Többszörös regressziós egyenlet természetes és standardizált formában. Szabványosított regressziós együtthatók
A regressziós egyenlet együtthatói, mint bármely abszolút mutató, nem használhatók összehasonlító elemzésben, ha a megfelelő változók mértékegységei eltérőek. Például ha y - családi étkezési költségek, x 1 – családnagyság, ill x 2 a családi összjövedelem, és mi olyan kapcsolatot határozunk meg = egy + b 1 x 1 + b 2 x 2 és b 2 > b 1 , akkor ez nem azt jelenti x 2 erősebben hat rá y , hogyan x 1 , mert b 2 a családi kiadások változása a jövedelem 1 rubel változása esetén, és b 1 – kiadások változása, ha a család létszáma 1 fővel változik.
A regressziós egyenlet együtthatóinak összehasonlíthatósága egy szabványos regressziós egyenlet figyelembevételével érhető el:
y 0 = 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + … + m x m 0 + e,
ahol y 0 és x 0 k – szabványos változó értékek y És x k :
S y és S – a változók szórása y És x k ,
k (k=) – -a regressziós egyenlet együtthatói (de nem a regressziós egyenlet paraméterei, ellentétben az előző jelölésekkel). A -együtthatók megmutatják, hogy a szórásának (S y) mekkora részével változik a függő változó y , ha a független változó x k szórásának (S) értékével fog változni. A regressziós egyenlet paramétereinek abszolút értékben (b k) és β-együtthatóinak becsléseit a következő összefüggés kapcsolja össze:
A regressziós egyenlet együtthatói szabványos skálán reálisan ábrázolják a független változók hatását a modellezett mutatóra. Ha az -együttható értéke bármely változónál meghaladja a megfelelő -együttható értékét egy másik változónál, akkor az első változó hatását a teljesítménymutató változására jelentősebbnek kell tekinteni. Figyelembe kell venni, hogy a standardizált regressziós egyenletnek a változók központosítása miatt nincs konstrukciós szabad tagja.
Az egyszerű regresszióhoz a -együttható egybeesik a párkorrelációs együtthatóval, ami lehetővé teszi a párkorrelációs együttható értelmes jelentését.
A regressziós egyenletben szereplő mutatók modellezett jellemzőre gyakorolt hatásának elemzésekor a -együtthatókkal együtt rugalmassági együtthatókat is alkalmazunk. Például az átlagos rugalmassági mutatót a képlet számítja ki
és megmutatja, hogy a függő változó átlagosan hány százalékkal fog megváltozni, ha a megfelelő független változó átlagos értéke egy százalékkal változik (minden más tényező változatlansága esetén).
2.2.9. Diszkrét változók a regressziós elemzésben
A regressziós modellekben a változók jellemzően folytonos variációs tartományokkal rendelkeznek. Az elmélet azonban nem szab semmilyen korlátozást az ilyen változók természetére vonatkozóan. A regressziós elemzés során gyakran szükséges figyelembe venni a minőségi jellemzők befolyását és a különböző tényezőktől való függését. Ebben az esetben szükségessé válik a diszkrét változók beillesztése a regressziós modellbe. A diszkrét változók lehetnek függetlenek vagy függőek. Tekintsük ezeket az eseteket külön-külön. Nézzük először a diszkrét független változók esetét.
Dummy változók a regressziós elemzésben
Ahhoz, hogy a minőségi jellemzők független változóként szerepeljenek a regresszióban, ezeket digitalizálni kell. Számszerűsítésük egyik módja az álváltozók használata. A név nem teljesen találó - nem fiktívek, de erre a célra kényelmesebb olyan változókat használni, amelyek csak két értéket vesznek fel - nulla vagy egy. Tehát fiktívnak nevezték őket. Általában egy minőségi változó több szintű értéket is felvehet. Például nem – férfi, nő; végzettség – magas, közepes, alacsony; szezonalitás - I., II., III. és IV. negyedév stb. Van egy szabály, amely szerint az ilyen változók digitalizálásához meg kell adni az álváltozók számát, eggyel kevesebbet, mint a modellezett mutató szintjei. Erre azért van szükség, hogy az ilyen változók ne váljanak lineárisan függővé.
Példáinkban: a nem egy változó, férfiaknál 1, nőknél 0. A minősítésnek három szintje van, ami azt jelenti, hogy két álváltozóra van szükség: például z 1 = 1 a magas szinthez, 0 a többihez; z 2 = 1 az átlagos szintre, 0 a többire. Harmadik hasonló változót nem lehet bevezetni, mert ebben az esetben lineárisan függőnek bizonyulnának (z 1 + z 2 + z 3 = 1), a mátrix determinánsa (X T X) nullára fordulna és nem lenne lehetséges megtalálni az inverz mátrixot (X T X) -1 lehetséges lenne. Mint ismeretes, a regressziós egyenlet paramétereinek becsléseit a következő összefüggésből határozzuk meg: T X) -1 X T Y).
