Matematički modeli najjednostavnijih sustava čekanja. Funkcije p0(t) i p1(t) određuju prijelazni proces u jednokanalnom QS-u i opisuju proces QS-a koji se eksponencijalno približava svom graničnom stanju s karakterističnom vremenskom konstantom d

23. listopada 2013. u 14:22

Squeak: Modeliranje sustava čekanja

• programiranje,
• OOP,
• Paralelno programiranje

Na Habréu ima vrlo malo informacija o takvom programskom jeziku kao što je Squeak. Pokušat ću govoriti o tome u kontekstu modeliranja sustava čekanja. Pokazat ću kako napisati jednostavnu klasu, opisati njenu strukturu i koristiti je u programu koji će služiti zahtjevima kroz nekoliko kanala.

Nekoliko riječi o Squeaku

Squeak je otvorena, višeplatformska implementacija programskog jezika Smalltalk-80 s dinamičkim tipkanjem i sakupljačem smeća. Sučelje je prilično specifično, ali prilično zgodno za otklanjanje pogrešaka i analizu. Squeak je u potpunosti u skladu s konceptom OOP-a. Sve se sastoji od objekata, čak i strukture if-then-else, for, while implementiran uz njihovu pomoć. Cijela sintaksa se svodi na slanje poruke objektu u obliku:

<объект> <сообщение>

Bilo koja metoda uvijek vraća objekt i može mu se poslati nova poruka.
Squeak se često koristi za modeliranje procesa, ali se može koristiti i kao alat za izradu multimedijskih aplikacija i raznih obrazovnih platformi.

Sustavi čekanja

Sustavi čekanja (QS) sadrže jedan ili više kanala koji obrađuju aplikacije iz više izvora. Vrijeme servisiranja svakog zahtjeva može biti fiksno ili proizvoljno, kao i razmaci između njihovog pristizanja. To može biti telefonska centrala, praonica rublja, blagajnice u trgovini, daktilografski biro itd. To izgleda otprilike ovako:

QS uključuje nekoliko izvora koji ulaze u zajednički red i šalju se na servis kako se kanali obrade oslobode. Ovisno o specifičnim karakteristikama stvarnih sustava, model može sadržavati različit broj izvora zahtjeva i servisnih kanala te imati različita ograničenja na duljinu čekanja i s time povezanu mogućnost gubitka zahtjeva (kvarova).

Pri modeliranju QS-a obično se rješavaju zadaci procjene prosječne i maksimalne duljine čekanja, učestalosti uskraćivanja usluge, prosječnog opterećenja kanala i određivanja njihovog broja. Ovisno o zadatku, model uključuje programske blokove za prikupljanje, akumulaciju i obradu potrebnih statističkih podataka o ponašanju procesa. Najčešće korišteni modeli toka događaja u QS analizi su regularni i Poissonov. Redovne karakterizira isto vrijeme između pojavljivanja događaja, dok su Poissonove slučajne.

Malo matematike

Za Poissonov tok, broj događaja x koji pada unutar intervala dužine τ (tau) uz točku t, raspoređeno prema Poissonovom zakonu:
gdje a (t, τ)- prosječan broj događaja koji se događaju u vremenskom intervalu τ .
Prosječan broj događaja u jedinici vremena jednak je λ(t). Dakle, prosječan broj događaja po vremenskom intervalu τ , susjedni trenutak vremena t, bit će jednako:

Vrijeme T između dva događaja λ(t) = const = λ raspoređeni prema zakonu:
Gustoća distribucije slučajne varijable T izgleda kao:
Za dobivanje pseudoslučajnih Poissonovih nizova vremenskih intervala t i riješi jednadžbu:
gdje r i je slučajni broj ravnomjerno raspoređen u intervalu.
U našem slučaju to daje izraz:

Generiranjem nasumičnih brojeva možete napisati cijele tomove. Ovdje, za generiranje cijelih brojeva ravnomjerno raspoređenih u intervalu, koristimo sljedeći algoritam:
gdje R i- drugi slučajni cijeli broj;
R- neki veliki prosti broj (npr. 2311);
Q- cijeli broj - gornja granica intervala, na primjer, 2 21 = 2097152;
rem- operacija dobivanja ostatka od dijeljenja cijelih brojeva.

Početna vrijednost R0 obično se postavlja proizvoljno, na primjer, pomoću očitanja mjerača vremena:
Ukupno vrijeme Sekundi
Da bismo dobili brojeve ravnomjerno raspoređene u intervalu, koristimo jezični operator:

Rand klasa

Da bismo dobili slučajne brojeve ravnomjerno raspoređene u intervalu, kreiramo klasu - generator realnih brojeva:

Float varijablaWordSubclass: #Rand "naziv klase" instanceVariableNames: "" "varijable instance" classVariableNames: "R" "varijable klase" poolDictionaries: "" "uobičajeni rječnici" kategorija: "Uzorak" "naziv kategorije"
Metode:

"Inicijalizacija" init R:= Time totalSeconds.next "Sljedeći pseudoslučajni broj" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Za postavljanje početnog stanja senzora pošaljite poruku Rand init.
Da biste dobili još jedan nasumični broj, pošaljite Rand sljedeći.

