkowe, ich klasy i główne cechy

W przypadku QS przepływami zdarzeń są przepływy aplikacji, przepływy aplikacji „obsługujących” itp. Jeżeli te przepływy nie są Poissona (proces Markowa), to matematyczny opis procesów zachodzących w QS staje się nieporównywalnie bardziej złożony i wymaga bardziej kłopotliwego aparaturę, sprowadzenie jej do wzorów analitycznych jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach.

Jednak aparat „markowskiej” teorii kolejkowania może być przydatny także w przypadku, gdy proces zachodzący w QS jest inny niż proces Markowa, za jego pomocą można w przybliżeniu ocenić charakterystykę działania QS. Należy zauważyć, że im bardziej złożony QS, im więcej posiada kanałów obsługi, tym dokładniejsze są przybliżone wzory uzyskane za pomocą teorii Markowa. Ponadto w wielu przypadkach, aby podejmować świadome decyzje dotyczące zarządzania działaniem QS, nie jest wymagana dokładna znajomość wszystkich jego cech, często wystarcza jedynie przybliżona, przybliżona wiedza.

QS dzieli się na systemy posiadające:

· niepowodzenia (ze stratami). W takich systemach żądanie otrzymane w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, otrzymuje „odmowę”, opuszcza QS i nie uczestniczy w dalszym procesie obsługi.

· Czekanie (z kolejką). W takich systemach żądanie przychodzące w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, umieszczane jest w kolejce i czeka, aż jeden z kanałów stanie się wolny. Po zwolnieniu kanału jedno z żądań oczekujących w kolejce zostaje przyjęte do obsługi.

Obsługa (dyscyplina kolejkowa) w systemie oczekującym może być

· zamówiłem (wnioski rozpatrywane są według kolejności wpływu),

· nieuporządkowany(zgłoszenia podawane są w kolejności losowej) lub

· ułożone w stos (ostatnie żądanie jest wybierane jako pierwsze z kolejki).

· Priorytet

o z priorytetem statycznym

o z priorytetem dynamicznym

(w tym drugim przypadku przed tet może np. wydłużać się wraz z czasem oczekiwania na wniosek).

Systemy kolejkowe dzielą się na systemy

· z nieograniczonym oczekiwaniem i

· z ograniczonym Czekanie.

W systemach z nieograniczonym oczekiwaniem każde żądanie, które wpłynie w momencie, gdy nie ma wolnych kanałów, trafia do kolejki i „cierpliwie” czeka, aż kanał stanie się dostępny i przyjmie go do obsługi. Każdy wniosek otrzymany przez CMO prędzej czy później zostanie rozpatrzony.

W systemach z ograniczonym oczekiwaniem nakładane są pewne ograniczenia na pobyt aplikacji w kolejce. Mogą obowiązywać te ograniczenia

· długość kolejki (liczba wniosków znajdujących się jednocześnie w kolejce w systemie z ograniczoną długością kolejki),

· czas przebywania wniosku w kolejce (po określonym czasie przebywania w kolejce wniosek opuszcza kolejkę i opuszcza system z ograniczonym czasem oczekiwania),

· łączny czas przebywania aplikacji w CMO

itp.

W zależności od rodzaju QS, przy ocenie jego skuteczności można zastosować określone wartości (wskaźniki wydajności). Na przykład w przypadku QS z awariami jedną z najważniejszych cech jego produktywności jest tzw przepustowość bezwzględnaśrednia liczba żądań, które system może obsłużyć w jednostce czasu.

Często jest brane pod uwagę wraz z absolutem względna przepustowość QS to średni udział otrzymanych wniosków obsłużonych przez system (stosunek średniej liczby wniosków obsłużonych przez system w jednostce czasu do średniej liczby wniosków otrzymanych w tym czasie).

Oprócz przepustowości bezwzględnej i względnej, analizując QS z awariami, w zależności od zadania badawczego, mogą nas zainteresować inne cechy, na przykład:

· średnia liczba zajętych kanałów;

· średni względny czas przestoju systemu jako całości i pojedynczego kanału

itp.

Pytania z oczekiwaniem mają nieco inną charakterystykę. Oczywiście w przypadku QS z nieograniczonym oczekiwaniem zarówno bezwzględna, jak i względna przepustowość tracą znaczenie, ponieważ każde otrzymane żądanie jest wcześniejszelub zostanie podane później. W przypadku takiego QS ważnymi cechami są:

· średnia liczba wniosków w kolejce;

· średnia liczba wniosków w systemie (w kolejce i w obsłudze);

· średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce;

· średni czas przebywania aplikacji w systemie (w kolejce i w obsłudze);

jak również inne cechy oczekiwań.

W przypadku QS z ograniczonym oczekiwaniem interesujące są obie grupy cech: zarówno przepustowość bezwzględna, jak i względna oraz charakterystyka oczekiwania.

Do analizy procesu zachodzącego w QS konieczna jest znajomość głównych parametrów systemu: liczby kanałów P, intensywność przepływu aplikacjiλ , wydajność każdego kanału (średnia liczba żądań obsłużonych przez kanał w jednostce czasu), warunki tworzenia kolejki (ograniczenia, jeśli występują).

W zależności od wartości tych parametrów wyrażane są charakterystyki wydajności QS.

10.6.4. Wzory do obliczania charakterystyki QS dla przypadku obsługi jednym urządzeniem

Rysunek 0 - 6 Model systemu kolejkowego z kolejką

Takie kolejki mogą być tworzone przez komunikaty na wejściu procesora oczekujące na przetworzenie. Mogą one wystąpić podczas pracy punktów abonenckich przyłączonych do wielopunktowego kanału komunikacji. Podobnie na stacjach benzynowych tworzą się kolejki samochodów. Jeżeli jednak jest więcej niż jedno wejście do serwisu, mamy kolejkę z wieloma urządzeniami i analiza staje się bardziej skomplikowana.

Rozważmy przypadek najprostszego przepływu zgłoszeń serwisowych.

Celem prezentowanej teorii kolejkowania jest przybliżenie średniej wielkości kolejki, a także średniego czasu, jaki wiadomości spędzają w kolejkach. Wskazane jest również oszacowanie, jak często kolejka przekracza określoną długość. Informacje te pozwolą nam obliczyć np. wymaganą ilość pamięci buforowej do przechowywania kolejek komunikatów i odpowiednich programów, wymaganą liczbę linii komunikacyjnych, wymagane rozmiary buforów dla koncentratorów itp. Będzie można oszacować czasy odpowiedzi.

Każda z cech różni się w zależności od zastosowanych środków.

Rozważmy kolejkę z jednym serwerem. Projektując system obliczeniowy, większość kolejek tego typu obliczana jest za pomocą podanych wzorów. współczynnik zmienności czasu obsługi

Do obliczania długości kolejek przy projektowaniu systemów informatycznych wykorzystuje się wzór Khinchina-Polacka. Stosuje się go w przypadku wykładniczego rozkładu czasu przybycia dla dowolnego rozkładu czasu obsługi i dowolnej dyscypliny sterowania, o ile wybór kolejnego komunikatu do obsługi nie jest zależny od czasu obsługi.

Przy projektowaniu systemów zdarzają się sytuacje, w których tworzą się kolejki, gdy dyscyplina zarządzania niewątpliwie zależy od czasu obsługi. Na przykład w niektórych przypadkach możemy wybrać krótsze wiadomości do usługi priorytetowej, aby osiągnąć niższy średni czas obsługi. Sterując linią komunikacyjną, można przypisać wyższy priorytet komunikatom wejściowym niż komunikatom wyjściowym, ponieważ te pierwsze są krótsze. W takich przypadkach nie jest już konieczne stosowanie równania Khinchina

Większość czasów obsługi systemów informatycznych plasuje się gdzieś pomiędzy tymi dwoma przypadkami. Czasy konserwacji równe wartości stałej są rzadkie. Nawet czas dostępu do dysku twardego nie jest stały ze względu na różne położenia macierzy danych na powierzchni. Przykładem ilustrującym przypadek stałego czasu obsługi jest zajęcie linii komunikacyjnej w celu przesyłania komunikatów o ustalonej długości.

Natomiast rozłożenie czasu pracy nie jest tak duże, jak w przypadku jego arbitralnego lub wykładniczego rozkładu, tj.σs rzadko osiąga wartościts. Ten przypadek jest czasami uważany za „najgorszy przypadek” i dlatego stosuje się wzory związane z wykładniczym rozkładem czasu obsługi. Takie wyliczenie może dać nieco zawyżone rozmiary kolejek i czasu oczekiwania w nich, ale ten błąd przynajmniej nie jest niebezpieczny.

Wykładniczy rozkład czasów obsługi nie jest oczywiście najgorszym przypadkiem, z jakim można sobie poradzić w rzeczywistości. Jeżeli jednak czasy obsługi uzyskane z obliczeń kolejkowych okażą się rozkładem gorszym niż czasy o rozkładzie wykładniczym, jest to często sygnał ostrzegawczy dla projektanta. Jeżeli odchylenie standardowe jest większe od średniej, wówczas zwykle zachodzi potrzeba dostosowania obliczeń.

Rozważ następujący przykład. Istnieje sześć typów komunikatów o czasach obsługi 15, 20, 25, 30, 35 i 300. Liczba komunikatów każdego typu jest taka sama. Odchylenie standardowe wskazanych czasów jest nieco wyższe od ich średniej. Ostatnia wartość czasu obsługi jest znacznie wyższa niż inne. Spowoduje to, że wiadomości pozostaną w kolejce znacznie dłużej, niż gdyby czasy obsługi były tego samego rzędu wielkości. W takim przypadku przy projektowaniu wskazane jest podjęcie działań mających na celu zmniejszenie długości kolejki. Na przykład, jeśli liczby te są powiązane z długością wiadomości, warto podzielić bardzo długie wiadomości na części.

10.6.6. Przykład obliczeń

Projektując system bankowy warto znać liczbę klientów, którzy w godzinach szczytu będą musieli czekać w kolejce do jednego kasjera.

Czas reakcji systemu i jego odchylenie standardowe liczone są z uwzględnieniem czasu wprowadzenia danych ze stacji roboczej, wydruku i wykonania dokumentu.

Działania kasjera były zaplanowane. Czas obsługi ts jest równy całkowitemu czasowi, jaki kasjer spędził u klienta. Stopień wykorzystania kasjera ρ jest proporcjonalny do czasu jego pracy. Jeżeli λ jest liczbą klientów w godzinach szczytu, to ρ dla kasjera jest równe

Załóżmy, że w godzinach szczytu na godzinę przypada 30 klientów. Kasjer spędza średnio 1,5 minuty na kliencie. Następnie

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

tzn. kasjer jest wykorzystany w 75%.

Liczbę osób w kolejce można szybko oszacować za pomocą wykresów. Wynika z nich, że jeśli ρ = ​​0,75, to średnia liczba osób nqw linii kasowej mieści się w przedziale od 1,88 do 3,0 w zależności od odchylenia standardowego dla ts .

Załóżmy, że pomiar odchylenia standardowego dla tS dał wartość 0,5 min. Następnie

σ s = 0,33 t s

Z wykresu na pierwszym rysunku wynika, że ​​nq = 2,0, czyli średnio przy kasie będzie czekać dwóch klientów.

Całkowity czas, jaki klient spędza przy kasie, można znaleźć jako

t ∑ = t q + t s = 2,5 min + 1,5 min = 4 min

gdzie t oblicza się za pomocą wzoru Khinchina-Polacka.

10.6.7. Współczynnik zysku

Analizując krzywe pokazane na rysunkach widzimy, że gdy sprzęt obsługujący kolejkę jest wykorzystany w ponad 80%, krzywe zaczynają rosnąć w zastraszającym tempie. Fakt ten jest bardzo istotny przy projektowaniu systemów transmisji danych. Jeśli projektujemy system, w którym wykorzystanie sprzętu przekracza 80%, niewielki wzrost ruchu może spowodować gwałtowny spadek wydajności systemu lub nawet jego awarię.

Wzrost ruchu przychodzącego o niewielką liczbę x%. prowadzi do zwiększenia wielkości kolejek o około

Jeżeli stopień wykorzystania sprzętu wynosi 50%, wówczas wzrost ten wynosi 4ts% dla wykładniczego rozkładu czasu obsługi. Jeśli jednak stopień wykorzystania sprzętu wynosi 90%, wówczas wzrost rozmiaru kolejki wynosi 100 ts%, czyli 25 razy więcej. Nieznaczny wzrost obciążenia przy 90% wykorzystaniu sprzętu powoduje 25-krotny wzrost wielkości kolejek w porównaniu z przypadkiem 50% wykorzystania sprzętu.

Podobnie wydłuża się czas spędzony w kolejce

Przy wykładniczo rozłożonym czasie obsługi wartość ta wynosi 4 t s 2 dla współczynnika wykorzystania sprzętu równego 50% i 100 t s 2 dla współczynnika 90%, czyli znowu 25 razy gorzej.

Dodatkowo, przy niskim stopniu wykorzystania sprzętu, wpływ zmian σs na wielkość kolejki jest znikomy. Jednak dla dużych współczynników zmiana σ S znacząco wpływa na wielkość kolejki. Dlatego przy projektowaniu systemów o dużym obciążeniu sprzętu pożądane jest uzyskanie dokładnych informacji o parametrzeσ S. Niedokładność założenia dotyczącego wykładniczej rozkładu tSjest najbardziej zauważalny przy dużych wartościach ρ. Co więcej, jeśli czas obsługi nagle się wydłuży, co jest możliwe w kanałach komunikacyjnych przy przesyłaniu długich komunikatów, to w przypadku dużego ρ utworzy się znaczna kolejka.

Losowy proces Markowa o stanach dyskretnych i czasie ciągłym, omawiany w poprzednim wykładzie, odbywa się w systemach kolejkowych (QS).

Systemy kolejkowe – są to systemy, które otrzymują zgłoszenia o obsługę w losowych momentach, a otrzymane zgłoszenia są obsługiwane za pomocą dostępnych w systemie kanałów obsługi.

