Całka oznaczona na przykładach części. Rozwiązywanie całek online

Poprzednio dla danej funkcji kierując się różnymi wzorami i regułami znajdowaliśmy jej pochodną. Pochodna ma wiele zastosowań: jest to prędkość ruchu (lub szerzej prędkość dowolnego procesu); nachylenie stycznej do wykresu funkcji; korzystając z pochodnej, możesz zbadać funkcję monotoniczności i ekstremów; Pomaga w rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych.

Ale wraz z problemem znalezienia prędkości ze znanej zasady ruchu pojawia się również problem odwrotny - problem przywrócenia prawa ruchu ze znanej prędkości. Rozważmy jeden z tych problemów.

Przykład 1 Punkt materialny porusza się po linii prostej, prędkość jego ruchu w chwili t wyraża się wzorem v=gt. Znajdź prawo ruchu.
Rozwiązanie. Niech s = s(t) będzie pożądaną zasadą ruchu. Wiadomo, że s"(t) = v(t). Aby więc rozwiązać zadanie należy wybrać funkcję s = s(t), której pochodna jest równa gt. Łatwo zgadnąć, że \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Rzeczywiście
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odpowiedź: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Od razu zauważamy, że przykład został rozwiązany poprawnie, ale niecałkowicie. Mamy \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). W rzeczywistości problem ma nieskończenie wiele rozwiązań: dowolna funkcja postaci \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdzie C jest dowolną stałą, może służyć jako prawo ruch, ponieważ \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Aby problem był bardziej szczegółowy, musieliśmy ustalić sytuację wyjściową: wskazać współrzędną poruszającego się punktu w pewnym momencie, na przykład w chwili t = 0. Jeśli, powiedzmy, s(0) = s 0 , to z z równości s(t) = (gt 2)/2 + C otrzymujemy: s(0) = 0 + C, czyli C = s 0 . Teraz zasada ruchu jest jednoznacznie zdefiniowana: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

W matematyce operacjom wzajemnie odwrotnym przypisuje się różne nazwy, wymyśla się specjalne oznaczenia, na przykład: podniesienie do kwadratu (x 2) i wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsine ( arcsin x) itd. Nazywa się proces znajdowania pochodnej po zadanej funkcji różnicowanie, oraz działanie odwrotne, czyli proces znajdowania funkcji przez daną pochodną, ​​- integracja.

Sam termin „pochodna” można uzasadnić „w sposób światowy”: funkcja y \u003d f (x) „wytwarza w świecie” nową funkcję y” \u003d f „(x). Funkcja y \u003d f (x) działa jak „rodzic”, ale matematycy oczywiście nie nazywają jej „rodzicem” ani „producentem”, mówią, że tak jest w odniesieniu do funkcji y „ = f" (x) , obraz pierwotny lub funkcja pierwotna.

Definicja. Funkcja y = F(x) nazywana jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x) na przedziale X, jeśli \(x \in X \) spełnia równość F"(x) = f(x)

W praktyce przedział X zwykle nie jest określony, ale dorozumiany (jako dziedzina naturalna funkcji).

Podajmy przykłady.
1) Funkcja y \u003d x 2 jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 2x, ponieważ dla dowolnego x równość (x 2) "\u003d 2x jest prawdą
2) Funkcja y \u003d x 3 jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 3x 2, ponieważ dla dowolnego x równość (x 3)" \u003d 3x 2 jest prawdziwa
3) Funkcja y \u003d sin (x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d cos (x), ponieważ dla dowolnego x równość (sin (x)) „= cos (x) jest prawdą

Przy znajdowaniu funkcji pierwotnych i pochodnych stosuje się nie tylko formuły, ale także pewne zasady. Są one bezpośrednio powiązane z odpowiednimi zasadami obliczania instrumentów pochodnych.

Wiemy, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych. Ta reguła generuje odpowiednią regułę do wyszukiwania funkcji pierwotnych.

Zasada nr 1 Funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych.

Wiemy, że ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik. Ta reguła generuje odpowiednią regułę do wyszukiwania funkcji pierwotnych.