Program za obradu zahtjeva

Dakle, kao jednostavan primjer, učinimo sljedeće. Pretpostavimo da trebamo simulirati održavanje redovnog protoka zahtjeva iz jednog izvora sa slučajnim vremenskim intervalom između zahtjeva. Postoje dva kanala različitih performansi, koji omogućuju servisiranje aplikacija u 2 odnosno 7 vremenskih jedinica. Potrebno je registrirati broj zahtjeva koje je svaki kanal opslužio u intervalu od 100 vremenskih jedinica.

Squeak Code

"Deklariranje privremenih varijabli" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPrioritetni red nastavak r | "Početne postavke varijable" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. nastaviti:=istina. sysPriority:= Prioritet aktivnog procesa procesora. Red "Trenutni prioritet":= Semafor novi. "Claim Queue Model" "Creating Process - Channel Model 1" s1:= s1 + 1. proc1 suspend."Suspend process pending service termination" ].proc1:= nil."Remove reference to process 1" ]priority: (sysPriority + 1)) životopis. "Novi prioritet je veći od pozadine" "Stvori proces - model kanala 2" .proc2:= nil.] prioritet: (sysPriority + 1)) nastavak. "Nastavak opisa glavnog procesa i izvornog modela" whileTrue: [ r:= (i sljedeće * 10) zaokruženo. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Pošalji zahtjev" "Prebacivanje procesa usluge" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Vrijeme modela otkucava" ]. "Prikaži status brojača zahtjeva" PopUpMenu obavijesti: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). nastaviti:= netočno.

Pri pokretanju vidimo da je proces 1 uspio obraditi 31 zahtjev, a proces 2 samo 11:

Klasifikacija, osnovni pojmovi, elementi modela, izračun glavnih karakteristika.

Pri rješavanju problema racionalne organizacije trgovine, potrošačkih usluga, skladištenja i dr. vrlo je korisno tumačenje aktivnosti proizvodne strukture kao sustavi čekanja, tj. sustav u kojem se, s jedne strane, stalno pojavljuju zahtjevi za obavljanjem bilo kojeg posla, as druge strane, ti se zahtjevi stalno udovoljavaju.

Svaki SMO uključuje četiri elementa: dolazni tok, red čekanja, poslužitelj, odlazni tok.

zahtjev(naručitelj, prijava) u QS je svaki pojedinačni zahtjev za izvođenje bilo kojeg posla.

Servis je izvođenje radova radi zadovoljenja ulazne potražnje. Objekt koji obavlja održavanje zahtjeva naziva se servisni uređaj (uređaj) ili servisni kanal.

Vrijeme usluge je razdoblje tijekom kojeg je zahtjev usluge zadovoljen, tj. razdoblje od početka službe do njezina završetka. Razdoblje od trenutka kada zahtjev uđe u sustav do početka usluge naziva se vrijeme čekanja usluge. Vrijeme čekanja na uslugu, zajedno s vremenom usluge, vrijeme je zadržavanja zahtjeva u sustavu.

SMO-ovi se klasificiraju prema različitim kriterijima..

1. Prema broju uslužnih kanala, QS se dijele na jednokanalne i višekanalne.

2. Ovisno o uvjetima čekanja, zahtjev za početak usluge razlikuje QS s gubicima (kvarovima) i QS s čekanjem.

NA QS s gubitkom potražnje, primljene u trenutku kada su svi uređaji zauzeti održavanjem, odbijaju se, gube se za ovaj sustav i nemaju utjecaja na daljnji proces održavanja. Klasičan primjer neispravnog sustava je telefonska centrala - zahtjev za povezivanje se odbija ako je pozvana strana zauzeta.

Za sustav s kvarovima, glavna karakteristika učinkovitosti funkcioniranja je vjerojatnost kvara ili prosječni udio zahtjeva koji ostaju neobrađeni.

NA CMO s potražnjom na čekanju, primljen u trenutku kada su svi uređaji zauzeti servisiranjem, ne napušta sustav, već stoji u redu i čeka dok se jedan od kanala ne oslobodi. Kada se pusti sljedeći uređaj, jedna od aplikacija u redu odmah se prihvaća na servis.

Za QS s čekanjem glavne karakteristike su matematička očekivanja duljine reda i vremena čekanja.

Primjer sustava čekanja je proces popravljanja televizora u radionici.

Postoje sustavi koji se nalaze između ove dvije skupine ( mješoviti CMO-ovi). Karakterizira ih prisutnost nekih međuuvjeta: ograničenja mogu biti ograničenja vremena čekanja za početak usluge, duljine reda itd.

Kao karakteristike performansi, vjerojatnost kvara može se koristiti iu sustavima s gubicima (ili karakteristikama vremena čekanja) iu sustavima s čekanjem.

3. Prema disciplini usluge QS-ovi se dijele na sustave s prioritetom usluge i sustave bez prioriteta usluge.

Zahtjevi se mogu servisirati redoslijedom kojim su primljeni, nasumično ili na temelju utvrđenih prioriteta.

4. QS može biti jednofazni i višefazni.

NA jednofazni sustavima, zahtjeve ispunjavaju kanali iste vrste (na primjer, radnici iste profesije) bez njihovog prijenosa s jednog kanala na drugi, u višefazni sustavima takvi prijenosi su mogući.