Przykładowe systemy kolejkowe obejmują:

• jednostki rozliczeniowe w bankach i przedsiębiorstwach;
• komputery osobiste obsługujące przychodzące aplikacje lub wymagania dotyczące rozwiązywania określonych problemów;
• stacje obsługi samochodów; stacja paliw;
• firmy audytorskie;
• wydziały kontroli podatkowej odpowiedzialne za przyjmowanie i weryfikację bieżącej sprawozdawczości przedsiębiorstw;
• centrale telefoniczne itp.

	Węzły	Wymagania
Szpital	Sanitariusze	Pacjenci
Produkcja
Lotnisko	Wyjścia na pasy startowe Punkty rejestracyjne	Pasażerowie

Rozważmy schemat działania QS (ryc. 1). System składa się z generatora zgłoszeń, dyspozytora i jednostki serwisowej, jednostki rozliczania awarii (terminator, niszczyciel zleceń). Ogólnie rzecz biorąc, węzeł usługowy może mieć kilka kanałów usługowych.

Ryż. 1

1. Generator aplikacji – żądania generujące obiekty: ulica, warsztat z zainstalowanymi urządzeniami. Wejście jest przepływ aplikacji(napływ klientów do sklepu, napływ uszkodzonych jednostek (maszyn, maszyn) do naprawy, napływ gości do garderoby, napływ samochodów na stację benzynową itp.).
2. Dyspozytor – osoba lub urządzenie, które wie, co zrobić z aplikacją. Węzeł regulujący i kierujący żądaniami do kanałów usługowych. Dyspozytor:

• przyjmuje wnioski;
• tworzy kolejkę, jeśli wszystkie kanały są zajęte;
• kieruje ich do kanałów usługowych, jeśli są darmowe;
• odrzuca wnioski (z różnych powodów);
• otrzymuje informację od węzła serwisowego o kanałach bezpłatnych;
• monitoruje czas pracy systemu.

1. Kolejka – akumulator aplikacji. Może nie być kolejki.
2. Punkt serwisowy składa się ze skończonej liczby kanałów usług. Każdy kanał ma 3 stany: wolny, zajęty, niepracujący. Jeśli wszystkie kanały są zajęte, możesz opracować strategię dotyczącą tego, do kogo przekazać żądanie.
3. Odmowa z usługi następuje, gdy wszystkie kanały są zajęte (niektóre z nich mogą nie działać).

Oprócz tych podstawowych elementów QS, niektóre źródła podkreślają również następujące elementy:

terminator – niszczyciel transakcji;

magazyn – magazynowanie surowców i wyrobów gotowych;

rachunek księgowy – do dokonywania transakcji typu „księgowanie”;

menadżer – menadżer zasobów;

Klasyfikacja SMO

Pierwszy podział (ze względu na obecność kolejek):

• QS z awariami;
• SMO z kolejką.

W QS z awariami wniosek otrzymany w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, zostaje odrzucony, opuszcza QS i nie jest obsługiwany w przyszłości.

W Kolejka z kolejką aplikacja, która przychodzi w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, nie wychodzi, tylko ustawia się w kolejce i czeka na możliwość obsłużenia.

QS z kolejkami są podzielone na różne typy w zależności od sposobu organizacji kolejki - ograniczone lub nieograniczone. Ograniczenia mogą dotyczyć zarówno długości kolejki, jak i czasu oczekiwania, „dyscypliny obsługi”.

Rozważane są na przykład następujące QS:

• CMO z niecierpliwymi prośbami (długość kolejki i czas obsługi są ograniczone);
• QS z obsługą priorytetową, czyli część zgłoszeń obsługiwana jest poza kolejnością itp.

Rodzaje ograniczeń kolejek można łączyć.

Inna klasyfikacja dzieli CMO ze względu na źródło wniosków. Aplikacje (wymagania) mogą być generowane przez sam system lub przez jakieś środowisko zewnętrzne, istniejące niezależnie od systemu.

Oczywiście przepływ żądań generowanych przez sam system będzie zależał od systemu i jego stanu.

Ponadto SMO są podzielone na otwarty CMO i Zamknięte SMO.

W otwartym QS charakterystyka przepływu aplikacji nie zależy od stanu samego QS (ile kanałów jest zajętych). W zamkniętym QS - zależą. Przykładowo, jeśli jeden pracownik obsługuje grupę maszyn, które od czasu do czasu wymagają regulacji, to intensywność przepływu „zapotrzebowań” ze strony maszyn zależy od tego, ile z nich jest już sprawnych i czeka na regulację.

Przykład systemu zamkniętego: kasjer wydający płace w przedsiębiorstwie.

Ze względu na liczbę kanałów QS dzielą się na:

• pojedynczy kanał;
• wielokanałowy.

Charakterystyka systemu kolejkowego

Główne cechy każdego rodzaju systemu kolejkowego to:

• strumień wejściowy przychodzących wymagań lub próśb o usługę;
• dyscyplina kolejkowa;
• mechanizm serwisowy.

Strumień wymagań wejściowych

Aby opisać strumień wejściowy, musisz określić prawo probabilistyczne określające kolejność momentów otrzymania prośby o doręczenie, i wskazać liczbę takich wymagań w każdym kolejnym paragonie. W tym przypadku z reguły operują koncepcją „probabilistycznego rozkładu momentów otrzymania wymagań”. Tutaj mogą wykonać następujące czynności: wymagania indywidualne i grupowe (liczbę takich wymagań w każdym regularnym paragonie). W tym drugim przypadku zwykle mówimy o systemie kolejkowym z obsługą grup równoległych.

A ja– czas przybycia pomiędzy wymaganiami – niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie;

E(A)– średni (MO) czas przybycia;

λ=1/E(A)– intensywność otrzymywania żądań;

Charakterystyka strumienia wejściowego:

1. Prawo probabilistyczne określające kolejność momentów otrzymania prośby o usługę.
2. Liczba żądań w każdym kolejnym przybyciu dla przepływów grupowych.

Dyscyplina kolejkowa

Kolejka – zbiór wymagań oczekujących na obsługę.

Kolejka ma swoją nazwę.

Dyscyplina kolejkowa definiuje zasadę, zgodnie z którą wymagania docierające na wejście systemu obsługującego są łączone z kolejki do procedury serwisowej. Najczęściej stosowane dyscypliny kolejek definiowane są przez następujące reguły:

• kto pierwszy ten lepszy;

pierwsze weszło, pierwsze wyszło (FIFO)

najczęstszy typ kolejki.

Jaka struktura danych jest odpowiednia do opisania takiej kolejki? Tablica jest zła (ograniczona). Możesz użyć struktury LIST.

Lista ma początek i koniec. Lista składa się z wpisów. Rekord to komórka listy. Aplikacja trafia na koniec listy, a do obsługi wybierana jest z początku listy. Rekord składa się z charakterystyki aplikacji oraz linku (wskaźnika tego, kto za nią stoi). Dodatkowo, jeżeli kolejka posiada limit czasu oczekiwania, wówczas należy wskazać także maksymalny czas oczekiwania.

Jako programiści powinniście umieć tworzyć listy dwukierunkowe i jednokierunkowe.

Lista działań:

• włóż do ogona;
• brać od początku;
• usuń z listy po upływie limitu czasu.
• Ostatni, który przybył - pierwszy, który zostanie obsłużony LIFO (zacisk do naboju, ślepy zaułek na stacji kolejowej, wszedł do zatłoczonego samochodu).

Struktura znana jako STACK. Można opisać za pomocą struktury tablicowej lub listowej;

• losowy wybór aplikacji;
• selekcja wniosków w oparciu o kryteria priorytetowe.

Każdy wniosek charakteryzuje się m.in. poziomem priorytetu i po wpłynięciu trafia nie na koniec kolejki, ale na koniec swojej grupy priorytetowej. Dyspozytor sortuje według priorytetów.

Charakterystyka kolejki

• ograniczenieczas oczekiwania moment obsługi (istnieje kolejka z ograniczonym czasem oczekiwania na obsługę, co wiąże się z pojęciem „dopuszczalnej długości kolejki”);
• długość kolejki.

Mechanizm serwisowy

Mechanizm serwisowy zdeterminowane charakterystyką samej procedury serwisowej i strukturą systemu usług. Charakterystyka procedury konserwacji obejmuje:

• liczba kanałów obsługi ( N);
• czas trwania procedury serwisowej (probabilistyczny rozkład czasu na potrzeby serwisowe);
• liczbę wymagań spełnionych w wyniku każdego takiego postępowania (w przypadku wniosków grupowych);
• prawdopodobieństwo awarii kanału usługowego;
• strukturę systemu usług.

Aby analitycznie opisać charakterystykę procedury serwisowej, stosuje się koncepcję „probabilistycznego rozkładu czasu na potrzeby obsługi”.

S- czas naprawy I-ty wymóg;

E(S)– średni czas obsługi;

μ=1/E(S)– szybkość obsługi zgłoszeń.

Należy zaznaczyć, że czas potrzebny na obsługę aplikacji jest zależny od charakteru samej aplikacji lub wymagań Klienta oraz od stanu i możliwości systemu serwisowego. W niektórych przypadkach należy również wziąć to pod uwagę prawdopodobieństwo awarii kanału serwisowego po pewnym ograniczonym czasie. Cechę tę można modelować jako strumień błędów wchodzących do QS i mających pierwszeństwo przed wszystkimi innymi żądaniami.

Wskaźnik wykorzystania QS

N·μ – prędkość serwisowa w systemie, gdy wszystkie urządzenia serwisowe są zajęte.

ρ=λ/( Nμ) – tzw współczynnik wykorzystania QS , pokazuje, ile zasobów systemowych jest używanych.

Struktura systemu usług

Strukturę systemu obsługi wyznacza liczba i względne położenie kanałów obsługi (mechanizmów, urządzeń itp.). Przede wszystkim należy podkreślić, że system usług może posiadać więcej niż jeden kanał obsługi, ale kilka; System tego typu jest w stanie obsłużyć wiele wymagań jednocześnie. W tym przypadku wszystkie kanały usług oferują te same usługi i dlatego można tak argumentować usługa równoległa .

Przykład. Kasy fiskalne w sklepie.

System usług może składać się z kilku różnych typów kanałów usług, przez które musi przejść każde obsługiwane zapotrzebowanie, tj. w systemie usług procedury obsługi wymagań są konsekwentnie wdrażane . Mechanizm obsługi określa charakterystykę wychodzącego (obsługiwanego) przepływu żądań.

Przykład. Komisja lekarska.

Usługa łączona – obsługa lokat w kasie oszczędnościowej: najpierw kontroler, potem kasjer. Z reguły 2 kontrolerów na jednego kasjera.

Więc, funkcjonalność dowolnego systemu kolejkowego zależy od następujących głównych czynników :

• probabilistyczny rozkład momentów otrzymania wniosków o usługę (pojedynczych lub grupowych);
• moc źródła wymagań;
• probabilistyczny rozkład czasu trwania usługi;
• konfiguracja systemu obsługującego (usługa równoległa, sekwencyjna lub równoległo-sekwencyjna);
• liczba i produktywność kanałów obsługi;
• dyscyplina kolejkowa.

Główne kryteria efektywności funkcjonowania QS

Jak główne kryteria efektywności systemów kolejkowych W zależności od charakteru rozwiązywanego problemu mogą pojawić się następujące informacje:

• prawdopodobieństwo natychmiastowej obsługi przychodzącego wniosku (P obsl = K obs / K post);
• prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku przychodzącego (P open = K open / K post);

Oczywiście P obsl + P open =1.

Przepływy, opóźnienia, konserwacja. Wzór Pollachecka-Khinchina

Opóźnienie – jednym z kryteriów obsługi QS jest czas oczekiwania aplikacji na obsługę.

D ja– opóźnienie w kolejce wniosków I;

W i = D ja + S i– czas wymagany w systemie I.

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalone średnie opóźnienie żądania w kolejce;

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalony średni czas przebywania wymagania w QS (oczekiwania).

Q(T) - liczba żądań w kolejce jednocześnie T;

L(T)– liczbę wymagań w systemie jednocześnie T(Q(T) plus liczba wymagań, które są obsługiwane jednocześnie T.

Następnie wskaźniki (jeśli istnieją)

(z prawdopodobieństwem 1) – stała średnia liczba żądań w kolejce w czasie;

(z prawdopodobieństwem 1) – ustalona średnia liczba żądań w systemie w czasie.

Zauważ, że ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q I L w systemie kolejkowym.

Jeśli pamiętamy, że ρ= λ/( Nμ), to jasne jest, że jeżeli intensywność przyjmowania wniosków jest większa niż Nμ, to ρ>1 i jest rzeczą naturalną, że system nie będzie w stanie poradzić sobie z takim napływem wniosków, dlatego nie możemy mówić o ilościach d, w, Q I L.

Najbardziej ogólne i niezbędne wyniki dla systemów kolejkowych obejmują równania zachowania

Należy zaznaczyć, że powyższe kryteria oceny wydajności systemu można obliczyć analitycznie dla systemów kolejkowych M/M/N(N>1), czyli systemy z przepływami Markowa żądań i usług. Dla M/G/ l dla dowolnej dystrybucji G i dla niektórych innych systemów. Ogólnie rzecz biorąc, rozkład czasu między przyjazdami, rozkład czasu obsługi lub oba muszą być wykładnicze (lub jakiś rodzaj wykładniczego rozkładu Erlanga k-tego rzędu), aby możliwe było rozwiązanie analityczne.

Ponadto możemy mówić również o cechach takich jak:

• bezwzględna wydajność systemu – А=Р obsl *λ;
• względna wydajność systemu –

Kolejny ciekawy (i ilustracyjny) przykład rozwiązania analitycznego – obliczanie średniego opóźnienia w stanie ustalonym w kolejce dla systemu kolejkowego M/G/ 1 według wzoru:

.

W Rosji wzór ten znany jest jako wzór Pollacka – Khinchin, za granicą ta formuła jest związana z imieniem Rossa.