A dummy változókra vonatkozó együtthatók azt mutatják meg, hogy a függő változó értéke a vizsgált szinten mennyivel tér el a hiányzó szinttől. Például, ha a fizetési szintet több jellemzőtől és képzettségi szinttől függően modellezzük, akkor a z 1-re vonatkozó együttható azt mutatná meg, hogy a magas képzettségű szakemberek fizetése miben tér el az alacsony képzettségű szakember fizetésétől, ha minden más tényező egyenlő, és a z 2 együtthatója hasonló jelentést jelent az átlagos képzettségű szakemberek esetében. Szezonalitás esetén három álváltozót kellene megadni (ha negyedéves adatokat vesszük figyelembe), és a rajtuk lévő együtthatók megmutatják, hogy a függő változó értéke a megfelelő negyedévre hogyan tér el a függő változó negyedéves szintjétől. amit nem adtak meg a digitalizálásukkor.
Dummy változókat is bevezetünk a vizsgált mutatók dinamikájának szerkezeti változásainak modellezésére az idősorok elemzésekor.
4. példa Szabványosított regressziós egyenlet és álváltozók
Tekintsünk egy példát a szabványosított együtthatók és álváltozók használatára a kétszobás lakások piacának elemzésével, a következő változókészlettel rendelkező többszörös regressziós egyenlet alapján:
PRICE – ár;
TOTSP – teljes terület;
LIVSP – élettér;
KITSP – konyharész;
DIST – távolság a városközponttól;
SÉTA – egyenlő 1-gyel, ha el tud menni a metróállomásig, és egyenlő 0-val, ha tömegközlekedést kell használnia;
TÉGLA – egyenlő 1-gyel, ha a ház tégla, és egyenlő 0-val, ha panel;
EMELET – egyenlő 1-gyel, ha a lakás nem az első vagy az utolsó emeleten található, egyébként egyenlő 0-val;
TEL – egyenlő 1-gyel, ha van telefon a lakásban, és egyenlő 1-gyel, ha nincs;
BAL – 1, ha van erkély, és 0, ha nincs erkély.
A számításokat a STATISTICA szoftverrel végeztük (2.23. ábra). Az -együtthatók jelenléte lehetővé teszi a változók sorrendjét a függő változóra gyakorolt hatásuk mértéke szerint. Végezzük el a számítási eredmények rövid elemzését.
Fisher statisztikái alapján következtetést vonunk le a regressziós egyenlet (p-szint) jelentőségéről< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
2.24. ábra – Lakáspiaci jelentés a STATISTICA PPP alapján
A többszörös meghatározás együtthatója 52%, ezért a regresszióba bevont változók 52%-ban határozzák meg az árváltozást, a lakás árváltozásának fennmaradó 48%-a pedig el nem számolt tényezőktől függ. Beleértve a véletlenszerű áringadozásokat is.
Egy-egy változóhoz tartozó együtthatók mindegyike megmutatja, hogy mennyivel változik egy lakás ára (minden más tényező változatlansága esetén), ha ez a változó eggyel változik. Tehát például, ha a teljes terület 1 négyzetméterrel változik. m, egy lakás ára átlagosan 0,791 USD-vel változik, és ha a lakás 1 km-re költözik a városközponttól, egy lakás ára átlagosan 0,596 USD-val csökken. stb. Dummy változók (utolsó 5) megmutatják, hogy mennyivel változik egy lakás átlagára, ha e változó egyik szintjéről a másikra lép. Így például, ha a ház tégla, akkor a benne lévő lakás átlagosan 3104 USD-ba kerül. Vagyis drágább, mint egy panelházban ugyanannyi, és a telefon jelenléte a lakásban átlagosan 1493 USD-val emeli az árát. e. stb.
A -együtthatók alapján a következő következtetések vonhatók le. A legnagyobb, 0,514-nek megfelelő -együttható az „összterület” változó együtthatója, ezért mindenekelőtt egy lakás ára a teljes területének hatására alakul ki. A következő tényező a lakás árának változását befolyásoló tényező a városközponttól való távolság, majd az anyag, amelyből a ház épül, majd a konyha, stb.
1 oldal
A standardizált regressziós együtthatók azt mutatják meg, hogy az átlagos eredmény hány szigmával változik, ha a megfelelő x tényező egy szigmával változik, miközben a többi tényező átlagos szintje változatlan marad. Tekintettel arra, hogy minden változó középre és normalizáltra van megadva, a D vallás standardizált együtthatói összehasonlíthatók egymással. Ezeket egymással összehasonlítva rangsorolhatja a tényezőket az eredményre gyakorolt hatásuk erőssége szerint. Ez a szabványosított gyónási együtthatók fő előnye, szemben a tiszta vallás együtthatóival, amelyek összehasonlíthatatlanok.
A parciális korreláció és a standardizált regressziós együtthatók konzisztenciája a kéttényezős elemzésben képleteik összehasonlításából látszik a legvilágosabban.
A parciális korreláció és a standardizált regressziós együtthatók konzisztenciája a képleteik kétváltozós elemzésben történő összehasonlításából látszik a legvilágosabban.
A standardizált regressziós együtthatók becsléseinek értékeinek meghatározásához a (normálegyenletrendszer megoldására leggyakrabban a következő módszereket alkalmazzák: a determinánsok módszere, a négyzetgyök módszer és a mátrix módszer. A közelmúltban a mátrix módszer A regresszióanalízis problémáinak megoldására széles körben alkalmazták, itt egy normálegyenlet-egyenletrendszer determinánsok módszerével történő megoldását tekintjük át.