5. Prema lokaciji izvora zahtjeva QS se dijele na otvorene (kada je izvor zahtjeva izvan sustava) i zatvorene (kada je izvor u samom sustavu).

Do zatvoreno uključuju sustave u kojima je dolazni tok zahtjeva ograničen. Na primjer, predradnik čiji je zadatak postaviti strojeve u radionici mora ih povremeno servisirati. Svaki postavljeni stroj postaje potencijalni izvor zahtjeva za postavljanje u budućnosti. U takvim je sustavima ukupan broj cirkulirajućih tražbina konačan i najčešće konstantan.

Ako izvor opskrbe ima beskonačan broj zahtjeva, tada se sustavi pozivaju otvorena. Primjeri takvih sustava su trgovine, blagajne kolodvora, luka itd. Za ove sustave dolazni tok zahtjeva može se smatrati neograničenim.

Metode i modeli za proučavanje QS-a mogu se uvjetno podijeliti na analitičke i statističke (simulacijsko modeliranje procesa čekanja).

Analitičkim metodama moguće je dobiti karakteristike sustava kao neke funkcije parametara njegova funkcioniranja. To omogućuje provođenje kvalitativne analize utjecaja pojedinih čimbenika na učinkovitost QS-a.

Nažalost, analitički se može riješiti samo prilično ograničen raspon problema u teoriji čekanja. Unatoč stalnom razvoju analitičkih metoda, u mnogim stvarnim slučajevima, analitičko rješenje je ili nemoguće dobiti, ili se rezultirajuće ovisnosti ispostavljaju toliko složenima da njihova analiza postaje nezavisan težak zadatak. Stoga, da bi se mogle primijeniti analitičke metode rješavanja, potrebno je pribjeći raznim pojednostavljujućim pretpostavkama, što je donekle kompenzirano mogućnošću primjene kvalitativne analize konačnih ovisnosti (u ovom slučaju, naravno, potrebno je da donesene pretpostavke ne iskrive stvarnu sliku procesa).

Trenutačno su teoretski najrazvijenije i najpogodnije u praktičnim primjenama metode za rješavanje takvih problema čekanja u redu kod kojih je tok zahtjeva najjednostavniji ( Poisson).

Za najjednostavniji tok, učestalost prijema zahtjeva u sustav podliježe Poissonovom zakonu, odnosno vjerojatnost dolaska u vremenu t jednakom k zahtjevima dana je formulom:

gdje je λ parametar protoka (vidi dolje).

Najjednostavnije strujanje ima tri glavna svojstva: obično, stacionarno i bez naknadnog učinka.

Običnost tok znači praktičnu nemogućnost istovremenog primanja dvaju ili više zahtjeva. Na primjer, vjerojatnost da nekoliko strojeva iz grupe strojeva koje servisira tim servisera istovremeno pokvari vrlo je mala.

Stacionarni nazvao teći, za koje se matematičko očekivanje broja zahtjeva koji ulaze u sustav po jedinici vremena (označeno s λ) ne mijenja u vremenu. Dakle, vjerojatnost da određeni broj šteta uđe u sustav tijekom zadanog vremenskog intervala Δt ovisi o njegovoj vrijednosti, a ne ovisi o njegovom podrijetlu na vremenskoj osi.

Nema naknadnog učinka znači da broj kupaca koji ulaze u sustav prije vremena t ne određuje koliko će kupaca ući u sustav u vremenu t + Δt.

Na primjer, ako se u tom trenutku na tkalačkom stanu dogodi prekid konca, a tkalac ga otkloni, onda to ne određuje hoće li se u sljedećem trenutku na tom tkalačkom stanu dogoditi novi prekid ili ne, tim više. ne utječe na vjerojatnost kvara na drugim strojevima.

Važna karakteristika QS-a je vrijeme servisiranja zahtjeva u sustavu. Vrijeme opsluživanja je u pravilu slučajna varijabla i stoga se može opisati zakonom raspodjele. Eksponencijalni zakon dobio je najveću rasprostranjenost u teoriji, a posebno u praktičnim primjenama. Za ovaj zakon, funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik:

F(t) \u003d 1 - e -μt,

oni. vjerojatnost da vrijeme usluge ne prijeđe određenu vrijednost t određena je formulom (1 - e -μt), gdje je μ parametar eksponencijalnog zakona vremena usluge zahtjeva u sustavu - recipročna vrijednost prosjeka servisno vrijeme, tj. .

Razmotrite analitičke QS modele s očekivanjem(najčešći QS, u kojem se zahtjevi primljeni u trenutku kada su sve servisne jedinice zauzete stavljaju u red čekanja i servisiraju kako se servisne jedinice oslobađaju).

Zadaci s redovima čekanja tipični su u proizvodnim uvjetima, na primjer, pri organizaciji radova podešavanja i popravka, tijekom održavanja s više strojeva itd.

Opća izjava problema je sljedeća.

Sustav se sastoji od n kanala za posluživanje. Svaki od njih može poslužiti samo jedan zahtjev u isto vrijeme. Sustav prima najjednostavniji (Poissonov) tok zahtjeva s parametrom λ. Ako u trenutku dolaska sljedećeg zahtjeva u sustav već postoji najmanje n zahtjeva u servisu (tj. svi kanali su zauzeti), tada taj zahtjev ulazi u red čekanja i čeka da servis počne.

