Ekstrema, wartości maksymalne i minimalne funkcji. Etykieta: ekstremum lokalne

$E \podzbiór \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ tak maksimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Nazywa się maksimum lokalne ścisły , jeśli otoczenie $U$ można wybrać w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicja
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ tak minimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Mówi się, że minimum lokalne jest ścisłe, jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różni się od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\prawo)$.

Lokalne ekstremum łączy w sobie pojęcia lokalnego minimum i lokalnego maksimum.

Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej)
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jeśli w punkcie $x_(0) \in E$ funkcja $f$ ma także w tym punkcie ekstremum lokalne, to $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Równość do zera różniczka jest równoznaczna z faktem, że wszystkie są równe zeru, tj. $$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x_(i))\lewo(x_(0)\prawo)=0.$$

W przypadku jednowymiarowym jest to . Oznaczmy $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdzie $h$ jest dowolnym wektorem. Funkcja $\phi$ jest definiowana dla wystarczająco małych wartości modulo $t$. Co więcej, względem , jest ona różniczkowalna i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Niech $f$ ma lokalne maksimum przy x $0$. Zatem funkcja $\phi$ przy $t = 0$ ma lokalne maksimum i zgodnie z twierdzeniem Fermata $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Mamy więc $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ jest równa zeru na dowolnym wektorze $h$.

Definicja
Punkty, w których różnica jest równa zeru, tj. te, w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero, nazywane są stacjonarnymi. punkt krytyczny funkcje $f$ to punkty, w których $f$ nie jest różniczkowalne lub jest równe zeru. Jeśli punkt jest nieruchomy, to jeszcze nie oznacza, że ​​funkcja ma w tym punkcie ekstremum.

Przykład 1
Niech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Następnie $\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe y) = 3 \cdot y^(2 )$, więc $\left(0,0\right)$ jest punktem stacjonarnym, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Rzeczywiście $f \left(0,0\right) = 0$, ale łatwo zauważyć, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $\left(0,0\right)$ funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Przykład 2
Funkcja $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ma początek współrzędnych w punkcie stacjonarnym, ale jasne jest, że w tym punkcie nie ma ekstremum.

Twierdzenie (warunek wystarczający na ekstremum).
Niech funkcja $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Niech $x_(0) \in E$ będzie punktem stacjonarnym, a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Zatem

1. jeśli $Q_(x_(0))$ wynosi , to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ ma ekstremum lokalne, czyli minimum, jeśli postać jest dodatnio określona, ​​i maksimum, jeśli postać jest ujemnie określony;
2. jeśli postać kwadratowa $Q_(x_(0))$ jest nieokreślona, ​​to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ nie ma ekstremum.

Skorzystajmy z rozwinięcia zgodnie ze wzorem Taylora (12.7 s. 292). Biorąc pod uwagę, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie $x_(0)$ są równe zeru, otrzymujemy $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\częściowe x_(i) \ częściowe x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ gdzie $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ dla $h \rightarrow 0$, to prawa strona jest dodatnia dla dowolnego wektora $h$ o dostatecznie małej długości.
Doszliśmy zatem do wniosku, że w pewnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ nierówność $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ jest spełniona, jeśli tylko $ x \neq x_ (0)$ (wstawiamy $x=x_(0)+h$\right). Oznacza to, że w punkcie $x_(0)$ funkcja ma ścisłe minimum lokalne i tym samym udowodniona została pierwsza część naszego twierdzenia.
Załóżmy teraz, że $Q_(x_(0))$ jest formą nieokreśloną. Następnie istnieją wektory $h_(1)$, $h_(2)$ takie, że $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Następnie otrzymujemy $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Dla wystarczająco małych $t>0$ prawa strona to pozytywny. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości $f \left(x\right)$ większe niż $f \left(x_(0)\right)$.
Podobnie otrzymujemy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze niż $f \left(x_(0)\right)$. To, łącznie z poprzednim, oznacza, że ​​funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_(0)$.

Rozważmy szczególny przypadek tego twierdzenia dla funkcji $f \left(x,y\right)$ dwóch zmiennych zdefiniowanych w pewnym sąsiedztwie punktu $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i posiadające ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Niech $\left(x_(0),y_(0)\right)$ będzie punktem stacjonarnym i niech $$\displaystyle a_(11)= \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Wtedy poprzednie twierdzenie przyjmuje następującą postać.

