Studiując dokładny przedmiot: liczby naturalne - czym są liczby, przykłady i własności. Liczby nienaturalne

W matematyce istnieje kilka różnych zbiorów liczb: rzeczywisty, zespolony, całkowity, wymierny, irracjonalny, ... W naszym Życie codzienne Najczęściej posługujemy się liczbami naturalnymi, gdyż spotykamy je przy liczeniu i szukaniu, wyznaczaniu liczby obiektów.

W kontakcie z

Jakie liczby nazywamy liczbami naturalnymi?

Z dziesięciu cyfr możesz napisać absolutnie dowolną istniejącą sumę klas i stopni. Za takie uważa się walory przyrodnicze które są używane:

• Podczas liczenia dowolnych obiektów (pierwszy, drugi, trzeci, ... piąty, ... dziesiąty).
• Przy wskazywaniu liczby elementów (jeden, dwa, trzy...)

Wartości N są zawsze liczbami całkowitymi i dodatnimi. Nie ma największego N, ponieważ zbiór wartości całkowitych jest nieograniczony.

Uwaga! Liczby naturalne uzyskuje się podczas liczenia obiektów lub wskazywania ich ilości.

Absolutnie dowolną liczbę można rozłożyć i przedstawić w postaci liczbowej, np.: 8.346.809=8 milionów+346 tysięcy+809 jednostek.

Zestaw N

Zbiór N jest w zestawie rzeczywista, całkowita i dodatnia. Na diagramie zbiorów byłyby one umiejscowione jeden w drugim, gdyż zbiór naturalnych jest ich częścią.

Zbiór liczb naturalnych jest oznaczony literą N. Zbiór ten ma początek, ale nie ma końca.

Istnieje również zbiór rozszerzony N, w którym zawarte jest zero.

Najmniejsza liczba naturalna

W większości szkół matematycznych najmniejsza wartość N uważa się za jednostkę, ponieważ brak obiektów uważany jest za pustkę.

Ale w zagranicznych szkołach matematycznych, na przykład francuskich, uważa się to za naturalne. Obecność zera w szeregu ułatwia dowód niektóre twierdzenia.

Seria wartości N zawierająca zero nazywana jest rozszerzoną i oznaczana symbolem N0 (indeks zerowy).

Szereg liczb naturalnych

Seria N to ciąg wszystkich N zestawów cyfr. Ta sekwencja nie ma końca.

Osobliwością szeregu naturalnego jest to, że następna liczba będzie różnić się o jeden od poprzedniej, to znaczy wzrośnie. Ale znaczenia nie może być negatywne.

Uwaga! Dla ułatwienia liczenia istnieją klasy i kategorie:

• Jednostki (1, 2, 3),
• Dziesiątki (10, 20, 30),
• Setki (100, 200, 300),
• Tysiące (1000, 2000, 3000),
• Dziesiątki tysięcy (30 000),
• Setki tysięcy (800 000),
• Miliony (4000000) itd.

Wszystkie N

Wszystkie N należą do zbioru wartości rzeczywistych, całkowitych i nieujemnych. Oni są ich część integralna.

Wartości te idą w nieskończoność, mogą należeć do klas milionów, miliardów, kwintylionów itp.

Na przykład:

• Pięć jabłek, trzy kocięta,
• Dziesięć rubli, trzydzieści ołówków,
• Sto kilogramów, trzysta książek,
• Milion gwiazd, trzy miliony ludzi itd.

Sekwencja w N

W różnych szkołach matematycznych można znaleźć dwa przedziały, do których należy ciąg N:

od zera do plus nieskończoności, łącznie z końcami i od jednego do plus nieskończoności, łącznie z końcami, czyli wszystkim dodatnie odpowiedzi całkowite.

N zestawów cyfr może być parzystych lub nieparzystych. Rozważmy pojęcie osobliwości.

Nieparzyste (każda liczba nieparzysta kończy się liczbami 1, 3, 5, 7, 9.) z dwójką ma resztę. Na przykład 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Co znaczy nawet N?

Wszelkie parzyste sumy klas kończą się liczbami: 0, 2, 4, 6, 8. Kiedy parzyste N dzielimy przez 2, nie pozostaje żadna reszta, czyli wynikiem jest cała odpowiedź. Na przykład 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Ważny! Szereg liczbowy N nie może składać się wyłącznie z wartości parzystych lub nieparzystych, ponieważ muszą one występować naprzemiennie: po parzystym zawsze następuje nieparzysty, ponownie parzysty itd.

Właściwości N

Podobnie jak wszystkie inne zbiory, N ma swoje specjalne właściwości. Rozważmy właściwości serii N (nierozszerzonej).

• Wartość najmniejsza i nie następująca po żadnej innej to jeden.
• N reprezentuje ciąg, czyli jedną wartość naturalną podąża za innym(z wyjątkiem jednego - jest to pierwszy).
• Kiedy wykonujemy operacje obliczeniowe na N sumach cyfr i klas (dodawanie, mnożenie), to odpowiedź zawsze wychodzi naturalnie oznaczający.
• W obliczeniach można używać permutacji i kombinacji.
• Każda kolejna wartość nie może być mniejsza od poprzedniej. Również w szeregu N będzie obowiązywać następujące prawo: jeśli liczba A jest mniejsza od B, to w szeregu liczbowym zawsze znajdzie się C, dla którego zachodzi równość: A+C=B.
• Jeśli weźmiemy dwa wyrażenia naturalne, na przykład A i B, to jedno z wyrażeń będzie dla nich prawdziwe: A = B, A jest większe niż B, A jest mniejsze niż B.
• Jeśli A jest mniejsze niż B i B jest mniejsze niż C, to z tego wynika że A jest mniejsze niż C.
• Jeśli A jest mniejsze od B, to wynika z tego, że: jeśli dodamy do nich to samo wyrażenie (C), to A + C jest mniejsze niż B + C. Prawdą jest również, że jeśli wartości te zostaną pomnożone przez C, wówczas AC będzie mniejsze niż AB.
• Jeśli B jest większe niż A, ale mniejsze niż C, to prawdą jest: B-A jest mniejsze niż C-A.