Vrijeme usluge svakog zahtjeva t about je slučajna varijabla koja se pokorava eksponencijalnom zakonu distribucije s parametrom μ.

Kao što je gore navedeno, QS s očekivanjem može se podijeliti u dvije velike skupine: zatvorene i otvorene.

Značajke funkcioniranja svake od ove dvije vrste sustava nameću svoju nijansu korištenom matematičkom aparatu. Proračun karakteristika rada QS-a raznih tipova može se provesti na temelju proračuna vjerojatnosti stanja QS-a (Erlangove formule).

Budući da je sustav zatvoren, iskazu problema treba dodati uvjet: protok dolaznih zahtjeva je ograničen, tj. sustav čekanja ne može imati više od m zahtjeva u isto vrijeme (m je broj servisiranih objekata).

Kao glavne kriterije koji karakteriziraju kvalitetu funkcioniranja sustava koji se razmatra, odabrat ćemo: 1) omjer prosječne duljine čekanja na najveći broj zahtjeva koji su istovremeno u servisnom sustavu - koeficijent zastoja servisiranog objekta; 2) omjer prosječnog broja neaktivnih uslužnih kanala prema njihovom ukupnom broju je omjer neiskorištenosti opsluženog kanala.

Razmotrimo izračun potrebnih probabilističkih karakteristika (indikatora performansi) zatvorenog QS-a.

1. Vjerojatnost da u sustavu postoji k zahtjeva, pod uvjetom da njihov broj ne premašuje broj servisnih uređaja n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

gdje

λ je učestalost (intenzitet) prijema zahtjeva u sustav iz jednog izvora;

Prosječno trajanje usluge jednog zahtjeva;

m - najveći mogući broj zahtjeva koji se istovremeno nalaze u sustavu za posluživanje;

n je broj servisnih uređaja;

P 0 - vjerojatnost da su svi servisni uređaji slobodni.

2. Vjerojatnost da u sustavu postoji k zahtjeva, pod uvjetom da je njihov broj veći od broja servisnih uređaja:

P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

gdje

3. Vjerojatnost da su svi poslužitelji slobodni određena je iz uvjeta

Posljedično,

4. Prosječan broj zahtjeva koji čekaju na pokretanje usluge (prosječna duljina čekanja):

5. Omjer zastoja potražnje čekanja usluge:

6. Vjerojatnost da su svi servisni uređaji zauzeti:

7. Prosječan broj zahtjeva u uslužnom sustavu (usluženih i čekanja na uslugu):

8. Omjer ukupnog vremena zastoja zahtjeva za servisom i čekanja na servis:

9. Prosječno vrijeme mirovanja zahtjeva u servisnom redu:

10. Prosječan broj slobodnih polaznika:

11. Omjer zastoja servisnih vozila:

12. Vjerojatnost da je broj korisnika koji čekaju na uslugu veći od nekog broja B (vjerojatnost da ima više od B kupaca u redu čekanja):

U mnogim područjima gospodarstva, financija, proizvodnje i svakodnevnog života važnu ulogu imaju sustavi koji provode opetovano izvršavanje zadataka iste vrste. Takvi sustavi nazivaju se sustavi čekanja ( CMO ). Primjeri SMO su: banke raznih vrsta, osiguravajuće organizacije, porezne inspekcije, revizorske službe, različiti komunikacijski sustavi, kompleksi za utovar i istovar, benzinske postaje, razna poduzeća i organizacije u sektoru usluga.

3.1.1 Opće informacije o sustavima čekanja

Svaki QS je dizajniran da opslužuje (izvršava) određeni tijek aplikacija (zahtjeva) koji na ulaz sustava uglavnom ne stižu redovno, već u nasumično vrijeme. Usluga prijava također ne traje stalno, unaprijed određeno vrijeme, već nasumično, što ovisi o mnogim slučajnim, ponekad nama nepoznatim, razlozima. Nakon servisiranja zahtjeva, kanal se oslobađa i spreman je za primanje sljedećeg zahtjeva. Nasumična priroda toka aplikacija i vremena njihove usluge dovodi do neravnomjernog opterećenja QS-a. U nekim vremenskim intervalima zahtjevi se mogu akumulirati na ulazu QS-a, što dovodi do preopterećenja QS-a, dok u nekim drugim vremenskim intervalima, sa slobodnim kanalima (servisnim uređajima), neće biti zahtjeva na ulazu QS-a, što dovodi do preopterećenosti QS-a, tj. da pusti svoje kanale. Prijave koje se nakupe na ulazu u QS ili “dođu” u red čekanja, ili iz nekog razloga, nemogućnost daljnjeg ostanka u redu čekanja, QS ostavljaju neposluženim.

Slika 3.1 prikazuje dijagram QS-a.

Glavni elementi (značajke) sustava čekanja su:

Servisni čvor (blok),

tok aplikacije,

Skretanječekanje na uslugu (disciplina u redu).

Servisni blok dizajniran za izvođenje radnji u skladu sa zahtjevima dolaznog sustava aplikacije.