Más szóval, a kéttényezős elemzésben a parciális korrelációs együtthatók standardizált regressziós együtthatók, megszorozva a fix tényező maradék varianciáinak a tényezőhöz és az eredményhez viszonyított arányának négyzetgyökével.
Van egy másik lehetőség a csoportosítási jellemzők szerepének és osztályozási jelentőségének felmérésére: standardizált regressziós együtthatók vagy külön meghatározási együtthatók alapján (lásd a fejezetet).
Ahogy a táblázatból is látszik. A 18. ábrán a vizsgált összetétel komponenseit a regressziós együtthatók abszolút értéke (b5) és négyzetes hibájuk (5br) szerint osztottuk szét szén-monoxidtól és szerves savaktól az aldehidekig és olajgőzökig. A standardizált regressziós együtthatók (p) számításánál kiderült, hogy a koncentráció-ingadozások tartományát figyelembe véve a keverék toxicitásának kialakításában általában a ketonok és a szén-monoxid kerül előtérbe, míg a harmadik helyen a szerves savak maradnak. .
A bf feltételes tiszta regressziós együtthatók nevesített számok, amelyek különböző mértékegységekben vannak kifejezve, ezért nem hasonlíthatók össze egymással. Ahhoz, hogy ezeket összehasonlítható relatív mutatókká alakítsuk át, ugyanazt a transzformációt alkalmazzuk, mint a páronkénti korrelációs együttható meghatározásához. A kapott értéket standardizált regressziós együtthatónak vagy együtthatónak nevezzük.
Feltételes tiszta regressziós együtthatók A; elnevezett számok különböző mértékegységekben kifejezve, és ezért összehasonlíthatatlanok egymással. Ahhoz, hogy ezeket összehasonlítható relatív mutatókká alakítsuk át, ugyanazt a transzformációt alkalmazzuk, mint a páronkénti korrelációs együttható meghatározásához. A kapott értéket standardizált regressziós együtthatónak vagy együtthatónak nevezzük.
A létszámszabványok kidolgozása során kezdeti adatokat gyűjtenek a vezetők bérszámáról és a kiválasztott alapvállalkozások tényezőértékeiről. Ezt követően az egyes függvényekhez szignifikáns tényezőket választunk ki korrelációs elemzés alapján, a korrelációs együtthatók értéke alapján. A függvény és a standardizált regressziós együttható párkorrelációs együtthatójának legmagasabb értékű faktorait választjuk ki.
A fenti számítások eredményei lehetővé teszik a vizsgált keveréknek megfelelő regressziós együtthatók csökkenő sorrendbe rendezését, és ezáltal azok veszélyességének számszerűsítését. Az így kapott regressziós együttható azonban nem veszi figyelembe az egyes komponensek lehetséges ingadozási tartományát a keverékben. Ennek eredményeként a nagy regressziós együtthatóval rendelkező, de kis koncentrációtartományban ingadozó roncsolási termékek kevésbé befolyásolhatják a teljes toxikus hatást, mint a viszonylag kis b-tartalmú összetevők, amelyeknek a keverék tartalma szélesebb tartományban változik. Ezért tanácsosnak tűnik egy további művelet elvégzése - az úgynevezett standardizált p regressziós együtthatók kiszámítása (J.
Oldalak: 1
Gyakorlat.
- Egy adott adathalmazhoz készítsen lineáris többszörös regressziós modellt. Értékelje a megszerkesztett regressziós egyenlet pontosságát és megfelelőségét!
- Adja meg a modell paramétereinek közgazdasági értelmezését!
- Számítsa ki a modell standardizált együtthatóit, és írja fel a regressziós egyenletet szabványosított formában! Igaz-e, hogy egy áru ára nagyobb hatással van az áru kínálatának volumenére, mint a munkavállalók bére?
- A kapott modellnél (természetes formában) a Goldfeld-Quandt teszt segítségével ellenőrizze, hogy a maradékok homoszkedasztikusak-e.
- Tesztelje a kapott modellt a maradékok autokorrelációjára a Durbin-Watson teszt segítségével.
- Ellenőrizze, hogy az eredeti adatok regressziós értelemben vett homogenitásának feltételezése megfelelő-e. Lehetséges-e két mintát (az első 8 és a fennmaradó 8 megfigyelésnél) egybe kombinálni, és figyelembe venni Y egyetlen regressziós modelljét X-en?
1. A regressziós egyenlet becslése. Határozzuk meg a regressziós együttható becslések vektorát a Több regressziós egyenlet szolgáltatás segítségével. A legkisebb négyzetek módszere szerint a vektor s a következő kifejezésből kapjuk: s = (X T X) -1 X T Y
Mátrix X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Mátrix Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Mátrix X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Mátrixok szorzása, (X T X)
Keresse meg az inverz mátrixot (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
A regressziós együttható becslések vektora egyenlő
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Regressziós egyenlet (regressziós egyenlet becslése)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Páros korrelációs együtthatók mátrixa R. Megfigyelések száma n = 14. A modellben a független változók száma 2, a regresszorok száma az egységvektort figyelembe véve egyenlő az ismeretlen együtthatók számával. Az Y előjelet figyelembe véve a mátrix dimenziója 4 lesz. Az X független változók mátrixának mérete (14 x 4).