Zasada 2 Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x), to kF(x) jest funkcją pierwotną dla kf(x).

Twierdzenie 1. Jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x), to funkcją pierwotną funkcji y = f(kx + m) jest funkcją \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Twierdzenie 2. Jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x) na przedziale X, to funkcja y = f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych i wszystkie mają postać y = F(x) + C.

Metody integracji

Metoda zastępowania zmiennych (metoda substytucji)

Metoda całkowania substytucyjnego polega na wprowadzeniu nowej zmiennej całkującej (czyli podstawieniu). W tym przypadku podaną całkę redukuje się do nowej całki, która jest tabelaryczna lub do niej redukowalna. Nie ma ogólnych metod wyboru podstawień. Umiejętność prawidłowego określenia podstawienia nabywa się w praktyce.
Niech konieczne będzie obliczenie całki \(\textstyle \int F(x)dx \). Dokonajmy podstawienia \(x= \varphi(t) \) gdzie \(\varphi(t) \) jest funkcją, która ma ciągłą pochodną.
Następnie \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i bazując na własności niezmienności wzoru na całkę nieoznaczoną, otrzymujemy wzór na całkowanie przez podstawienie:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracja wyrażeń takich jak \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Jeśli m jest nieparzyste, m > 0, wówczas wygodniej jest dokonać podstawienia sin x = t.
Jeśli n jest nieparzyste, n > 0, wówczas wygodniej jest dokonać podstawienia cos x = t.
Jeśli n i m są parzyste, wówczas wygodniej jest dokonać podstawienia tg x = t.

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części - stosując następujący wzór na całkowanie:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
Lub:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabela całek nieoznaczonych (pierwotnych) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań

Witam ponownie. Dzisiaj na lekcji nauczymy się całkować przez części. Metoda całkowania przez części jest jednym z kamieni węgielnych rachunku całkowego. Na teście, egzaminie, studentowi prawie zawsze oferuje się rozwiązanie całek następujących typów: najprostsza całka (zobacz artykuł) lub całka, aby zmienić zmienną (zobacz artykuł) lub całka właśnie włączona metoda całkowania przez części.

Jak zawsze pod ręką powinno być: Tabela całek I Tabela pochodnych. Jeśli nadal ich nie masz, odwiedź magazyn mojej witryny: Wzory i tablice matematyczne. Nie znudzi mi się powtarzanie - lepiej wszystko wydrukować. Całość materiału postaram się przedstawić w sposób spójny, prosty i przystępny, nie ma szczególnych trudności w integracji częściowej.

Jaki problem rozwiązuje całkowanie przez części? Metoda całkowania przez części rozwiązuje bardzo ważny problem, pozwala na całkowanie niektórych funkcji, których nie ma w tabeli, praca funkcje, a w niektórych przypadkach - i prywatne. Jak pamiętamy, nie ma wygodnej formuły: . Ale jest taki: jest wzorem na całkowanie przez części osobiście. Wiem, wiem, jesteś jedyny - z nią przepracujemy całą lekcję (to już jest łatwiejsze).

I od razu lista w studiu. Całki następujących typów są przyjmowane przez części:

1) , , - logarytm, logarytm pomnożony przez jakiś wielomian.

2) ,jest funkcją wykładniczą pomnożoną przez jakiś wielomian. Obejmuje to również całki, takie jak - funkcja wykładnicza pomnożona przez wielomian, ale w praktyce jest to 97 procent, pod całką pyszni się ładna litera „e”. ... artykuł okazuje się czymś lirycznym, o tak ... nadeszła wiosna.

3) , , są funkcjami trygonometrycznymi pomnożonymi przez jakiś wielomian.

4) , - odwrotne funkcje trygonometryczne („łuki”), „łuki” pomnożone przez jakiś wielomian.

Ponadto niektóre ułamki są dzielone na części, szczegółowo rozważymy również odpowiednie przykłady.

