공간 공식에서 벡터 사이의 각도입니다. 벡터의 내적

벡터의 길이, 벡터 사이의 각도 - 이러한 개념은 벡터를 특정 방향의 세그먼트로 정의할 때 자연스럽게 적용 가능하고 직관적입니다. 아래에서는 3차원 공간에서 벡터 사이의 각도와 코사인을 결정하는 방법을 배우고 예제를 사용하여 이론을 고려합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

벡터 사이의 각도 개념을 고려하기 위해 그래픽 설명으로 돌아가 보겠습니다. 평면이나 3차원 공간에서 0이 아닌 두 벡터 a → 및 b →를 정의해 보겠습니다. 또한 임의의 점 O를 설정하고 그로부터 벡터 O A → = b → 및 O B → = b →를 플로팅해 보겠습니다.

정의 1

각도벡터 a →와 b → 사이는 광선 O A와 O B 사이의 각도입니다.

결과 각도를 다음과 같이 표시합니다: a → , b → ^

분명히 각도는 0에서 π 또는 0에서 180도 사이의 값을 가질 수 있습니다.

벡터가 같은 방향일 때 a → , b → ^ = 0이고 벡터가 반대 방향일 때 a → , b → ^ = π입니다.

정의 2

벡터는 다음과 같습니다. 수직, 둘 사이의 각도가 90도 또는 π 2 라디안인 경우.

벡터 중 하나 이상이 0이면 각도 a → , b → ^가 정의되지 않습니다.

두 벡터 사이의 각도의 코사인, 즉 각도 자체는 일반적으로 벡터의 스칼라 곱을 사용하거나 주어진 두 벡터로 구성된 삼각형에 대한 코사인 정리를 사용하여 결정할 수 있습니다.

정의에 따르면 스칼라 곱은 a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ 입니다.

주어진 벡터 a → 및 b →가 0이 아닌 경우 등식의 오른쪽과 왼쪽을 이러한 벡터 길이의 곱으로 나눌 수 있으므로 비-사이 각도의 코사인을 찾는 공식을 얻을 수 있습니다. 0 벡터:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

이 공식은 소스 데이터에 벡터의 길이와 스칼라 곱이 포함된 경우에 사용됩니다.

실시예 1

초기 데이터: 벡터 a → 및 b →. 길이는 각각 3과 6이고 스칼라 곱은 -9입니다. 벡터 사이의 각도의 코사인을 계산하고 각도 자체를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

초기 데이터는 위에서 얻은 공식을 적용하기에 충분합니다. 그러면 cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

이제 벡터 사이의 각도를 결정해 보겠습니다. a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

답: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

직사각형 좌표계의 좌표로 벡터를 지정하는 경우 문제가 더 자주 발생합니다. 그러한 경우에는 동일한 공식을 좌표 형식으로 도출해야 합니다.

벡터의 길이는 좌표의 제곱합의 제곱근으로 정의되며, 벡터의 스칼라 곱은 해당 좌표의 곱의 합과 같습니다. 그런 다음 평면 a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y)의 벡터 사이 각도의 코사인을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

그리고 3차원 공간 a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z)에서 벡터 사이의 각도 코사인을 찾는 공식은 다음과 같습니다. cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

실시예 2

초기 데이터: 직각 좌표계의 벡터 a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3). 그들 사이의 각도를 결정하는 것이 필요합니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 다음 공식을 즉시 적용할 수 있습니다.

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = 아크 코사인 (-1 70) = - 아크 코사인 1 70

다음 공식을 사용하여 각도를 결정할 수도 있습니다.

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

하지만 먼저 벡터의 길이와 좌표로 스칼라 곱을 계산합니다. a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - 아크 코사인 1 70

답: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

또한 직각 좌표계에 세 점의 좌표가 주어지고 어떤 각도를 결정해야 하는 작업도 일반적입니다. 그리고 주어진 점의 좌표로 벡터 사이의 각도를 결정하려면 벡터의 시작과 끝의 해당 점 간의 차이로 벡터의 좌표를 계산해야 합니다.

실시예 3

초기 데이터: 점 A(2, - 1), B(3, 2), C(7, - 2)가 직각 좌표계의 평면에 제공됩니다. 벡터 A C →와 B C → 사이의 각도의 코사인을 결정해야 합니다.