Uwaga! Wszystkie powyższe nierówności obowiązują także w drugą stronę.

Jak nazywają się składniki mnożenia?

W wielu prostych, a nawet złożonych problemach znalezienie odpowiedzi zależy od umiejętności uczniów

Liczby całkowite Są dla nas bardzo znajome i naturalne. I nie jest to zaskakujące, skoro znajomość z nimi zaczyna się już od pierwszych lat naszego życia na poziomie intuicyjnym.

Informacje zawarte w tym artykule umożliwiają podstawowe zrozumienie liczb naturalnych, ujawniają ich cel oraz wpajają umiejętności pisania i czytania liczb naturalnych. Aby lepiej zrozumieć materiał, podano niezbędne przykłady i ilustracje.

Nawigacja strony.

Liczby naturalne – ogólna reprezentacja.

Poniższa opinia nie jest pozbawiona rozsądnej logiki: pojawienie się zadania liczenia obiektów (pierwszy, drugi, trzeci obiekt itp.) oraz zadania wskazywania liczby obiektów (jeden, dwa, trzy obiekty itp.) doprowadziło do stworzenie narzędzia do jego rozwiązania, to był instrument liczby całkowite.

Z tego zdania wynika jasno główny cel liczb naturalnych– zawierać informację o liczbie dowolnych pozycji lub numerze seryjnym danej pozycji w rozpatrywanym zestawie pozycji.

Aby ktoś mógł używać liczb naturalnych, muszą one być w jakiś sposób dostępne zarówno dla percepcji, jak i reprodukcji. Jeśli wypowiesz każdą liczbę naturalną, stanie się ona słyszalna dla ucha, a jeśli przedstawisz liczbę naturalną, będzie można ją zobaczyć. Są to najbardziej naturalne sposoby przekazywania i postrzegania liczb naturalnych.

Zacznijmy więc nabywać umiejętności przedstawiania (pisania) i wyrażania (czytania) liczb naturalnych, jednocześnie poznając ich znaczenie.

Zapis dziesiętny liczby naturalnej.

Najpierw musimy zdecydować, od czego zaczniemy zapisywać liczby naturalne.

Zapamiętajmy obrazki następujących znaków (pokażemy je oddzielone przecinkami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Przedstawione zdjęcia są zapisem tzw liczby. Ustalmy od razu, że podczas nagrywania nie będziemy odwracać, przechylać ani w żaden inny sposób zniekształcać liczb.

Umówmy się teraz, że w zapisie dowolnej liczby naturalnej mogą występować tylko wskazane cyfry i nie mogą występować żadne inne symbole. Przyjmijmy też, że cyfry w zapisie liczby naturalnej mają tę samą wysokość, są ułożone jedna za drugą (prawie bez wcięcia), a po lewej stronie znajduje się cyfra inna niż cyfra 0 .

Oto kilka przykładów prawidłowego zapisu liczb naturalnych: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (uwaga: wcięcia między liczbami nie zawsze są takie same, więcej na ten temat zostanie omówione podczas recenzji). Z powyższych przykładów jasno wynika, że ​​liczba naturalna nie musi zawierać wszystkich cyfr 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; niektóre lub wszystkie cyfry biorące udział w pisaniu liczby naturalnej mogą się powtarzać.

Posty 014 , 0005 , 0 , 0209 nie są zapisami liczb naturalnych, ponieważ po lewej stronie znajduje się cyfra 0 .

Zapisywanie liczby naturalnej, dokonane z uwzględnieniem wszystkich wymagań opisanych w tym paragrafie, nazywa się zapis dziesiętny liczby naturalnej.

Dalej nie będziemy rozróżniać liczb naturalnych od ich zapisu. Wyjaśnijmy to: w dalszej części tekstu będziemy używać wyrażeń typu „biorąc pod uwagę liczbę naturalną”. 582 ", co będzie oznaczało, że podana jest liczba naturalna, której zapis ma postać 582 .

Liczby naturalne w sensie liczby obiektów.

Nadszedł czas, aby zrozumieć ilościowe znaczenie, jakie niesie ze sobą zapisana liczba naturalna. Znaczenie liczb naturalnych w kontekście numeracji obiektów omówione zostało w artykule Porównanie liczb naturalnych.

Zacznijmy od liczb naturalnych, których wpisy pokrywają się z wpisami cyfr, czyli liczbami 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 I 9 .

Wyobraźmy sobie, że otworzyliśmy oczy i zobaczyliśmy jakiś obiekt, na przykład taki jak ten. W tym przypadku możemy zapisać to, co widzimy 1 przedmiot. Liczbę naturalną 1 odczytuje się jako „ jeden„(deklinacja liczebnika „jeden”, a także innych cyfr, podamy w akapicie), dla liczby 1 przyjęto inną nazwę - „ jednostka».

Jednak termin „jednostka” ma wiele wartości, oprócz liczby naturalnej 1 , nazwać coś rozpatrywanego jako całość. Na przykład dowolny element z ich wielu można nazwać jednostką. Na przykład każde jabłko ze zbioru jabłek jest jednostką, każde stado ptaków ze zbioru ptaków również jest jednostką itd.

Teraz otwieramy oczy i widzimy: . Oznacza to, że widzimy jeden obiekt i drugi obiekt. W tym przypadku możemy zapisać to, co widzimy 2 temat. Liczba naturalna 2 , czyta” dwa».

Podobnie, - 3 temat (czytaj „ trzy" temat), - 4 (« cztery") temat, - 5 (« pięć»), - 6 (« sześć»), - 7 (« siedem»), - 8 (« osiem»), - 9 (« dziewięć") rzeczy.

Zatem z rozważanej pozycji liczby naturalne 1 , 2 , 3 , …, 9 wskazać ilość rzeczy.

Liczba, której zapis pokrywa się z zapisem cyfry 0 , zwany " zero" Liczba zero NIE jest liczbą naturalną, jednak zwykle jest rozpatrywana łącznie z liczbami naturalnymi. Pamiętaj: zero oznacza brak czegoś. Na przykład elementy zerowe nie są pojedynczym elementem.

W kolejnych akapitach artykułu będziemy nadal odkrywać znaczenie liczb naturalnych w zakresie wskazywania ilości.

Jednocyfrowe liczby naturalne.

Oczywiście zapis każdej z liczb naturalnych 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 składa się z jednego znaku - jednej cyfry.

Definicja.

Jednocyfrowe liczby naturalne– są to liczby naturalne, których zapis składa się z jednego znaku – jednej cyfry.

Wymieńmy wszystkie jednocyfrowe liczby naturalne: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . W sumie jest dziewięć jednocyfrowych liczb naturalnych.

Dwucyfrowe i trzycyfrowe liczby naturalne.

Najpierw zdefiniujmy dwucyfrowe liczby naturalne.

Definicja.

Dwucyfrowe liczby naturalne– są to liczby naturalne, których zapis składa się z dwóch znaków – dwóch cyfr (różnych lub takich samych).

Na przykład liczba naturalna 45 – liczby dwucyfrowe 10 , 77 , 82 również dwucyfrowy, i 5 490 , 832 , 90 037 – nie dwucyfrowy.

Zastanówmy się, jakie znaczenie mają liczby dwucyfrowe, podczas gdy będziemy opierać się na ilościowym znaczeniu jednocyfrowych liczb naturalnych, które już znamy.

Na początek wprowadźmy koncepcję dziesięć.

Wyobraźmy sobie taką sytuację – otworzyliśmy oczy i zobaczyliśmy zestaw składający się z dziewięciu obiektów i jeszcze jednego obiektu. W tym przypadku o tym mówią 1 dziesięć (jeden tuzin) pozycji. Jeśli weźmiemy pod uwagę jedną dziesiątkę i kolejną dziesiątkę razem, wówczas mówimy o 2 dziesiątki (dwa tuziny). Jeśli dodamy kolejne dziesięć do dwóch dziesiątek, otrzymamy trzy dziesiątki. Kontynuując ten proces, otrzymamy cztery dziesiątki, pięć dziesiątek, sześć dziesiątek, siedem dziesiątek, osiem dziesiątek i na koniec dziewięć dziesiątek.

Teraz możemy przejść do istoty dwucyfrowych liczb naturalnych.

Aby to zrobić, spójrzmy na liczbę dwucyfrową jako na dwie liczby jednocyfrowe - jedna znajduje się po lewej stronie w zapisie liczby dwucyfrowej, druga po prawej stronie. Liczba po lewej stronie oznacza liczbę dziesiątek, a liczba po prawej stronie wskazuje liczbę jednostek. Co więcej, jeśli po prawej stronie liczby dwucyfrowej znajduje się cyfra 0 , oznacza to brak jednostek. To jest cały sens dwucyfrowych liczb naturalnych w zakresie wskazywania ilości.

Na przykład dwucyfrowa liczba naturalna 72 odpowiada 7 dziesiątki i 2 jednostki (tzn. 72 jabłka to zestaw siedmiu tuzinów jabłek i dwóch kolejnych jabłek) oraz liczbę 30 odpowiedzi 3 dziesiątki i 0 nie ma jednostek, to znaczy jednostek, które nie są połączone w dziesiątki.

Odpowiedzmy sobie na pytanie: „Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych?” Odpowiedz im 90 .

Przejdźmy do definicji trzycyfrowych liczb naturalnych.

Definicja.

Liczby naturalne, których zapis składa się z 3 oznaki - 3 wywoływane są liczby (różne lub powtarzające się). trzycyfrowy.

Przykładami naturalnych liczb trzycyfrowych są 372 , 990 , 717 , 222 . Liczby całkowite 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nie są trzycyfrowe.

Aby zrozumieć znaczenie właściwe trzycyfrowym liczbom naturalnym, potrzebujemy koncepcji setki.

Zbiór dziesięciu dziesiątek jest 1 sto (sto). Sto sto jest 2 setki. Dwieście kolejnych setek to trzysta. I tak dalej, mamy czterysta, pięćset, sześćset, siedemset, osiemset i wreszcie dziewięćset.

Popatrzmy teraz na trzycyfrową liczbę naturalną jako na trzy jednocyfrowe liczby naturalne, następujące po sobie od prawej do lewej w zapisie trzycyfrowej liczby naturalnej. Liczba po prawej stronie oznacza liczbę jednostek, następna liczba oznacza liczbę dziesiątek, a kolejna liczba wskazuje liczbę setek. Liczby 0 na piśmie liczba trzycyfrowa oznacza brak dziesiątek i (lub) jednostek.

Zatem trzycyfrowa liczba naturalna 812 odpowiada 8 setki, 1 dziesięć i 2 jednostki; numer 305 - trzysta ( 0 dziesiątki, to znaczy nie ma dziesiątek, które nie są połączone w setki) i 5 jednostki; numer 470 – czterysta siedem dziesiątek (nie ma jednostek nie połączonych w dziesiątki); numer 500 – pięć setek (nie ma dziesiątek nie połączonych w setki i nie ma jednostek nie połączonych w dziesiątki).

Podobnie można zdefiniować czterocyfrowy, pięciocyfrowy, sześciocyfrowy itd. liczby naturalne.

Wielocyfrowe liczby naturalne.

Przejdźmy więc do definicji wielowartościowych liczb naturalnych.

Definicja.

Wielocyfrowe liczby naturalne- są to liczby naturalne, których zapis składa się z dwóch, trzech lub czterech itp. oznaki. Innymi słowy, wielocyfrowe liczby naturalne są dwucyfrowe, trzycyfrowe, czterocyfrowe itd. liczby.

Powiedzmy od razu, że zbiór składający się z dziesięciu setek to tysiąc, tysiąc tysięcy jeden milion, jest tysiąc milionów jeden bilion, to jest tysiąc miliardów jeden trylion. Tysiąc bilionów, tysiąc tysięcy bilionów itd. Można również nadać im własne nazwy, ale nie ma takiej szczególnej potrzeby.

Jakie jest zatem znaczenie wielocyfrowych liczb naturalnych?

Spójrzmy na wielocyfrową liczbę naturalną jako jednocyfrowe liczby naturalne następujące po sobie od prawej do lewej. Liczba po prawej stronie oznacza liczbę jednostek, następna liczba to liczba dziesiątek, następna liczba setek, następnie liczba tysięcy, następnie liczba dziesiątek tysięcy, następnie setek tysięcy, następnie liczba milionów, potem liczba dziesiątek milionów, potem setek milionów, potem – liczba miliardów, potem – liczba dziesiątek miliardów, potem – setki miliardów, potem – biliony, potem – dziesiątki bilionów, potem – setki bilionów i tak dalej.

Na przykład wielocyfrowa liczba naturalna 7 580 521 odpowiada 1 jednostka, 2 dziesiątki, 5 setki, 0 tysiące, 8 dziesiątki tysięcy, 5 setki tysięcy i 7 miliony.

W ten sposób nauczyliśmy się grupować jednostki w dziesiątki, dziesiątki w setki, setki w tysiące, tysiące w dziesiątki tysięcy itd. i odkryliśmy, że liczby w zapisie wielocyfrowej liczby naturalnej wskazują odpowiednią liczbę powyżej grup.

Czytanie liczb naturalnych, zajęcia.

Wspomnieliśmy już, jak odczytywane są jednocyfrowe liczby naturalne. Nauczmy się na pamięć zawartości poniższych tabel.

Jak odczytuje się pozostałe liczby dwucyfrowe?

Wyjaśnijmy na przykładzie. Przeczytajmy liczbę naturalną 74 . Jak dowiedzieliśmy się powyżej, liczba ta odpowiada 7 dziesiątki i 4 jednostki, tj. 70 I 4 . Zwracamy się do tabel, które właśnie zarejestrowaliśmy, i liczby 74 czytamy to jako: „Siedemdziesiąt cztery” (nie wymawiamy spójnika „i”). Jeśli chcesz przeczytać liczbę 74 w zdaniu: „Nie 74 jabłka” (dopełniacz), to będzie brzmiało tak: „Nie ma siedemdziesięciu czterech jabłek”. Inny przykład. Numer 88 - Ten 80 I 8 dlatego czytamy: „Osiemdziesiąt osiem”. A oto przykład zdania: „On myśli o osiemdziesięciu ośmiu rublach”.

Przejdźmy do czytania trzycyfrowych liczb naturalnych.

Aby to zrobić, będziemy musieli nauczyć się kilku nowych słów.

Pozostaje pokazać, jak odczytywane są pozostałe trzycyfrowe liczby naturalne. W tym przypadku wykorzystamy nabyte już umiejętności czytania liczb jednocyfrowych i dwucyfrowych.

Spójrzmy na przykład. Przeczytajmy liczbę 107 . Ta liczba odpowiada 1 sto i 7 jednostki, tj. 100 I 7 . Zwracając się do tabel, czytamy: „Sto siedem”. Teraz powiedzmy liczbę 217 . Ta liczba jest 200 I 17 dlatego czytamy: „Dwieście siedemnaście”. Podobnie, 888 - Ten 800 (osiemset) i 88 (osiemdziesiąt osiem) czytamy: „Osiemset osiemdziesiąt osiem”.

Przejdźmy do czytania liczb wielocyfrowych.

Aby odczytać, zapis wielocyfrowej liczby naturalnej dzieli się zaczynając od prawej strony na grupy trzycyfrowe, a w skrajnie lewej takiej grupie mogą znajdować się: 1 , Lub 2 , Lub 3 liczby. Grupy te nazywane są zajęcia. Nazywa się klasa po prawej stronie klasa jednostek. Następuje nazwa klasy (od prawej do lewej). klasa tysięcy, Następna klasa - klasa miliona, Następny - klasa miliardów, nadchodzi następny bilionowa klasa. Można podać nazwy następujących klas, ale liczby naturalne, z których składa się zapis 16 , 17 , 18 itp. znaki zwykle nie są czytane, ponieważ są bardzo trudne do wyczucia przez ucho.

Spójrz na przykłady dzielenia liczb wielocyfrowych na klasy (dla przejrzystości klasy oddzielamy od siebie małym wcięciem): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zapiszmy zapisane liczby naturalne w tabeli, która ułatwi naukę ich czytania.

Aby odczytać liczbę naturalną, nazywamy jej liczby składowe według klas od lewej do prawej i dodajemy nazwę klasy. Jednocześnie nie wymawiamy nazwy klasy jednostek, a także pomijamy te klasy, które składają się na trzy cyfry 0 . Jeśli wpis klasy ma numer po lewej stronie 0 lub dwie cyfry 0 , to ignorujemy te liczby 0 i odczytaj liczbę uzyskaną poprzez odrzucenie tych liczb 0 . Np, 002 czytać jako „dwa” i 025 - jak w „dwadzieścia pięć”.

Przeczytajmy liczbę 489 002 według podanych zasad.

Czytamy od lewej do prawej,

• przeczytaj numer 489 , reprezentujący klasę tysięcy, to „czterysta osiemdziesiąt dziewięć”;
• dodaj nazwę klasy, otrzymamy „czterysta osiemdziesiąt dziewięć tysięcy”;
• dalej w klasie jednostek widzimy 002 , po lewej stronie znajdują się zera, dlatego je ignorujemy 002 czytać jako „dwa”;
• nie ma potrzeby dodawania nazwy klasy jednostki;
• w końcu mamy 489 002 – „czterysta osiemdziesiąt dziewięć tysięcy dwa”.

Zacznijmy czytać liczbę 10 000 501 .

• Po lewej stronie w klasie milionów widzimy liczbę 10 , czytaj „dziesięć”;
• dodaj nazwę klasy, mamy „dziesięć milionów”;
• wtedy widzimy wpis 000 w klasie tysięcy, ponieważ wszystkie trzy cyfry są cyframi 0 , to pomijamy tę klasę i przechodzimy do następnej;
• klasa jednostek reprezentuje liczbę 501 , które czytamy „pięćset jeden”;
• Zatem, 10 000 501 - dziesięć milionów pięćset jeden.

Zróbmy to bez szczegółowego wyjaśnienia: 1 789 090 221 214 - „jeden bilion siedemset osiemdziesiąt dziewięć miliardów dziewięćdziesiąt milionów dwieście dwadzieścia jeden tysięcy dwieście czternaście”.

Zatem podstawą umiejętności czytania wielocyfrowych liczb naturalnych jest umiejętność dzielenia liczb wielocyfrowych na klasy, znajomość nazw klas oraz umiejętność czytania liczb trzycyfrowych.

Cyfry liczby naturalnej, wartość cyfry.

Zapisując liczbę naturalną, znaczenie każdej cyfry zależy od jej położenia. Na przykład liczba naturalna 539 odpowiada 5 setki, 3 dziesiątki i 9 jednostki, zatem liczba 5 pisząc numer 539 określa liczbę setek, cyfra 3 – liczba dziesiątek i cyfra 9 - Liczba jednostek. Jednocześnie mówią, że postać 9 koszty w cyfra jednostek i numer 9 Jest wartość cyfry jednostkowej, numer 3 koszty w miejsce dziesiątek i numer 3 Jest wartość miejsca dziesiątek i figura 5 - V miejsce setki i numer 5 Jest wartość setek miejsc.

Zatem, wypisać- z jednej strony jest to pozycja cyfry w zapisie liczby naturalnej, a z drugiej strony wartość tej cyfry, określona przez jej położenie.

Kategorie mają nadane nazwy. Jeśli spojrzysz na liczby w zapisie liczby naturalnej od prawej do lewej, będą one odpowiadać następującym cyfrom: jednostkom, dziesiątkom, setkom, tysiącom, dziesiątkom tysięcy, setkom tysięcy, milionom, dziesiątkom milionów i Wkrótce.

Wygodnie jest zapamiętać nazwy kategorii, gdy są one prezentowane w formie tabeli. Zapiszmy tabelę zawierającą nazwy 15 kategorii.

Należy pamiętać, że liczba cyfr danej liczby naturalnej jest równa liczbie znaków potrzebnych do zapisania tej liczby. Zatem zapisana tabela zawiera nazwy cyfr wszystkich liczb naturalnych, których zapis zawiera do 15 znaków. Poniższe stopnie również mają swoje nazwy, ale są one bardzo rzadko używane, więc nie ma sensu o nich wspominać.

Korzystając z tabeli cyfr, wygodnie jest określić cyfry danej liczby naturalnej. Aby to zrobić, musisz zapisać tę liczbę naturalną w tej tabeli, tak aby w każdej cyfrze znajdowała się jedna cyfra, a cyfra znajdująca się najbardziej na prawo była cyfrą jedności.

Podajmy przykład. Zapiszmy liczbę naturalną 67 922 003 942 do tabeli, a cyfry i znaczenie tych cyfr staną się wyraźnie widoczne.

Liczba w tej liczbie to 2 stoi w miejscu jednostek, cyfry 4 – w miejscu dziesiątek cyfra 9 – w miejscu setek itp. Warto zwrócić uwagę na liczby 0 , zlokalizowane w kategoriach dziesiątek i setek tysięcy. Liczby 0 w tych cyfrach oznacza brak jednostek tych cyfr.

Warto także wspomnieć o tzw. najniższej (młodszej) i najwyższej (najbardziej znaczącej) cyfrze wielocyfrowej liczby naturalnej. Najniższa (młodsza) ranga cyfrą jedności dowolnej wielocyfrowej liczby naturalnej jest cyfra jedności. Najwyższa (najbardziej znacząca) cyfra liczby naturalnej jest cyfrą odpowiadającą skrajnej prawej cyfrze w zapisie tego numeru. Na przykład najmniejsza cyfra liczby naturalnej 23 004 to cyfra jedności, a najwyższa cyfra to cyfra dziesiątek tysięcy. Jeśli w zapisie liczby naturalnej poruszamy się po cyfrach od lewej do prawej, to każda kolejna cyfra niższy (młodszy) Poprzedni. Na przykład ranga tysięcy jest niższa od rangi dziesiątek tysięcy, a jeszcze bardziej ranga tysięcy jest niższa od rangi setek tysięcy, milionów, dziesiątek milionów itd. Jeśli w zapisie liczby naturalnej poruszamy się po cyfrach od prawej do lewej, to każda kolejna cyfra wyższy (starszy) Poprzedni. Na przykład cyfra setek jest starsza niż cyfra dziesiątek, a jeszcze bardziej starsza niż cyfra jedności.

W niektórych przypadkach (na przykład podczas dodawania lub odejmowania) używana jest nie sama liczba naturalna, ale suma jej wyrazów cyfrowych.

Krótko o systemie dziesiętnym.

Zapoznaliśmy się więc z liczbami naturalnymi, ich znaczeniem i sposobem zapisywania liczb naturalnych za pomocą dziesięciu cyfr.

Ogólnie nazywa się metodę zapisywania liczb za pomocą znaków systemu liczbowego. Znaczenie cyfry w zapisie liczbowym może, ale nie musi, zależeć od jej położenia. Nazywa się systemy liczbowe, w których wartość cyfry w liczbie zależy od jej położenia pozycyjny.

Zatem zbadane przez nas liczby naturalne i sposób ich zapisywania wskazują, że używamy systemu liczb pozycyjnych. Należy zauważyć, że liczba ma specjalne miejsce w tym systemie liczbowym 10 . Rzeczywiście, liczenie odbywa się w dziesiątkach: dziesięć jednostek łączy się w dziesięć, tuzin dziesiątek łączy się w sto, tuzin setek łączy się w tysiąc i tak dalej. Numer 10 zwany podstawa dany system liczbowy i wywoływany jest sam system liczbowy dziesiętny.

Oprócz systemu dziesiętnego istnieją jeszcze inne, np. w informatyce stosuje się binarny system liczb pozycyjnych, a przy mierzeniu czasu spotykamy się z systemem sześćdziesiętnym.

Bibliografia.

• Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klasy V szkół ogólnokształcących.

Liczby całkowite– liczby służące do liczenia obiektów . Dowolną liczbę naturalną można zapisać za pomocą dziesięciu liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ten typ liczb nazywany jest dziesiętny

Nazywa się ciągiem wszystkich liczb naturalnych naturalny obok .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najbardziej mały liczba naturalna to jeden (1). W szeregu naturalnym każda kolejna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Naturalna seria nieskończony, nie ma w nim największej liczby.

Znaczenie cyfry zależy od jej miejsca w zapisie liczbowym. Przykładowo liczba 4 oznacza: 4 jednostki, jeśli znajduje się na ostatnim miejscu w zapisie liczby (w miejscu jednostek); 4 dziesięć, jeśli będzie na przedostatnim miejscu (w miejscu dziesiątek); 4 setki, jeśli będzie na trzecim miejscu od końca (W setki miejsc).

Liczba 0 oznacza brak jednostek tej kategorii w zapisie dziesiętnym liczby. Służy również do oznaczenia liczby „ zero" Liczba ta oznacza „brak”. Wynik 0:3 w meczu piłkarskim oznacza, że ​​drużyna pierwsza nie strzeliła przeciwnikowi ani jednej bramki.

Zero nie zawiera do liczb naturalnych. I rzeczywiście, liczenie obiektów nigdy nie zaczyna się od zera.

Jeżeli zapis liczby naturalnej składa się z jednego znaku – jedną cyfrę, wtedy nazywa się to niedwuznaczny. Te. niedwuznacznyLiczba naturalna– liczba naturalna, której zapis składa się z jednego znaku – jedna cyfra. Na przykład liczby 1, 6, 8 są pojedynczymi cyframi.

DwucyfrowyLiczba naturalna– liczba naturalna, której zapis składa się z dwóch znaków – dwóch cyfr.

Na przykład liczby 12, 47, 24, 99 są liczbami dwucyfrowymi.

Ponadto na podstawie liczby znaków w danej liczbie nadają nazwy innym liczbom:

numery 326, 532, 893 – trzycyfrowy;

numery 1126, 4268, 9999 – czterocyfrowy itp.

Dwucyfrowe, trzycyfrowe, czterocyfrowe, pięciocyfrowe itd. numery są nazywane liczby wielocyfrowe .

Aby odczytać liczby wielocyfrowe, dzieli się je, zaczynając od prawej, na grupy po trzy cyfry każda (grupa skrajnie lewa może składać się z jednej lub dwóch cyfr). Grupy te nazywane są zajęcia.

Milion– to jest tysiąc tysięcy (1000 tysięcy), zapisano 1 milion lub 1 000 000.

Miliard- to jest 1000 milionów. Zapisuje się ją jako 1 miliard lub 1 000 000 000.

Pierwsze trzy cyfry po prawej stronie tworzą klasę jednostek, kolejne trzy – klasę tysięcy, następnie przychodzą klasy milionów, miliardów itd. (ryc. 1).

Ryż. 1. Klasa milionów, klasa tysięcy i klasa jednostek (od lewej do prawej)

W siatce bitów zapisana jest liczba 15389000286 (rys. 2).

Ryż. 2. Siatka bitowa: liczba 15 miliardów 389 milionów 286

Liczba ta obejmuje 286 jednostek w klasie jednostek, zero jednostek w klasie tysięcy, 389 jednostek w klasie milionów i 15 jednostek w klasie miliardów.

Definicja

Liczby naturalne to liczby przeznaczone do liczenia obiektów. Do zapisu liczb naturalnych używa się 10 cyfr arabskich (0–9), które stanowią podstawę systemu liczb dziesiętnych powszechnie przyjętego w obliczeniach matematycznych.

Ciąg liczb naturalnych

Liczby naturalne tworzą szereg zaczynający się od 1 i obejmujący zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Sekwencja ta składa się z liczb 1,2,3,.... Oznacza to, że w ciągu naturalnym:

1. Jest najmniejsza liczba i nie ma największej.
2. Każda kolejna liczba jest większa od poprzedniej o 1 (z wyjątkiem samej jednostki).
3. Ponieważ liczby dążą do nieskończoności, rosną bez ograniczeń.

Czasami do szeregu liczb naturalnych wprowadza się 0. Jest to dopuszczalne i wtedy się o tym mówi rozszerzony seria naturalna.

Klasy liczb naturalnych

Każda cyfra liczby naturalnej wyraża pewną cyfrę. Ostatnia liczba to zawsze liczba jednostek, poprzednia przed nią to liczba dziesiątek, trzecia od końca to liczba setek, czwarta to liczba tysięcy i tak dalej.

• w liczbie 276: 2 setki, 7 dziesiątek, 6 jedności
• w liczbie 1098: 1 tysiąc, 9 dziesiątek, 8 jedności; Brakuje tutaj miejsca setek, ponieważ jest ono wyrażone jako zero.

W przypadku dużych i bardzo dużych liczb widać stabilny trend (jeśli przeanalizujemy liczbę od prawej do lewej, czyli od ostatniej cyfry do pierwszej):

• ostatnie trzy cyfry liczby to jednostki, dziesiątki i setki;
• poprzednie trzy to jednostki, dziesiątki i setki tysięcy;
• trzy przed nimi (tj. 7., 8. i 9. cyfra liczby, licząc od końca) to jednostki, dziesiątki i setki milionów itd.

Czyli za każdym razem mamy do czynienia z trzema cyframi, czyli jednostkami, dziesiątkami i setkami większej nazwy. Takie grupy tworzą klasy. A jeśli z trzema pierwszymi klasami masz do czynienia w życiu codziennym rzadziej lub częściej, to pozostałe warto wymienić, bo nie każdy pamięta ich nazwy na pamięć.

• Czwarta klasa, następująca po klasie milionów i reprezentująca liczby składające się z 10–12 cyfr, nazywana jest miliardem (lub miliardem);
• klasa 5 – bilion;
• klasa 6 – biliard;
• klasa 7 – kwintylion;
• klasa ósma – sekstylion;
• Klasa 9 – septylion.

Dodawanie liczb naturalnych

Dodawanie liczb naturalnych jest operacją arytmetyczną, która pozwala otrzymać liczbę zawierającą tę samą liczbę jednostek, ile jest w dodawanych liczbach.

Znak dodawania to znak „+”. Dodane liczby nazywane są dodatkami, a wynikowy wynik nazywany jest sumą.

Małe liczby są dodawane (sumowane) ustnie, na piśmie takie działania są zapisywane w wierszu.

Liczby wielocyfrowe, które trudno dodać w głowie, zwykle dodaje się do kolumny. W tym celu liczby zapisuje się jedna pod drugą, z wyrównaniem do ostatniej cyfry, czyli zapisuje się miejsce jedności pod miejscem jedności, miejsce setek pod miejscem setek i tak dalej. Następnie musisz dodać cyfry parami. Jeśli dodawanie cyfr następuje przy przejściu przez dziesiątkę, wówczas tę dziesiątkę ustala się jako jednostkę nad cyfrą po lewej stronie (czyli następną) i sumuje się z cyframi tej cyfry.

Jeśli nie 2, ale do kolumny zostanie dodanych więcej liczb, to przy sumowaniu cyfr miejsca nie 1 dziesięć, ale kilka może okazać się zbędnych. W takim przypadku liczba takich dziesiątek jest przenoszona na następną cyfrę.

Odejmowanie liczb naturalnych

Odejmowanie jest operacją arytmetyczną, odwrotnością dodawania, która sprowadza się do tego, że korzystając z dostępnej sumy i jednego z wyrazów, trzeba znaleźć inny - nieznany termin. Liczba, od której jest ona odejmowana, nazywa się odjemną; liczba, która jest odejmowana, jest odejmowalna. Wynik odejmowania nazywany jest różnicą. Znakiem używanym do oznaczenia operacji odejmowania jest „–”.

Kiedy przechodzimy do dodawania, odejmowanie i różnica zamieniają się w dodawanie, a odjemna zamienia się w sumę. Dodawanie służy zwykle do sprawdzania poprawności odejmowania i odwrotnie.

Tutaj 74 to odjemna, 18 to odejmowanie, 56 to różnica.

Warunkiem odejmowania liczb naturalnych jest: odjemna musi być większa od odejmowanej. Tylko w tym przypadku wynikowa różnica będzie również liczbą naturalną. Jeżeli czynność odejmowania przeprowadza się dla rozszerzonego szeregu naturalnego, wówczas dopuszczalne jest, aby odjemna była równa odejmowaniu. Wynik odejmowania w tym przypadku wyniesie 0.

Uwaga: jeśli odejmowanie jest równe zero, wówczas operacja odejmowania nie zmienia wartości odejmowania.

Odejmowanie liczb wielocyfrowych zwykle wykonuje się w kolumnie. Liczby zapisuje się w taki sam sposób, jak w przypadku dodawania. Odejmowanie wykonuje się dla odpowiednich cyfr. Jeżeli okaże się, że odjemna jest mniejsza od odejmowanej, to z poprzedniej (znajdującej się po lewej stronie) cyfry pobiera się jedną, która po przeniesieniu naturalnie zamienia się w 10. Tę dziesiątkę sumuje się z numerem danej cyfry jest wydobywany, a następnie wykonywane jest odejmowanie. Następnie odejmując kolejną cyfrę, pamiętaj, aby wziąć pod uwagę, że zmniejszana stała się o 1 mniejsza.

Iloczyn liczb naturalnych

Iloczyn (lub mnożenie) liczb naturalnych jest operacją arytmetyczną polegającą na znalezieniu sumy dowolnej liczby identycznych wyrazów. Aby zapisać czynność mnożenia, użyj znaku „·” (czasami „×” lub „*”). Na przykład: 3,5=15.

Akcja mnożenia jest niezbędna, gdy konieczne jest dodanie dużej liczby wyrazów. Na przykład, jeśli chcesz dodać liczbę 4 7 razy, wówczas pomnożenie 4 przez 7 jest łatwiejsze niż wykonanie następującego dodania: 4+4+4+4+4+4+4.

Liczby pomnożone nazywane są czynnikami, wynik mnożenia nazywa się iloczynem. Zatem termin „produkt” może, w zależności od kontekstu, wyrażać zarówno proces mnożenia, jak i jego wynik.

Liczby wielocyfrowe są mnożone w kolumnie. W tym celu liczby zapisuje się w taki sam sposób, jak w przypadku dodawania i odejmowania. Zaleca się zapisanie najpierw najdłuższej z 2 liczb (powyżej). W takim przypadku proces mnożenia będzie prostszy, a zatem bardziej racjonalny.

Podczas mnożenia w kolumnie cyfry każdej cyfry drugiej liczby są mnożone kolejno przez cyfry pierwszej liczby, zaczynając od jej końca. Po znalezieniu pierwszego takiego iloczynu zapisz cyfrę jedności i pamiętaj o cyfrze dziesiątek. Mnożąc cyfrę drugiej liczby przez kolejną cyfrę pierwszej liczby, zapamiętana cyfra jest dodawana do iloczynu. I znowu zapisz liczbę jednostek uzyskanego wyniku i zapamiętaj liczbę dziesiątek. Po pomnożeniu przez ostatnią cyfrę pierwszej liczby uzyskaną w ten sposób liczbę zapisuje się w całości.

Wyniki mnożenia cyfry drugiej cyfry drugiej liczby zapisuje się w drugim wierszu, przesuwając ją o 1 komórkę w prawo. I tak dalej. W rezultacie uzyskana zostanie „drabina”. Wszystkie powstałe wiersze liczb należy dodać (zgodnie z zasadą dodawania kolumn). Puste komórki należy uważać za wypełnione zerami. Otrzymana suma jest produktem końcowym.

Notatka

1. Iloczyn dowolnej liczby naturalnej przez 1 (lub 1 przez liczbę) jest równy samej liczbie. Na przykład: 376·1=376; 1,86=86.
2. Jeżeli jeden z czynników lub oba czynniki są równe 0, wówczas iloczyn wynosi 0. Na przykład: 32·0=0; 0,845=845; 0.0=0.

Podział liczb naturalnych

Dzielenie jest operacją arytmetyczną, za pomocą której mając znany iloczyn i jeden z czynników, można znaleźć inny – nieznany – czynnik. Dzielenie jest odwrotnością mnożenia i służy do sprawdzania, czy mnożenie zostało wykonane poprawnie (i odwrotnie).