Riža. 3.1 Shema sustava čekanja

Druga komponenta sustava čekanja je ulaz tijek primjene. Aplikacije ulaze u sustav nasumično. Obično se pretpostavlja da ulazni tok poštuje određeni zakon vjerojatnosti za vrijeme trajanja intervala između dva uzastopno pristigla zahtjeva, a zakon distribucije se smatra nepromijenjenim neko dovoljno dugo vrijeme. Izvor aplikacija je neograničen.

Treća komponenta je disciplina čekanja. Ova karakteristika opisuje redoslijed servisiranja zahtjeva koji stižu na ulaz sustava. Budući da blok za posluživanje obično ima ograničen kapacitet, a zahtjevi pristižu neredovito, povremeno se stvara red zahtjeva koji čekaju na uslugu, a ponekad i sustav za posluživanje miruje čekajući zahtjeve.

Glavna značajka procesa čekanja je slučajnost. U ovom slučaju postoje dvije strane u interakciji: poslužena i poslužujuća. Slučajno ponašanje barem jedne od strana dovodi do slučajnosti tijeka uslužnog procesa u cjelini. Izvori slučajnosti u interakciji ove dvije strane su slučajni događaji dvije vrste.

1. Izgled prijave (zahtjeva) za uslugu. Razlog nasumičnosti ovog događaja često je masovna potreba za uslugom.

2. Kraj usluge sljedećeg zahtjeva. Razlozi slučajnosti ovog događaja su kako slučajnost početka usluge tako i slučajno trajanje same usluge.

Ovi slučajni događaji čine sustav od dva toka u QS-u: ulazni tok servisnih zahtjeva i izlazni tok servisiranih zahtjeva.

Rezultat interakcije ovih tokova slučajnih događaja je broj aplikacija u QS-u u trenutku, koji se obično naziva stanje sustava.

Svaki QS, ovisno o svojim parametrima, prirodi toka aplikacija, broju uslužnih kanala i njihovoj izvedbi, o pravilima organizacije rada, ima određenu učinkovitost funkcioniranja (kapacitet), što mu omogućuje da se uspješno nosi s tijek aplikacija.

Posebno područje primijenjene matematike teorija maseusluga (TMO)– bavi se analizom procesa u sustavima čekanja. Predmet proučavanja teorije čekanja je QS.

Svrha teorije čekanja je razviti preporuke za racionalnu konstrukciju QS-a, racionalnu organizaciju njihovog rada i regulaciju toka aplikacija kako bi se osigurala visoka učinkovitost QS-a. Za postizanje ovog cilja postavljeni su zadaci teorije čekanja koji se sastoje u utvrđivanju ovisnosti učinkovitosti funkcioniranja QS-a o njegovoj organizaciji.

Zadaci teorije čekanja su optimizacijske prirode i u konačnici su usmjereni na određivanje takve varijante sustava, koja će osigurati minimum ukupnih troškova od čekanja na uslugu, gubitka vremena i resursa za uslugu, te od mirovanja servisne jedinice. . Poznavanje ovih karakteristika daje upravitelju informacije za razvoj usmjerenog utjecaja na te karakteristike radi upravljanja učinkovitošću procesa čekanja.

Sljedeće tri glavne skupine (obično prosječnih) pokazatelja obično se biraju kao karakteristike učinkovitosti funkcioniranja QS-a:

Pokazatelji učinkovitosti korištenja QS-a:

Apsolutna propusnost QS-a je prosječan broj zahtjeva koje QS može poslužiti po jedinici vremena.

Relativna propusnost QS-a je omjer prosječnog broja aplikacija koje je QS opslužio po jedinici vremena i prosječnog broja primljenih aplikacija tijekom istog vremena.

Prosječno trajanje razdoblja zaposlenja SMO-a.

QS utilization rate - prosječni udio vremena tijekom kojeg je QS zauzet servisiranjem aplikacija itd.

Indikatori kvalitete usluge aplikacije:

Prosječno vrijeme čekanja aplikacije u redu čekanja.

Prosječno vrijeme zadržavanja prijave u CMO-u.

Vjerojatnost da zahtjev bude odbijen bez čekanja.

Vjerojatnost da će dolazni zahtjev biti odmah prihvaćen za uslugu.

Zakon raspodjele vremena koje aplikacija ostaje u redu čekanja.

Zakon raspodjele vremena koje aplikacija provede u QS-u.

Prosječan broj prijava u redu.

Prosječan broj prijava u QS-u itd.

Pokazatelji performansi para "QS - potrošač", gdje "potrošač" označava cijeli skup aplikacija ili neke od njih

rad ili učinkovitost sustava čekanja su sljedeći.

Za CMO s neuspjesima:

Za CMO s neograničenim čekanjem i apsolutna i relativna propusnost gube svoje značenje, budući da će svaki dolazni zahtjev biti poslužen prije ili kasnije. Za takav QS važni pokazatelji su:

Za CMO mješoviti tip koriste se obje skupine pokazatelja: i relativni i apsolutna propusnost, i karakteristike očekivanja.