Całki logarytmów

Przykład 1

Klasyczny. Od czasu do czasu całkę tę można znaleźć w tabelach, ale niepożądane jest używanie gotowej odpowiedzi, ponieważ nauczyciel ma beri-beri na wiosnę i będzie dużo krzyczał. Ponieważ rozważana całka nie jest w żadnym wypadku tabelaryczna - jest rozpatrywana w częściach. My decydujemy:

Przerywamy rozwiązanie w celu uzyskania wyjaśnień pośrednich.

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

Formułę stosuje się od lewej do prawej

Patrzymy na lewą stronę:. Oczywiście w naszym przykładzie (i we wszystkich innych, które rozważymy) coś musi być oznaczone przez , a coś przez .

W całkach rozważanego typu zawsze oznaczamy logarytm.

Technicznie projekt rozwiązania jest realizowany w następujący sposób, w kolumnie piszemy:

Oznacza to, że oznaczaliśmy logarytm i dla - pozostała część całka.

Następny krok: znajdź różnicę:

Różniczka jest prawie taka sama jak pochodna, omówiliśmy już, jak ją znaleźć w poprzednich lekcjach.

Teraz znajdujemy funkcję. Aby znaleźć funkcję, konieczne jest całkowanie prawa strona niższa równość:

Teraz otwieramy nasze rozwiązanie i konstruujemy prawą stronę wzoru: .
Nawiasem mówiąc, oto przykład ostatecznego rozwiązania z kilkoma uwagami:

Jedyny moment w iloczynie natychmiast zmieniłem układ i, ponieważ zwyczajowo zapisuje się mnożnik przed logarytmem.

Jak widać, zastosowanie wzoru całkowania przez części zasadniczo ograniczyło nasze rozwiązanie do dwóch prostych całek.

Należy o tym pamiętać w niektórych przypadkach zaraz po stosując wzór, koniecznie należy przeprowadzić uproszczenie pod pozostałą całką - w rozważanym przykładzie całkę zmniejszyliśmy o „x”.

Zróbmy kontrolę. Aby to zrobić, musisz wziąć pochodną odpowiedzi:

Otrzymano całkę pierwotną, co oznacza, że ​​całka została rozwiązana poprawnie.

Podczas weryfikacji zastosowaliśmy regułę różnicowania produktów: . I to nie jest przypadek.

Całkowanie według wzoru na części i formuła Są to dwie wzajemnie odwrotne reguły.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całka jest iloczynem logarytmu i wielomianu.
My decydujemy.

Jeszcze raz szczegółowo opiszę procedurę stosowania reguły, w przyszłości przykłady zostaną przedstawione krócej, a jeśli będziesz miał trudności z samodzielnym rozwiązaniem, musisz wrócić do pierwszych dwóch przykładów z lekcji .

Jak już wspomniano, konieczne jest wyznaczenie logarytmu (to, że jest to stopień, nie ma znaczenia). Oznaczamy pozostała część całka.

W kolumnie piszemy:

Najpierw znajdujemy różnicę:

Tutaj używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej . To nie przypadek, że już na pierwszej lekcji tego tematu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań Skupiłem się na tym, że żeby opanować całki trzeba „włożyć rękę” w pochodne. Instrumenty pochodne będą musiały stawić czoła więcej niż raz.

Teraz znajdujemy funkcję , w tym celu całkujemy prawa strona niższa równość:

Do integracji zastosowaliśmy najprostszą formułę tabelaryczną

Teraz możesz przystąpić do zastosowania formuły . Otwieramy go „gwiazdką” i „projektujemy” rozwiązanie zgodnie z prawą stroną:

Pod całką znowu mamy wielomian na logarytmie! Dlatego rozwiązanie zostaje ponownie przerwane i zasada całkowania przez części stosowana jest po raz drugi. Nie zapominaj, że w podobnych sytuacjach zawsze oznacza się logarytm.

Byłoby miło, gdybyś w tym miejscu potrafił ustnie znaleźć najprostsze całki i pochodne.

(1) Nie dajcie się zwieść znakom! Bardzo często gubi się tutaj minus, należy również pamiętać, że minus obowiązuje do wszystkich nawias , a te nawiasy muszą być prawidłowo otwarte.

(2) Rozwiń nawiasy. Upraszczamy ostatnią całkę.