Podzielona liczba nazywana jest dywidendą; liczba, przez którą dzielona jest liczba, jest dzielnikiem; wynik dzielenia nazywa się ilorazem. Znakiem podziału jest „:” (czasami, rzadziej „÷”).

Tutaj 48 to dywidenda, 6 to dzielnik, 8 to iloraz.

Nie wszystkie liczby naturalne można dzielić między sobą. W takim przypadku podziel z resztą. Polega ona na tym, że do dzielnika dobiera się taki czynnik, aby jego iloczynem przez dzielnik była liczba możliwie najbardziej zbliżona wartością do dywidendy, ale od niej mniejsza. Dzielnik mnoży się przez ten współczynnik i odejmuje od dywidendy. Różnica będzie stanowić resztę podziału. Iloczyn dzielnika i współczynnika nazywany jest ilorazem niepełnym. Uwaga: saldo musi być mniejsze niż wybrany mnożnik! Jeżeli reszta jest większa oznacza to, że mnożnik został wybrany nieprawidłowo i należy go zwiększyć.

Wybieramy współczynnik dla 7. W tym przypadku jest to liczba 5. Znajdujemy niepełny iloraz: 7,5=35. Resztę obliczamy: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Liczby wielocyfrowe są podzielone na kolumnę. Aby to zrobić, zapisz dywidendę i dzielnik obok siebie, oddzielając dzielnik linią pionową i poziomą. W przypadku dywidendy izolowana jest pierwsza cyfra lub kilka pierwszych cyfr (po prawej), które muszą reprezentować liczbę minimalnie wystarczającą do podzielenia przez dzielnik (to znaczy liczba ta musi być większa od dzielnika). Dla tej liczby wybierany jest iloraz niepełny, jak opisano w regule dzielenia z resztą. Pod dzielnikiem zapisuje się cyfrę mnożnika służącą do obliczenia ilorazu częściowego. Niepełny iloraz zapisuje się poniżej liczby dzielonej, wyrównany do prawej strony. Znajdź różnicę. Zapisz kolejną cyfrę dywidendy, wpisując ją obok tej różnicy. Dla otrzymanej liczby ponownie oblicza się iloraz częściowy, zapisując cyfrę wybranego mnożnika obok poprzedniej pod dzielnikiem. I tak dalej. Takie działania są prowadzone do wyczerpania się cyfr dywidendy. Następnie podział uważa się za zakończony. Jeżeli dywidendę i dzielnik podzielimy przez całość (bez reszty), to ostatnia różnica da zero. W przeciwnym razie uzyskana zostanie pozostała liczba.

Potęgowanie

Potęgowanie to operacja matematyczna polegająca na pomnożeniu dowolnej liczby identycznych liczb. Na przykład: 2·2·2·2.

Wyrażenia takie zapisuje się w postaci: x,

Gdzie A– liczba pomnożona przez siebie, X– liczba takich czynników.

Liczby naturalne pierwsze i złożone

Każdą liczbę naturalną, z wyjątkiem 1, można podzielić na co najmniej 2 liczby - jedną i samą siebie. Na podstawie tego kryterium liczby naturalne dzielą się na pierwsze i złożone.

Liczby pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Liczby podzielne przez więcej niż te 2 liczby nazywane są liczbami złożonymi. Jednostka podzielna wyłącznie przez siebie nie jest ani prosta, ani złożona.

Liczby pierwsze to: 2,3,5,7,11,13,17,19 itd. Przykłady liczb złożonych: 4 (podzielne przez 1,2,4), 6 (podzielne przez 1,2,3,6), 20 (podzielne przez 1,2,4,5,10,20).

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Przez czynniki pierwsze rozumiemy ich dzielniki, którymi są liczby pierwsze.

Przykład rozkładu na czynniki pierwsze:

Dzielniki liczb naturalnych

Dzielnik to liczba, przez którą można podzielić daną liczbę bez reszty.

Zgodnie z tą definicją liczby naturalne pierwsze mają 2 dzielniki, a liczby złożone mają więcej niż 2 dzielniki.

Wiele liczb ma wspólne dzielniki. Wspólny dzielnik to liczba, która dzieli dane liczby bez pozostawiania reszty.

• Liczby 12 i 15 mają wspólny dzielnik 3
• Liczby 20 i 30 mają wspólne dzielniki 2,5,10

Szczególne znaczenie ma największy wspólny dzielnik (NWD). Ta liczba jest szczególnie przydatna do znajdowania ułamków redukujących. Aby to znaleźć, należy rozłożyć dane liczby na czynniki pierwsze i przedstawić je jako iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych, wziętych w ich najmniejszych potęgach.

Musisz znaleźć gcd liczb 36 i 48.

Podzielność liczb naturalnych

Nie zawsze można stwierdzić naocznie, czy dana liczba jest podzielna przez inną bez reszty. W takich przypadkach przydatny okazuje się odpowiedni test podzielności, czyli reguła, dzięki której w ciągu kilku sekund można stwierdzić, czy liczby można dzielić bez reszty. Znak „” służy do wskazania podzielności.

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Ta wielkość (oznaczona jako LOC) jest najmniejszą liczbą podzielną przez każdą z podanych. LCM można znaleźć dla dowolnego zbioru liczb naturalnych.

NOC, podobnie jak GCD, ma istotne znaczenie praktyczne. Zatem należy znaleźć LCM, sprowadzając ułamki zwykłe do wspólnego mianownika.

LCM wyznacza się poprzez rozłożenie danych liczb na czynniki pierwsze. Aby go utworzyć, weź iloczyn składający się z każdego z występujących (przynajmniej dla 1 liczby) czynników pierwszych, reprezentowanych w maksymalnym stopniu.

Musisz znaleźć LCM liczb 14 i 24.

Przeciętny

Średnia arytmetyczna dowolnej (ale skończonej) liczby liczb naturalnych to suma wszystkich tych liczb podzielona przez liczbę wyrazów:

Średnia arytmetyczna to pewna średnia wartość zbioru liczbowego.

Podane liczby to 2,84,53,176,17,28. Musisz znaleźć ich średnią arytmetyczną.