Zatem jeśli E(S) jest większa, to przeciążenie (w tym przypadku mierzone jako D) będzie większy; czego należy się spodziewać. Ze wzoru wynika także mniej oczywisty fakt: zatory rosną także wtedy, gdy wzrasta zmienność rozkładu czasu obsługi, nawet jeśli średni czas obsługi pozostaje taki sam. Intuicyjnie można to wytłumaczyć w następujący sposób: wariancja zmiennej losowej czasu obsługi może przyjąć dużą wartość (bo musi być dodatnia), czyli jedyne urządzenie serwisowe będzie przez dłuższy czas zajęte, co doprowadzi do wzrost kolejki.

Przedmiot teorii kolejek polega na ustaleniu związku pomiędzy czynnikami decydującymi o funkcjonalności systemu kolejkowego a efektywnością jego działania. W większości przypadków wszystkie parametry opisujące systemy kolejkowe są zmiennymi lub funkcjami losowymi, dlatego też systemy te należą do systemów stochastycznych.

Losowy charakter przepływu wniosków (wymagań), a także w ogólnym przypadku czas trwania usługi powoduje, że w systemie kolejkowym zachodzi proces losowy. Z natury procesu losowego Wyróżnia się , występujące w systemie kolejkowym (QS). Systemy Markowskie i nieMarkowskie . W systemach Markowa przychodzący przepływ wymagań i wychodzący przepływ obsługiwanych wymagań (aplikacje) to Poissona. Przepływy Poissona ułatwiają opisanie i zbudowanie modelu matematycznego systemu kolejkowego. Modele te mają dość proste rozwiązania, dlatego większość znanych zastosowań teorii kolejek wykorzystuje schemat Markowa. W przypadku procesów nieMarkowskich problematyka badania systemów kolejkowych staje się znacznie bardziej skomplikowana i wymaga zastosowania modelowania statystycznego oraz metod numerycznych z wykorzystaniem komputera.

Duża klasa systemów, które są trudne do zbadania metodami analitycznymi, ale które są dobrze zbadane metodami modelowania statystycznego, sprowadzają się do systemów kolejkowych (QS).

QS sugeruje, że tak jest typowe ścieżki(kanały usług), przez które przechodzą w procesie przetwarzania Aplikacje. Powszechnie mówi się, że aplikacje podawane kanały. Kanały mogą mieć różny cel, cechy, można je łączyć w różnych kombinacjach; wnioski mogą znajdować się w kolejkach oczekujących na obsługę. Niektóre aplikacje mogą być obsługiwane przez kanały, inne mogą tego odmówić. Ważne jest, aby żądania z punktu widzenia systemu były abstrakcyjne: były czymś, co chce zostać obsłużone, czyli przejść określoną drogę w systemie. Kanały również są abstrakcją: służą do obsługi żądań.

Żądania mogą docierać nierównomiernie, kanały mogą obsługiwać różne żądania w różnym czasie itd. Liczba żądań jest zawsze bardzo duża. Wszystko to sprawia, że ​​takie systemy są trudne do badania i zarządzania, a także nie jest możliwe prześledzenie w nich wszystkich związków przyczynowo-skutkowych. Dlatego ogólnie przyjmuje się, że konserwacja w złożonych systemach jest losowa.

Przykłady CMO (patrz tabela 30.1) obejmują: linie autobusowe i transport pasażerski; przenośnik produkcyjny do obróbki części; eskadra samolotów lecących na obce terytorium, „obsługiwana” przez działa przeciwlotnicze obrony powietrznej; lufa i róg karabinu maszynowego, które „służą” nabojom; ładunki elektryczne poruszające się w jakimś urządzeniu itp.

Tabela 30.1. Przykłady systemów kolejkowych

Aplikacje Kanały Trasa autobusowa i transport pasażerski Pasażerowie Autobusy Przenośnik produkcyjny do obróbki części Części, komponenty Obrabiarki, magazyny Eskadra samolotów lecących na obce terytorium, „obsługiwana” przez działa przeciwlotnicze obrony powietrznej Samolot Działa przeciwlotnicze, radary, strzały, pociski Lufa i róg karabinu maszynowego, które „służą” nabojom Beczka, róg Ładunki elektryczne poruszające się w jakimś urządzeniu Kaskady urządzeń technicznych

Ale wszystkie te systemy są połączone w jedną klasę QS, ponieważ podejście do ich badań jest takie samo. Polega ona na tym, że w pierwszej kolejności za pomocą generatora liczb losowych losowane są liczby losowe symulujące LOSOWE momenty pojawienia się zamówień i czas ich obsługi w kanałach. Ale razem wzięte te liczby losowe są oczywiście podporządkowane statystyczny wzory.

Przykładowo powiedzmy: „zgłoszenia przychodzą średnio w ilości 5 sztuk na godzinę”. Oznacza to, że czasy pomiędzy przybyciem dwóch sąsiednich żądań są losowe, na przykład: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,2, jak pokazano na ryc. 30,1, ale w sumie dają średnio 1 (zauważ, że w przykładzie nie jest to dokładnie 1, ale 1,1 - ale w innej godzinie suma ta może wynosić np. 0,9); lecz tylko przez dość długi czasśrednia z tych liczb będzie bliska jednej godziny.

Wynik (np. przepustowość systemu) będzie oczywiście również zmienną losową w poszczególnych odstępach czasu. Jednak mierzona w długim okresie czasu, wartość ta będzie średnio odpowiadać dokładnemu rozwiązaniu. Oznacza to, że aby scharakteryzować QS, są oni zainteresowani odpowiedziami w sensie statystycznym.

Zatem system jest testowany losowymi sygnałami wejściowymi, podlegającymi danemu prawu statystycznemu, a wynikiem są wskaźniki statystyczne uśrednione w czasie rozpatrywania lub w liczbie eksperymentów. Wcześniej w wykłady 21(cm. Ryż. 21.1), opracowaliśmy już schemat takiego eksperymentu statystycznego (patrz ryc. 30.2).

Po drugie, wszystkie modele QS są składane w standardowy sposób z małego zestawu elementów (kanał, źródło żądań, kolejka, żądanie, dyscyplina usługi, stos, pierścień itp.), co pozwala symulować te zadania typowy sposób. W tym celu z konstruktora takich elementów składa się model systemu. Nie ma znaczenia, jaki konkretny system jest badany, ważne jest, aby schemat systemu był złożony z tych samych elementów. Oczywiście struktura obwodu zawsze będzie inna.

Wymieńmy kilka podstawowych koncepcji QS.

Kanały są tym, co służy; Są gorące (rozpoczynają obsługę żądania w momencie wejścia do kanału) i zimne (kanał potrzebuje czasu na przygotowanie się przed rozpoczęciem obsługi). Źródła zamówień - generuj zamówienia w losowych momentach, zgodnie z prawem statystycznym określonym przez użytkownika. Aplikacje, zwane także klientami, wchodzą do systemu (generowane przez źródła aplikacji), przechodzą przez jego elementy (są obsługiwane) i pozostawiają go obsługiwanym lub niezadowolonym. Zdarzają się aplikacje niecierpliwe – takie, które są zmęczone czekaniem lub byciem w systemie i opuszczają CMO z własnej woli. Przepływy wniosków - przepływ wniosków na wejściu systemu, przepływ wniosków obsłużonych, przepływ wniosków odrzuconych. Przepływ charakteryzuje się liczbą zastosowań danego rodzaju obserwowanych w określonym miejscu QS w jednostce czasu (godzina, dzień, miesiąc), czyli przepływ jest wielkością statystyczną.

Kolejki charakteryzują się zasadami ustawiania kolejki (dyscyplina obsługi), liczbą miejsc w kolejce (maksymalna liczba klientów, jaka może znajdować się w kolejce) oraz strukturą kolejki (relacją pomiędzy miejscami w kolejce). Kolejki są ograniczone i nieograniczone. Wymieńmy najważniejsze dyscypliny utrzymania ruchu. FIFO (First In, First Out – First In, First Out): jeśli żądanie pojawi się w kolejce jako pierwsze, jako pierwsze zostanie obsłużone. LIFO (Last In, First Out - last in, First out): jeśli żądanie wpłynęło jako ostatnie w kolejce, to jako pierwsze trafi do serwisu (przykład - naboje w klaksonie karabinu maszynowego). SF (Short Forward): w pierwszej kolejności obsługiwane są te żądania z kolejki, które mają krótszy czas obsługi.

Podajmy uderzający przykład pokazujący, jak właściwy wybór tej lub innej dyscypliny usługowej pozwala osiągnąć znaczne oszczędności czasu.

Niech będą dwa sklepy. W sklepie nr 1 obsługa odbywa się na zasadzie „kto pierwszy, ten lepszy”, czyli obowiązuje tu dyscyplina obsługi FIFO (patrz rys. 30.3).

Czas naprawy T praca na ryc. 30.3 pokazuje, ile czasu sprzedawca poświęci na obsługę jednego kupującego. Oczywiste jest, że kupując produkt na sztuki, sprzedawca poświęci mniej czasu na obsługę niż przy zakupie, powiedzmy, produktów masowych, które wymagają dodatkowych manipulacji (kompletowanie, ważenie, obliczanie ceny itp.). Czas oczekiwania T oczekiwany pokazuje, ile czasu zajmie obsłużenie przez sprzedawcę kolejnego kupującego.

W sklepie nr 2 wdrożona jest dyscyplina SF (patrz rys. 30.4), co oznacza, że ​​towary na sztuki można kupować poza kolejnością, gdyż czas obsługi T praca taki zakup jest niewielki.

Jak widać z obu wykresów, ostatni (piąty) kupujący zamierza kupić produkt na sztuki, więc jego czas obsługi jest krótki – 0,5 minuty. Jeśli klient ten przyjdzie do sklepu nr 1, będzie zmuszony stać w kolejce przez pełne 8 minut, natomiast w sklepie nr 2 zostanie obsłużony od razu, poza kolejką. Tym samym średni czas obsługi każdego klienta w sklepie z dyscypliną obsługi FIFO wyniesie 4 minuty, a w sklepie z dyscypliną obsługi HF zaledwie 2,8 minuty. A korzyść społeczna, czyli oszczędność czasu, wyniesie: (1 – 2,8/4) · 100% = 30 procent! Tak więc 30% czasu zaoszczędzonego dla społeczeństwa - a to tylko dzięki właściwemu wyborowi dyscypliny usług.

Specjalista ds. systemów musi dogłębnie rozumieć zasoby wydajności i wydajności projektowanych przez siebie systemów, które kryją się w optymalizacji parametrów, struktur i dyscyplin konserwacji. Modelowanie pomaga zidentyfikować te ukryte rezerwy.

Analizując wyniki modelowania ważne jest także wskazanie interesów i stopnia ich realizacji. Rozróżnia się interesy klienta i interesy właściciela systemu. Należy pamiętać, że interesy te nie zawsze są zbieżne.

Wydajność QS można ocenić za pomocą wskaźników. Najpopularniejsze z nich:

prawdopodobieństwo obsługi klienta przez system;

przepustowość systemu;

prawdopodobieństwo odmowy obsługi klienta;

prawdopodobieństwo wykorzystania każdego kanału i wszystkich razem;

średni czas zajętości każdego kanału;

prawdopodobieństwo zajętości wszystkich kanałów;

średnia liczba zajętych kanałów;

prawdopodobieństwo przestoju dla każdego kanału;

prawdopodobieństwo przestoju całego systemu;

średnia liczba wniosków w kolejce;

średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce;

średni czas obsługi aplikacji;

średni czas przebywania aplikacji w systemie.

Jakość powstałego systemu należy oceniać na podstawie sumy wartości wskaźników. Analizując wyniki modelowania (wskaźniki) należy również zwrócić uwagę na interesy klienta i interesy właściciela systemu, to znaczy jeden lub drugi wskaźnik musi zostać zminimalizowany lub zmaksymalizowany, a także stopień ich realizacji . Należy pamiętać, że najczęściej interesy klienta i właściciela nie pokrywają się lub nie zawsze są zbieżne. Poniżej oznaczymy wskaźniki H = { H 1 , H 2 , …} .

Parametrami QS mogą być: intensywność przepływu żądań, intensywność przepływu obsługi, średni czas, przez który żądanie jest gotowe do oczekiwania na obsługę w kolejce, liczba kanałów obsługi, dyscyplina obsługi itp. . Parametry wpływają na wydajność systemu. Poniżej będziemy oznaczać parametry jako R = { R 1 , R 2 , …} .

Przykład. Stacja benzynowa (stacja benzynowa).

1. Opis problemu. Na ryc. Rysunek 30.5 pokazuje układ stacji benzynowej. Rozważmy sposób modelowania QS na jego przykładzie i plan jego badań. Kierowcy mijający po drodze stacje benzynowe mogą chcieć zatankować swój pojazd. Nie wszyscy kierowcy chcą skorzystać z obsługi (zatankować samochód benzyną); Załóżmy, że z całego potoku samochodów na stację benzynową przyjeżdża średnio 5 samochodów w ciągu godziny.

Na stacji benzynowej znajdują się dwie identyczne kolumny, a wyniki statystyczne każdej z nich są znane. Pierwsza kolumna obsługuje średnio 1 samochód na godzinę, druga średnio 3 samochody na godzinę. Właściciel stacji benzynowej wybrukował miejsce dla samochodów, gdzie będą mogły poczekać na obsługę. Jeśli pompy są zajęte, inne samochody mogą czekać na obsługę w tym miejscu, ale nie więcej niż dwa na raz. Kolejkę uznamy za ogólną. Gdy tylko jedna z kolumn będzie wolna, pierwszy samochód w kolejce może zająć swoje miejsce w kolumnie (podczas gdy drugi samochód przesuwa się na pierwsze miejsce w kolejce). Jeśli pojawi się trzeci samochód, a wszystkie miejsca (są dwa) w kolejce są zajęte, wówczas odmawia się mu obsługi, gdyż postój na drodze jest zabroniony (patrz znaki drogowe w pobliżu stacji benzynowej). Taki samochód na zawsze opuszcza system i jako potencjalny klient jest stracony dla właściciela stacji benzynowej. Możesz skomplikować zadanie, biorąc pod uwagę kasę (kolejny kanał obsługi, do którego musisz się dostać po obsłudze w jednej z kolumn) i kolejkę do niej i tak dalej. Ale w najprostszej wersji oczywiste jest, że ścieżki przepływu aplikacji przez QS można przedstawić w formie równoważnego diagramu, a dodając wartości i oznaczenia cech charakterystycznych każdego elementu QS, ostatecznie otrzymamy uzyskać schemat pokazany na ryc. 30.6.