Twierdzenie
Niech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Następnie:

1. jeśli $\Delta>0$, to funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $\left(x_(0),y_(0)\right)$, czyli minimum, jeśli $a_(11)> 0$ i maksymalnie, jeśli $a_(11)<0$;
2. jeśli $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Przykłady rozwiązywania problemów

Algorytm znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych:

1. Znajdujemy punkty stacjonarne;
2. Różniczkę drugiego rzędu znajdujemy we wszystkich punktach stacjonarnych
3. Korzystając z warunku wystarczającego na ekstremum funkcji kilku zmiennych, rozważamy różnicę drugiego rzędu w każdym punkcie stacjonarnym

1. Zbadaj funkcję do ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rozwiązanie

   Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Skomponuj i rozwiąż system: $$\displaystyle \begin(przypadki)\frac(\częściowe f)(\częściowe x ) = 0\\\frac(\partial f)(\częściowy y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Z drugiego równania wyrażamy $x=4 \cdot y^(2)$ — podstawiamy do pierwszego równania: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ prawo )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ W efekcie otrzymujemy 2 punkty stacjonarne:
   1) $y=0 \Strzałka w prawo x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lewo(\frac(1)(2), 1\prawo)$
   Sprawdźmy spełnienie warunku wystarczającego ekstremum:
   $$\displaystyle \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2))=6 \cdot x; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y)=-6; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Dla punktu $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $ $ \ Displaystyle A_ (1) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (0,0 \ prawo) = 0; B_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Dla punktu $M_(2)$:
   $ $ \ Displaystyle A_ (2) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (1, \ frac (1) (2) \ prawo) = 6; B_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, zatem w punkcie $M_(2)$ istnieje ekstremum, a ponieważ $A_(2)>0 $, to jest to minimum.
   Odpowiedź: Punkt $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ jest punktem minimalnym funkcji $f$.
   

2. Zbadaj funkcję dla ekstremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rozwiązanie

   Znajdź punkty stacjonarne: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Skomponuj i rozwiąż system: $$\displaystyle \begin(przypadki)\frac(\częściowe f)(\częściowe x)= 0\\\frac(\częściowe f)(\częściowe y)= 0\koniec(przypadki) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Strzałka w prawo x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ jest punktem stacjonarnym.
   Sprawdźmy spełnienie warunku wystarczającego ekstremum: $$\displaystyle A=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpowiedź: nie ma ekstremów.
   

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery zadań)

Ukończono 0 z 4 zadań

Informacja

Rozwiąż ten quiz, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat, który właśnie przeczytałeś: Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.

Już wcześniej przystąpiłeś do testu. Nie możesz go uruchomić ponownie.

Trwa ładowanie testu...

Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.

Aby rozpocząć ten, musisz ukończyć następujące testy:

wyniki

Prawidłowe odpowiedzi: 0 na 4

Twój czas:

Czas się skończył

Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0 )

Twój wynik został zapisany na tablicy wyników

1. Z odpowiedzią
2. Wyrejestrowany

Zadanie 1 z 4

1 .

Liczba punktów: 1

Zbadaj funkcję $f$ dla ekstremów: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Prawidłowy


Zło


1. Zadanie 2 z 4

   2 .

   Liczba punktów: 1

   Czy funkcja $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Skrajności

Ekstremum funkcji

Definicja ekstremum

Funkcjonować y = f(x). wzrastający (zanika) w pewnym przedziale, jeśli dla x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Jeśli funkcja różniczkowalna y \u003d f (x) w segmencie rośnie (maleje), to jej pochodna w tym segmencie f " (X )> 0

(F"(X)< 0).

Kropka X O zwany lokalny punkt maksymalny (minimum) funkcji f (x ), jeśli punkt ma sąsiedztwo x o, dla wszystkich punktów, których nierówność f (x)≤ fa (x o) (f (x)≥ fa (xo)).

Nazywa się punkty maksymalne i minimalne punkty ekstremalne, a wartości funkcji w tych punktach są jej ekstrema.

punkty ekstremalne

Warunki konieczne ekstremum . Jeśli punkt X O jest punktem ekstremalnym funkcji f (x), to albo f " (x o ) = 0 lub f(xo) nie istnieje. Takie punkty nazywane są krytyczny, gdzie sama funkcja jest zdefiniowana w punkcie krytycznym. Ekstremów funkcji należy szukać wśród jej punktów krytycznych.

Pierwszy warunek wystarczający. Pozwalać X O - punkt krytyczny. Jeśli f” (x ) podczas przechodzenia przez punkt X O zmienia znak plus na minus, a następnie w punkcie x o funkcja ma maksimum, w przeciwnym razie ma minimum. Jeżeli pochodna nie zmienia znaku przy przejściu przez punkt krytyczny, to w tym punkcie X O nie ma ekstremum.