Ovisno o svrsi operacije čekanja, bilo koji od gore navedenih pokazatelja (ili skup pokazatelja) može se odabrati kao kriterij izvedbe.

analitički model QS je skup jednadžbi ili formula koje omogućuju određivanje vjerojatnosti stanja sustava tijekom njegovog rada i izračunavanje pokazatelja performansi na temelju poznatih karakteristika dolaznog protoka i uslužnih kanala.

Ne postoji opći analitički model za proizvoljan QS. Analitički modeli razvijeni su za ograničeni broj posebnih slučajeva QS-a. Analitički modeli koji više ili manje točno prikazuju stvarne sustave u pravilu su složeni i teško vidljivi.

Analitičko modeliranje QS-a uvelike je olakšano ako su procesi koji se odvijaju u QS-u Markovljevi (tokovi zahtjeva su jednostavni, vremena usluge su eksponencijalno raspoređena). U tom slučaju, svi procesi u QS-u mogu se opisati običnim diferencijalnim jednadžbama, au graničnom slučaju, za stacionarna stanja, linearnim algebarskim jednadžbama i, nakon njihovog rješavanja, odrediti odabrane pokazatelje učinka.

Razmotrimo primjere nekih QS-ova.

2.5.1. Višekanalni QS s kvarovima

Primjer 2.5. Tri prometna inspektora provjeravaju putne listove vozača kamiona. Ako je barem jedan inspektor slobodan, kamion koji prolazi se zaustavlja. Ako su svi inspektori zauzeti, kamion prolazi bez zaustavljanja. Tok kamiona je najjednostavniji, vrijeme provjere je slučajno s eksponencijalnom raspodjelom.

Takvu situaciju može simulirati trokanalni QS s kvarovima (bez čekanja). Sustav je otvoren, s homogenim aplikacijama, jednofazni, s apsolutno pouzdanim kanalima.

Opis stanja:

Svi inspektori su besplatni;

Jedan inspektor ima posla;

Dva inspektora su zauzeta;

Tri inspektora su zauzeta.

Graf stanja sustava prikazan je na sl. 2.11.

Riža. 2.11.

Na grafikonu: - intenzitet protoka kamiona; - intenzitet provjere dokumenata od strane jednog prometnog inspektora.

Simulacija se provodi kako bi se odredio dio automobila koji neće biti testiran.

Riješenje

Željeni dio vjerojatnosti je vjerojatnost zaposlenja sva tri inspektora. Budući da graf stanja predstavlja tipičnu shemu "smrti i reprodukcije", pronaći ćemo pomoću ovisnosti (2.2).

Može se okarakterizirati učinak ovog radnog mjesta prometnih inspektora relativna propusnost:

Primjer 2.6. Za primanje i obradu dojava izvidničke skupine, izvidničkom odjelu zdruga raspoređena je skupina od tri časnika. Očekivana stopa javljanja je 15 prijava na sat. Prosječno vrijeme obrade jedne prijave od strane jednog službenika je . Svaki časnik može primati izvješća od bilo koje izvidničke grupe. Otpušteni službenik obrađuje posljednju od primljenih prijava. Dolazna izvješća moraju biti obrađena s vjerojatnošću od najmanje 95%.

Utvrdite je li dodijeljena grupa od tri časnika dovoljna za izvršenje dodijeljene zadaće.

Riješenje

Skupina časnika radi kao CMO s kvarovima, koji se sastoji od tri kanala.

Tijek izvješća s intenzitetom može se smatrati najjednostavnijim, budući da je skup nekoliko izviđačkih skupina. Intenzitet održavanja . Zakon raspodjele je nepoznat, ali to nije bitno, jer je pokazano da za sustave s kvarovima može biti proizvoljan.

Opis stanja i grafikon stanja QS-a bit će slični onima danima u primjeru 2.5.

Budući da je graf stanja shema "smrti i reprodukcije", postoje gotovi izrazi za granične vjerojatnosti stanja za njega:

Relacija se zove smanjeni intenzitet protoka prijava. Njegovo fizičko značenje je sljedeće: vrijednost je prosječan broj zahtjeva koji dolaze u QS za prosječno vrijeme usluge jednog zahtjeva.

U primjeru .

U razmatranom QS-u kvar nastaje kada su sva tri kanala zauzeta, tj. Zatim:

Jer vjerojatnost kvara u obradi izvješća je više od 34% (), tada je potrebno povećati osoblje grupe. Udvostručimo sastav grupe, odnosno QS će sada imati šest kanala, i izračunajmo:

Tako će samo grupa od šest službenika moći obraditi pristigla izvješća s vjerojatnošću od 95%.

2.5.2. Višekanalni QS s čekanjem

Primjer 2.7. Na dionici forsiranja rijeke nalazi se 15 istovrsnih prijelaza. Protok vozila koja dolaze na prijelaz u prosjeku je 1 jedinica/min, prosječno vrijeme prelaska jedne jedinice opreme je 10 minuta (uzimajući u obzir povratak objekta prijelaza).

Ocijenite glavne karakteristike prijelaza, uključujući vjerojatnost neposrednog prelaska odmah po dolasku dijela opreme.

Riješenje

Apsolutna propusnost, tj. sve što dođe do prijelaza gotovo se odmah prijeđe.