2. Metoda badawcza SMO. W naszym przykładzie zastosujemy zasadę sekwencyjnego księgowania zleceń (szczegóły na temat zasad modelowania zob. wykład 32). Jego idea polega na tym, że aplikacja przechodzi przez cały system od wejścia do wyjścia i dopiero potem modelowana jest kolejna aplikacja.

Dla przejrzystości skonstruujmy diagram czasowy operacji QS, odzwierciedlając każdą linię (oś czasu T) stan pojedynczego elementu systemu. Osi czasu jest tyle, ile jest różnych miejsc w QS i przepływach. W naszym przykładzie jest ich 7 (przepływ żądań, wątek oczekujący na pierwszym miejscu w kolejce, wątek oczekujący na drugim miejscu w kolejce, przepływ usług w kanale 1, przepływ usług w kanale 2) , napływ żądań obsługiwanych przez system, napływ żądań odrzuconych).

Aby wygenerować czas nadejścia żądań, korzystamy ze wzoru na obliczenie odstępu czasu pomiędzy czasami nadejścia dwóch zdarzeń losowych (patrz. wykład 28):

W tym wzorze wartość przepływu λ należy określić (wcześniej należy to ustalić eksperymentalnie na obiekcie jako średnią statystyczną), R- losowa, równomiernie rozłożona liczba od 0 do 1 z RNG lub stoły, w którym należy wybrać losowe liczby z rzędu (bez specjalnej selekcji).

Zadanie. Wygeneruj strumień 10 losowych zdarzeń z częstotliwością zdarzeń 5 szt./godz.

Rozwiązanie problemu. Weźmy liczby losowe równomiernie rozłożone w zakresie od 0 do 1 (patrz. tabela) i obliczyć ich logarytmy naturalne (patrz tabela 30.2).

Tabela 30.2. Fragment tabeli liczb losowych i ich logarytmów

R s ln(r s )

Wzór przepływu Poissona określa odległość pomiędzy dwoma zdarzeniami losowymi w następujący sposób: T= –Ln(r рр)/ λ . Biorąc to pod uwagę λ = 5, mamy odległości pomiędzy dwoma losowo sąsiadującymi zdarzeniami: 0,68, 0,21, 0,31, 0,12 godziny. Oznacza to, że zdarzenia mają miejsce: najpierw - w momencie T= 0, druga - w chwili czasu T= 0,68, trzeci - w momencie T= 0,89, czwarty - w momencie T= 1,20, piąty - w momencie T= 1,32 i tak dalej. Zdarzenia - przybycie zamówień zostanie odzwierciedlone w pierwszej linii (patrz ryc. 30.7).

Ryż. 30,7. Wykres czasowy działania QS

Pierwsze żądanie zostaje przyjęte i ponieważ w tym momencie kanały są wolne, ustawiana jest obsługa pierwszego kanału. Aplikacja 1 zostaje przeniesiona na linię „1 kanał”.

Czas obsługi w kanale również jest losowy i wyliczany jest według podobnego wzoru:

gdzie rolę intensywności odgrywa wielkość przepływu usług μ 1 lub μ 2, w zależności od tego, który kanał obsługuje żądanie. Znajdujemy na diagramie moment zakończenia usługi, przesuwając wygenerowany czas usługi od momentu rozpoczęcia usługi i obniżamy żądanie do wiersza „Obsłużone”.

Aplikacja trafiła aż do CMO. Teraz, zgodnie z zasadą sekwencyjnego wysyłania zleceń, możliwa jest także symulacja ścieżki drugiego rzędu.

Jeśli w pewnym momencie okaże się, że oba kanały są zajęte, wówczas zgłoszenie należy umieścić w kolejce. Na ryc. 30.7 to żądanie o numerze 3. Należy pamiętać, że zgodnie z warunkami wystąpienia problemu, w przeciwieństwie do kanałów, żądania nie stoją w kolejce przez losowy czas, ale czekają, aż jeden z kanałów stanie się wolny. Po zwolnieniu kanału żądanie kierowane jest do linii odpowiedniego kanału i tam organizowana jest jego obsługa.

Jeżeli w chwili nadejścia kolejnego wniosku wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, wówczas wniosek należy przesłać do linii „Odrzucono”. Na ryc. 30.7 to wniosek nr 6.

Procedura symulowania obsługi aplikacji trwa przez pewien czas obserwacji. T N. Im dłuższy będzie ten czas, tym dokładniejsze będą wyniki symulacji w przyszłości. W rzeczywistości wybierają proste systemy T n, równe 50-100 lub więcej godzin, chociaż czasami lepiej jest mierzyć tę wartość liczbą przeglądanych aplikacji.

Badania analityczne systemów kolejkowych (QS) są podejściem alternatywnym do modelowania symulacyjnego i polegają na uzyskaniu wzorów do obliczenia parametrów wyjściowych QS, a następnie podstawieniu wartości argumentów do tych wzorów w każdym indywidualnym eksperymencie.

Modele QS uwzględniają następujące obiekty:

1) zgłoszenia serwisowe (transakcje);

2) urządzenia serwisowe (OA) lub urządzenia.

Praktyczne zadanie teorii kolejek wiąże się z badaniem działań tych obiektów i składa się z poszczególnych elementów, na które wpływają czynniki losowe.

Przykładowe problemy rozważane w teorii kolejek to: dopasowanie pojemności źródła komunikatów do kanału transmisji danych, analiza optymalnego przepływu transportu miejskiego, obliczanie przepustowości poczekalni dla pasażerów na lotnisku itp.

Żądanie może znajdować się w stanie usługi lub w stanie oczekiwania na usługę.

Urządzenie serwisowe może być zajęte serwisowaniem lub wolne.

Stan QS charakteryzuje się zbiorem stanów obsługujących urządzenia i żądania. Zmiana stanu w QS nazywana jest zdarzeniem.

Modele QS służą do badania procesów zachodzących w systemie, gdy na wejścia trafiają strumienie żądań. Procesy te są sekwencją zdarzeń.

Najważniejsze parametry wyjściowe QS

Wydajność

Przepustowość łącza

Prawdopodobieństwo odmowy usługi

Średni czas obsługi;

Współczynnik obciążenia sprzętu (OA).

Wnioskami mogą być zamówienia na produkcję produktów, problemy rozwiązywane w systemie komputerowym, klienci w bankach, towary przyjęte do transportu itp. Oczywiście parametry wniosków wprowadzanych do systemu są zmiennymi losowymi i podczas badań lub projektowania jedynie ich prawa rozkładu .

W tym zakresie analiza funkcjonowania na poziomie systemu ma z reguły charakter statystyczny. Wygodnie jest przyjąć teorię kolejkowania jako matematycznego aparatu do modelowania i wykorzystywać systemy kolejkowe jako modele systemów na tym poziomie.

Najprostsze modele QS

W najprostszym przypadku QS jest urządzeniem zwanym aparatem usługowym (SA), posiadającym na wejściach kolejki żądań.

MODEL OBSŁUGI KLIENTA (rys. 5.1)

Ryż. 5.1. Model QS z awariami:

0 – źródło żądań;

1 – urządzenie serwisowe;

A– przepływ wejściowy zapytań o usługę;

V– strumień wyjściowy obsłużonych żądań;

Z– strumień wyjściowy nieprzetworzonych żądań.

W tym modelu na wejściu OA nie ma akumulatora zapotrzebowania. Jeśli żądanie nadejdzie ze źródła 0 w czasie, gdy OA jest zajęty obsługą poprzedniego żądania, nowo otrzymane żądanie opuszcza system (ponieważ odmówiono mu obsługi) i zostaje utracone (przepływ Z).

M o d e l o d m e n n i g (ryc. 5.2)

Ryż. 5.2. Model QS z oczekiwaniami

(N- 1) – liczba aplikacji, które zmieszczą się w pamięci

W tym modelu na wejściu OA znajduje się akumulator zapotrzebowania. Jeśli żądanie nadejdzie ze źródła 0 w czasie, gdy OA jest zajęty obsługą poprzedniego żądania, nowo otrzymane żądanie trafia do jednostki pamięci, gdzie czeka przez nieokreślony długi czas, aż OA stanie się wolny.

MODEL SERWISOWY Z OGRANICZONYM CZASEM

o w i d a n i a (ryc. 5.3)

Ryż. 5.4. Wielokanałowy model QS z awariami:

N– liczba identycznych urządzeń serwisowych (urządzeń)

W tym modelu nie ma jednego OA, ale kilka. Wnioski, jeśli nie określono inaczej, można składać do dowolnego OA wolnego od usług. Nie ma urządzenia pamięci masowej, więc model ten zawiera właściwości modelu pokazanego na ryc. 5.1: odmowa obsługi wniosku oznacza jego bezpowrotną utratę (następuje to tylko wtedy, gdy w chwili nadejścia tego wniosku, Wszystko OA są zajęci).

Czas oczekiwania (ryc. 5.5)

Ryż. 5.6. Wielokanałowy model SMO z oczekiwaniem i przywracaniem OA:

mi– urządzeń serwisowych niesprawnych;

F– odnowiony sprzęt serwisowy

Model ten ma właściwości modeli przedstawionych na rys. 5.2 i 5.4, a ponadto właściwości umożliwiające uwzględnienie ewentualnych przypadkowych awarii OA, które w tym przypadku docierają do jednostki naprawczej 2, gdzie pozostają przez losowe okresy czasu poświęcone na ich odtworzenie, a następnie wracają ponownie do jednostki serwisowej 1.

WIELOKANAŁOWY MODEL SMO Z OGRANICZONĄ ODPOWIEDZIALNOŚCIĄ

CZAS OCZEKIWANIA I LECZENIA OA (ryc. 5.7)

Ryż. 5.7. Wielokanałowy model QS z ograniczonym opóźnieniem i odzyskiwaniem OA

Model ten jest dość złożony, ponieważ uwzględnia jednocześnie właściwości dwóch niezbyt prostych modeli (ryc. 5.5 i 5.6).

Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.

Wysłany dnia http://allbest.ru

WSTĘP

ROZDZIAŁ 1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1.1 Systemy kolejkowe z awariami

1.2 Modelowanie systemów kolejkowych

1.3 Najprostszy QS z awariami

1.4 Jednokanałowy QS z awariami

1.5 Wielokanałowy QS z awariami

1.6 Jednokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki

1.7 Jednokanałowy QS z nieograniczoną kolejką

1.8 Wielokanałowa QS z ograniczoną długością kolejki

1.9 Wielokanałowy QS z nieograniczoną kolejką

1.10 Algorytm modelowania QS

ROZDZIAŁ 2. CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

ROZDZIAŁ 3. ZASADY BEZPIECZEŃSTWA

WNIOSEK

WYKAZ WYKORZYSTANYCH BIBLIOGRAFII

WSTĘP

Ostatnio w różnych obszarach praktyki pojawiła się potrzeba rozwiązywania różnorodnych problemów probabilistycznych związanych z działaniem tzw. systemów kolejkowych (QS).

Przykładami takich systemów są: centrale telefoniczne, warsztaty, kasy biletowe, postoje taksówek, fryzjerzy itp.

Tematem tego projektu kursu jest właśnie rozwiązanie takiego problemu.

Jednakże w proponowanym problemie badany będzie QS, w którym rozpatrywane są 2 strumienie żądań, z których jeden ma priorytet.

Rozważane procesy są również niemarkowskie, ponieważ Czynnik czasu jest ważny.

Dlatego rozwiązanie tego problemu nie opiera się na analitycznym opisie systemu, ale na modelowaniu statystycznym.

Celem zajęć jest modelowanie procesu produkcyjnego w oparciu o przedstawienie głównych urządzeń w postaci systemu kolejkowego.

Aby osiągnąć cel postawiono następujące zadania: - Analiza cech zarządzania procesem produkcyjnym; - Rozważ organizację procesu produkcyjnego w czasie; - Podaj główne opcje skrócenia czasu trwania cyklu produkcyjnego;

Przeprowadzić analizę metod zarządzania procesami produkcyjnymi w przedsiębiorstwie;

Rozważ cechy modelowania procesu produkcyjnego za pomocą teorii QMS;

Opracuj model procesu produkcyjnego i oceń główne cechy QS oraz zapewnij perspektywy jego dalszego wdrożenia oprogramowania.

Ugruntowanie wiedzy teoretycznej i zdobycie umiejętności jej praktycznego zastosowania;

Raport zawiera wstęp, trzy rozdziały, zakończenie, spis literatury i załączniki.

W drugim rozdziale omówiono materiały teoretyczne dotyczące systemu kolejkowego. W trzecim obliczamy problem systemów kolejkowych.

ROZDZIAŁ 1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1.1 Systemy kolejkoweCniepowodzenia

System kolejkowy (QS) to dowolny system zaprojektowany do obsługi wszelkich aplikacji (wymagań) przychodzących do niego w losowych momentach. Każde urządzenie bezpośrednio zaangażowane w obsługę żądań nazywane jest kanałem usługowym (lub „urządzeniem”). SMO mogą być jedno- lub wielokanałowe.

Istnieją QS z awariami i QS z kolejką. W QS z odmową aplikacja, która przychodzi w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, otrzymuje odmowę, opuszcza QS, a następnie nie uczestniczy w jego pracy. W QS z kolejką żądanie, które przychodzi, gdy wszystkie kanały są zajęte, nie opuszcza QS, ale trafia do kolejki i czeka, aż jakiś kanał stanie się wolny. Liczba miejsc w kolejce może być ograniczona lub nieograniczona. Przy m=0 QS z kolejką zamienia się w QS z awariami. Kolejka może mieć ograniczenia nie tylko w liczbie stojących w niej wniosków (długości kolejki), ale także w czasie oczekiwania (takie QS-y nazywane są „systemami z niecierpliwymi klientami”).