Drugi warunek wystarczający. Niech funkcja f(x) ma
F" (x ) w pobliżu punktu X O i drugą pochodną w tym samym miejscu x o. Jeśli f”(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o jest lokalnym minimum (maksymalnym) punktem funkcji f(x). Jeśli =0, to należy albo użyć pierwszego warunku wystarczającego, albo uwzględnić wyższe.

W segmencie funkcja y \u003d f (x) może osiągnąć najmniejszą lub największą wartość albo w punktach krytycznych, albo na końcach segmentu.

Przykład 3.22.

Rozwiązanie. Ponieważ F " (

Zadania znalezienia ekstremum funkcji

Przykład 3.23. A

Rozwiązanie. X I y y
0 ≤ X≤
> 0, podczas gdy x > a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje kw.. jednostki).

Przykład 3.24. p ≈

Rozwiązanie. s
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Przykład 3.22.Znajdź ekstrema funkcji f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rozwiązanie. Ponieważ F " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), wówczas punkty krytyczne funkcji x 1 \u003d 2 i x 2 \u003d 3. Ekstremalne punkty mogą znajdować się tylko w tych zwrotnica. Ponieważ przechodząc przez punkt x 1 \u003d 2 pochodna zmienia znak z plusa na minus, to w tym momencie funkcja ma maksimum. Przechodząc przez punkt x 2 \u003d 3, pochodna zmienia znak z minus na plus, dlatego w punkcie x 2 \u003d 3 funkcja ma minimum. Obliczanie wartości funkcji w punktach
x 1 = 2 i x 2 = 3, znajdujemy ekstrema funkcji: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.

Przykład 3.23.Konieczne jest zbudowanie prostokątnego obszaru w pobliżu kamiennego muru, tak aby był on z trzech stron ogrodzony siatką drucianą i przylegał do ściany z czwartej strony. Do tego istnieje A metry bieżące sieci. W jakim formacie witryna będzie miała największą powierzchnię?

Rozwiązanie.Oznacz boki witryny X I y. Powierzchnia witryny jest równa S = xy. Pozwalać y jest długością boku przylegającego do ściany. Następnie, pod warunkiem, równość 2x + y = a musi być spełniona. Dlatego y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdzie
0 ≤ X≤ a /2 (długość i szerokość podkładki nie mogą być ujemne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 dla x = a/4, skąd
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Ponieważ x = a /4 to jedyny punkt krytyczny, sprawdźmy, czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla x a /4 S”> 0, podczas gdy x > a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kw.. jednostki). Ponieważ S jest ciągłe i jego wartości na końcach S(0) i S(a /2) są równe zero, wówczas znaleziona wartość będzie największą wartością funkcji. Zatem najkorzystniejszy współczynnik kształtu terenu w danych warunkach problemu wynosi y = 2x.

Przykład 3.24.Wymagane jest wykonanie zbiornika cylindrycznego zamkniętego o pojemności V=16 p ≈ 50 m 3. Jakie powinien mieć wymiary zbiornika (promień R i wysokość H), aby do jego produkcji zużyć jak najmniej materiału?

Rozwiązanie.Całkowita powierzchnia cylindra wynosi S = 2 P R(R+H). Znamy objętość walca V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Zatem S(R) = 2 P (R2+16/R). Znajdujemy pochodną tej funkcji:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 dla R 3 = 8, zatem
R = 2, H = 16/4 = 4.

MAKSYMALNE I MINIMALNE PUNKTY

punkty, w których przyjmuje największe lub najmniejsze wartości w dziedzinie definicji; takie punkty nazywane są także punkty absolutnego maksimum lub absolutnego minimum. Jeśli f jest zdefiniowane w topologii przestrzeń X, następnie punkt x 0 zwany punkt lokalnego maksimum (lokalnego minimum), jeżeli taki punkt istnieje x 0,że dla ograniczenia rozważanej funkcji do tego sąsiedztwa, punkt x 0 jest absolutnym maksimum (minimalnym) punktem. Rozróżnij punkty ścisłego i nieścisłego maksimum (minimum a) (zarówno bezwzględnego, jak i lokalnego). Na przykład punkt tzw punkt nieścisłego (ścisłego) maksimum lokalnego funkcji f, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu x 0, co obowiązuje dla wszystkich (odpowiednio f(x) x0). )/

Dla funkcji zdefiniowanych w dziedzinach skończenie wymiarowych, w ujęciu rachunku różniczkowego, istnieją warunki i kryteria, aby dany punkt był lokalnym punktem maksymalnym (minimalnym). Niech funkcja f będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie pudełka x 0 osi rzeczywistej. Jeśli x 0 - punkt nieścisłego lokalnego maksimum (minimum) i w tym punkcie istnieje f”( x0), wtedy jest równe zeru.