Y-ből és X-ből álló mátrix
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Transzponált mátrix.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Mátrix A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Az eredményül kapott mátrixnak a következő megfeleltetése van:
| ∑n | ∑y | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑y | ∑y 2 | ∑x 1 év | ∑x 2 év |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x 2x1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑x 1x2 | ∑x 2 2 |
Keressük a párkorrelációs együtthatókat.
| Jellemzők x és y | ∑(xi) | ∑(yi) | ∑(x i y i ) | |||
| y és x 1 esetén | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| y és x 2 esetén | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| x 1 és x 2 esetén | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Jellemzők x és y | ||||
| y és x 1 esetén | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| y és x 2 esetén | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| x 1 és x 2 esetén | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
R párkorrelációs együtthatók mátrixa:
| - | y | x 1 | x 2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Az x i legjelentősebb tényezők kiválasztásához a következő feltételeket kell figyelembe venni:
- az eredő karakterisztika és az egyes tényező közötti kapcsolatnak magasabbnak kell lennie, mint az interfaktor kapcsolat;
- a tényezők közötti kapcsolat legfeljebb 0,7 lehet. Ha a mátrix interfaktor korrelációs együtthatója r xjxi > 0,7, akkor ebben a többszörös regressziós modellben multikollinearitás van.;
- egy jellemző magas interfaktoros kapcsolata esetén a közöttük alacsonyabb korrelációs együtthatójú tényezőket választanak ki.
Esetünkben minden páronkénti korrelációs együttható |r| Regressziós modell standard skálán A standard skálán lévő regressziós modell azt feltételezi, hogy a vizsgált jellemzők összes értékét standardokká (standardizált értékekké) alakítják át a következő képletekkel:
ahol x ji az x ji változó értéke az i-edik megfigyelésben.
Így az egyes standardizált változók origóját kombináljuk az átlagértékével, és a szórását tekintjük a változás mértékegységének. S.
Ha a változók közötti kapcsolat természetes léptékben lineáris, akkor az origó és a mértékegység megváltoztatása ezt a tulajdonságot nem sérti, így a standardizált változók is lineáris kapcsolattal lesznek kapcsolatban:
t y = ∑β j t xj
A β-együtthatók becsléséhez OLS-t használunk. Ebben az esetben a normál egyenletrendszer a következő lesz:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Adatainkhoz (a párkorrelációs együtthatók mátrixából vesszük):
0,558 = β 1 + 0,508 β 2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ezt a lineáris egyenletrendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg: β 1 = 0,0789; p2=0,944;
A regressziós egyenlet szabványosított formája:
y 0 = 0,0789x1 + 0,944x2
Az ebből a rendszerből talált β-együtthatók lehetővé teszik az együtthatók értékének regressziós értékének meghatározását természetes léptékben a következő képletekkel:
Szabványosított parciális regressziós együtthatók. Szabványosított parciális regressziós együtthatók - a β-együtthatók (β j) megmutatják, hogy az S(y) szórásának mekkora részével változik az eredmény y a megfelelő x j tényező szórásának értékével (S xj) való változásával, egyéb tényezők állandó befolyásával (az egyenletben szerepel).
A maximum β j alapján meg lehet ítélni, hogy melyik tényező befolyásolja erősebben az Y eredményt.
A rugalmassági együtthatók és a β-együtthatók ellentétes következtetésekre vezethetnek. Ennek okai: a) egy tényező variációja nagyon nagy; b) tényezők többirányú hatása az eredményre.
A β j együttható a közvetlen (közvetlen) hatás mutatójaként is értelmezhető j-edik tényező (x j) az (y) eredményre. Többszörös regresszióban j A th faktor nem csak közvetlen, hanem közvetett (közvetett) hatással is van az eredményre (azaz a modell más tényezőin keresztül).
A közvetett hatást a következő értékkel mérjük: ∑β i r xj,xi , ahol m a modellben szereplő tényezők száma. Teljes hatás jth a közvetlen és közvetett hatások összegével egyenlő eredménytényező méri ennek a tényezőnek a lineáris párkorrelációs együtthatóját és az eredményt - r xj,y.
Példánkban tehát az x 1 tényező közvetlen hatását a regressziós egyenlet Y eredményére β j-val mérjük, és ez 0,0789; ennek a tényezőnek az eredményre gyakorolt közvetett (közvetített) hatását a következőképpen határozzuk meg:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
Az ökonometriában gyakran más megközelítést alkalmaznak a többszörös regresszió (2.13) paramétereinek meghatározására a kizárt együtthatóval:
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a magyarázott változó szórásával S Yés a következő formában mutassa be:
Osszuk és szorozzuk meg az egyes tagokat a megfelelő faktorváltozó szórásával, hogy standardizált (középpontos és normalizált) változókat kapjunk:
ahol az új változókat így jelöljük
.
Minden szabványosított változó átlaga nulla, szórása pedig egy.
A regressziós egyenlet szabványos formában a következő:
Ahol 
- szabványosított regressziós együtthatók.
Szabványosított regressziós együtthatók 
eltérnek az együtthatóktól 
hétköznapi, természetes formák, amennyiben értékük nem függ a modell magyarázó és magyarázó változóinak mérési skálájától. Ezenkívül egyszerű kapcsolat van köztük:
, (3.2)
ami egy másik módot ad az együtthatók kiszámítására 
ismert értékekkel 
, kényelmesebb például egy kéttényezős regressziós modell esetén.