Analityczne badanie QS jest najprostsze, jeśli wszystkie przepływy zdarzeń przenoszące go ze stanu do stanu są najprostsze (stacjonarny Poissona). Oznacza to, że odstępy czasu pomiędzy zdarzeniami w przepływach mają rozkład wykładniczy z parametrem równym natężeniu odpowiedniego przepływu. W przypadku QS założenie to oznacza, że ​​zarówno przepływ żądań, jak i przepływ usług są najprostsze. Przez przepływ usług rozumie się przepływ żądań obsługiwanych jeden po drugim przez jeden stale zajęty kanał. Przepływ ten okazuje się najprostszy tylko wtedy, gdy czas obsługi żądania tobsl jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Parametr tego rozkładu m jest odwrotnością średniego czasu obsługi:

Zamiast wyrażenia „przepływ usług jest najprostszy” często mówi się, że „czas obsługi ma charakter orientacyjny”. Każdy QS, w którym wszystkie przepływy są najprostsze, nazywany jest najprostszym QS.

Jeśli wszystkie przepływy zdarzeń są najprostsze, to proces zachodzący w QS jest procesem losowym Markowa o stanach dyskretnych i czasie ciągłym. Jeśli dla tego procesu zostaną spełnione określone warunki, istnieje końcowy reżim stacjonarny, w którym zarówno prawdopodobieństwa stanów, jak i inne cechy procesu nie zależą od czasu.

Modele QS są wygodne do opisu poszczególnych podsystemów współczesnych systemów obliczeniowych, takich jak podsystem procesora – pamięć główna, kanał wejścia-wyjścia itp.

System komputerowy jako całość to zbiór wzajemnie połączonych podsystemów, których interakcja ma charakter probabilistyczny. Aplikacja rozwiązująca określony problem wprowadzana do systemu komputerowego przechodzi przez sekwencję etapów zliczania, uzyskiwania dostępu do zewnętrznych urządzeń pamięci masowej i urządzeń wejścia-wyjścia.

Po wykonaniu określonej sekwencji takich etapów, których liczba i czas trwania zależą od złożoności programu, żądanie uważa się za rozpatrzone i opuszcza system komputerowy.

Zatem system obliczeniowy jako całość można przedstawić za pomocą zbioru QS, z których każdy odzwierciedla proces funkcjonowania pojedynczego urządzenia lub grupy podobnych urządzeń wchodzących w skład systemu.

Zadania teorii kolejkowania polegają na znajdowaniu prawdopodobieństw różnych stanów QS, a także ustalaniu zależności pomiędzy zadanymi parametrami (liczba kanałów n, natężenie przepływu żądań n, rozkład czasu obsługi itp.) .) i charakterystykę działania QS. Do takich cech można zaliczyć na przykład:

Średnia liczba żądań A obsługiwanych przez QS w jednostce czasu lub bezwzględna pojemność QS;

Prawdopodobieństwo obsługi przychodzącego żądania Q lub względna pojemność QS; Q = A/l;

Prawdopodobieństwo awarii Rotka, tj. prawdopodobieństwo, że otrzymany wniosek nie zostanie rozpatrzony i zostanie odrzucony; Rotk= 1 - Q;

Średnia liczba wniosków w QS (obsłużonych lub oczekujących w kolejce);

Średnia liczba wniosków w kolejce;

Średni czas przebywania aplikacji w QS (w kolejce lub w obsłudze);

Średni czas, jaki aplikacja spędza w kolejce;

Średnia liczba zajętych kanałów.

Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie te cechy zależą od czasu. Jednak wiele systemów samoobsługowych działa w stałych warunkach przez dość długi czas i dlatego udaje się dla nich ustalić reżim zbliżony do stacjonarnego.

Jesteśmy tu przez cały czas, nie ustalając tego za każdym razem specjalnie, obliczymy końcowe prawdopodobieństwa stanów i końcową charakterystykę wydajności QS związaną z ograniczającym stacjonarnym trybem jego działania.

QS nazywa się otwartym, jeśli intensywność przepływu aplikacji do niego docierających nie zależy od stanu samego QS.

Dla dowolnego otwartego QS w trybie stacjonarnym ograniczającym średni czas przebywania reklamacji w systemie wyrażony jest poprzez średnią liczbę reklamacji w systemie za pomocą wzoru Little’a:

gdzie l jest intensywnością przepływu aplikacji.

Podobny wzór (zwany także wzorem Little’a) wiąże średni czas, jaki aplikacja spędza w kolejce, ze średnią liczbą aplikacji w kolejce:

Wzory Little'a są bardzo przydatne, ponieważ pozwalają obliczyć nie obie charakterystyki wydajnościowe (średni czas przebywania i średnią liczbę zastosowań), ale tylko jedną z nich.

Szczególnie podkreślamy, że wzory (1) i (2) obowiązują dla dowolnego otwartego QS (jednokanałowego, wielokanałowego, dla dowolnego rodzaju przepływów żądań i przepływów usług); Jedynym wymaganiem w przypadku przepływów aplikacji i usług jest to, aby były one stacjonarne.

Podobnie wzór wyrażający średnią liczbę zajętych kanałów poprzez pojemność bezwzględną A ma uniwersalne znaczenie dla otwartego QS:

gdzie jest natężeniem przepływu usług.

Wiele problemów teorii kolejkowania dotyczących najprostszego QS rozwiązuje się za pomocą schematu śmierci i reprodukcji.

Prawdopodobieństwa końcowe stanów wyrażają się wzorami:

Zwój charakterystykę systemów kolejkowych można przedstawić w następujący sposób:

· średni czas obsługi;

· średni czas oczekiwania w kolejce;

· średni czas pobytu w służbie zdrowia;

średnia długość kolejki;

· średnia liczba wniosków do WOR;

· liczba kanałów obsługi;

· intensywność napływu wniosków;

· intensywność obsługi;

· intensywność obciążenia;

· Współczynnik obciążenia;

· względna przepustowość;

· przepustowość bezwzględna;

· udział w przestojach QS;

· udział obsłużonych wniosków;

· udział utraconych wniosków;

· średnia liczba zajętych kanałów;

· średnia liczba bezpłatnych kanałów;

· współczynnik obciążenia kanału;

· średni czas przestoju kanałów.

1 . 2 Modelowanie systemów kolejkowych

Przejścia QS z jednego stanu do drugiego zachodzą pod wpływem bardzo specyficznych zdarzeń – przyjmowania wniosków i ich obsługi. Sekwencja zdarzeń następujących po sobie w przypadkowych momentach tworzy tzw. ciąg zdarzeń. Przykładami takich przepływów w działalności komercyjnej są przepływy o różnym charakterze – towarów, pieniędzy, dokumentów, transportu, klientów, kupujących, rozmów telefonicznych, negocjacji. Zachowanie systemu jest zwykle determinowane nie przez jeden, ale przez kilka strumieni zdarzeń. Na przykład obsługa klienta w sklepie zależy od przepływu klientów i przepływu usług; w tych przepływach momenty pojawienia się klientów, czas oczekiwania w kolejce i czas poświęcony na obsługę każdego klienta są losowe.

W tym przypadku główną cechą charakterystyczną przepływów jest probabilistyczny rozkład czasu pomiędzy sąsiednimi zdarzeniami. Istnieją różne strumienie różniące się charakterystyką.

Przepływ zdarzeń nazywa się regularnym, jeśli zdarzenia następują po sobie w z góry określonych i ściśle określonych odstępach czasu. Przepływ ten jest idealny i bardzo rzadko spotykany w praktyce. Częściej zdarzają się przepływy nieregularne, które nie mają właściwości regularności.

Przepływ zdarzeń nazywa się stacjonarnym, jeśli prawdopodobieństwo, że jakakolwiek liczba zdarzeń wpadnie w przedział czasu, zależy tylko od długości tego przedziału i nie zależy od odległości tego przedziału od początku czasu. Stacjonarność przepływu oznacza, że ​​jego charakterystyki probabilistyczne są niezależne od czasu, w szczególności natężenie takiego przepływu jest średnią liczbą zdarzeń w jednostce czasu i pozostaje wartością stałą. W praktyce przepływy można zazwyczaj uznać za stacjonarne jedynie w pewnym ograniczonym okresie czasu. Zwykle przepływ klientów np. w sklepie zmienia się znacząco w ciągu dnia pracy. Można jednak wskazać pewne przedziały czasowe, w których przepływ ten można uznać za stacjonarny, o stałym natężeniu.

Strumień zdarzeń nazywa się przepływem bez konsekwencji, jeżeli liczba zdarzeń przypadających na jeden z dowolnie wybranych przedziałów czasu nie zależy od liczby zdarzeń przypadających na inny, również dowolnie wybrany przedział, pod warunkiem, że przedziały te nie przecinają się . W przepływie bez konsekwencji zdarzenia zachodzą po sobie, niezależnie od siebie. Przykładowo napływ klientów wchodzących do sklepu można uznać za przepływ bez konsekwencji, ponieważ przyczyny, które zadecydowały o przybyciu każdego z nich, nie są powiązane z podobnymi powodami dla pozostałych klientów.

Ciąg zdarzeń nazywa się zwyczajnym, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch lub większej liczby zdarzeń jednocześnie w bardzo krótkim czasie jest znikome w porównaniu z prawdopodobieństwem wystąpienia tylko jednego zdarzenia. W zwykłym przepływie zdarzenia zachodzą pojedynczo, a nie dwa lub więcej razy. Jeżeli przepływ ma jednocześnie właściwości stacjonarności, zwyczajności i braku konsekwencji, wówczas taki przepływ nazywa się najprostszym (lub Poissona) przepływem zdarzeń. Matematyczny opis wpływu takiego przepływu na układy okazuje się najprostszy. Dlatego w szczególności przepływ najprostszy odgrywa szczególną rolę wśród innych istniejących przepływów.

Rozważmy pewien przedział czasu t na osi czasu. Załóżmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia losowego mieszczącego się w tym przedziale wynosi p, a całkowita liczba możliwych zdarzeń wynosi n. W przypadku własności zwykłego przepływu zdarzeń prawdopodobieństwo p powinno mieć wystarczająco małą wartość, i i powinno być wystarczająco dużą liczbą, ponieważ rozważane są zjawiska masowe.

W tych warunkach, aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zdarzeń m w okresie t, można skorzystać ze wzoru Poissona:

Pm, n= am_e-a; (m=0,n),

gdzie wartość a = pr jest średnią liczbą zdarzeń przypadającą na okres t, którą można wyznaczyć poprzez intensywność przepływu zdarzeń X w następujący sposób: a = l f

Wymiarem natężenia przepływu X jest średnia liczba zdarzeń w jednostce czasu. Istnieje następujący związek pomiędzy p i l, p i f:

n= lt; p= f/t

gdzie t jest całym okresem czasu, w którym uwzględniane jest działanie przepływu zdarzeń.

Konieczne jest określenie rozkładu przedziału czasu T pomiędzy zdarzeniami w takim przepływie. Ponieważ jest to zmienna losowa, znajdźmy jej funkcję rozkładu. Jak wiadomo z teorii prawdopodobieństwa, rozkład skumulowany F(t) jest prawdopodobieństwem, że wartość T będzie mniejsza niż czas t.

F(t)=P(T

Zgodnie z warunkiem w czasie T nie powinno zajść żadne zdarzenie, a w przedziale czasu t powinno nastąpić co najmniej jedno zdarzenie. Prawdopodobieństwo to oblicza się na podstawie prawdopodobieństwa wystąpienia odwrotnego zdarzenia w przedziale czasu (0; t), w którym nie wystąpiło żadne zdarzenie, tj. m = 0, zatem

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

Dla małego Δt można otrzymać przybliżony wzór otrzymany poprzez zastąpienie funkcji e-Xt tylko dwoma wyrazami rozwinięcia w potęgi Δt, wówczas prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego zdarzenia w krótkim czasie Δt wynosi

P(T

Gęstość rozkładu odstępu czasu pomiędzy dwoma kolejnymi zdarzeniami uzyskujemy różniczkując F(t) względem czasu,

f(t)= l e- l t,t?0

Korzystając z otrzymanej funkcji gęstości rozkładu, można otrzymać charakterystyki liczbowe zmiennej losowej T: oczekiwanie matematyczne M (T), wariancję D (T) i odchylenie standardowe y (T).

M(T)= l?0 t*e-лt*dt=1/ l; D(T)=1/l2; y(T)=1/l.

Stąd możemy wyciągnąć następujący wniosek: średni odstęp czasu T pomiędzy dowolnymi dwoma sąsiednimi zdarzeniami w najprostszym przepływie wynosi średnio 1/l, a jego odchylenie standardowe jest również równe 1/l, l gdzie, jest natężeniem przepływu, tj. średnia liczba zdarzeń występujących w jednostce czasu. Prawo rozkładu zmiennej losowej o takich właściwościach M(T) = T nazywa się wykładniczym (lub wykładniczym), a wartość l jest parametrem tego prawa wykładniczego. Zatem dla najprostszego przepływu matematyczne oczekiwanie odstępu czasu między sąsiednimi zdarzeniami jest równe jego odchyleniu standardowemu. W tym przypadku prawdopodobieństwo, że liczba wniosków o usługę otrzymanych w okresie t będzie równe k, określa prawo Poissona:

Pk(t)=(лt)k/k! *e-l t,

gdzie l to intensywność przepływu żądań, średnia liczba zdarzeń w QS w jednostce czasu, np. [osoba/min; pocierać/godzinę; czeki/godzinę; dokument/dzień; kg/godz.; t./rok].

Dla takiego przepływu żądań czas pomiędzy dwoma sąsiednimi żądaniami T rozkłada się wykładniczo z gęstością prawdopodobieństwa:

ѓ(t)= l e-l t.

Losowy czas oczekiwania t w kolejce do uruchomienia usługi można również uznać za rozkładający się wykładniczo:

? (toch)=V*e-v toch,

gdzie v jest natężeniem przepływu kolejki, określonym przez średnią liczbę wniosków przechodzących do obsługi w jednostce czasu:

v=1/punkt,

gdzie Toch to średni czas oczekiwania na obsługę w kolejce.

