Znajdź maksymalną szybkość wzrostu funkcji. Jak znaleźć gradient funkcji

Gradient Funkcje– wielkość wektorowa, której wyznaczenie wiąże się z wyznaczeniem pochodnych cząstkowych funkcji. Kierunek gradientu wskazuje ścieżkę najszybszego wzrostu funkcji od jednego punktu pola skalarnego do drugiego.

Instrukcje

1. Do rozwiązania problemu gradientu funkcji stosuje się metody rachunku różniczkowego, czyli znajdowanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu po trzech zmiennych. Zakłada się, że sama funkcja i wszystkie jej pochodne cząstkowe mają własność ciągłości w dziedzinie definicji funkcji.

2. Gradient jest wektorem, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji F. W tym celu na wykresie wybiera się dwa punkty M0 i M1, które są końcami wektora. Wartość gradientu jest równa szybkości narastania funkcji od punktu M0 do punktu M1.

3. Funkcja jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego wektora, zatem wszystkie rzuty wektora na osie współrzędnych są jego pochodnymi cząstkowymi. Wtedy wzór na gradient wygląda następująco: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdzie i, j, k są współrzędnymi wektora jednostkowego . Innymi słowy, gradient funkcji to wektor, którego współrzędne są jej pochodnymi cząstkowymi grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Przykład 1. Niech będzie dana funkcja F = sin(x z?)/y. Wymagane jest wykrycie jego nachylenia w punkcie (?/6, 1/4, 1).

5. Rozwiązanie Wyznacz pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej: F'_х = 1/y сos(х z?) z?, F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?), F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zastąp słynne wartości współrzędnych punktu: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = grzech(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Zastosuj wzór na gradient funkcji:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Przykład 2. Znajdź współrzędne gradientu funkcji F = y arсtg (z/x) w punkcie (1, 2, 1).

9. Rozwiązanie.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradient pola skalarnego jest wielkością wektorową. Zatem, aby go znaleźć, należy wyznaczyć wszystkie składowe odpowiedniego wektora w oparciu o wiedzę o podziale pola skalarnego.

Instrukcje

1. Przeczytaj w podręczniku matematyki wyższej, jaki jest gradient pola skalarnego. Jak wiadomo, ta wielkość wektorowa ma kierunek charakteryzujący się maksymalną szybkością zaniku funkcji skalarnej. Taką interpretację tej wielkości wektorowej uzasadnia wyrażenie określające jej składowe.

2. Pamiętaj, że każdy wektor jest określony przez wielkości jego składowych. Składniki wektora są w rzeczywistości rzutami tego wektora na jedną lub drugą oś współrzędnych. Zatem, jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, wektor musi mieć trzy składowe.

3. Napisz, jak wyznaczane są składowe wektora będącego gradientem pewnego pola. Wszystkie współrzędne takiego wektora są równe pochodnej potencjału skalarnego po zmiennej, której współrzędna jest obliczana. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć składnik „x” wektora gradientu pola, musisz różniczkować funkcję skalarną w odniesieniu do zmiennej „x”. Należy pamiętać, że pochodna musi być częściowa. Oznacza to, że podczas różniczkowania pozostałe zmienne, które nie biorą w nim udziału, należy uznać za stałe.

4. Zapisz wyrażenie na pole skalarne. Jak dobrze wiadomo, termin ten oznacza jedynie funkcję skalarną kilku zmiennych, które są również wielkościami skalarnymi. Liczba zmiennych funkcji skalarnej jest ograniczona wymiarem przestrzeni.

5. Zróżniczkuj funkcję skalarną oddzielnie względem każdej zmiennej. W rezultacie otrzymasz trzy nowe funkcje. Zapisz dowolną funkcję w wyrażeniu wektora gradientu pola skalarnego. Każda z uzyskanych funkcji jest w rzeczywistości wskaźnikiem wektora jednostkowego danej współrzędnej. Zatem końcowy wektor gradientu powinien wyglądać jak wielomian z wykładnikami w postaci pochodnych funkcji.

Rozważając kwestie związane z reprezentacją gradientu, często myślimy o funkcjach jako o polach skalarnych. Dlatego konieczne jest wprowadzenie odpowiedniego zapisu.

Będziesz potrzebować

• - Bum;
• - długopis.

Instrukcje

1. Niech funkcję określą trzy argumenty u=f(x, y, z). Pochodną cząstkową funkcji, na przykład po x, definiuje się jako pochodną po tym argumencie, otrzymaną przez ustalenie pozostałych argumentów. Podobnie w przypadku innych argumentów. Zapis pochodnej cząstkowej zapisuje się w postaci: df/dx = u’x ...

2. Całkowita różnica będzie równa du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Pochodne cząstkowe można rozumieć jako pochodne wzdłuż kierunków osi współrzędnych. W związku z tym pojawia się pytanie o znalezienie pochodnej po kierunku danego wektora s w punkcie M(x, y, z) (nie zapominajmy, że kierunek s wyznacza wersor jednostkowy s^o). W tym przypadku wektor-różniczka argumentów (dx, dy, dz) = (дscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Biorąc pod uwagę postać całkowitej różniczki du, można stwierdzić, że pochodna w kierunku s w punkcie M jest równa: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alfa)+ (( äf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Jeśli s= s(sx,sy,sz), to cosinusy kierunku (cos(alfa), cos(beta ), cos(gamma)) są obliczane (patrz rys. 1a).

4. Definicję pochodnej kierunkowej, uznając punkt M za zmienną, można zapisać w postaci iloczynu skalarnego: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). To wyrażenie będzie obiektywne dla pola skalarnego. Jeśli funkcję rozważamy łatwo, to gradf jest wektorem o współrzędnych pokrywających się z pochodnymi cząstkowymi f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tutaj (i, j, k) są wektorami jednostkowymi osi współrzędnych w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

5. Jeśli użyjemy operatora wektora różniczkowego Hamiltona Nabla, to gradf można zapisać jako pomnożenie tego wektora operatora przez skalar f (patrz rys. 1b). Z punktu widzenia związku gradf z pochodną kierunkową dopuszczalna jest równość (gradf, s^o)=0, jeśli wektory te są ortogonalne. W związku z tym gradf jest często definiowany jako kierunek najszybszej metamorfozy pola skalarnego. A z punktu widzenia operacji różniczkowych (gradf jest jedną z nich) właściwości gradf dokładnie powtarzają właściwości funkcji różniczkujących. W szczególności, jeśli f=uv, to gradf=(vgradu+u gradv).

Wideo na ten temat

Gradient Jest to narzędzie, które w edytorach graficznych wypełnia sylwetkę płynnym przejściem z jednego koloru na drugi. Gradient może nadać sylwetce efekt objętości, imitować oświetlenie, odblaski światła na powierzchni przedmiotu lub efekt zachodu słońca w tle fotografii. Narzędzie to jest szeroko stosowane, dlatego przy obróbce zdjęć czy tworzeniu ilustracji bardzo ważne jest nauczenie się, jak z niego korzystać.

Będziesz potrzebować

• Komputer, edytor graficzny Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net lub inny.

Instrukcje

1. Otwórz obraz w programie lub zrób nowy. Utwórz sylwetkę lub wybierz żądany obszar na obrazie.

2. Włącz narzędzie gradientu na pasku narzędzi edytora grafiki. Umieść kursor myszy w punkcie wewnątrz wybranego obszaru lub sylwetki, w którym rozpocznie się pierwszy kolor gradientu. Kliknij i przytrzymaj lewy przycisk myszy. Przesuń kursor do punktu, w którym chcesz, aby gradient zmienił kolor na ostateczny. Zwolnij lewy przycisk myszy. Wybrana sylwetka zostanie wypełniona wypełnieniem gradientowym.

3. Gradient Możesz ustawić przezroczystość, kolory i ich proporcje w określonym punkcie wypełnienia. W tym celu otwórz okno edycji gradientu. Aby otworzyć okno edycji w Photoshopie, kliknij przykładowy gradient w panelu Opcje.

4. Okno, które zostanie otwarte, wyświetli w formie przykładów dostępne opcje wypełnienia gradientem. Aby edytować jedną z opcji, wybierz ją kliknięciem myszy.

5. W dolnej części okna wyświetlany jest przykładowy gradient w postaci szerokiej skali, na której rozmieszczone są suwaki. Suwaki wskazują punkty, w których gradient powinien mieć określone zestawienia, a w odstępie pomiędzy suwakami kolor równomiernie przechodzi od koloru określonego w pierwszym punkcie do koloru drugiego punktu.

6. Suwaki znajdujące się na górze skali ustawiają przezroczystość gradientu. Aby zmienić przezroczystość, kliknij żądany suwak. Pod skalą pojawi się pole, w którym należy wpisać wymagany stopień przezroczystości w procentach.

7. Suwaki na dole skali ustawiają kolory gradientu. Klikając na jeden z nich, będziesz mógł wybrać żądany kolor.

8. Gradient może mieć kilka kolorów przejściowych. Aby ustawić inny kolor, kliknij puste miejsce u dołu skali. Pojawi się na nim kolejny suwak. Nadaj mu wymagany kolor. Skala wyświetli przykład gradientu z jeszcze jednym punktem. Suwakami można przesuwać, przytrzymując je lewym przyciskiem myszy, aby uzyskać żądaną kombinację.

9. Gradient Występują w kilku rodzajach, które mogą nadać kształt płaskim sylwetkom. Na przykład, aby nadać okręgowi kształt kuli, stosuje się gradient promieniowy, a aby nadać kształt stożka, stosuje się gradient w kształcie stożka. Aby nadać powierzchni iluzję wypukłości, można zastosować gradient lustrzany, a gradient w kształcie rombu można wykorzystać do tworzenia świateł.

Wideo na ten temat

Wideo na ten temat

Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni lub jej części wyznaczana jest wartość pewnej wielkości, wówczas mówi się, że pole tej wielkości jest określone. Pole nazywa się skalarem, jeśli rozważana wielkość jest skalarna, tj. w pełni scharakteryzowany poprzez swoją wartość liczbową. Na przykład pole temperatury. Pole skalarne jest określone przez funkcję punktu skalarnego u = /(M). Jeśli w przestrzeni zostanie wprowadzony kartezjański układ współrzędnych, to istnieje funkcja trzech zmiennych x, yt z - współrzędnych punktu M: Definicja. Płaska powierzchnia pola skalarnego to zbiór punktów, w których funkcja f(M) przyjmuje tę samą wartość. Równanie powierzchni poziomej Przykład 1. Znajdź płaskie powierzchnie pola skalarnego ANALIZA WEKTORÓW Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomu Pochodna kierunkowa Pochodna Skalarny gradient pola Podstawowe właściwości gradientu Niezmiennicza definicja gradientu Zasady obliczania gradientu -4 Zgodnie z definicją , będzie równanie płaskiej powierzchni. Jest to równanie kuli (z Ф 0) ze środkiem w początku. Pole skalarne nazywa się płaskim, jeśli pole jest takie samo we wszystkich płaszczyznach równoległych do określonej płaszczyzny. Jeśli za płaszczyznę xOy przyjąć wskazaną płaszczyznę, to funkcja pola nie będzie zależała od współrzędnej z, czyli będzie funkcją tylko argumentów x i y. Pole płaskie można scharakteryzować za pomocą linii poziomych - a zbiór punktów na płaszczyźnie, w których funkcja /(x, y) ma jeden i ma znaczenie. Równanie prostej poziomu - Przykład 2. Znajdowanie linii poziomu pola skalarnego Linie poziomu wyznaczane są za pomocą równań Gdy c = 0 otrzymamy parę prostych, otrzymamy rodzinę hiperboli (rys. 1). 1.1. Pochodna kierunkowa Niech będzie pole skalarne określone funkcją skalarną u = /(Af). Weźmy punkt Afo i wybierzmy kierunek określony przez wektor I. Weźmy kolejny punkt M tak, aby wektor M0M był równoległy do ​​wektora 1 (rys. 2). Oznaczmy długość wektora MoM przez A/, a przyrost funkcji /(Af) - /(Afo), odpowiadający ruchowi D1, przez Di. Stosunek ten określa średnią szybkość zmian pola skalarnego na jednostkę długości w danym kierunku. Niech teraz dążymy do zera tak, aby wektor M0M pozostawał przez cały czas równoległy do ​​wektora I. Definicja. Jeżeli w D/O istnieje skończona granica zależności (5), to nazywa się ją pochodną funkcji w danym punkcie Afo do zadanego kierunku I i oznacza się ją symbolem 3!^. Zatem z definicji definicja ta nie jest związana z wyborem układu współrzędnych, tzn. ma charakter **wariantowy. Znajdźmy wyrażenie na pochodną kierunkową w kartezjańskim układzie współrzędnych. Niech funkcja / będzie różniczkowalna w punkcie. Rozważmy wartość /(Af) w pewnym punkcie. Wówczas całkowity przyrost funkcji można zapisać w postaci: gdzie i symbole oznaczają, że pochodne cząstkowe obliczane są w punkcie Afo. Stąd tutaj wielkości jfi, ^ są cosinusami kierunku wektora. Ponieważ wektory MoM i I są współkierunkowe, ich cosinusy kierunku są takie same: Ponieważ M Afo, leżąc zawsze na linii prostej równoległej do wektora 1, kąty są stałe, zatem ostatecznie z równości (7) i (8) otrzymujemy Eamuan wynosi 1. Pochodne cząstkowe to pochodne funkcji i wzdłuż kierunków osi współrzędnych, czyli np. Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w kierunku do punktu. Wektor ma długość. Jego kierunek cosinusy: Zgodnie ze wzorem (9) będziemy mieli To, co oznacza, że ​​pole skalarne w punkcie w danym kierunku wieku - Dla pola płaskiego pochodna po kierunku I w punkcie wynosi obliczony ze wzoru gdzie a jest kątem utworzonym przez wektor I z osią Oh. Зммчмм 2. Wzór (9) na obliczenie pochodnej w kierunku I w danym punkcie Afo obowiązuje, gdy punkt M zmierza do punktu Mo wzdłuż krzywej, dla której wektor I jest styczny w punkcie PrIShr 4. Oblicz pochodną skalara pole w punkcie Afo(l, 1). należącej do paraboli w kierunku tej krzywej (w kierunku rosnącej odciętej). Za kierunek ] paraboli w punkcie uważa się kierunek stycznej do paraboli w tym punkcie (rys. 3). Niech styczna do paraboli w punkcie Afo tworzy kąt o z osią Ox. Skąd zatem biorą się cosinusy kierunku stycznej?Obliczmy wartości i w punkcie. Mamy Teraz, korzystając ze wzoru (10), otrzymujemy. Znajdź pochodną pola skalarnego w punkcie wzdłuż kierunku okręgu.Równanie wektorowe okręgu ma postać. Znajdujemy wektor jednostkowy m stycznej do okręgu. Punkt odpowiada wartości parametru. Wartość r w punkcie Afo będzie równa. Stąd otrzymujemy cosinus kierunku stycznej do okręgu w punkt. Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych danego pola skalarnego w punkcie. Oznacza to pożądaną pochodną. Gradient pola skalarnego Niech pole skalarne będzie zdefiniowane przez funkcję skalarną, o której zakłada się, że jest różniczkowalna. Definicja. Gradient pola skalarnego „w danym punkcie M jest wektorem oznaczonym symbolem grad i zdefiniowanym przez równość. Wiadomo, że wektor ten zależy zarówno od funkcji /, jak i od punktu M, w którym obliczana jest jej pochodna. Niech 1 będzie wektorem jednostkowym kierunku.Wtedy wzór na pochodną kierunkową można zapisać w postaci: . Zatem pochodna funkcji u w kierunku 1 jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji u(M) i wersora jednostkowego 1° kierunku I. 2.1. Podstawowe własności gradientu Twierdzenie 1. Gradient pola skalarnego jest prostopadły do ​​powierzchni poziomej (lub do linii poziomu, jeżeli pole jest płaskie). (2) Narysujmy płaską powierzchnię u = const przez dowolny punkt M i wybierzmy na tej powierzchni gładką krzywą L przechodzącą przez punkt M (rys. 4). Niech I będzie wektorem stycznym do krzywej L w punkcie M. Ponieważ na płaskiej powierzchni u(M) = u(M|) dla dowolnego punktu Mj e L, to z drugiej strony = (gradu, 1°). Dlatego. Oznacza to, że wektory grad i 1° są ortogonalne, zatem wektor grad i jest ortogonalny do dowolnej stycznej do powierzchni poziomej w punkcie M. Zatem jest ortogonalny do samej powierzchni poziomej w punkcie M. Twierdzenie 2. gradient jest ukierunkowany na zwiększenie funkcji pola. Poprzednio udowodniliśmy, że gradient pola skalarnego jest skierowany wzdłuż normalnej do powierzchni poziomej, co może być zorientowane albo w kierunku rosnącej funkcji u(M), albo w kierunku jej zmniejszania. Oznaczmy przez n normalną powierzchni poziomej, zorientowaną w kierunku rosnącej funkcji ti(M) i znajdź pochodną funkcji u w kierunku tej normalnej (rys. 5). Mamy Ponieważ zgodnie z warunkiem z rys. 5, a