Cramer módszere lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Cramer szabálya

2. Egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).
3. Gauss-módszer egyenletrendszerek megoldására.

Cramer módszere.

A Cramer-módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál ( SLAU).

Képletek két változós egyenletrendszer példáján.
Adott: Oldja meg a rendszert Cramer módszerével

A változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a Determinánsok számítása rendszer együtthatóiból áll. :

Alkalmazzuk a Cramer-képleteket, és keressük meg a változók értékeit:
És .
1. példa:
Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:


Cseréljük le ennek a determinánsnak az első oszlopát a rendszer jobb oldali együtthatók oszlopával, és keressük meg az értékét:

Tegyünk hasonlót, cseréljük le a második oszlopot az első determinánsban:

Alkalmazható Cramer-képletekés keresse meg a változók értékét:
És .
Válasz:
Megjegyzés: Ezzel a módszerrel nagyobb méretű rendszerek is megoldhatók.

Megjegyzés: Ha kiderül, hogy , de nem osztható nullával, akkor azt mondják, hogy a rendszernek nincs egyedi megoldása. Ebben az esetben a rendszernek vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldása.

2. példa(végtelen számú megoldás):

Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel.

A rendszer egyenletei közül az első egy egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz (mivel a 4 mindig egyenlő 4-gyel). Ez azt jelenti, hogy már csak egy egyenlet maradt. Ez a változók közötti kapcsolat egyenlete.
Azt találtuk, hogy a rendszer megoldása bármely olyan változó értékpár, amely az egyenlőséggel kapcsolódik egymáshoz.
Az általános megoldást a következőképpen írjuk le:
Konkrét megoldásokat úgy határozhatunk meg, hogy y tetszőleges értékét választjuk, és ebből a kapcsolategyenlőségből x-et számítunk.

stb.
Végtelenül sok ilyen megoldás létezik.
Válasz: közös döntés
Privát megoldások:

3. példa(nincs megoldás, a rendszer nem kompatibilis):

Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

A Cramer-képletek nem használhatók. Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel

A rendszer második egyenlete egy egyenlőség, amely nem igaz a változók egyik értékére sem (persze, mivel a -15 nem egyenlő 2-vel). Ha a rendszer egyik egyenlete nem igaz a változók egyik értékére sem, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások

A Cramer módszert olyan lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására használják, amelyekben az ismeretlen változók száma megegyezik az egyenletek számával, és a fő mátrix determinánsa nem nulla. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan találhatók meg az ismeretlen változók a Cramer-módszerrel, és képleteket kapunk. Ezek után térjünk át a példákra, és írjuk le részletesen a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldását Cramer módszerével.

Oldalnavigáció.

Cramer-módszer – képletek származtatása.

Alakú lineáris egyenletrendszert kell megoldanunk

Ahol x 1, x 2, …, x n ismeretlen változók, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numerikus együtthatók, b 1, b 2, ..., b n - szabad tagok. Az SLAE megoldása egy olyan x 1 , x 2 , …, x n értékkészlet, amelyre a rendszer összes egyenlete azonossággá válik.

Mátrix formában ezt a rendszert úgy írhatjuk fel, hogy A ⋅ X = B, ahol - a rendszer fő mátrixa, elemei ismeretlen változók együtthatói, - a mátrix szabad kifejezések oszlopa, és - a mátrix ismeretlen változók oszlopa. Az x 1, x 2, …, x n ismeretlen változók megtalálása után a mátrix az egyenletrendszer megoldásává válik, és az A ⋅ X = B egyenlőség azonossággá.

Feltételezzük, hogy az A mátrix nem szinguláris, azaz a determinánsa nem nulla. Ebben az esetben a lineáris algebrai egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. (A rendszerek megoldásának módszereit a Lineáris algebrai egyenletek rendszerei című fejezet tárgyalja).

A Cramer-módszer a mátrixdetermináns két tulajdonságán alapul:

Tehát kezdjük el megkeresni az ismeretlen x 1 változót. Ehhez megszorozzuk a rendszer első egyenletének mindkét részét A 1 1-gyel, a második egyenlet mindkét részét A 2 1-gyel, és így tovább, az n-edik egyenlet mindkét részét A n 1-gyel (azaz mi szorozzuk meg a rendszer egyenleteit a mátrix első A oszlopának megfelelő algebrai komplementereivel):

Adjuk össze a rendszeregyenlet bal oldalát, csoportosítva az x 1, x 2, ..., x n ismeretlen változók tagjait, és ezt az összeget egyenlővé tesszük az egyenletek összes jobb oldalának összegével:

Ha rátérünk a determináns korábban említett tulajdonságaira, akkor megvan

és az előző egyenlőség azt a formát ölti

ahol

Hasonlóképpen találjuk x 2-t. Ehhez megszorozzuk a rendszeregyenletek mindkét oldalát az A mátrix második oszlopának algebrai komplementereivel:

Összeadjuk a rendszer összes egyenletét, csoportosítjuk az ismeretlen változók tagjait x 1, x 2, ..., x n, és alkalmazzuk a determináns tulajdonságait:

Ahol
.