Wyjściowy przepływ żądań jest powiązany z przepływem usług w kanale, gdzie czas trwania usługi tobs jest również zmienną losową i w wielu przypadkach podlega prawu rozkładu wykładniczego z gęstością prawdopodobieństwa:

?(t obs)=µ*e µt obs,

gdzie µ jest natężeniem przepływu usług, tj. średnia liczba żądań obsłużonych w jednostce czasu:

µ=1/t obs[osoba/min; pocierać/godzinę; czeki/godzinę; dokument/dzień; kg/godz.; t./rok] ,

gdzie t obs to średni czas obsługi żądań.

Ważną cechą QS, łączącą wskaźniki l i µ, jest intensywność obciążenia: c = l/µ, która pokazuje stopień koordynacji wejściowych i wyjściowych przepływów żądań kanału usługowego oraz określa stabilność systemu kolejkowego .

Oprócz koncepcji najprostszego strumienia zdarzeń często konieczne jest skorzystanie z koncepcji strumieni innego typu. Strumień zdarzeń nazywa się strumieniem Palmy, gdy w tym strumieniu odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami T1, T2, ..., Tk ..., Tn są niezależnymi, identycznie rozłożonymi zmiennymi losowymi, ale w odróżnieniu od najprostszego strumienia są to niekoniecznie dystrybuowane zgodnie z prawem wykładniczym. Najprostszy przepływ jest szczególnym przypadkiem przepływu Palmowego.

Ważnym szczególnym przypadkiem przepływu Palma jest tak zwany przepływ Erlanga.

Przepływ ten uzyskuje się poprzez „rozrzedzenie” najprostszego przepływu. To „przerzedzenie” odbywa się poprzez wybieranie zdarzeń z najprostszego przepływu według określonej reguły.

Przykładowo, zgadzając się na uwzględnienie tylko co drugiego zdarzenia tworzącego najprostszy przepływ, otrzymujemy przepływ Erlanga drugiego rzędu. Jeśli weźmiemy tylko co trzecie zdarzenie, wówczas powstanie przepływ Erlanga trzeciego rzędu itd.

Możliwe jest uzyskanie strumieni Erlanga dowolnego k-tego rzędu. Oczywiście najprostszym przepływem jest przepływ Erlanga pierwszego rzędu.

Każde badanie systemu kolejkowego rozpoczyna się od zbadania, co należy obsłużyć, a zatem od zbadania przychodzącego przepływu wniosków i jego charakterystyki.

Ponieważ momenty czasowe t i przedziały czasu przyjmowania żądań f, to czas trwania operacji serwisowych t obs i czas oczekiwania w kolejce toch, a także długość kolejki loch są zmiennymi losowymi, to zatem charakterystyki stany QS mają charakter probabilistyczny i do ich opisu konieczne jest zastosowanie metod i modeli teorii kolejkowania.

Wymienione powyżej charakterystyki k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk są najczęściej spotykane w przypadku QS, które zwykle stanowią tylko część funkcji celu, gdyż konieczne jest uwzględnienie również wskaźniki działalności komercyjnej.

1 . 3 Najprostszy QS z awariami

N-kanałowy QS z awariami odbiera najprostszy przepływ żądań o intensywności n; czas obsługi jest wyznacznikiem parametru. Stany QS numerowane są według liczby żądań znajdujących się w QS (ze względu na brak kolejki pokrywa się to z liczbą zajętych kanałów):

S0 – QS jest bezpłatny;

S1 - jeden kanał jest zajęty, reszta jest wolna;

...;

S k- zajęty k kanały, reszta jest bezpłatna (1 kN);

…;

S N- wszyscy są zajęci N kanały.

Ostateczne prawdopodobieństwa stanów wyrażają wzory Erlanga:

gdzie s=l/m.

Charakterystyka wydajnościowa:

A=(1-str N); Q = 1-p N; Ptk= str N; =(1-str N).

Dla dużych wartości P prawdopodobieństwa stanu (1*) są dogodnie obliczane za pomocą funkcji tabelarycznych:

(rozkład Poissona) i

,

z czego pierwszy można wyrazić poprzez drugi:

Za pomocą tych funkcji można przepisać formuły Erlanga (1*) do postaci

.

1.4 Jednokanałowy QS z awariami

Przeanalizujmy prosty jednokanałowy QS z awariami usług, który odbiera strumień Poissona żądań o natężeniu l, a obsługa odbywa się pod wpływem przepływu Poissona o natężeniu m.

Działanie jednokanałowego QS n=1 można przedstawić w postaci oznaczonego wykresu stanu (3.1).

Przejścia QS z jednego stanu S0 do drugiego S1 zachodzą pod wpływem wejściowego strumienia żądań o natężeniu l, zaś odwrotne przejście następuje pod wpływem strumienia usługi o natężeniu m.

Zapiszmy układ równań różniczkowych Kołmogorowa dla prawdopodobieństw stanu zgodnie z zasadami podanymi powyżej:

Skąd otrzymujemy równanie różniczkowe do określenia prawdopodobieństwa p0(t) stanu S0:

Równanie to można rozwiązać w warunkach początkowych przy założeniu, że układ w chwili t=0 znajdował się w stanie S0, wówczas p0(0)=1, p1(0)=0.

W tym przypadku rozwiązanie równania różniczkowego pozwala określić prawdopodobieństwo, że kanał jest wolny i niezajęty obsługą:

Wtedy łatwo jest uzyskać wyrażenie na prawdopodobieństwo określenia prawdopodobieństwa zajętości kanału:

Prawdopodobieństwo p0(t) maleje w czasie i w granicy t>? zmierza do wartości

a prawdopodobieństwo p1(t) w tym samym czasie wzrasta od 0, zmierzając do granicy przy t>? do rozmiaru

Te granice prawdopodobieństwa można uzyskać bezpośrednio z równań Kołmogorowa, pod warunkiem

Funkcje р0(t) i р1(t) definiują proces przejściowy w jednokanałowym QS i opisują proces wykładniczego zbliżania się QS do stanu granicznego ze stałą czasową charakterystyką rozpatrywanego układu.

Z wystarczającą dla praktyki dokładnością można założyć, że proces przejścia w QS kończy się w czasie równym 3f.

Prawdopodobieństwo p0(t) określa względną wydajność QS, która określa proporcję obsłużonych wniosków w stosunku do całkowitej liczby wniosków przychodzących w jednostce czasu.

Rzeczywiście, p0(t) jest prawdopodobieństwem, że żądanie dochodzące w czasie t zostanie przyjęte do obsługi. Ogółem w jednostce czasu przybywa średnio l wniosków i obsługiwanych jest lr0 wniosków.

Wówczas udział obsłużonych wniosków w stosunku do całego przepływu wniosków będzie wyznaczany wartościowo

W limicie w t>? praktycznie już przy t>3ph wartość względnej przepustowości będzie równa

Przepustowość bezwzględna, określająca liczbę żądań obsłużonych w jednostce czasu w limicie w t>?, jest równa:

W związku z tym odsetek wniosków, które odrzucono, przy tych samych warunkach ograniczających, wynosi:

a łączna liczba nieobsłużonych aplikacji jest równa

Przykładami jednokanałowego QS z odmową usług są: stanowisko zamówień w sklepie, sterownia przedsiębiorstwa transportu samochodowego, biuro magazynu, biuro zarządu firmy handlowej, z którą komunikacja odbywa się telefonicznie.

1.5 Wielokanałowy QS z awariami

W działalności komercyjnej przykładami wielokanałowego QS są biura przedsiębiorstw handlowych z kilkoma kanałami telefonicznymi, bezpłatna pomoc techniczna dotycząca dostępności najtańszych samochodów w sklepach samochodowych w Moskwie ma 7 numerów telefonów i, jak wiadomo, jest bardzo trudno zadzwonić i uzyskać pomoc.

W konsekwencji sklepy samochodowe tracą klientów, możliwość zwiększenia liczby sprzedawanych samochodów oraz przychodów, obrotów i zysków ze sprzedaży.

Biura podróży sprzedające pakiety wycieczek mają dwa, trzy, cztery lub więcej kanałów, np. Express-Line.

Rozważmy wielokanałowy QS z awariami usług, którego wejście odbiera strumień Poissona żądań o intensywności l.

Przepływ usługi w każdym kanale ma intensywność m. Na podstawie liczby żądań QS wyznaczane są jej stany Sk, prezentowane w postaci oznaczonego wykresu:

S0 - wszystkie kanały są wolne k=0,

S1 - zajęty jest tylko jeden kanał, k=1,

S2 - zajęte są tylko dwa kanały, k=2,

Sk - k kanały są zajęte,

Sn - wszystkie n kanałów jest zajęte, k= n.

Stany wielokanałowego QS zmieniają się nagle i losowo. Przejście z jednego stanu, np. S0 do S1, następuje pod wpływem wejściowego strumienia żądań o natężeniu l i odwrotnie – pod wpływem strumienia obsługi żądań o natężeniu m.

Aby system przeszedł ze stanu Sk do Sk-1 nie ma znaczenia, który kanał zostanie zwolniony, zatem strumień zdarzeń przekazujących QS ma natężenie km, zatem przepływ zdarzeń przekazujących system ze stanu Sn do Sn-1 ma intensywność nm.

Tak formułuje się klasyczny problem Erlanga, nazwany na cześć duńskiego inżyniera i matematyka, twórcy teorii kolejek.

Proces losowy zachodzący w QS jest szczególnym przypadkiem procesu „narodziny-śmierć” i opisany jest układem równań różniczkowych Erlanga, dzięki którym można otrzymać wyrażenia na prawdopodobieństwa graniczne stanu rozpatrywanego układu, zwane formułami Erlanga:

.

Obliczając wszystkie prawdopodobieństwa stanów n-kanałowego QS z uszkodzeniami p0, p1, p2, ..., pk,..., pn, możemy znaleźć charakterystykę systemu usługowego.

Prawdopodobieństwo odmowy usługi jest określane przez prawdopodobieństwo, że przychodzące żądanie usługi znajdzie zajęte wszystkie n kanałów, system znajdzie się w stanie Sn:

k=n.

W systemach, w których występują awarie, zdarzenia awaryjno-obsługowe stanowią kompletną grupę zdarzeń, zatem:

Rotk+Robs=1

Na tej podstawie ze wzoru określa się względną przepustowość

Q = Pobs = 1-Rotk = 1-Pn

Bezwzględną wydajność QS można określić za pomocą wzoru

A=l*rabuje

Prawdopodobieństwo obsługi, czyli proporcja obsłużonych żądań, określa względną wydajność QS, którą można określić za pomocą innego wzoru:

Z tego wyrażenia można wyznaczyć średnią liczbę żądań objętych obsługą, czyli tym samym średnią liczbę kanałów zajętych przez usługę

Stopień wykorzystania kanałów w poszczególnych usługach określany jest poprzez stosunek średniej liczby zajętych kanałów do ich całkowitej liczby

Prawdopodobieństwo zajętości kanałów przez usługę, uwzględniające średni czas zajętości kanałów tbusy i czas bezczynności kanałów tpr, wyznacza się w następujący sposób:

Z tego wyrażenia można wyznaczyć średni czas przestoju kanałów

Średni czas przebywania żądania w systemie w stanie ustalonym określa się na podstawie wzoru Little’a

Tsmo= nz/l.

1.6 Jednokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki

W działalności komercyjnej QS z oczekiwaniem (kolejkowaniem) jest bardziej powszechne.

Rozważmy prosty jednokanałowy QS z ograniczoną kolejką, w którym liczba miejsc w kolejce m jest wartością stałą. W związku z tym wniosek otrzymany w momencie, gdy wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, nie zostaje przyjęty do obsługi, nie zostaje zapisany do kolejki i opuszcza system.

Wykres tego QS pokazano na ryc. 3.4 i pokrywa się z wykresem na ryc. 2.1 opisujący proces „narodzin-śmierci”, z tą różnicą, że w obecności tylko jednego kanału.

Oznaczony wykres procesu służby „narodziny – śmierć”; wszystkie intensywności przepływów usług są równe

Stany QS można przedstawić w następujący sposób:

S0 - kanał serwisowy bezpłatny,

S, - kanał serwisowy jest zajęty, ale nie ma kolejki,

S2 - kanał usługi jest zajęty, w kolejce znajduje się jedno zgłoszenie,

S3 - kanał usługi jest zajęty, w kolejce znajdują się dwa zgłoszenia,

Sm+1 - kanał serwisowy jest zajęty, wszystkie m miejsc w kolejce są zajęte, każde kolejne żądanie jest odrzucane.

Do opisu losowego procesu QS można posłużyć się wcześniej podanymi regułami i wzorami. Napiszmy wyrażenia określające prawdopodobieństwa graniczne stanów:

Wyrażenie na p0 można w tym przypadku zapisać prościej, wykorzystując fakt, że w mianowniku zawarty jest postęp geometryczny względem p, wówczas po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

c= (1- Z)

Wzór ten obowiązuje dla wszystkich p innych niż 1, ale jeśli p = 1, to p0 = 1/(m + 2), a wszystkie inne prawdopodobieństwa są również równe 1/(m + 2).

Jeżeli przyjmiemy m = 0, wówczas przechodzimy od rozważania jednokanałowego QS z oczekiwaniem do rozważanego już jednokanałowego QS z odmową usługi.

Istotnie, wyrażenie na prawdopodobieństwo krańcowe p0 w przypadku m = 0 ma postać:

po = m / (l+m)

A w przypadku l = m ma wartość p0 = 1 / 2.

Określmy główne cechy jednokanałowego QS z oczekiwaniem: przepustowość względną i bezwzględną, prawdopodobieństwo awarii, a także średnią długość kolejki i średni czas oczekiwania na aplikację w kolejce.