Jeżeli dana funkcja f jest różniczkowalna w otoczeniu punktu x 0, być może z wyjątkiem samego tego punktu, w którym jest on ciągły, i pochodnej f” po obu stronach punktu x0 zachowuje stały znak w tej okolicy, a następnie w celu x0 był punktem ścisłego maksimum lokalnego (minimum lokalne), konieczne i wystarczające jest, aby pochodna zmieniła znak z plusa na minus, tj. aby f „(x)> 0 przy x<.x0 i f”(x)<0 при x>x0(odpowiednio od minus do plus: F"(X) <0 o x<x0 i f"(x)>0, gdy x>x 0). Jednak nie dla każdej funkcji różniczkowalnej w otoczeniu punktu x 0, można w tym momencie mówić o zmianie znaku pochodnej. . "

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x 0 t instrumenty pochodne, ponadto w celu x 0 jest punktem ścisłego maksimum lokalnego, konieczne i wystarczające jest, aby τ było parzyste oraz aby f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Niech funkcja f( x 1 ..., x s] jest zdefiniowany w n-wymiarowym sąsiedztwie punktu i jest różniczkowalny w tym punkcie. Jeśli x (0) jest nieścisłym lokalnym maksimum (minimum), to funkcja f w tym punkcie jest równa zeru. Warunek ten jest równoważny równości do zera w tym punkcie wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji f. Jeśli funkcja ma drugą ciągłą pochodną cząstkową w x(0), wszystkie jej pierwsze pochodne znikają w x(0), a różniczka drugiego rzędu w x(0) jest ujemną (dodatnią) postacią kwadratową, to x(0) jest punkt ścisłego lokalnego maksimum (minimum). Warunki są znane dla funkcji różniczkowalnych M. i M. T., gdy na zmiany argumentów nałożone są pewne ograniczenia: równania ograniczeń są spełnione. Warunki konieczne i wystarczające dla maksimum (minimum) funkcji rzeczywistej, która ma bardziej złożoną strukturę, są badane w specjalnych gałęziach matematyki: na przykład w analiza wypukła, programowanie matematyczne(Zobacz też Maksymalizacja i minimalizacja funkcji). Funkcje M. i m.t zdefiniowane na rozmaitościach są badane w rachunek wariacyjny, ogólnie rzecz biorąc, oraz M. i m.t. dla funkcji zdefiniowanych w przestrzeniach funkcyjnych, tj. dla funkcjonałów, w rachunek wariacyjny. Istnieją również różne metody numerycznego przybliżonego znajdowania M. i m. t.

Oświetlony.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, wyd. 3, część 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co oznacza „PUNKT MAKSYMALNY I MINIMALNY” w innych słownikach:

Dyskretna zasada maksimum Pontryagina dla dyskretnych czasowo procesów sterowania. Dla takiego procesu M. p. może nie być spełniony, chociaż dla jego ciągłego analogu, który uzyskuje się poprzez zastąpienie operatora różnicy skończonej operatorem różniczkowym ... ... Encyklopedia matematyczna

Twierdzenie wyrażające jedną z głównych właściwości modułu analitycznego. Funkcje. Niech f(z) będzie regularną funkcją analityczną lub holomorficzną funkcji p-zespolonych zmiennych w dziedzinie D przestrzeni liczb zespolonych innej niż stała, M. m. s. w ... ... Encyklopedia matematyczna

Największe i odpowiednio najmniejsze wartości funkcji, która przyjmuje wartości rzeczywiste. Nazywa się punkt dziedziny definicji danej funkcji, w którym przyjmuje ona maksimum lub minimum. odpowiednio punkt maksymalny lub punkt minimalny ... ... Encyklopedia matematyczna

Zobacz Maksimum i minimum funkcji, Maksimum i minimum punktu... Encyklopedia matematyczna

Wartość funkcji ciągłej, która jest maksymalna lub minimalna (patrz Punkty maksymalne i minimalne). Termin LE... Encyklopedia matematyczna