A fennmaradó ismeretlen változókat hasonló módon találjuk meg.

Ha kijelöljük

Akkor kapunk képletek ismeretlen változók megtalálásához Cramer módszerével .

Megjegyzés.

Ha a lineáris algebrai egyenletrendszer homogén, az , akkor csak triviális megoldása van (at ). Valójában a nulla szabad kifejezések esetében minden meghatározó nullával egyenlőek lesznek, mivel nulla elemekből álló oszlopot fognak tartalmazni. Ezért a képletek adni fog .

Algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Írjuk fel algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Példák lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Nézzünk meg néhány példa megoldását.

Példa.

Keressen megoldást egy inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának alakja . Számítsuk ki a determinánsát a képlet segítségével :

Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa eltér nullától, az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, és Cramer módszerével kereshető meg. Írjuk fel a determinánsokat és . A rendszer főmátrixának első oszlopát felcseréljük egy szabad tagok oszlopával, és megkapjuk a determinánst . Ehhez hasonlóan a főmátrix második oszlopát lecseréljük a szabad kifejezések oszlopára, és azt kapjuk, hogy .

Kiszámítjuk ezeket a determinánsokat:

Keresse meg az ismeretlen x 1 és x 2 változókat a képletekkel! :

Ellenőrizzük. Helyettesítsük be a kapott x 1 és x 2 értékeket az eredeti egyenletrendszerbe:

A rendszer mindkét egyenlete azonossággá válik, ezért a megoldást helyesen találtuk meg.

Válasz:

.

Az SLAE fő mátrixának egyes elemei egyenlőek lehetnek nullával. Ebben az esetben a megfelelő ismeretlen változók hiányoznak a rendszeregyenletekből. Nézzünk egy példát.

Példa.

Keressen megoldást egy lineáris egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

Írjuk át a rendszert a formába , így láthatóvá válik a rendszer fő mátrixa . Keressük meg a determinánsát a képlet segítségével

Nekünk van

A fő mátrix determinánsa nem nulla, ezért a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Számítsuk ki a determinánsokat :

És így,

Válasz:

Az ismeretlen változók megnevezése a rendszeregyenletekben eltérhet x 1, x 2, ..., x n-től. Ez nem befolyásolja a döntési folyamatot. De a rendszer egyenleteiben az ismeretlen változók sorrendje nagyon fontos a fő mátrix és a Cramer-módszer szükséges determinánsainak összeállításakor. Tisztázzuk ezt a pontot egy példával.

Példa.

Cramer módszerével keress megoldást egy három lineáris algebrai egyenletrendszerre három ismeretlenben .

Megoldás.

Ebben a példában az ismeretlen változók jelölése eltérő (x, y és z x1, x2 és x3 helyett). Ez nem befolyásolja a megoldást, de legyen óvatos a változó címkékkel. NEM veheted a rendszer fő mátrixának . A rendszer összes egyenletében először az ismeretlen változókat kell rendezni. Ehhez átírjuk az egyenletrendszert így . Most már jól látható a rendszer fő mátrixa . Számítsuk ki a determinánsát:

A fő mátrix determinánsa nem nulla, ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Írjuk fel a meghatározókat (ügyeljen a jelölésre), és számítsa ki őket:

Továbbra is meg kell keresni az ismeretlen változókat a képletekkel :

Ellenőrizzük. Ehhez szorozza meg a fő mátrixot a kapott megoldással (ha szükséges, lásd a részt):

Ennek eredményeként az eredeti egyenletrendszer szabad tagjainak oszlopát kaptuk, így a megoldást helyesen találtuk meg.

Válasz:

x = 0, y = -2, z = 3.

Példa.

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével! , ahol a és b néhány valós szám.

Megoldás.

Válasz:

Példa.

Keresse meg az egyenletrendszer megoldását! Cramer módszerével, - valamilyen valós szám.

Megoldás.