Prosječan broj operativnih prijelaza:

Omjeri iskorištenosti križanja i zastoja:

Također je razvijen program za rješavanje primjera. Vremenski intervali dolaska opreme na prijelaz, vrijeme prijelaza uzeti su raspoređeni po eksponencijalnom zakonu.

Stope iskorištenosti trajekta nakon 50 vožnji praktički su iste: .

UVOD

POGLAVLJE I. FORMULACIJA PROBLEMA QUUE USLUGE

1.1 Opći koncept teorije čekanja

1.2 Modeliranje sustava čekanja

1.3 QS grafikoni stanja

1.4 Slučajni procesi

poglavlje II. JEDNADŽBE KOJE OPISUJU SUSTAVE ČEKANJA ČEKOVA

2.1 Kolmogorovljeve jednadžbe

2.2 Procesi "rađanja - smrti"

2.3 Ekonomska i matematička formulacija problema čekanja

poglavlje III. MODELI SUSTAVA ČEKOVA ČEKOVA

3.1 Jednokanalni QS s uskraćivanjem usluge

3.2 Višekanalni QS s uskraćivanjem usluge

3.3 Model višefaznog sustava turističkih usluga

3.4 Jednokanalni QS s ograničenom duljinom čekanja

3.5 Jednokanalni QS s neograničenim redom

3.6 Višekanalni QS s ograničenom duljinom čekanja

3.7 Višekanalni QS s neograničenim redom

3.8 Analiza sustava čekanja u supermarketu

ZAKLJUČAK

Uvod

Trenutno se pojavila velika količina literature koja je izravno posvećena teoriji čekanja, razvoju njezinih matematičkih aspekata, kao i različitim područjima njezine primjene - vojsci, medicini, prometu, trgovini, zrakoplovstvu itd.

Teorija čekanja temelji se na teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Početni razvoj teorije čekanja povezan je s imenom danskog znanstvenika A.K. Erlang (1878.-1929.), svojim radovima na području projektiranja i rada telefonskih centrala.

Teorija čekanja je polje primijenjene matematike koje se bavi analizom procesa u proizvodnim, uslužnim i kontrolnim sustavima u kojima se homogeni događaji ponavljaju mnogo puta, na primjer, u poduzećima za usluge potrošača; u sustavima za primanje, obradu i prijenos informacija; automatske proizvodne linije itd. Veliki doprinos razvoju ove teorije dali su ruski matematičari A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel i drugi.

Predmet teorije čekanja je uspostavljanje odnosa između prirode toka zahtjeva, broja uslužnih kanala, performansi jednog kanala i učinkovite usluge kako bi se pronašli najbolji načini za kontrolu tih procesa. Zadaci teorije čekanja su optimizacijske prirode i u konačnici uključuju ekonomski aspekt određivanja takve varijante sustava, koja će osigurati minimum ukupnih troškova od čekanja na uslugu, gubitka vremena i resursa za uslugu, te od zastoja. uslužnih kanala.

U komercijalnim djelatnostima primjena teorije čekanja još nije našla željenu distribuciju.

To je uglavnom zbog poteškoća u postavljanju ciljeva, potrebe za dubokim razumijevanjem sadržaja komercijalnih aktivnosti, kao i pouzdanih i točnih alata koji omogućuju izračunavanje različitih opcija za posljedice menadžerskih odluka u komercijalnim aktivnostima.

Poglavlje ja . Postavljanje zadataka čekanja

1.1 Opći koncept teorije čekanja

Priroda čekanja, u raznim područjima, vrlo je suptilna i složena. Komercijalna djelatnost povezana je s obavljanjem mnogih operacija u fazama kretanja, na primjer, masa robe iz sfere proizvodnje u sferu potrošnje. Takvi poslovi su utovar robe, prijevoz, istovar, skladištenje, prerada, pakiranje, prodaja. Osim takvih osnovnih operacija, proces kretanja robe prati veliki broj prethodnih, pripremnih, pratećih, usporednih i naknadnih operacija s platnim dokumentima, kontejnerima, novcem, automobilima, kupcima itd.

Navedene fragmente trgovačke djelatnosti karakteriziraju masovni primici robe, novca, posjetitelja u nasumično odabrano vrijeme, zatim njihovo dosljedno opsluživanje (zadovoljavanje zahtjeva, zahtjeva, zahtjeva) izvođenjem odgovarajućih operacija, čije je vrijeme izvršenja također slučajno. Sve to stvara neravnomjernost u radu, stvara podopterećenja, zastoje i preopterećenja u komercijalnom poslovanju. Redovi zadaju mnogo problema, na primjer, posjetiteljima u kafićima, kantinama, restoranima ili vozačima automobila na robnim skladištima koji čekaju na istovar, utovar ili papirologiju. U tom smislu, postoje zadaci analize postojećih opcija za obavljanje cijelog skupa operacija, na primjer, trgovački pod supermarketa, restorana ili u radionicama za proizvodnju vlastitih proizvoda kako bi se ocijenio njihov rad, identificirali slabe karike i rezerve te u konačnici razviti preporuke usmjerene na povećanje učinkovitosti komercijalnih aktivnosti.