Wskaźnik- (Wskaźnik) Wskaźnik to system informacyjny, substancja, urządzenie, urządzenie wyświetlające zmiany dowolnego parametru Wskaźniki wykresów rynku walutowego Forex, czym są i skąd można je pobrać? Opis wskaźników MACD, ... ... Encyklopedia inwestora

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Ekstremalne (znaczenia). Ekstremum (łac. ekstremum ekstremum) w matematyce to maksymalna lub minimalna wartość funkcji w danym zbiorze. Punkt, w którym osiągane jest ekstremum, to ... ... Wikipedia

Rachunek różniczkowy to gałąź analizy matematycznej badająca pojęcia pochodnej i różniczkowej oraz sposoby ich zastosowania do badania funkcji. Spis treści 1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej... Wikipedia

Lemniskata i jej sztuczki Lemniskata Bernoulliego jest płaską krzywą algebraiczną. Zdefiniowany jako miejsce punktów, produkt… Wikipedia

Rozbieżność- (Dywergencja) Dywergencja jako wskaźnik Strategia handlowa z dywergencją MACD Spis treści Spis treści Sekcja 1. dot. Sekcja 2. Rozbieżność jak. Rozbieżność to termin używany w ekonomii w odniesieniu do ruchu wzdłuż rozbieżnych... ... Encyklopedia inwestora

Zmiana funkcji w pewnym momencie jest definiowana jako granica przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, który dąży do zera. Aby go znaleźć, skorzystaj z tabeli instrumentów pochodnych. Na przykład pochodna funkcji y = x3 będzie równa y’ = x2.

Przyrównaj tę pochodną do zera (w tym przypadku x2=0).

Znajdź wartość podanej zmiennej. Będą to wartości, dla których ta pochodna będzie równa 0. Aby to zrobić, podstawiamy w wyrażeniu dowolne liczby zamiast x, przy czym całe wyrażenie stanie się zerem. Na przykład:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Uzyskane wartości nanieś na oś współrzędnych i oblicz znak pochodnej dla każdej z uzyskanych wartości. Na linii współrzędnych zaznaczane są punkty, które są traktowane jako początek. Aby obliczyć wartość w przedziałach, podstaw dowolne wartości spełniające kryteria. Przykładowo dla poprzedniej funkcji aż do przedziału -1 można wybrać wartość -2. Dla -1 do 1 możesz wybrać 0, a dla wartości większych niż 1 wybierz 2. Podstaw te liczby do pochodnej i znajdź znak pochodnej. W tym przypadku pochodna przy x = -2 będzie równa -0,24, tj. ujemna, a na tym przedziale pojawi się znak minus. Jeśli x=0, to wartość będzie równa 2 i na tym przedziale zostanie postawiony znak. Jeśli x=1, to pochodna również będzie równa -0,24 i zostanie postawiony minus.

Jeżeli pochodna przechodząc przez punkt na osi współrzędnych zmienia swój znak z minus na plus, to jest to punkt minimalny, a jeśli z plus na minus, to jest to punkt maksymalny.

Powiązane wideo

Pomocna rada

Aby znaleźć pochodną, ​​istnieją usługi online, które obliczają wymagane wartości i wyświetlają wynik. Na takich stronach można znaleźć pochodną aż do 5 zamówień.

Źródła:

• Jedna z usług obliczania instrumentów pochodnych
• maksymalny punkt funkcji

Punkty maksymalne funkcji wraz z punktami minimalnymi nazywane są punktami ekstremalnymi. W tych punktach funkcja zmienia swoje zachowanie. Ekstrema wyznaczane są w ograniczonych przedziałach numerycznych i zawsze mają charakter lokalny.

Instrukcja

Proces znajdowania ekstremów lokalnych nazywany jest funkcją i przeprowadzany jest poprzez analizę pierwszej i drugiej pochodnej funkcji. Przed rozpoczęciem eksploracji upewnij się, że podany zakres wartości argumentów należy do dozwolonych wartości. Na przykład dla funkcji F=1/x wartość argumentu x=0 jest niepoprawna. Lub dla funkcji Y=tg(x) argument nie może mieć wartości x=90°.

Upewnij się, że funkcja Y jest różniczkowalna w całym podanym przedziale. Znajdź pierwszą pochodną Y”. Jest oczywiste, że przed osiągnięciem lokalnego maksimum funkcja rośnie, a po przejściu przez maksimum funkcja maleje. Pierwsza pochodna w sensie fizycznym charakteryzuje szybkość zmian funkcji. Podczas gdy funkcja rośnie, szybkość tego procesu jest wartością dodatnią.Po przejściu przez lokalne maksimum funkcja zaczyna maleć, a szybkość procesu zmiany funkcji staje się ujemna.Przejście szybkości zmian przejścia funkcji przez zero następuje w punkcie lokalnego maksimum.