5.2. Normál legkisebb négyzetek egyenletrendszere szabványosítva
változók
Kiderült, hogy a standardizált regressziós együtthatók kiszámításához csak a páronkénti lineáris korrelációs együtthatók ismerete szükséges. Ennek bemutatásához zárjuk ki az ismeretlent a normál legkisebb négyzetek egyenletrendszeréből 
az első egyenlet felhasználásával. Az első egyenletet megszorozzuk a ( 
), és tagonként hozzáadva a második egyenlethez, a következőt kapjuk:
A zárójelben lévő kifejezések helyettesítése a variancia és a kovariancia jelöléseivel
Írjuk át a második egyenletet a további egyszerűsítés érdekében kényelmes formában:
Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát a változók szórásával S YÉs ` S x 1 , és osszuk el az egyes tagokat, és szorozzuk meg a tag számának megfelelő változó szórásával:
A lineáris statisztikai összefüggés jellemzőinek bemutatása:
és standardizált regressziós együtthatók
,
kapunk:
Az összes többi egyenlet hasonló átalakítása után a legkisebb négyzetek normál lineáris egyenletrendszere (2.12) a következő, egyszerűbb formát ölti:
(3.3)
5.3. Szabványosított regressziós lehetőségek
A standardizált regressziós együtthatókat egy kéttényezős modell speciális esetben a következő egyenletrendszerből határozzuk meg:
(3.4)
Ezt az egyenletrendszert megoldva a következőket kapjuk:
, (3.5)
. (3.6)
A pár korrelációs együtthatók talált értékeit behelyettesítve a (3.4) és (3.5) egyenletekbe, megkapjuk 
És 
. Ezután a (3.2) képletekkel könnyen kiszámítható az együtthatók becslése 
És 
, majd ha szükséges, számítsa ki a becslést 
képlet szerint 
6. Közgazdasági elemzés lehetőségei többtényezős modell alapján
6.1. Szabványosított regressziós együtthatók
A standardizált regressziós együtthatók azt mutatják meg, hogy hány szórással 
az átlagos magyarázott változó megváltozik Y, ha a megfelelő magyarázó változó x én
összegével változni fog 
egyik szórását, miközben az összes többi tényező átlagos szintjét változatlan szinten tartja.
Tekintettel arra, hogy a standardizált regresszióban minden változó központosított és normalizált valószínűségi változóként van megadva, az együtthatók 
összehasonlíthatóak egymással. Ezeket egymással összevetve rangsorolhatja a hozzájuk tartozó tényezőket x én a megmagyarázott változóra gyakorolt hatás erőssége alapján Y. Ez a fő előnye az együtthatókból származó standardizált regressziós együtthatóknak 
regressziók természetes formában, amelyek összehasonlíthatatlanok.
A standardizált regressziós együtthatók ezen tulajdonsága lehetővé teszi a legkevésbé jelentős tényezők kiküszöbölését x én mintabecsléseik nullához közeli értékekkel 
. A döntés a lineáris regressziós modell egyenletéből való kizárásukra azon statisztikai hipotézisek tesztelése után születik, amelyek szerint az átlagérték nullával egyenlő.
A 0,074 béta együttható (3.2.1. táblázat) azt mutatja, hogy ha a reálbérek a szórása (σх1) értékével változnak, akkor a természetes népszaporulat együtthatója átlagosan 0,074 σу-val változik. A 0,02-es béta együttható azt mutatja, hogy ha a durva házasságkötési arány a szórásának értékével (σх2-vel) változik, akkor a természetes népszaporulat átlagosan 0,02 σу-val változik. Hasonlóképpen, az 1000 főre jutó bűncselekmények számának szórásértékével (σх3-mal) való változása a kapott jellemző átlagosan 0,366 σу-val, és a lakóterület négyzetméterének bevitelében is megváltozik. Az egy főre jutó helyiség évente a szórása értékével (σх4) az effektív jellemző átlagosan 1,32σу-val történő változásához vezet.
A rugalmassági együttható azt mutatja meg, hogy y átlagosan hány százalékkal változik a faktorattribútum 1%-os változásával. Az idősorok elemzéséből ismert, hogy egy effektív jellemző 1%-os növekedésének értéke negatív, mivel a népesség minden egységében természetes népességfogyás van. Ezért a növekedés valójában a veszteség csökkenését jelenti. Ez azt jelenti, hogy a negatív rugalmassági együtthatók ebben az esetben azt a tényt tükrözik, hogy az egyes tényezők jellemzőinek 1%-os növekedésével a természetes veszteségi együttható a megfelelő százalékos arányban csökken. A reálbérek 1%-os emelésével a természetes fogyás 0,219%-kal, a teljes házasságkötési ráta 1%-os növekedésével 0,156%-kal csökken. Az 1000 lakosra jutó bűncselekmények számának 1%-os növekedését a természetes népességfogyás 0,564-szeres csökkenése jellemzi. Ez persze nem jelenti azt, hogy a növekvő bűnözés javíthat a demográfiai helyzeten. A kapott eredmények azt mutatják, hogy minél többen maradnak 1000 lakosra, annál több ezerre jutnak bűncselekmények. Növekvő bemeneti négyzetméter. az egy főre jutó lakhatás évi 1%-kal a természetes veszteség 0,482%-os csökkenéséhez vezet
A rugalmassági együtthatók és a béta koefficiensek elemzése azt mutatja, hogy a természetes népességnövekedés ütemére a legnagyobb hatást az egy főre jutó négyzetméter lakáshasználati tényező gyakorolja, mivel ez felel meg a béta együttható legmagasabb értékének (1,32). Ez azonban nem jelenti azt, hogy a természetes népességnövekedés ütemének megváltoztatásának legnagyobb lehetőségei a figyelembe vett tényezők változásával járnak együtt. A kapott eredmény azt tükrözi, hogy a lakáspiacon a kereslet megfelel a kínálatnak, vagyis minél nagyobb a természetes népszaporulat, annál nagyobb ennek a lakosságnak a lakásszükséglete, és annál jobban épül.