Osim toga, javljaju se i drugi zadaci vezani uz kreiranje, organizaciju i planiranje nove ekonomične, racionalne mogućnosti obavljanja mnogih poslova unutar trgovačkog salona, ​​slastičarnice, svih uslužnih razina restorana, kavane, kantine, planske službe, računovodstvene službe, kadrovska služba itd.

Zadaci organizacije čekanja pojavljuju se u gotovo svim sferama ljudske djelatnosti, na primjer, servisiranje kupaca u trgovinama od strane prodavača, posluživanje posjetitelja u javnim ugostiteljskim objektima, servisiranje kupaca u poduzećima za potrošačke usluge, pružanje telefonskih razgovora na telefonskoj centrali, pružanje medicinske skrbi pacijenti u klinici itd. . U svim navedenim primjerima postoji potreba za zadovoljenjem potreba većeg broja potrošača.

Navedeni zadaci mogu se uspješno riješiti korištenjem metoda i modela teorije čekanja (QMT) posebno kreiranih za ove potrebe. Ova teorija objašnjava da je potrebno služiti nekome ili nečemu, što je definirano konceptom “zahtjeva (zahtjeva) za uslugom”, a servisne operacije obavlja netko ili nešto što se zove servisni kanali (čvorovi). Ulogu aplikacija u komercijalnim aktivnostima imaju roba, posjetitelji, novac, revizori, dokumenti, a ulogu uslužnih kanala imaju prodavači, administratori, kuhari, slastičari, konobari, blagajnici, merchandiseri, utovarivači, trgovačka oprema itd. Važno je napomenuti da je u jednoj varijanti, na primjer, kuhar u procesu pripreme jela servisni kanal, au drugoj on djeluje kao zahtjev za uslugu, na primjer, voditelju proizvodnje za prijem robe.

Zbog masovnosti primanja usluga, aplikacije formiraju tijekove koji se nazivaju dolaznim prije nego što se izvrše operacije servisiranja, a nakon mogućeg čekanja na početak usluge, tj. zastoja u redu čekanja, forma usluga teče u kanalima, a zatim se formira odlazni tijek zahtjeva. Općenito, skup elemenata dolaznog tijeka prijava, reda čekanja, servisnih kanala i odlaznog tijeka prijava čini najjednostavniji jednokanalni sustav čekanja – QS.

Sustav je skup međusobno povezanih i. svrhovito međusobno djelujući dijelovi (elementi). Primjeri takvih jednostavnih QS-ova u trgovačkim djelatnostima su mjesta prijema i obrade robe, obračunski centri s kupcima u trgovinama, kafićima, kantinama, radna mjesta ekonomista, računovođe, trgovca, kuhara u distribuciji itd.

Servisni postupak se smatra završenim kada servisni zahtjev napusti sustav. Trajanje vremenskog intervala potrebnog za provedbu servisne procedure uglavnom ovisi o prirodi zahtjeva za servisom, stanju samog servisnog sustava i servisnom kanalu.

Doista, trajanje kupčevog boravka u supermarketu ovisi, s jedne strane, o osobnim kvalitetama kupca, njegovim zahtjevima, o asortimanu robe koju će kupiti, as druge strane, o obliku organizacije usluživanja i pratitelja, što može značajno utjecati na vrijeme koje kupac provodi u supermarketu i intenzitet usluge. Na primjer, blagajnici-kontrolori koji su savladali "slijepu" metodu rada na blagajni omogućili su povećanje propusnosti čvorova poravnanja za 1,3 puta i uštedu vremena provedenog na obračunima s kupcima na svakoj blagajni za više od 1,5 sati dnevno . Uvođenje jedinstvenog čvora naselja u supermarketu daje opipljive prednosti kupcu. Dakle, ako je s tradicionalnim oblikom naselja vrijeme usluge za jednog kupca u prosjeku iznosilo 1,5 minuta, a zatim s uvođenjem jednog čvora naselja - 67 sekundi. Od toga se 44 sekunde troše na kupnju u odjeljku, a 23 sekunde izravno na plaćanja za kupnje. Ako kupac kupi nekoliko puta u različitim odjeljcima, tada se gubitak vremena smanjuje kupnjom dvije kupovine za 1,4 puta, tri - za 1,9, pet - za 2,9 puta.

Pod servisiranjem zahtjeva podrazumijevamo proces zadovoljenja potrebe. Usluga je različite prirode. Međutim, u svim primjerima primljene zahtjeve treba servisirati neki uređaj. U nekim slučajevima uslugu obavlja jedna osoba (posluživanje kupaca jedan prodavač, u nekim slučajevima grupa ljudi (usluga pacijenata putem liječničke komisije u poliklinici), au nekim slučajevima tehničkim uređajima (prodaja soda vode). , sendviči na automatima) Skup alata koji servisiraju aplikacije naziva se servisni kanal.

Ako su kanali usluga sposobni zadovoljiti iste zahtjeve, tada se kanali usluga nazivaju homogenima. Skup homogenih uslužnih kanala naziva se uslužni sustav.

Sustav čekanja prima veliki broj zahtjeva u nasumično odabrano vrijeme, čije je trajanje usluge također slučajna varijabla. Uzastopni dolazak kupaca u sustav čekanja naziva se dolazni tok kupaca, a slijed kupaca koji napuštaju sustav čekanja naziva se izlazni tok.