해결책

주어진 점 A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2)의 좌표로부터 벡터의 좌표를 찾아봅시다 = (4, - 4)

이제 공식을 사용하여 좌표에서 평면의 벡터 사이 각도의 코사인을 결정합니다. cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (-4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

답: cos A C → , B C → ^ = 3 13

벡터 사이의 각도는 코사인 정리를 사용하여 결정할 수 있습니다. 점 O에서 벡터 O A → = a → 및 O B → = b →를 따로 설정하면 삼각형 O A B의 코사인 정리에 따라 평등이 성립됩니다.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

이는 다음과 같습니다:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

여기에서 각도의 코사인 공식을 유도합니다.

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

결과 공식을 적용하려면 좌표에서 쉽게 결정할 수 있는 벡터의 길이가 필요합니다.

이 방법이 사용되지만 공식은 여전히 더 자주 사용됩니다.

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

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벡터의 스칼라 곱(이하 SP라고 함)입니다. 친애하는 친구! 수학 시험에는 벡터 해결에 관한 문제 그룹이 포함됩니다. 우리는 이미 몇 가지 문제를 고려했습니다. "벡터" 카테고리에서 볼 수 있습니다. 일반적으로 벡터 이론은 복잡하지 않으며 가장 중요한 것은 지속적으로 연구하는 것입니다. 학교 수학 과정에서 벡터를 사용한 계산 및 연산은 간단하며 공식은 복잡하지 않습니다. 보세요. 이 기사에서는 벡터의 SP(통합 상태 시험에 포함됨)에 대한 문제를 분석합니다. 이제 이론에 "몰입"합니다.

시간 벡터의 좌표를 찾으려면 끝의 좌표에서 빼야 합니다.해당 원점의 좌표

그리고 더 나아가:

*벡터 길이(모듈러스)는 다음과 같이 결정됩니다.

꼭 기억해야 할 공식!!!

벡터 사이의 각도를 보여드리겠습니다.

0에서 180 0까지 다양할 수 있다는 것이 분명합니다.(또는 0에서 Pi까지의 라디안 단위).

스칼라 곱의 부호에 대해 몇 가지 결론을 내릴 수 있습니다. 벡터의 길이는 양의 값을 가지며 이는 명백합니다. 이는 스칼라 곱의 부호가 벡터 간 각도의 코사인 값에 따라 달라짐을 의미합니다.

가능한 경우:

1. 벡터 사이의 각도가 예각(0 0 ~ 90 0)인 경우 각도의 코사인은 양수 값을 갖습니다.

2. 벡터 사이의 각도가 둔각(90 0 ~ 180 0)인 경우 각도의 코사인은 음수 값을 갖습니다.

*0도에서, 즉 벡터의 방향이 같을 때 코사인은 1과 같으므로 결과는 양수입니다.

180o, 즉 벡터의 방향이 반대일 때 코사인은 -1과 같습니다.따라서 결과는 부정적이 될 것입니다.

이제 중요한 포인트!

90o, 즉 벡터가 서로 수직일 때 코사인은 0과 같으므로 SP는 0과 같습니다. 이 사실(결과, 결론)은 오픈 뱅크 수학 작업에 포함된 문제를 포함하여 벡터의 상대적 위치에 대해 이야기하는 많은 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

다음 문장을 공식화해 보겠습니다. 스칼라 곱은 이 벡터가 수직선 위에 있는 경우에만 0과 같습니다.

따라서 SP 벡터의 공식은 다음과 같습니다.

벡터의 좌표 또는 시작과 끝의 점 좌표를 알고 있으면 항상 벡터 사이의 각도를 찾을 수 있습니다.

작업을 고려해 봅시다:

27724 벡터 a와 b의 스칼라 곱을 구합니다.

다음 두 공식 중 하나를 사용하여 벡터의 스칼라 곱을 찾을 수 있습니다.

벡터 사이의 각도는 알 수 없지만 벡터의 좌표를 쉽게 찾은 다음 첫 번째 공식을 사용할 수 있습니다. 두 벡터의 원점은 좌표의 원점과 일치하므로 이들 벡터의 좌표는 끝점의 좌표와 같습니다.

벡터의 좌표를 찾는 방법은 에 설명되어 있습니다.

우리는 다음을 계산합니다:

답: 40

벡터의 좌표를 찾고 공식을 사용해 보겠습니다.

벡터의 좌표를 찾으려면 벡터의 끝 좌표에서 해당 시작 좌표를 빼야 합니다.

스칼라 곱을 계산합니다.

답: 40

벡터 a와 b 사이의 각도를 구합니다. 답을 각도 단위로 입력하세요.

벡터의 좌표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

벡터 사이의 각도를 찾으려면 벡터의 스칼라 곱 공식을 사용합니다.