A második legnagyobb béta együttható (0,366) az 1000 főre jutó bűncselekmények számának felel meg. Ez persze nem jelenti azt, hogy a bûnözés növelésével a demográfiai helyzeten lehetne javítani. A kapott eredmények azt mutatják, hogy minél többen maradnak 1000 lakosra, annál több ezerre jutnak bűncselekmények.
A fennmaradó mutatók közül a legnagyobb, a béta együttható (0,074) a reálbérek mutatójának felel meg. A természetes népességnövekedés ütemének megváltoztatásának legnagyobb lehetőségei a vizsgált tényezők közül ennek változásával járnak. A teljes házasságkötési ráta mutatója ebből a szempontból alacsonyabb a reálbéreknél, mivel Oroszországban a természetes népességfogyás elsősorban a népesség magas halálozási rátájának köszönhető, amelynek növekedési üteme csökkenthető. inkább anyagi biztonság, mintsem a házasságok számának növekedése.
3.3 A régiók kombinált csoportosítása reálbér és általános házassági arány szerint
A kombinált vagy többdimenziós csoportosítás két vagy több jellemzőn alapuló csoportosítás. Ennek a csoportosításnak az értéke abban rejlik, hogy nemcsak az egyes tényezők eredményre gyakorolt hatását mutatja, hanem azok kombinációjának hatását is.
Határozzuk meg a reálbérek értékének és az általános házasságkötési rátának a hatását az 1000 főre jutó születésszámra!
Határozzuk meg a tipikus csoportokat a kívánt jellemzők szerint. Ehhez a faktorattribútum (bérérték) alapján rangsorolt és intervallumsorokat készítünk és elemezünk, meghatározzuk a csoportok számát és az intervallum méretét; majd minden csoporton belül a második kritérium (házassági ráta) alapján rangsorolt és intervallumsort készítünk, valamint beállítjuk a csoportok számát és az intervallumot is. A munka elvégzésének menetét a 2. fejezet mutatja be, ezért a számításokat mellőzve közöljük az eredményeket. A reálbérek értékére 3 tipikus csoportot azonosítottunk, a teljes házasságkötési arányra pedig 2 csoportot.
Összeállítunk egy kombinációs táblázat elrendezését, amelyben gondoskodunk a lakosság csoportokra és alcsoportokra való felosztásáról, valamint oszlopokról a régiók számának és az 1000 főre jutó születési aránynak a rögzítésére. A kiválasztott csoportokhoz és alcsoportokhoz születésszámokat számolunk (3.3.1. táblázat)
3.3.1. táblázat
A reálbérek és a teljes házasságkötési arány hatása a születésszámra.
Elemezzük a kapott adatokat a születési ráta reálbértől és a házasságkötési aránytól való függésére vonatkozóan. Mivel egy jellemzőt – a termékenységi rátát – vizsgálunk, ennek adatait a következő formájú sakkkombinációs táblázatba írjuk (3.3.2. táblázat)
A kombinált csoportosítás lehetővé teszi az egyes tényezők születési rátára gyakorolt befolyásának mértékét külön-külön, illetve azok kölcsönhatását.
3.3.2. táblázat
A születési ráta függése a reálbértől és a házasságkötési rátáktól
Vizsgáljuk meg először a reálbérek értékének születésszámra gyakorolt hatását egy másik csoportosítási jellemző, a házasságkötési arány fix értékénél. Így 13,2-ről 25,625-re a házasságkötési arányszám mellett az átlagos születési arány a bérek növekedésével növekszik az 1. csoport 9,04-ről a 2. csoportban 9,16-ra és a 3. csoportban 9,56-ra; a születési ráta bérből való növekedése a 3. csoportban az 1-eshez képest: 9,56-9,04 = 0,52 fő 1000 lakosra. 25,625-38,05 közötti házasságkötési ráta mellett a növekedés azonos bérből egyenlő: 10,27-9,49 = 0,78 fő 1000 lakosonként. A tényezők kölcsönhatásából származó növekedés egyenlő: 0,78-0,52 = 0,26 fő 1000 lakosonként. Ebből egy teljesen természetes következtetés következik: a jólét növekedése motiválja, vagy inkább lehetővé teszi, hogy a jövőbe vetett bizalommal megvalósuljon az ember házasságkötési és gyermekes családalapítási vágya. Ez a tényezők egymásra hatását mutatja.