Wniosek zostaje odrzucony, jeśli wpłynie w momencie, gdy QS jest już w stanie Sm+1 i w związku z tym wszystkie miejsca w kolejce są zajęte i obsługuje jeden kanał

Dlatego prawdopodobieństwo awarii określa się na podstawie prawdopodobieństwa wystąpienia

Sm+1 stwierdza:

Ptk = pm+1 = сm+1 * p0

Względną przepustowość, czyli udział obsługiwanych żądań przychodzących w jednostce czasu, określa się za pomocą wyrażenia

Q = 1- rotk = 1- cm+1 * p0

przepustowość bezwzględna wynosi:

Średnią liczbę wniosków L w kolejce do obsługi wyznacza się matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej k – liczby wniosków w kolejce

Zmienna losowa k przyjmuje wyłącznie wartości całkowite:

1 - w kolejce znajduje się jedna aplikacja,

2 - w kolejce znajdują się dwa wnioski,

t – wszystkie miejsca w kolejce są zajęte

Prawdopodobieństwa tych wartości są określone przez odpowiednie prawdopodobieństwa stanów, zaczynając od stanu S2. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej k można przedstawić w następujący sposób:

Tabela 1. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne tej zmiennej losowej wynosi:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

W ogólnym przypadku, dla p < 1, sumę tę można przekształcić, korzystając z modeli progresji geometrycznej, do wygodniejszej postaci:

Jezioro = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)* p0

W szczególnym przypadku, gdy p = 1, gdy wszystkie prawdopodobieństwa pk są równe, można użyć wyrażenia na sumę wyrazów szeregu liczbowego

1+2+3+ m = M(M+1)

Następnie otrzymujemy formułę

L"och= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Stosując podobne rozumowanie i przekształcenia można wykazać, że średni czas oczekiwania na obsługę żądania w kolejce wyznaczają wzory Little’a

Punkt = Loch/A (w p? 1) i T1och= L"och/A (w p = 1).

Wynik ten, gdy okaże się, że Toc ~ 1/l, może wydawać się dziwny: wraz ze wzrostem natężenia przepływu wniosków długość kolejki wydaje się zwiększać, a średni czas oczekiwania maleje. Należy jednak pamiętać, że po pierwsze wartość Loch jest funkcją l i m, a po drugie rozpatrywany QS ma ograniczoną długość kolejki wynoszącą nie więcej niż m aplikacji.

Aplikacja otrzymana przez QS w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, zostaje odrzucona, w związku z czym jej czas „oczekiwania” w QS wynosi zero. Prowadzi to w ogólnym przypadku (dla p? 1) do spadku Tochromost l, ponieważ udział takich żądań rośnie wraz ze wzrostem l.

Jeśli zrezygnujemy z ograniczenia długości kolejki, tj. bezpośrednio m--> >?, następnie przypadki str< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Gdy k jest wystarczająco duże, prawdopodobieństwo pk dąży do zera. Zatem przepustowość względna będzie wynosić Q = 1, a przepustowość bezwzględna będzie równa A --l Q -- l Zatem wszystkie przychodzące żądania będą obsługiwane, a średnia długość kolejki będzie równa:

Jezioro = P2 1-s

oraz średni czas oczekiwania według wzoru Little’a

Punkt = Loch/A

W limicie str<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Nie można zatem wyznaczyć prawdopodobieństw granicznych stanów: dla Q = 1 są one równe zeru. W rzeczywistości QS nie spełnia swoich funkcji, ponieważ nie jest w stanie obsłużyć wszystkich przychodzących aplikacji.

Nietrudno ustalić, że udział obsługiwanych wniosków i bezwzględna przepustowość wynoszą odpowiednio średnio c i m, jednakże nieograniczone zwiększanie kolejki, a co za tym idzie czasu w niej oczekiwania, powoduje, że po pewnym czasie wnioski zaczynają gromadzić się w kolejce przez nieokreślony czas.

Jako jedną z cech QS przyjmuje się średni czas Tsmo przebywania aplikacji w QS, obejmujący średni czas przebywania w kolejce oraz średni czas obsługi. Wartość tę oblicza się za pomocą wzorów Little’a: jeśli długość kolejki jest ograniczona, średnia liczba wniosków w kolejce wynosi:

Lsmo= M+1 ;2

Tsmo= Lsm; na p?1

A wtedy średni czas przebywania żądania w systemie kolejkowym (zarówno w kolejce, jak i w ramach obsługi) jest równy:

Tsmo= M+1 na p?1 2m

1.7 Jednokanałowy QS z nieograniczoną kolejką

Na przykład w działalności komercyjnej dyrektor handlowy pełni funkcję jednokanałowego CMO z nieograniczonym oczekiwaniem, ponieważ z reguły jest zmuszony do obsługi zgłoszeń o różnym charakterze: dokumentów, rozmów telefonicznych, spotkań i rozmów z podwładnymi, przedstawicielami inspekcja podatkowa, policja, rzeczoznawcy towarowi, marketerzy, dostawcy produktów i rozwiązują problemy w sferze towarowo-finansowej przy wysokim stopniu odpowiedzialności finansowej, co wiąże się z obowiązkowym spełnianiem żądań, które czasami niecierpliwie czekają na spełnienie ich wymagań, oraz błędy wynikające z nieprawidłowej obsługi są z reguły bardzo istotne ekonomicznie. Model utrzymania awarii Markowa

Jednocześnie towary przywiezione na sprzedaż (usługa) znajdujące się na magazynie tworzą kolejkę do obsługi (sprzedaży).

Długość kolejki to liczba towarów przeznaczonych do sprzedaży. W tej sytuacji sprzedawcy pełnią rolę kanałów obsługujących towar.

Jeśli ilość towarów przeznaczonych do sprzedaży jest duża, to w tym przypadku mamy do czynienia z typowym przypadkiem QS z oczekiwaniem.

Rozważmy najprostszy jednokanałowy QS z oczekiwaniem na usługę, który odbiera strumień Poissona żądań o intensywności l i intensywności usługi?.

Co więcej, żądanie otrzymane w czasie, gdy kanał jest zajęty obsługą, zostaje umieszczone w kolejce i oczekuje na obsługę.

Oznaczony wykres stanu takiego układu pokazano na rys. 3.5

Liczba możliwych stanów jest nieskończona:

Kanał jest bezpłatny, nie ma kolejki, ;

Kanał jest zajęty obsługą, nie ma kolejki, ;

Kanał zajęty, jedno żądanie w kolejce, ;

Kanał jest zajęty, aplikacja znajduje się w kolejce.

Modele do szacowania prawdopodobieństwa stanów QS przy nieograniczonej kolejce można otrzymać ze wzorów przydzielonych dla QS z nieograniczoną kolejką, przechodząc do granicy w m>?:

Należy zauważyć, że dla QS z ograniczoną długością kolejki we wzorze

istnieje postęp geometryczny z pierwszym wyrazem 1 i mianownikiem.

Taki ciąg jest sumą nieskończonej liczby wyrazów w.

Suma ta jest zbieżna, jeśli postęp, który maleje nieskończenie w, co określa tryb pracy QS w stanie ustalonym, z kolejką w, może z czasem wzrosnąć do nieskończoności.

Ponieważ w rozważanym QS nie ma ograniczeń co do długości kolejki, każde żądanie może zostać obsłużone, dlatego odpowiednio przepustowość względna i przepustowość bezwzględna

Prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdzie się k wniosków wynosi:

Średnia liczba wniosków w kolejce -

Średnia liczba aplikacji w systemie -

Średni czas przebywania aplikacji w systemie -

Średni czas przebywania aplikacji w systemie -

Jeśli w jednokanałowym QS z oczekiwaniem intensywność otrzymanych żądań będzie większa niż intensywność obsługi, wówczas kolejka będzie stale rosła. Pod tym względem analiza stabilnych systemów QS pracujących w trybie stacjonarnym przy ul.

1.8 Wielokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki

Rozważmy wielokanałowy QS, na którego wejście odbierany jest strumień Poissona żądań z intensywnością, a intensywność obsługi każdego kanału wynosi: maksymalna możliwa liczba miejsc w kolejce jest ograniczona przez m. Dyskretne stany QS są określane na podstawie liczby aplikacji otrzymanych przez system, które można zarejestrować.

Wszystkie kanały są bezpłatne;

Tylko jeden kanał (dowolny) jest zajęty;

Tylko dwa kanały (dowolne) są zajęte;

Wszystkie kanały są zajęte.

Dopóki QS znajduje się w którymkolwiek z tych stanów, nie ma kolejki. Po zajęciu wszystkich kanałów obsługi kolejne żądania tworzą kolejkę determinującą dalszy stan systemu:

Wszystkie kanały są zajęte i jedna aplikacja czeka w kolejce,

Wszystkie kanały są zajęte, a w kolejce znajdują się dwa żądania,

Wszystkie kanały i wszystkie miejsca w kolejce są zajęte,

O przejściu QS do stanu o dużych liczbach decyduje przepływ przychodzących żądań z intensywnością, przy czym warunkowo w obsłudze tych żądań biorą udział identyczne kanały o równym natężeniu przepływu usług dla każdego kanału. W tym przypadku całkowite natężenie przepływu usług wzrasta wraz z przyłączaniem nowych kanałów aż do stanu, w którym wszystkie n kanałów jest zajęte. Wraz z pojawieniem się kolejki intensywność obsługi wzrasta jeszcze bardziej, ponieważ osiągnęła już maksymalną wartość równą.

Zapiszmy wyrażenia na prawdopodobieństwa graniczne stanów:

Wyrażenie na można przekształcić za pomocą wzoru na progresję geometryczną na sumę wyrazów z mianownikiem:

Utworzenie kolejki jest możliwe w przypadku, gdy nowo otrzymany wniosek znajdzie w systemie przynajmniej wymagania, tj. gdy w systemie są wymagania.

Zdarzenia te są niezależne, więc prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są zajęte, jest równe sumie odpowiednich prawdopodobieństw

Zatem prawdopodobieństwo utworzenia kolejki wynosi:

Prawdopodobieństwo odmowy usługi występuje, gdy wszystkie kanały i wszystkie miejsca w kolejce są zajęte:

Względna przepustowość będzie równa:

Absolutna przepustowość -

Średnia liczba zajętych kanałów -

Średnia liczba nieaktywnych kanałów -

Współczynnik zajętości (wykorzystania) kanału -

Wskaźnik przestojów kanału -

Średnia liczba wniosków w kolejkach -

Jeśli ta formuła przybierze inną formę -

Średni czas oczekiwania w kolejce wyznaczają wzory Little’a –

Średni czas przebywania aplikacji w QS, podobnie jak w przypadku QS jednokanałowego, jest większy od średniego czasu oczekiwania w kolejce o średni czas obsługi, który jest równy, ponieważ aplikacja jest zawsze obsługiwana tylko przez jeden kanał:

1.9 Wielokanałowy QS z nieograniczoną kolejką

Rozważmy wielokanałową QS z oczekiwaniem i nieograniczoną długością kolejki, która odbiera strumień żądań z intensywnością i która ma intensywność obsługi każdego kanału.

Wykres stanu oznaczonego pokazano na rysunku 3.7. Ma nieskończoną liczbę stanów:

S - wszystkie kanały są wolne, k=0;

S - jeden kanał jest zajęty, pozostałe są wolne, k=1;

S - dwa kanały są zajęte, reszta wolna, k=2;

S - wszystkie n kanałów jest zajęte, k=n, brak kolejki;

S - wszystkie n kanałów jest zajętych, w kolejce znajduje się jedno żądanie, k=n+1,

S - wszystkie n kanałów jest zajęte, r wniosków czeka w kolejce, k=n+r,

Prawdopodobieństwa stanu uzyskujemy ze wzorów dla wielokanałowego QS z ograniczoną kolejką przy przejściu do limitu w m.

Należy zauważyć, że suma postępu geometrycznego w wyrażeniu na p rozbiega się przy poziomie obciążenia p/n>1, kolejka będzie rosła w nieskończoność, a przy p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Brak kolejki

Ponieważ w takich systemach nie może dojść do odmowy usługi, charakterystyki przepustowości są równe:

średnia liczba wniosków w kolejce -

średni czas oczekiwania w kolejce –

średnia liczba wniosków do CMO -

Prawdopodobieństwo, że QS znajduje się w stanie, w którym nie ma żądań i żadne kanały nie są zajęte, określa wyrażenie

Prawdopodobieństwo to określa średni procent przestoju kanału obsługi. Prawdopodobieństwo bycia zajętym obsługą k żądań -

Na tej podstawie można określić prawdopodobieństwo, czyli proporcję czasu, przez jaki wszystkie kanały są zajęte przez usługę

Jeśli wszystkie kanały są już zajęte obsługą, prawdopodobieństwo stanu określa się na podstawie wyrażenia

Prawdopodobieństwo znalezienia się w kolejce jest równe prawdopodobieństwu znalezienia wszystkich kanałów już zajętych usługą

Średnia liczba wniosków w kolejce i oczekujących na obsługę wynosi:

Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce według wzoru Little’a:

i w systemie

średnia liczba kanałów zajętych przez usługę:

średnia liczba bezpłatnych kanałów:

współczynnik wykorzystania kanału usługowego:

Warto zaznaczyć, że parametr charakteryzuje stopień koordynacji strumienia wejściowego, np. klientów w sklepie z intensywnością przepływu usług. Proces obsługi będzie stabilny, jeśli jednak w systemie wzrośnie średnia długość kolejki i średni czas oczekiwania klientów na rozpoczęcie obsługi, a co za tym idzie, system obsługi będzie działał niestabilnie.

1.10 Algorytm modelowania QS

QS rozważany w tym problemie to QS z:

Usługa dwukanałowa;

Dwukanałowy strumień wejściowy (posiada 2 wejścia, z których jedno odbiera losowy strumień Orderów I, drugie wejście otrzymuje strumień Orderów II).

Ustalanie terminów przyjmowania i obsługi wniosków:

· Czasy otrzymania i obsługi wniosków generowane są losowo z zadanym prawem rozkładu wykładniczego;

· Określone są stawki przyjmowania i obsługi wniosków;

Funkcjonowanie rozważanego QS:

Każdy kanał obsługuje jedno żądanie na raz;

Jeżeli w momencie otrzymania nowego żądania co najmniej jeden kanał jest wolny, wówczas przychodzące żądanie zostaje przyjęte do obsługi;

Jeśli nie ma żadnych aplikacji, system jest bezczynny.