(3) Bierzemy ostatnią całkę.

(4) „Łączenie” odpowiedzi.

Konieczność dwukrotnego (a nawet trzykrotnego) zastosowania zasady całkowania przez części nie jest rzadkością.

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania:

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład został rozwiązany poprzez zmianę metody zmiennej (lub subsumowanie pod znakiem różniczkowym)! A czemu nie – możesz spróbować rozłożyć to na części, wyjdzie ci zabawna rzecz.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ale ta całka jest całkowana przez części (obiecany ułamek).

Są to przykłady do samodzielnego rozwiązania, rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Wydaje się, że w przykładach 3,4 całki są podobne, ale metody rozwiązywania są różne! To jest właśnie główna trudność w opanowaniu całki - jeśli wybierzesz niewłaściwą metodę rozwiązania całki, możesz bawić się nią godzinami, jak przy prawdziwej łamigłówce. Dlatego im więcej rozwiążesz różnych całek, tym lepiej, tym łatwiejszy będzie test i egzamin. Poza tym na drugim roku będą równania różniczkowe i bez doświadczenia w rozwiązywaniu całek i pochodnych nie ma tam nic do roboty.

Według logarytmów, może więcej niż wystarczająco. Na przekąskę pamiętam też, że studenci technologii nazywają logarytmy kobiecych piersi =). Nawiasem mówiąc, warto znać na pamięć wykresy głównych funkcji elementarnych: sinus, cosinus, arcus tangens, wykładnik, wielomiany trzeciego, czwartego stopnia itp. Nie, oczywiście, prezerwatywa na globusie
Nie będę ciągnął, ale teraz wiele zapamiętasz z sekcji Wykresy i funkcje =).

Całki wykładnika pomnożone przez wielomian

Główna zasada:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Używając znanego algorytmu, całkujemy przez części:

Jeśli masz jakiekolwiek trudności z całką, powinieneś wrócić do artykułu Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Jedyną inną rzeczą do zrobienia jest „przeczesanie” odpowiedzi:

Ale jeśli twoja technika obliczeniowa nie jest zbyt dobra, zostaw najbardziej opłacalną opcję jako odpowiedź. lub nawet

Oznacza to, że przykład uważa się za rozwiązany, gdy zostanie wzięta ostatnia całka. To nie będzie błąd, to kolejna kwestia, o którą nauczyciel może poprosić, aby uprościć odpowiedź.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład typu „zrób to sam”. Całka ta jest całkowana dwukrotnie przez części. Szczególną uwagę należy zwrócić na znaki – łatwo się w nich pogubić, o tym też pamiętamy – funkcja złożona.

Niewiele więcej można powiedzieć o wystawcy. Dodam tylko, że wykładniczy i logarytm naturalny są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, to ja w temacie zabawnych wykresów wyższej matematyki =) Stop-stop, nie martw się, wykładowca jest trzeźwy.

Całki funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza wielomian

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całkowanie przez części:

Hmmm... i nie ma co komentować.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład rozwiązania typu „zrób to sam”.

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

Inny przykład z ułamkiem. Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach, wielomian jest oznaczony przez.

Całkowanie przez części:

Jeżeli masz trudności lub nieporozumienia ze znalezieniem całki, to polecam wziąć udział w lekcji Całki funkcji trygonometrycznych.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład typu „zrób to sam”.

Wskazówka: przed skorzystaniem z metody całkowania przez części należy zastosować wzór trygonometryczny, który zamienia iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych w jedną funkcję. Wzór można wykorzystać także w trakcie stosowania metody całkowania przez części, dla których jest to wygodniejsze.

Być może to wszystko w tym akapicie. Z jakiegoś powodu przypomniał mi się wers z hymnu Wydziału Fizyki i Matematyki „A wykres sinusoidalny fala za falą biegnie wzdłuż osi odciętych”….

Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza odwrotną funkcję trygonometryczną.

Przypominam, że odwrotne funkcje trygonometryczne obejmują arcsinus, arcuscosinus, arcus tangens i arccotangens. Dla ścisłości będę je nazywał „łukami”