Ugyanígy becsüljük meg a házasságkötési ráta termékenységi rátára gyakorolt hatását rögzített bérszint mellett. Ehhez hasonlítsuk össze az egyes csoportokon belüli „a” és „b” csoport születési arányát a reálbér értéke szerint. A születési ráta növekedése a házasságkötési arány 25,625-38,05-re emelkedésével 1000 lakosra vetítve az „a” csoporthoz képest: az 1. csoportban 5707,9 – 6808,7 rubel fizetéssel. havonta - 9,49-9,04 = 0,45 fő / 1000 lakos, a 2. csoportban - 10,01-9,16 = 0,85 fő / 1000 lakos és a 3. - 10,27- 9,56 = 0,71 fő / 1000 lakos. Mint látható, a gyermekvállalási döntés a családi állapottól függ, pl. tényezők kölcsönhatása áll fenn, ami 0,26 fő/1000 lakos növekedést eredményez.
Mindkét tényező együttes növekedésével a születési ráta az 1. „a” alcsoport 9,04-ről 10,27 főre 1000 főre a 3. „b” alcsoportban nő.
Az ENSZ Európai Gazdasági Bizottságának képviselői a közelmúltban bejelentették, hogy az európai országokban öt évvel emelkedett az első házasságkötés kora. Fiúk és lányok inkább 30 éves koruk után házasodnak össze. Az oroszok nem mernek 24-26 éves koruk előtt összeházasodni. Európára és Oroszországra is jellemző a házasságok számának csökkenésére irányuló tendencia. A fiatalok egyre inkább a karriert és a személyes szabadságot részesítik előnyben. A hazai szakemberek ezekben a folyamatokban a hagyományos család mély válságának jeleit látják. Véleményük szerint szó szerint utolsó napjait éli. A szociológusok azt mondják, hogy a magánélet most a szerkezetváltás időszakán megy keresztül. A szó szokásos értelmében vett, „anya-apa-gyerekek” séma szerint élő család fokozatosan a múlté. A magánéletben az oroszok egyre inkább kísérleteznek, egyre több új családformát találnak ki, amely megfelelne a korabeli igényeknek. „Most az ember gyakrabban változtat munkahelyét, szakmáját, érdeklődési körét, lakóhelyét” – mondta a Novye Izvesztyiának Anatolij Visnyevszkij, a Demográfiai és Humánökológiai Központ igazgatója. „Gyakran változtat házastársat is, amit 20 évvel ezelőtt elfogadhatatlannak tartottak. .”
A szociológusok megjegyzik, hogy Oroszországban a válások számának növekedésének egyik oka a lakosság alacsony életszínvonala. „A statisztikák szerint körülbelül 10-15%-kal több válás van Oroszországban, mint Európában” – mondta Gontmakher úr (a Társadalomkutatási és Innovációs Központ tudományos igazgatója) az NI-nek. – De a válás okai nálunk és náluk is mások. Elsőbbségünket elsősorban az diktálja, hogy a gazdasági problémák egyre inkább érintik az oroszok életét. A házastársak gyakrabban veszekednek, ha szűkös életkörülményeik vannak. A fiataloknak nem mindig sikerül önálló életet élniük. Ráadásul a régiókban sok férfi iszik, nem dolgozik, és nem tudja ellátni családját. Ez is a válás oka.”
Következtetés
Ebben a munkában a lakosság életszínvonalának a természetes növekedési folyamatokra gyakorolt hatásának statisztikai és közgazdasági elemzését végezték el.
A dinamika elemzése kimutatta, hogy az elmúlt 10 évben nőtt a reálbér és a megélhetési költségek. Általánosságban elmondható, hogy ezen 10 év alatt az effektív tulajdonság - a természetes szaporodási együttható - állandó. A kiválasztott jellemzőkben kialakuló változási folyamatok stabilitása olyan, hogy csak a reálbérek értékére és a halálozási rátára lehet előrejelzést készíteni. A kiépített parabolikus trend szerint 2010-re az átlagos reálbér prognosztizált értéke 17 473,5 rubel lesz, a halálozási ráta pedig 12,75 főre csökken 1000 főre.
Az elemző csoportosítás közvetlen kapcsolatot mutatott ki a mutatók között: a bérek emelkedésével a természetes növekedés mutatói javulnak.
Egy két fős átlagkeresetű dolgozó család azonban 2 gyermek - a legalacsonyabb tipikus csoportban, 3 gyermek - minimális fogyasztási szintjét tudja biztosítani a középső és a legmagasabb jellemző csoportban. Tekintettel arra, hogy a jövőben két gyermek „pótolja” szülei életét, enyhe népességnövekedés csak a középső és legmagasabb tipikus csoportokban, majd a születési arányhoz képest alacsony halálozási arány mellett lehetséges. Az oroszországi bérekkel együtt járó termékenységi potenciál alacsony az ország demográfiai helyzetének javításához. Ez pontosan rávilágít a bevezetett nemzeti demográfiai projekt szükségességére Oroszországban. A béremelés kedvezőbb hatással van a halálozási rátára, mint a születési rátára.