Dyscyplina obsługi:

Priorytet Zleceń I: jeżeli system jest zajęty (oba kanały obsługują zlecenia), a jeden z kanałów jest zajęty przez Zlecenie II, Zlecenie I wywłaszcza Zlecenie II; Żądanie II pozostawia system bez obsługi;

Jeżeli do czasu nadejścia Żądania II oba kanały będą zajęte, Żądanie II nie będzie obsługiwane;

Jeżeli do czasu otrzymania Zamówienia I oba kanały obsługują Zamówienia I, otrzymane Zamówienie I pozostawia system bez obsługi;

Zadanie modelowania: znajomość parametrów wejściowych strumieni żądań, symulacja zachowania systemu i obliczenie jego głównych cech efektywności. Zmieniając wartość T z mniejszych wartości na większe (przedział czasu, w którym następuje losowy proces przyjmowania wniosków 1 i 2 strumienia w QS do obsługi), można znaleźć zmiany w kryterium efektywności operacyjnej i wybierz ten optymalny.

Kryteria efektywności funkcjonowania QS:

· Prawdopodobieństwo awarii;

· Względna przepustowość;

· Bezwzględna przepustowość;

Zasada modelowania:

Wprowadzamy warunki początkowe: całkowity czas pracy systemu, wartości intensywności przepływów aplikacji; liczba wdrożeń systemu;

Generujemy punkty czasowe nadejścia wniosków, kolejność nadejścia Żądań I, Żądań II, czas obsługi każdego przychodzącego żądania;

Liczymy, ile wniosków zostało obsłużonych, a ile odrzuconych;

Obliczamy kryterium efektywności QS;

ROZDZIAŁ2 . CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

Rysunek 1. Zależność OPSS od czasu

PROGRAM CAN_SMO;

KANAŁ = (BEZPŁATNY, ZGŁOSZENIE 1, ZGŁOSZENIE 2);

INTENSYWNOŚĆ = słowo;

STATYSTYKA = słowo;

KANAŁ1, KANAŁ2: KANAŁ;(Kanały)

T_, t, tc1, tc2: CZAS; (Czas)

l1, l2, n1, n2: INTENSYWNOŚĆ;(Intensywność)

obsłużono1, nie_obserwowano1,

serwowane2, nie_obserwowane2,

S: STATYSTYKI; (Statystyka)

M,N:INTEGER;(liczba implementacji)

FUNKCJA W(t: CZAS; l: INTENSYWNOŚĆ): logiczna;(Określa, czy zlecenie się pojawiło)

Rozpocznij (według natężenia przepływu l)

jeśli losowe< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNKCJA F(t: CZAS; n: INTENSYWNOŚĆ): CZAS; (Określa jak długo wniosek będzie przetwarzany)

Rozpocznij (wg intensywności zgłoszeń obsługowych n)

F:= t +okrągły(60/(n));

Rysunek 2. Zależność OPPS od czasu

WRITELN("WPISZ LICZBĘ Wdrożeń SMO");

writeln(M, „ta implementacja”);

KANAŁ1:= BEZPŁATNY; KANAŁ2:= BEZPŁATNY;

l1:= 3; l2:= 1; n1:= 2; n2:= 1;

podany1:= 0; not_served1:= 0;

podany2:= 0; not_served2:= 0;

write("Podaj czas badania SMO - T: "); czytajln(_T_);

jeśli KANAŁ1 = ROSZCZENIE1, to inc(obsługa1) else inc(obsługa2);

KANAŁ1:= BEZPŁATNY;

writeln("Kanał 1 zrealizował żądanie");

jeśli KANAŁ2 = ROSZCZENIE1, to inc(obsługa1) else inc(obsługa2);

KANAŁ2:= BEZPŁATNY;

writeln("Kanał 2 zrealizował żądanie");

Rysunek 3. Wykres prawdopodobieństwa awarii systemu w funkcji czasu

writeln("Otrzymano żądanie1");

jeśli KANAŁ 1 = WOLNY, to

rozpocznij KANAŁ1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Kanał 1 zaakceptował żądanie 1"); koniec

w przeciwnym razie, jeśli KANAŁ2 = WOLNY, to

rozpocznij KANAŁ2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln("Kanał 2 zaakceptował żądanie 1"); koniec

w przeciwnym razie, jeśli KANAŁ 1 = CLAIM2, to

rozpocznij KANAŁ1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Kanał 1 zaakceptował żądanie 1 zamiast żądania 2"); koniec

w przeciwnym razie, jeśli KANAŁ2 = CLAIM2

rozpocznij KANAŁ2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Kanał2 zaakceptował żądanie1 zamiast żądania2"); koniec

w przeciwnym razie rozpocznij inc(not_served1); writeln("Żądanie 1 nie zostało obsłużone"); koniec;

Rysunek 4. Zależność liczby wniosków od czasu

writeln("Otrzymano żądanie2");

jeśli KANAŁ 1 = WOLNY, to

rozpocznij KANAŁ 1:= CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Kanał 1 zaakceptował żądanie 2"); koniec

w przeciwnym razie, jeśli KANAŁ2 = WOLNY, to

rozpocznij KANAŁ2:= CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Kanał2 zaakceptował żądanie2");end

w przeciwnym razie rozpocznij inc(not_served2); writeln("Żądanie2 nie zostało obsłużone"); koniec;

S:= obsłużono1 + nieobserwowano1 + obsłużono2 + nieobserwowano2;

writeln("Czas działania SMO",_T_);

writeln("obsługiwane przez kanał1: ",obsługiwane1);

writeln("obsługiwane przez kanał2:",obsługiwane2);

writeln("Otrzymane żądania: ",S);

writeln("Obsłużone żądania: ",obsłużone1+obsłużone2);

writeln("Żądania nieobsługiwane: ",not_served1+not_served2);

(writeln("Intensywność żądań wchodzących do systemu: ",(obsłużone1+obsłużone2)/_T_:2:3);)

writeln("Bezwzględna przepustowość systemu: ",(obsłużone1+obsłużone2)/T:2:3);

writeln("Prawdopodobieństwo niepowodzenia: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Względna przepustowość systemu: ",(obsłużone1+obsłużone2)/S:2:3);

writeln("symulacja zakończona");

Tabela 2. Wyniki prac QS

Charakterystyka działania QS

Godziny pracy SMO

Otrzymane wnioski

Obsługiwane aplikacje

Nie obsłużono żadnych żądań

Absolutna przepustowość systemu

Względna przepustowość systemu

ROZDZIAŁ 3.ZASADY BEZPIECZEŃSTWA

Postanowienia ogólne

· W pracowni komputerowej mogą pracować osoby, które zapoznały się z zasadami bezpieczeństwa i zachowania.

· W przypadku naruszenia poleceń student zostaje zawieszony w pracy i może studiować wyłącznie za pisemną zgodą prowadzącego zajęcia.

· Praca studenta w pracowni komputerowej dozwolona jest wyłącznie w obecności nauczyciela (inżyniera, asystenta laboratoryjnego).

· Pamiętaj, że każdy uczeń jest odpowiedzialny za stan swojego miejsca pracy i bezpieczeństwo znajdującego się na nim sprzętu.

Przed rozpoczęciem pracy:

· Przed rozpoczęciem pracy należy upewnić się, że nie ma widocznych uszkodzeń sprzętu i przewodów. Komputery i urządzenia peryferyjne należy ustawić w stabilnej pozycji na stołach.

· Studentom obowiązuje całkowity zakaz wstępu do urządzeń. Urządzenia można włączyć wyłącznie za zgodą nauczyciela.

Podczas pracy na zajęciach komputerowych zabrania się:

1. Wchodzenie i wychodzenie z klasy bez zgody nauczyciela.

2. Spóźnij się na zajęcia.

3. Wejdź do klasy w brudnych i mokrych butach, zakurzonym ubraniu, a w okresie zimowym w odzieży wierzchniej.

4. Pracuj przy komputerze mokrymi rękami.

5. Umieść ciała obce na stanowisku pracy.

6. Wstań podczas pracy, odwróć się, porozmawiaj z sąsiadem.

7. Włączaj i wyłączaj sprzęt bez zgody nauczyciela.

8. Naruszaj procedurę włączania i wyłączania sprzętu.

9. Dotykaj klawiatury i myszy, gdy komputer jest wyłączony, przesuwaj meble i sprzęt.

10. Dotknij ekranu wyświetlacza, kabli, przewodów połączeniowych, złączy, wtyczek i gniazd.

11. Bez pozwolenia zbliżaj się do miejsca pracy nauczyciela

Głównym zagrożeniem dla zdrowia człowieka podczas pracy z komputerem jest zagrożenie porażeniem prądem. Dlatego zabrania się:

1. Pracuj na sprzęcie, który ma widoczne wady. Otwórz jednostkę systemową.

2. Podłącz lub odłącz kable, dotknij złączy kabli połączeniowych, przewodów i gniazd, urządzeń uziemiających.

3. Dotknij ekranu oraz tyłu monitora i klawiatury.

4. Spróbuj samodzielnie rozwiązać problemy ze sprzętem.

5. Pracuj w wilgotnych ubraniach i mokrych rękach

6. Spełniać wymagania nauczyciela i asystenta; Zachowaj ciszę i porządek;

7. W trybie online pracuj wyłącznie pod swoim imieniem i hasłem;

8. Przestrzegać trybu pracy (zgodnie z Przepisami i Normami Sanitarnymi);

9. Rozpoczynanie i kończenie pracy wyłącznie za zgodą nauczyciela.

10. W przypadku gwałtownego pogorszenia się stanu zdrowia (bolesność oczu, gwałtowne pogorszenie widoczności, niemożność skupienia lub wyostrzenia wzroku, ból palców i dłoni, przyspieszone bicie serca) należy natychmiast opuścić miejsce pracy, zgłosić zdarzenie przełożonemu nauczyciela i skonsultuj się z lekarzem;

11. Utrzymuj miejsce pracy w czystości.

12. Dokończ pracę za zgodą nauczyciela.

13. Oddaj ukończoną pracę.

14. Zamknij wszystkie aktywne programy i poprawnie wyłącz komputer.

15. Uporządkuj miejsce pracy.

16. Dyżurny powinien sprawdzić gotowość gabinetu do kolejnej lekcji.

Podczas obsługi urządzenia należy uważać na: - porażenie prądem;

- uszkodzenia mechaniczne, urazy

W razie wypadku:

1. W przypadku wykrycia iskrzenia, zapachu spalenizny lub innych problemów należy natychmiast przerwać pracę i powiadomić nauczyciela.

2. W przypadku porażenia prądem należy: przerwać pracę i oddalić się na bezpieczną odległość; wyłączyć napięcie (w rozdzielnicy szafy); poinformować nauczyciela; Postępuj zgodnie z pierwszą pomocą i wezwij lekarza.

3. W przypadku pożaru należy: przerwać pracę i rozpocząć ewakuację; poinformować nauczyciela i wezwać straż pożarną (tel. 01); wyłączyć napięcie (w rozdzielnicy szafy); Przystąpić do gaszenia pożaru gaśnicą (zabrania się gaszenia wodą).

Podobne dokumenty

Matematyczna teoria kolejkowania jako gałąź teorii procesów losowych. Systemy kolejkowania żądań przychodzących w określonych odstępach czasu. Otwarta sieć Markowa, jej przypadek nieMarkowski, wyznaczanie prawdopodobieństw stacjonarnych.

praca na kursie, dodano 07.09.2009


Pojęcie systemu kolejkowego, jego istota i cechy. Teoria kolejek jako jedna z gałęzi teorii prawdopodobieństwa, rozważane zagadnienia. Pojęcie i charakterystyka procesu losowego, jego rodzaje i modele. Obsługa oczekująca.

praca na kursie, dodano 15.02.2009


Optymalizacja kontroli przepływu żądań w sieciach kolejkowych. Metody ustalania zależności pomiędzy charakterem wymagań, liczbą kanałów obsługi, ich produktywnością i efektywnością. Teoria grafów; Równanie Kołmogorowa, przepływy zdarzeń.

test, dodano 01.07.2015


Teoria kolejkowania to dziedzina matematyki stosowanej, która analizuje procesy w systemach produkcyjnych, w których jednorodne zdarzenia powtarzają się wielokrotnie. Wyznaczanie parametrów systemu kolejkowego o stałej charakterystyce.

praca na kursie, dodano 01.08.2009


Definicja procesu losowego i jego charakterystyka. Podstawowe pojęcia teorii kolejek. Pojęcie procesu losowego Markowa. Strumienie wydarzeń. Równania Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa graniczne stanów. Procesy śmierci i reprodukcji.

streszczenie, dodano 01.08.2013


Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa. Budowa modeli matematycznych, wykresów przejść. Uzyskanie równania równowagi dla systemów kolejkowych o różnej liczbie urządzeń, różnych wymaganiach i ograniczonych kolejkach przy urządzeniach.

teza, dodano 23.12.2012


Analiza efektywności najprostszych systemów kolejkowych, obliczenie ich wskaźników technicznych i ekonomicznych. Porównanie wydajności systemu z awariami z odpowiednim systemem mieszanym. Zalety przejścia na system o mieszanych właściwościach.

praca na kursie, dodano 25.02.2012


Opracowanie modelu symulacyjnego i obliczenie wskaźników wydajności systemu kolejkowego na podstawie zadanych parametrów. Porównanie wskaźników efektywności z wynikami uzyskanymi poprzez numeryczne rozwiązanie równań Kołmogorowa dla prawdopodobieństw stanów układu.

praca na kursie, dodano 17.12.2009


Przykłady procesów reprodukcji i śmierci w przypadku najprostszych systemów kolejkowych. Oczekiwania matematyczne dla systemu kolejkowego. Dodatkowy przepływ i nieskończona liczba urządzeń. System z ograniczeniem czasu trwania aplikacji.

praca na kursie, dodano 26.01.2014


Niektóre zagadnienia matematyczne w teorii obsługi systemów złożonych. Organizacja utrzymania ruchu z ograniczoną informacją o niezawodności systemu. Algorytmy bezawaryjnej pracy systemu i znalezienia czasu na planową konserwację zapobiegawczą systemów.