벡터 사이의 각도 코사인:

따라서:

이 벡터의 좌표는 동일합니다.

이를 공식으로 대체해 보겠습니다.

벡터 사이의 각도는 45도입니다.

답: 45

두 벡터 사이의 각도 , :

두 벡터 사이의 각도가 예각이면 해당 스칼라 곱은 양수입니다. 벡터 사이의 각도가 둔각인 경우 이러한 벡터의 스칼라 곱은 음수입니다. 0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터가 직교인 경우에만 0과 같습니다.

운동.벡터와 벡터 사이의 각도를 구합니다.

해결책.원하는 각도의 코사인

16. 직선, 직선, 평면 사이의 각도 계산

직선과 평면 사이의 각도, 이 선과 수직이 아닌 교차하는 각도는 선과 이 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다.

선과 평면 사이의 각도를 결정하면 선과 평면 사이의 각도가 교차하는 두 선, 즉 직선 자체와 평면에 대한 투영 사이의 각도라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 직선과 평면이 이루는 각은 예각이다.

수직 직선과 평면 사이의 각도는 로 간주되고, 평행 직선과 평면 사이의 각도는 전혀 결정되지 않거나 로 간주됩니다.

§ 69. 직선 사이의 각도 계산.

공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다(§ 32). 선 사이의 각도의 크기를 ψ로 표시하겠습니다. 엘 1과 엘 2 및 ψ를 통해 - 방향 벡터 사이의 각도 크기 ㅏ 그리고 비 이 직선들.

그렇다면 만약

ψ 90°(그림 206.6), 그러면 ψ = 180° - ψ. 분명히 두 경우 모두 cos ψ = |cos ψ|가 동일하다는 것은 사실입니다. 공식 (1) § 20에 따르면

따라서,

표준 방정식으로 선을 제공하십시오.

그런 다음 선 사이의 각도 ψ는 공식을 사용하여 결정됩니다.

선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.

17. 평행선, 평행선의 정리

정의.평면에 있는 두 개의 선을 호출합니다. 평행한, 공통점이 없는 경우.

3차원 공간에 있는 두 개의 선을 이라고 합니다. 평행한, 동일한 평면에 있고 공통점이 없는 경우.

두 벡터 사이의 각도입니다.

내적의 정의로부터:

두 벡터의 직교성의 조건:

두 벡터의 공선성에 대한 조건:

정의 5에서 따름 - . 실제로 벡터와 숫자의 곱의 정의는 다음과 같습니다. 따라서 벡터의 동등성 규칙에 따라 , , 를 씁니다. . 그러나 벡터에 숫자를 곱하여 생성된 벡터는 벡터와 동일선상에 있습니다.

벡터를 벡터로 투영:

실시예 4. 주어진 포인트 , , , .

내적을 찾아보세요.

해결책. 좌표로 지정된 벡터의 스칼라 곱에 대한 공식을 사용하여 찾습니다. 왜냐하면

, ,

실시예 5.주어진 포인트 , , , .

투영을 찾아보세요.

해결책. 왜냐하면

, ,

투영 공식을 바탕으로 우리는

실시예 6.주어진 포인트 , , , .

벡터와 사이의 각도를 구합니다.

해결책. 벡터는

, ,

좌표가 비례하지 않기 때문에 동일선상에 있지 않습니다.

이 벡터의 스칼라 곱은 이므로 수직이 아닙니다.

찾아보자

모서리 우리는 공식에서 다음을 찾습니다.

실시예 7.어떤 벡터와 동일선상.

해결책. 공선성의 경우 벡터의 해당 좌표 비례해야 합니다. 즉,

그러므로 그리고.

실시예 8. 벡터의 어느 값인지 결정 그리고 수직.

해결책. 벡터 스칼라 곱이 0이면 수직입니다. 이 조건으로부터 우리는 다음을 얻습니다: . 그건, .

실시예 9. 찾다 , 만약에 , , .

해결책. 스칼라 곱의 특성으로 인해 다음과 같은 이점이 있습니다.

실시예 10. 벡터와 , 여기서 과 사이의 각도를 구합니다. - 단위 벡터와 벡터 사이의 각도는 120°와 같습니다.

해결책. 우리는: , ,

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다: .

5B. 벡터 아트워크.

정의 21.벡터 아트워크벡터 대 벡터를 벡터라고 하며 다음 세 가지 조건으로 정의됩니다.

1) 벡터의 모듈러스는 와 같습니다. 여기서 는 벡터와 , 즉 .

벡터 곱의 계수는 벡터와 양쪽에 구성된 평행 사변형의 면적과 수치 적으로 동일합니다.

2) 벡터는 각 벡터와 ( ; )에 수직입니다. 즉 벡터와 에 구성된 평행사변형의 평면에 수직입니다.

3) 벡터는 끝에서 볼 때 벡터에서 벡터로의 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향이 되는 방식으로 방향이 지정됩니다(벡터 , , 오른쪽 방향 삼중을 형성함).

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법은 무엇입니까?

기하학을 공부할 때 벡터 주제에 관해 많은 질문이 발생합니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.

기본 용어

벡터 사이의 각도를 살펴보기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도 개념을 숙지할 필요가 있습니다.

벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.

공통 원점을 갖는 평면 위의 두 벡터 사이의 각도는 방향이 일치할 때까지 벡터 중 하나가 공통 점 주위로 이동해야 하는 각도만큼 작습니다.

솔루션 공식

벡터가 무엇인지, 각도가 어떻게 결정되는지 이해하면 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이에 대한 해법 공식은 매우 간단하며 적용 결과는 각도의 코사인 값이 됩니다. 정의에 따르면 벡터의 스칼라 곱과 길이의 곱의 몫과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱은 요소 벡터의 해당 좌표에 서로 곱한 합으로 계산됩니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 해당 좌표의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.

각도의 코사인 값을 받으면 계산기나 삼각법 표를 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.

예

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알아내면 해당 문제를 해결하는 것이 간단하고 명확해집니다. 예를 들어, 각도의 값을 찾는 간단한 문제를 고려해 볼 가치가 있습니다.

우선, 해법에 필요한 벡터 길이의 값과 그 스칼라 곱을 계산하는 것이 더 편리할 것입니다. 위에 제시된 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.

얻은 값을 공식에 대입하여 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.

이 숫자는 다섯 가지 일반적인 코사인 값 중 하나가 아니므로 각도를 얻으려면 계산기나 Bradis 삼각법 테이블을 사용해야 합니다. 그러나 벡터 사이의 각도를 구하기 전에 공식을 단순화하여 추가 음수 기호를 제거할 수 있습니다.

정확성을 유지하기 위해 최종 답은 그대로 두거나 각도 값을 도 단위로 계산할 수 있습니다. Bradis 테이블에 따르면 그 값은 약 116도 70분이며 계산기에는 116.57도의 값이 표시됩니다.

n차원 공간에서 각도 계산

3차원 공간에서 두 벡터를 고려할 때 동일한 평면에 있지 않으면 우리가 말하는 각도를 이해하기가 훨씬 더 어렵습니다. 인식을 단순화하기 위해 두 개의 교차 세그먼트를 그려서 두 세그먼트 사이에 가장 작은 각도를 형성할 수 있습니다. 이것이 원하는 세그먼트입니다. 벡터에 세 번째 좌표가 있더라도 벡터 사이의 각도를 계산하는 과정은 변하지 않습니다. 벡터의 스칼라 곱과 모듈러스를 계산하면 해당 몫의 아크코사인이 이 문제에 대한 답이 됩니다.

기하학에서는 3차원 이상의 공간에 문제가 있는 경우가 많습니다. 하지만 그들에게는 답을 찾는 알고리즘이 비슷해 보입니다.

0도와 180도의 차이

벡터 사이의 각도를 계산하기 위해 고안된 문제에 대한 답을 작성할 때 흔히 저지르는 실수 중 하나는 벡터가 평행하다고, 즉 원하는 각도가 0도 또는 180도라고 작성하는 것입니다. 이 답변은 올바르지 않습니다.

솔루션의 결과로 각도 값이 0도인 경우 정답은 벡터를 동일한 방향으로 지정하는 것입니다. 즉, 벡터는 동일한 방향을 갖습니다. 180도를 얻으면 벡터의 방향이 반대가 됩니다.

특정 벡터

벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 동일 방향 및 반대 방향 유형 외에도 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.

한 평면에 평행한 여러 벡터를 동일 평면이라고 합니다.
길이와 방향이 동일한 벡터를 동일 벡터라고 합니다.
방향에 관계없이 동일한 직선 위에 있는 벡터를 동일선상이라고 합니다.
벡터의 길이가 0이면, 즉 시작과 끝이 일치하면 0이라고 하고, 1이면 단위라고 합니다.

벡터 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?