A korrelációs-regressziós modell felépítése során kiderült, hogy a faktorjellemzők (bérek, házasságkötési arányok, bűnözési ráta és lakáskiadás) egyidejű hatása a produktívra (természetes növekedés) átlagos kapcsolati erősség mellett figyelhető meg. A természetes népességnövekedés ütemének 44,9%-os ingadozását a kiválasztott tényezők hatása, 55,1%-át pedig egyéb meg nem nevezett és véletlenszerű okok jellemzik. A természetes népszaporulat megváltoztatásának legnagyobb lehetőségei a reálbérek értékének változásával járnak.
Az összevont csoport megerősítette, hogy a jólét növekedése motiválja, vagy inkább lehetővé teszi a jövőbe vetett bizalommal, hogy megvalósuljon az ember házasságkötési és gyermekes családalapítási vágya.
Végül pedig fel kell mérnünk hazánk demográfiai problémájának megoldásának hatékonyságát. Általánosságban elmondható, hogy az anyagi ösztönzők pozitív és hatékony hatása a természetes népmozgás folyamatára bizonyítást nyert. A másik dolog, hogy van egy olyan szociálpszichológiai probléma (alkoholizmus, erőszak, öngyilkosság) komplexuma, amely menthetetlenül csökkenti népességünket. Fő okuk az egyén önmagához és másokhoz való hozzáállása. Ám ezeket a problémákat az állam nem tudja egyedül megoldani, a civil társadalomnak saját maga segítségére kell sietnie a kihalás problémájában, olyan erkölcsi értékeket formálva, amelyek a virágzó család létrehozására összpontosítanak.
Az állam pedig mindent megtehet és kell is tennie az ország életszínvonalának és minőségének javításáért. Nem mondható, hogy államunk elhanyagolja ezeket a feladatokat. Mindent megtesz, különféle utakat keres és próbál kijutni a demográfiai válságból.
Felhasznált irodalom jegyzéke
1) Boriszov E.F. Közgazdaságtan: tankönyv - 2. kiadás, átdolgozott. és további – M.: TK Welby, Prospekt Kiadó, 2005. – 544 p.
2) Belousova S. a szegénységi szint elemzése.// Economist.-2006, No. 10.-67.
3) Davydova L. A. A statisztika elmélete. oktatóanyag. Moszkva. Sugárút. 2005. 155 o.;
4)Demográfia: Tankönyv/Általános. szerk. ON A. Volgina. M.: RAGS Kiadó, 2003 – 384 p.
5) Efimova E. P. Társadalomstatisztika. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 2003. 559 o.;
6) Efimova E.P., Ryabtsev V.M. A statisztika általános elmélete. Oktatási kiadás. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 1991. 304 p.;
7) Zinchenko A.P. Workshop a statisztika általános elméletéről és a mezőgazdasági statisztikákról. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 1988. 328 pp.;
8) Kadomtseva S. Szociálpolitika és népesség.// Economist.-2006, No. 7.-49.
9) Kozyrev V.M. A modern közgazdaságtan alapjai: Tankönyv. -2. kiadás, átdolgozva. és további –M.: Pénzügy és Statisztika, 2001.-432 p.
10) Konygina N. Brintseva G. Anatolij Visnyevszkij demográfus arról, hogy mi kényszeríti az oroszt arra, hogy válasszon a gyerekek és a kényelem között. // Rossiyskaya Gazeta - 2006, november 7 - 249. sz. 7
11) Nazarova N.G. Társadalomstatisztikai tanfolyam. Moszkva. Finstatinform. 2000. 770 o.;
13) A demográfia alapjai: Tankönyv / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Felső. Shk., 2004.-374 p.: ill.
14) Az Orosz Föderáció elnökének 2007. április 26-i beszéde az Orosz Föderáció Szövetségi Közgyűléséhez.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Modern gazdasági szótár. – 4. kiadás, átdolgozva. és további -M.:INFRA-M, 2005.-480 p.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Statisztikai műhelymunka. -SPb.: Péter, 2007.-288pp.
17) A Szövetségi Statisztikai Szolgálat honlapja: www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Oroszország népességének jövőbeli felmérése középtávon // Statisztikai kérdések - 2007, 4. szám – 47. o.
JELZŐRENDSZER (KULCS A chipekhez)
1 átlagos havi nominálbér 2006-ban (rubelben)
2 fogyasztói árindex minden árutípusra és fizetős szolgáltatásra 2006-ban, százalékban tavaly decemberhez képest
3 - átlagos havi reálbér 2006-ban (rubelben)
4 – lakosságszám 2006 elején
5 – lakosságszám 2006 végén
6 – évi átlagos népességszám 2006-ban
7 – születések száma 2006-ban, fő
8 – elhunytak száma 2006-ban, fő
9 – 1000 lakosra jutó születési arányszám 2006-ban
10 – 1000 lakosra jutó halálozási arány 2006-ban
11 – a természetes szaporodás mértéke 2006-ban 1000 lakosra vetítve
12 – a megélhetési költségek 2006-ban (rubelben)
13 – 1000 főre jutó elkövetett bűncselekmények száma
14 – személyenként négyzetméter lakás üzembe helyezése évente
15 – teljes házasságkötési arány 1000 lakosra vetítve
1. számú melléklet
asztal
Reálbér, dörzsölje.
2. függelék
A megélhetési költségek, dörzsölje.
3. függelék