Számítsuk ki a rendszer főmátrixának determinánsát: . kifejezés egy intervallum, ezért bármilyen valós értékre. Következésképpen az egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. Kiszámoljuk és:

Mód KramerÉs Gauss- az egyik legnépszerűbb megoldási mód SLAU. Ezenkívül bizonyos esetekben célszerű speciális módszereket alkalmazni. A munkamenet lezárult, és itt az ideje, hogy megismételje vagy elsajátítsa őket a semmiből. Ma a megoldást Cramer módszerével nézzük meg. Hiszen egy lineáris egyenletrendszer Cramer-módszerrel történő megoldása nagyon hasznos készség.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

A lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszer:

Értékkészlet x , amelyben a rendszer egyenletei azonosságokká alakulnak, a rendszer megoldásának nevezzük, a És b valós együtthatók. Egy egyszerű rendszer, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, megoldható fejben vagy úgy, hogy az egyik változót a másikkal fejezzük ki. De egy SLAE-ben kettőnél több változó (x) is lehet, és itt az egyszerű iskolai manipulációk nem elegendőek. Mit kell tenni? Például oldja meg az SLAE-ket Cramer módszerével!

Tehát álljon a rendszer a következőkből n egyenletek n ismeretlen.

Egy ilyen rendszer átírható mátrix formában

Itt A – a rendszer fő mátrixa, x És B , illetve ismeretlen változók oszlopmátrixai és szabad kifejezések.

SLAE megoldása Cramer módszerével

Ha a fő mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (a mátrix nem szinguláris), a rendszer Cramer módszerével megoldható.

Cramer módszere szerint a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:

Itt delta a fő mátrix meghatározója, és delta x n-edik – a főmátrix determinánsából nyert determináns, ha az n-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.

Ez a Cramer-módszer lényege. A talált értékek behelyettesítése a fenti képletekkel x a kívánt rendszerbe, meggyõzõdünk megoldásunk helyességérõl (vagy fordítva). A lényeg gyors megértése érdekében az alábbiakban bemutatunk egy példát az SLAE részletes megoldására Cramer módszerével:

Még ha elsőre nem is sikerül, ne csüggedj! Egy kis gyakorlással elkezdi feltörni a SLAU-kat, mint a diót. Sőt, most már végképp nem szükséges egy notebook fölött pórul járni, nehézkes számításokat megoldani és a magot felírni. Könnyedén megoldhatja az SLAE-ket a Cramer módszerével online, csak az együtthatók behelyettesítésével a kész formába. Kipróbálhat egy online megoldáskalkulátort például a Cramer módszerével ezen a weboldalon.

És ha a rendszer makacsnak bizonyul, és nem adja fel, mindig fordulhat szerzőinkhez segítségért, például. Ha legalább 100 ismeretlen van a rendszerben, azt biztosan korrektül és időben megoldjuk!

Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez jelentősen felgyorsítja a megoldás folyamatát.

A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, de ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és delta-nak nevezzük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretlenek együtthatóit szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező tartalmazza a rendszer determinánsát, a számláló pedig azt a determinánst, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy ennek az ismeretlennek az együtthatóit szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:

Alapján Cramer tétele nekünk van:

Tehát a (2) rendszer megoldása:

online számológép, Cramer megoldási módszere.

Három eset lineáris egyenletrendszerek megoldásánál

Amint az abból kiderül Cramer tétele, lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:

Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

(a rendszer következetes és határozott)

Második eset: egy lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van

(a rendszer konzisztens és bizonytalan)

** ,

azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.

Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása

(inkonzisztens a rendszer)

Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változóknak nevezzük nem ízületi, ha nincs egyetlen megoldása, és közös, ha van legalább egy megoldása. Egy szimultán egyenletrendszert, amelynek csak egy megoldása van, nevezzük bizonyosés több mint egy bizonytalan.

Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel

Adott legyen a rendszer

.

Cramer tétele alapján

………….
,

Ahol
-

rendszer meghatározó. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóira cseréljük szabad tagokkal:

2. példa

.

Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Ha egy lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a megfelelő elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.

3. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

.

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát a rendszer megoldása: (2; -1; 1).

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Lap teteje

Továbbra is közösen oldjuk meg a rendszereket Cramer módszerével

Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Illusztráljuk a következő példával.

6. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

A lineáris egyenletrendszereket érintő feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk egy számot jelölnek, leggyakrabban valódit. A gyakorlatban az ilyen egyenletekhez és egyenletrendszerekhez bármely jelenség vagy objektum általános tulajdonságainak keresésének problémái vezetnek. Vagyis feltalált valami új anyagot vagy eszközt, és annak leírásához, ami a próbatest méretétől vagy mennyiségétől függetlenül közös, egy lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a változókra vonatkozó együtthatók helyett vannak leveleket. Nem kell messzire keresni a példákat.

A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak az egyenletek, változók és egy bizonyos valós számot jelölő betűk száma növekszik.

8. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Determinánsok keresése ismeretlenekre