Mówi się, że funkcja ma punkt wewnętrzny
obszary D maksimum lokalne(minimum), jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu
, dla każdego punktu
co spełnia nierówność

Jeśli funkcja ma w punkcie
lokalne maksimum lub lokalne minimum, to mówimy, że ma to miejsce w tym punkcie ekstremum lokalne(Lub po prostu ekstremalnie).

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli funkcja różniczkowalna osiąga w punkcie ekstremum
, to każda pochodna cząstkowa funkcji pierwszego rzędu znika w tym momencie.

Nazywa się punkty, w których znikają wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu stacjonarne punkty funkcji
. Współrzędne tych punktów można znaleźć rozwiązując układ z równania

.

Warunek konieczny istnienia ekstremum w przypadku funkcji różniczkowalnej można w skrócie sformułować następująco:

Zdarzają się przypadki, gdy w pewnych punktach niektóre pochodne cząstkowe mają wartości nieskończone lub nie istnieją (podczas gdy pozostałe są równe zeru). Takie punkty nazywane są punkty krytyczne funkcji. Punkty te należy uznać również za „podejrzane” dla ekstremum, a także stacjonarne.

W przypadku funkcji dwóch zmiennych warunek konieczny ekstremum, czyli równość pochodnych cząstkowych (różniczki) w punkcie ekstremum, ma interpretację geometryczną: płaszczyzna styczna do powierzchni
w punkcie ekstremalnym musi być równoległy do ​​płaszczyzny
.

20. Warunki wystarczające na istnienie ekstremum

Spełnienie warunku koniecznego istnienia ekstremum w jakimś punkcie wcale nie gwarantuje istnienia tam ekstremum. Jako przykład możemy wziąć funkcję różniczkowalną wszędzie
. Zarówno jej pochodne cząstkowe, jak i sama funkcja znikają w tym punkcie
. Jednak w dowolnym sąsiedztwie tego punktu znajdują się oba dodatnie (duże
) i ujemna (mniejsza
) wartości tej funkcji. Dlatego w tym momencie z definicji nie ma ekstremum. Konieczna jest zatem znajomość wystarczających warunków, w których punkt podejrzany o ekstremum jest ekstremum badanej funkcji.

Rozważmy przypadek funkcji dwóch zmiennych. Załóżmy, że funkcja
jest zdefiniowany, ciągły i ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do drugiego rzędu włącznie w sąsiedztwie pewnego punktu
, który jest punktem stacjonarnym funkcji
czyli spełnia warunki

,
.

Wprowadźmy oznaczenie:

Twierdzenie (warunki wystarczające na istnienie ekstremum). Niech funkcja
spełnia powyższe warunki, a mianowicie: różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu stacjonarnego
i jest dwukrotnie różniczkowalna w samym punkcie
. A następnie, jeśli

Jeśli
następnie funkcja
w tym punkcie
sięga

maksimum lokalne Na
I

minimum lokalne Na
.

Ogólnie rzecz biorąc, dla funkcji
wystarczający warunek istnienia w danym punkcie
lokalnyminimum(maksymalny) Jest pozytywny(negatywny) określoność drugiej różniczki.

Innymi słowy, poniższe stwierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie . Jeśli w punkcie
dla funkcji

dla dowolnego, który nie jest jednocześnie równy zero
, to w tym momencie funkcja ma minimum(podobny maksymalny, Jeśli
).

Przykład 18.Znajdź lokalne ekstrema funkcji

Rozwiązanie. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i przyrównaj je do zera:

Rozwiązując ten układ, znajdujemy dwa możliwe ekstrema:

Znajdźmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla tej funkcji:

Zatem w pierwszym punkcie stacjonarnym i
Dlatego też potrzebne są dalsze badania w tym zakresie. Wartość funkcji
w tym momencie wynosi zero:
Dalej,

Na

A

Na

Zatem w dowolnym sąsiedztwie punktu
funkcjonować
przyjmuje wartości jako duże
i mniejsze
, i stąd w tym miejscu
funkcjonować
z definicji nie ma lokalnego ekstremum.

W drugim punkcie stacjonarnym



dlatego, dlatego, ponieważ
wtedy w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne.