Co to są wektory własne i wartości własne. Wartości własne (liczby) i wektory własne.Przykłady rozwiązań

Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.

Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam Ci skorzystanie z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Każdy fraktal jest konstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.

UKŁAD JEDNORODNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Układ jednorodnych równań liniowych jest układem postaci

To oczywiste, że w tym przypadku , ponieważ wszystkie elementy jednej z kolumn tych wyznaczników są równe zero.

Ponieważ niewiadome znajdują się zgodnie ze wzorami , to w przypadku, gdy Δ ≠ 0, układ ma jednoznaczne rozwiązanie zerowe X = y = z= 0. Jednak w przypadku wielu problemów interesującym pytaniem jest to, czy układ jednorodny ma rozwiązania inne niż zero.

Twierdzenie. Aby układ liniowych równań jednorodnych miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.

Jeśli więc wyznacznik Δ ≠ 0, to układ ma rozwiązanie jednoznaczne. Jeśli Δ ≠ 0, to układ liniowych równań jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Przykłady.

Wektory własne i wartości własne macierzy

Niech będzie dana macierz kwadratowa , X– jakaś macierz-kolumna, której wysokość pokrywa się z rzędem macierzy A. .

W wielu problemach musimy wziąć pod uwagę równanie X

gdzie λ jest pewną liczbą. Oczywiste jest, że dla dowolnego λ równanie to ma rozwiązanie zerowe.

Nazywa się liczbę λ, dla której to równanie ma niezerowe rozwiązania wartość własna matryce A, A X dla takiego λ nazywa się wektor własny matryce A.

Znajdźmy wektor własny macierzy A. Ponieważ mi∙X = X, wówczas równanie macierzowe można przepisać jako Lub . W rozszerzonej formie równanie to można przepisać jako układ równań liniowych. Naprawdę .

I dlatego

Otrzymaliśmy w ten sposób układ jednorodnych równań liniowych do wyznaczania współrzędnych x 1, x 2, x 3 wektor X. Aby układ miał rozwiązania niezerowe konieczne i wystarczające jest, aby wyznacznik układu był równy zeru, tj.

Jest to równanie trzeciego stopnia dla λ. To jest nazwane równanie charakterystyczne matryce A i służy do określenia wartości własnych λ.

Każda wartość własna λ odpowiada wektorowi własnemu X, którego współrzędne wyznaczane są z układu przy odpowiedniej wartości λ.

Przykłady.

ALGEBRA WEKTOROWA. KONCEPCJA WEKTORA

Badając różne gałęzie fizyki, istnieją wielkości, które są całkowicie określone poprzez określenie ich wartości liczbowych, na przykład długości, powierzchni, masy, temperatury itp. Wielkości takie nazywane są skalarami. Jednak oprócz nich istnieją również wielkości, dla których, oprócz wartości liczbowej, konieczna jest znajomość ich kierunku w przestrzeni, np. siły działającej na ciało, prędkości i przyspieszenia ciała. ciało poruszające się w przestrzeni, natężenie pola magnetycznego w danym punkcie przestrzeni itp. Wielkości takie nazywane są wielkościami wektorowymi.

Wprowadźmy ścisłą definicję.

Odcinek reżyserowany Nazwijmy odcinek, po którego końcach wiadomo, który z nich jest pierwszy, a który drugi.

Wektor nazywany segmentem skierowanym mającym określoną długość, tj. Jest to odcinek o określonej długości, w którym jeden z ograniczających go punktów przyjmuje się za początek, a drugi za koniec. Jeśli A– początek wektora, B jest jego końcem, wówczas wektor oznacza się symbolem, ponadto wektor często oznacza się pojedynczą literą. Na rysunku wektor jest oznaczony segmentem, a jego kierunek strzałką.

Moduł Lub długość Wektor nazywa się długością skierowanego odcinka, który go definiuje. Oznaczone przez || lub ||.

Jako wektory uwzględnimy także tzw. wektor zerowy, którego początek i koniec pokrywają się. Jest wyznaczony. Wektor zerowy nie ma określonego kierunku, a jego moduł wynosi zero ||=0.

Nazywa się wektory współliniowy, jeżeli znajdują się na tej samej linii lub na liniach równoległych. Co więcej, jeśli wektory i są w tym samym kierunku, napiszemy , przeciwnie.

Nazywa się wektory położone na liniach prostych równoległych do tej samej płaszczyzny współpłaszczyznowy.

Nazywa się te dwa wektory równy, jeśli są współliniowe, mają ten sam kierunek i są równej długości. W tym wypadku piszą.

Z definicji równości wektorów wynika, że ​​wektor może być transportowany równolegle do siebie, umieszczając swój początek w dowolnym punkcie przestrzeni.

Na przykład .

DZIAŁANIA LINIOWE NA WEKTORACH

Mnożenie wektora przez liczbę.

Iloczyn wektora i liczby λ jest nowym wektorem takim, że:

Iloczyn wektora i liczby λ jest oznaczony przez .

Na przykład istnieje wektor skierowany w tym samym kierunku co wektor i mający długość o połowę mniejszą niż wektor.

Wprowadzona operacja ma następujące właściwości:

Dodatek wektorowy.

Niech i będą dwoma dowolnymi wektorami. Weźmy dowolny punkt O i skonstruuj wektor. Potem od rzeczy A odłóżmy wektor na bok. Nazywa się wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem drugiego kwota tych wektorów i jest oznaczone .

Sformułowana definicja dodawania wektorów nazywa się reguła równoległoboku, ponieważ tę samą sumę wektorów można otrzymać w następujący sposób. Odłóżmy od tematu O wektory i . Zbudujmy równoległobok na tych wektorach OABC. Skoro wektory, to wektor, który jest przekątną równoległoboku narysowanego od wierzchołka O, będzie oczywiście sumą wektorów.

Łatwo jest sprawdzić następujące własności dodawania wektorów.

Różnica wektorowa.

Nazywa się wektor współliniowy z danym wektorem, równy długości i przeciwnie skierowany naprzeciwko wektor dla wektora i jest oznaczony przez . Przeciwny wektor można uznać za wynik pomnożenia wektora przez liczbę λ = –1: .

Wektor własny macierzy kwadratowej to taki, który pomnożony przez daną macierz daje wektor współliniowy. Krótko mówiąc, gdy macierz jest mnożona przez wektor własny, ten ostatni pozostaje taki sam, ale pomnożony przez określoną liczbę.

Definicja

Wektor własny jest niezerowym wektorem V, który pomnożony przez macierz kwadratową M sam zostaje powiększony o pewną liczbę λ. W notacji algebraicznej wygląda to następująco:

M × V = λ × V,

gdzie λ jest wartością własną macierzy M.

Spójrzmy na przykład numeryczny. Dla ułatwienia zapisu liczby w macierzy będą oddzielone średnikiem. Miejmy macierz:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnóżmy to przez wektor kolumnowy:

• V = -2;

Kiedy mnożymy macierz przez wektor kolumnowy, otrzymujemy również wektor kolumnowy. W ścisłym języku matematycznym wzór na pomnożenie macierzy 2 × 2 przez wektor kolumnowy będzie wyglądał następująco:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 oznacza element macierzy M znajdujący się w pierwszym rzędzie i pierwszej kolumnie, a M22 oznacza element znajdujący się w drugim rzędzie i drugiej kolumnie. Dla naszej macierzy elementy te są równe M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Dla wektora kolumnowego wartości te są równe V11 = –2, V21 = 1. Zgodnie z tym wzorem otrzymujemy następujący wynik iloczynu macierzy kwadratowej przez wektor:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Dla wygody napiszmy wektor kolumnowy w wierszu. Zatem pomnożyliśmy macierz kwadratową przez wektor (-2; 1), w wyniku czego otrzymaliśmy wektor (4; -2). Oczywiście jest to ten sam wektor pomnożony przez λ = -2. Lambda w tym przypadku oznacza wartość własną macierzy.

Wektor własny macierzy jest wektorem współliniowym, czyli obiektem, który nie zmienia swojego położenia w przestrzeni po pomnożeniu przez macierz. Pojęcie kolinearności w algebrze wektorowej jest podobne do pojęcia równoległości w geometrii. W interpretacji geometrycznej wektory współliniowe są równoległymi odcinkami o różnych długościach. Od czasów Euklidesa wiemy, że na jedną prostą przypada nieskończona liczba prostych równoległych do niej, zatem logiczne jest założenie, że każda macierz ma nieskończoną liczbę wektorów własnych.

Z poprzedniego przykładu jasno wynika, że ​​wektorami własnymi mogą być (-8; 4), (16; -8) i (32, -16). Są to wszystkie wektory współliniowe odpowiadające wartości własnej λ = -2. Mnożąc pierwotną macierz przez te wektory, nadal otrzymamy wektor różniący się od oryginału 2 razy. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów znalezienia wektora własnego konieczne jest znalezienie tylko liniowo niezależnych obiektów wektorowych. Najczęściej dla macierzy n × n istnieje n wektorów własnych. Nasz kalkulator jest przeznaczony do analizy macierzy kwadratowych drugiego rzędu, więc prawie zawsze w wyniku zostaną znalezione dwa wektory własne, za wyjątkiem przypadków, gdy się pokrywają.

W powyższym przykładzie znaliśmy z góry wektor własny oryginalnej macierzy i jasno określiliśmy liczbę lambda. Jednak w praktyce wszystko dzieje się na odwrót: najpierw znajdują się wartości własne, a dopiero potem wektory własne.

Algorytm rozwiązania

Spójrzmy jeszcze raz na pierwotną macierz M i spróbujmy znaleźć oba jej wektory własne. Zatem macierz wygląda następująco:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Najpierw należy wyznaczyć wartość własną λ, co wymaga obliczenia wyznacznika macierzy:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Macierz tę uzyskuje się odejmując niewiadomą λ od elementów na głównej przekątnej. Wyznacznik wyznacza się za pomocą standardowego wzoru:

• detA = M11 × M21 – M12 × M22
• detA = (0 – λ) × (10 – λ) – 24

Ponieważ nasz wektor musi być różny od zera, przyjmujemy otrzymane równanie jako liniowo zależne i przyrównujemy naszą wyznacznik detA do zera.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Otwórzmy nawiasy i uzyskajmy równanie charakterystyczne macierzy:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

Jest to standardowe równanie kwadratowe, które należy rozwiązać za pomocą dyskryminatora.

re = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Pierwiastkiem dyskryminatora jest sqrt(D) = 14, zatem λ1 = -2, λ2 = 12. Teraz dla każdej wartości lambda musimy znaleźć wektor własny. Wyraźmy współczynniki systemowe dla λ = -2.

• M - λ × mi = 2; 4;
• 6; 12.

W tym wzorze E jest macierzą tożsamości. Na podstawie otrzymanej macierzy tworzymy układ równań liniowych:

2x + 4 lata = 6x + 12 lat,

gdzie x i y są elementami wektorów własnych.

Zbierzmy wszystkie X po lewej stronie i wszystkie Y po prawej. Oczywiście - 4x = 8 lat. Podziel wyrażenie przez - 4 i otrzymaj x = –2y. Teraz możemy wyznaczyć pierwszy wektor własny macierzy, przyjmując dowolne wartości niewiadomych (pamiętajmy o nieskończoności wektorów własnych liniowo zależnych). Weźmy y = 1, następnie x = –2. Dlatego pierwszy wektor własny wygląda jak V1 = (–2; 1). Wróć na początek artykułu. To właśnie ten obiekt wektorowy pomnożyliśmy macierz, aby zademonstrować koncepcję wektora własnego.

Znajdźmy teraz wektor własny dla λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Stwórzmy ten sam układ równań liniowych;

• -12x + 4 lata = 6x - 2 lata
• -18x = -6 lat
• 3x = y.

Teraz bierzemy x = 1, zatem y = 3. Zatem drugi wektor własny wygląda jak V2 = (1; 3). Mnożąc pierwotną macierz przez zadany wektor, otrzymamy zawsze ten sam wektor pomnożony przez 12. Na tym kończy się algorytm rozwiązania. Teraz wiesz, jak ręcznie wyznaczyć wektor własny macierzy.

• wyznacznik;
• ślad, czyli suma elementów na głównej przekątnej;
• ranga, czyli maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy/kolumn.

Program działa według powyższego algorytmu, maksymalnie skracając proces rozwiązania. Warto zaznaczyć, że w programie lambda oznaczona jest literą „c”. Spójrzmy na przykład numeryczny.

Przykład działania programu

Spróbujmy wyznaczyć wektory własne dla następującej macierzy:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Wprowadźmy te wartości do komórek kalkulatora i uzyskajmy odpowiedź w następującej formie:

• Ranga matrycy: 2;
• Wyznacznik macierzy: 18;
• Ślad matrycy: 19;
• Obliczanie wektora własnego: c 2 − 19,00c + 18,00 (równanie charakterystyczne);
• Obliczenie wektora własnego: 18 (pierwsza wartość lambda);
• Obliczenie wektora własnego: 1 (druga wartość lambda);
• Układ równań dla wektora 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Układ równań dla wektora 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Wektor własny 1: (1; 1);
• Wektor własny 2: (-3,25; 1).

W ten sposób otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne wektory własne.

Wniosek

Algebra liniowa i geometria analityczna to standardowe przedmioty dla każdego studenta pierwszego roku inżynierii. Duża liczba wektorów i macierzy jest przerażająca, a przy tak uciążliwych obliczeniach łatwo jest popełnić błąd. Nasz program pozwoli studentom sprawdzić swoje obliczenia lub automatycznie rozwiązać problem znalezienia wektora własnego. W naszym katalogu znajdziesz inne kalkulatory algebry liniowej, wykorzystaj je na studiach lub w pracy.

Definicja 9.3. Wektor X nazywa się wektorem własnym macierzy A, jeśli istnieje taka liczba λ, że zachodzi równość: Ах = λх, to znaczy wynik zastosowania do X transformacja liniowa określona przez macierz A, jest pomnożeniem tego wektora przez liczbę λ . Sam numer λ nazywa się wartością własną macierzy A.

Podstawianie we wzorach (9.3) x` jot = λx jot, otrzymujemy układ równań do wyznaczania współrzędnych wektora własnego:

. (9.5)

Ten liniowy układ jednorodny będzie miał nietrywialne rozwiązanie tylko wtedy, gdy jego główną wyznacznikiem będzie 0 (reguła Cramera). Zapisując ten warunek w postaci:

otrzymujemy równanie do wyznaczania wartości własnych λ , zwane równaniem charakterystycznym. W skrócie można to przedstawić następująco:

| A - λE | = 0, (9.6)

ponieważ jego lewa strona zawiera wyznacznik macierzy A-λE. Względny wielomian λ | A - λE| nazywa się wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Własności charakterystycznego wielomianu:

1) Charakterystyczny wielomian transformacji liniowej nie zależy od wyboru podstawy. Dowód. (patrz (9.4)), ale stąd, . Zatem nie zależy to od wyboru podstawy. Oznacza to, że | A-λE| nie zmienia się po przejściu na nową podstawę.

2) Jeżeli macierz A transformacja liniowa jest symetryczna (tj. i ij = a ji), wówczas wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (9.6) są liczbami rzeczywistymi.

Właściwości wartości własnych i wektorów własnych:

1) Jeśli wybierzesz bazę z wektorów własnych x 1, x 2, x 3, odpowiadające wartościom własnym λ 1, λ 2, λ 3 matryce A, to na tej podstawie transformacja liniowa A ma macierz w postaci diagonalnej:

(9.7) Dowód tej własności wynika z definicji wektorów własnych.

2) Jeśli wartości własne transformacji A są różne, to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne.

3) Jeśli charakterystyczny wielomian macierzy A ma trzy różne pierwiastki, to w pewnym sensie macierz A ma wygląd diagonalny.

Znajdźmy wartości własne i wektory własne macierzy. Stwórzmy równanie charakterystyczne: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ł - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Znajdźmy współrzędne wektorów własnych odpowiadających każdej znalezionej wartości λ. Z (9.5) wynika, że ​​jeśli X (1) ={x 1, x 2, x 3) – odpowiedni wektor własny λ 1 = -2, zatem

- system współpracujący, ale niepewny. Jego rozwiązanie można zapisać w postaci X (1) ={A,0,-A), gdzie a jest dowolną liczbą. W szczególności, jeśli tego wymagamy | X (1) |=1, X (1) =

Podstawianie do układu (9.5) λ 2 =3 otrzymujemy układ wyznaczania współrzędnych drugiego wektora własnego - X (2) ={1, 2, 3}:

, Gdzie X (2) ={b, -b,b) lub, pod warunkiem | X (2) |=1, X (2) =

Dla λ 3 = 6 znajdź wektor własny X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={C,2c, ok) lub w wersji znormalizowanej

x(3) = Można to zauważyć X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = pne- 2p.n.e. + p.n.e= 0. Zatem wektory własne tej macierzy są parami ortogonalne.

Wykład 10.

Formy kwadratowe i ich powiązanie z macierzami symetrycznymi. Właściwości wektorów własnych i wartości własnych macierzy symetrycznej. Sprowadzanie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej.

Definicja 10.1. Postać kwadratowa zmiennych rzeczywistych x 1, x 2,…, x n nazywa się w tych zmiennych wielomianem drugiego stopnia, który nie zawiera wyrazu wolnego i wyrazów pierwszego stopnia.

Przykłady form kwadratowych:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Przypomnijmy definicję macierzy symetrycznej podaną na ostatnim wykładzie:

Definicja 10.2. Macierz kwadratową nazywamy symetryczną, jeśli elementy macierzy symetryczne względem głównej przekątnej są równe.

Właściwości wartości własnych i wektorów własnych macierzy symetrycznej:

1) Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej są rzeczywiste.

Dowód (dla N = 2).

Niech matryca A ma postać: . Utwórzmy równanie charakterystyczne:

(10.2) Znajdźmy dyskryminator:

Dlatego równanie ma tylko pierwiastki rzeczywiste.

2) Wektory własne macierzy symetrycznej są ortogonalne.

Dowód (dla N= 2).

Współrzędne wektorów własnych i muszą spełniać równania.