도와주세요, 제발! 공식은 알지만 계산을 못해요((
벡터 a(8; 10; 4) 벡터 b(5; -20; -10)

알렉산더 티토프

좌표로 지정된 벡터 사이의 각도는 표준 알고리즘을 사용하여 찾습니다. 먼저 벡터 a와 b의 스칼라 곱((a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2)을 찾아야 합니다. 여기서 이 벡터의 좌표를 대체하고 다음을 계산합니다.
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
다음으로 각 벡터의 길이를 결정합니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 해당 좌표의 제곱합의 제곱근입니다.
|아| = (x1^2 + y1^2 + z1^2)의 근 = (8^2 + 10^2 + 4^2)의 근 = (64 + 100 + 16)의 근 = 180의 근 = 6개의 근 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2)의 근 = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2)의 근 = (25 + 400 + 100)의 근 = 근 525 = 21의 5근입니다.
우리는 이 길이를 곱합니다. 105개 중 30개의 근을 얻습니다.
그리고 마지막으로 벡터의 스칼라 곱을 벡터 길이의 곱으로 나눕니다. 우리는 -200/(105의 30근) 또는
- (105의 4근) / 63. 이것은 벡터 사이의 각도의 코사인입니다. 그리고 각도 자체는 이 숫자의 아크코사인과 같습니다.
f = arccos(105의 -4근) / 63.
내가 모든 것을 올바르게 계산했다면.

벡터 좌표를 사용하여 벡터 간 각도의 사인을 계산하는 방법

미하일 트카체프

이 벡터들을 곱해 봅시다. 이들의 스칼라 곱은 이들 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.
각도는 우리에게 알려지지 않았지만 좌표는 알려져 있습니다.
수학적으로 이렇게 적어보자.
벡터 a(x1;y1) 및 b(x2;y2)가 주어집니다.
그 다음에

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

얘기하자.
벡터의 a*b-스칼라 곱은 이러한 벡터 좌표의 해당 좌표 곱의 합과 같습니다. 즉, x1*x2+y1*y2와 같습니다.

|a|*|b|-벡터 길이의 곱은 √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)와 같습니다.

이는 벡터 사이의 각도의 코사인이 다음과 같음을 의미합니다.

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

각도의 코사인을 알면 사인을 계산할 수 있습니다. 이를 수행하는 방법에 대해 논의해 보겠습니다.

각도의 코사인이 양수이면 이 각도는 1사분면 또는 4사분면에 있으며, 이는 사인이 양수이거나 음수임을 의미합니다. 그러나 벡터 사이의 각도가 180도보다 작거나 같으므로 사인은 양수입니다. 코사인이 음수인 경우에도 비슷하게 추론합니다.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

그게 다입니다)))) 행운을 빌어요))))

드미트리 레비셰프

직접 사인하는 것이 불가능하다는 사실은 사실이 아닙니다.
공식 외에도:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
이런 것도 있습니다:
||=|a|*|b|*죄 A
즉, 스칼라 곱 대신 벡터 곱의 모듈을 사용할 수 있습니다.

섹션: 수학

수업 유형: 새로운 자료 학습.

교육 과제:

– 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 공식을 도출합니다.

– 문제 해결을 위해 벡터를 적용하는 기술을 계속 개발합니다.

– 문제 해결을 통해 수학에 대한 관심을 지속적으로 발전시킵니다.

– 학습 과정에 대한 의식적인 태도를 기르고, 지식의 질에 대한 책임감을 심어주고, 문제 해결 및 운동 설계 과정에 대한 자제력을 행사합니다.

수업 제공:

– 표 "평면과 공간의 벡터";

– 개별 질문을 위한 작업 카드

– 테스트 작업을 위한 작업 카드

- 마이크로 계산기.

학생은 다음을 알아야 합니다:

– 벡터 사이의 각도를 계산하는 공식.

학생은 다음을 할 수 있어야 합니다:

– 획득한 지식을 분석, 기하학 및 응용 문제 해결에 적용합니다.

학생들의인지 활동 동기 부여.

교사는 오늘 수업에서 학생들이 벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 배우고 습득한 지식을 기술 역학 및 물리학 문제를 해결하는 데 적용하는 방법을 배울 것이라고 보고합니다. "기술 역학" 분야의 대부분의 문제는 벡터 방법으로 해결됩니다. 따라서 "수렴하는 힘의 평면 시스템", "두 힘의 합력 찾기"라는 주제를 연구할 때 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 공식이 사용됩니다.

수업 진행 상황.
I. 조직적인 순간.

II. 숙제를 확인 중입니다.

a) 카드를 이용한 개별 조사.

카드 1.

1. 두 벡터의 덧셈의 성질을 써 보세요.

2. 어떤 가치로 중벡터와 동일선상에 있을 것인가?