zatem ANALIZA WEKTORÓW Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomu Pochodna w kierunku Pochodna Gradient pola skalarnego Podstawowe właściwości gradientu Niezmienna definicja gradientu Zasady obliczania gradientu Wynika z tego, że grad jest skierowany w tym samym kierunku, w którym wybraliśmy normalną n, czyli w kierunku rosnącej funkcji u(M). Twierdzenie 3. Długość gradientu jest równa największej pochodnej kierunku w danym punkcie pola (tutaj sprawdzamy wszystkie możliwe kierunki w danym punkcie M). Mamy gdzie jest kątem między wektorami 1 i stopniem n. Ponieważ największą wartością jest Przykład 1. Znajdź kierunek największej zmiany pola skalarnego w punkcie, a także wielkość tej największej zmiany w określonym punkcie. Kierunek największej zmiany pola skalarnego jest oznaczony wektorem. Mamy tak, że wektor ten wyznacza kierunek największego wzrostu pola w danym punkcie. Wielkość największej zmiany pola w tym punkcie wynosi 2,2. Niezmiennicza definicja gradientu Wielkości charakteryzujące właściwości badanego obiektu i niezależne od wyboru układu współrzędnych nazywane są niezmiennikami danego obiektu. Na przykład długość krzywej jest niezmiennikiem tej krzywej, ale kąt styczny do krzywej z osią Ox nie jest niezmiennikiem. Opierając się na trzech udowodnionych powyżej właściwościach gradientu pola skalarnego, możemy podać następującą niezmienniczą definicję gradientu. Definicja. Skalarny gradient pola jest wektorem skierowanym prostopadle do powierzchni poziomej w kierunku zwiększania się funkcji pola i mającym długość równą największej pochodnej w kierunku (w danym punkcie). Niech będzie jednostkowym wektorem normalnym skierowanym w kierunku rosnącego pola. Następnie Przykład 2. Znajdź gradient odległości - jakiś stały punkt i M(x,y,z) - bieżący. 4 Mamy gdzie jest wektor kierunku jednostkowego. Zasady obliczania gradientu, gdzie c jest liczbą stałą. Podane wzory wynikają bezpośrednio z definicji gradientu i właściwości pochodnych. Zgodnie z zasadą różniczkowania iloczynu dowód jest podobny do dowodu własności Niech F(u) będzie różniczkowalną funkcją skalarną. Wtedy 4 Z definicji fadientu mamy Zastosuj regułę różniczkowania funkcji zespolonej do wszystkich wyrazów po prawej stronie. Otrzymujemy W szczególności Wzór (6) wynika ze wzoru Przykład 3. Znajdź pochodną po kierunku wektora promienia r z funkcji Korzystając ze wzoru (3) i korzystając ze wzoru W rezultacie otrzymujemy, że Przykład 4 Niech będzie dane płaskie pole skalarne - odległości od jakiejś płaszczyzny punktowej do dwóch stałych punktów tej płaszczyzny. Rozważmy dowolną elipsę z ogniskami Fj i F] i udowodnijmy, że każdy promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od elipsy, trafia do drugiego ogniska. Linie poziomu funkcji (7) to ANALIZA WEKTORÓW Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomu Pochodna kierunkowa Pochodna Skalarna gradient pola Podstawowe właściwości gradientu Niezmiennicza definicja gradientu Zasady obliczania gradientu Równania (8) opisują rodzinę elips z ogniskami w punkty F) i Fj. Zgodnie z wynikiem Przykładu 2 mamy Zatem gradient danego pola jest równy wektorowi PQ przekątnej rombu zbudowanego na wektorach jednostkowych r? i wektory promieniowe. pociągnięty do punktu P(x, y) z ognisk F| i Fj, a zatem leży na dwusiecznej kąta pomiędzy tymi wektorami promieni (ryc. 6). Według Tooromo 1 gradient PQ jest w tym punkcie prostopadły do ​​elipsy (8). Dlatego rys. 6. normalna do elipsy (8) w dowolnym punkcie dzieli kąt pomiędzy wektorami promienia narysowanymi do tego punktu na pół. Z tego oraz z faktu, że kąt padania jest równy kątowi odbicia, otrzymujemy: promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, odbity od niego, z pewnością wpadnie do innego ogniska tej elipsy.