Irina 25 Pravilni i nepravi razlomci. Pravi i nepravi razlomci

Dijele se na ispravne i pogrešne.

Pravilni razlomci

Pravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika.

Da biste saznali je li razlomak točan, morate međusobno usporediti njegove članove. Članovi razlomka uspoređuju se prema pravilu za uspoređivanje prirodnih brojeva.

Primjer. Razmotrimo razlomak:

7

8

Primjer:

8	= 1	1
7		7

Pravila prevođenja i dodatne primjere možete pronaći u temi Pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj. Također možete koristiti online kalkulator za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj.

Usporedba pravih i nepravih razlomaka

Svaki nepravi obični razlomak veći je od pravilnog, budući da je pravi razlomak uvijek manji od jedan, a nepravi veći ili jednak jedan.

Primjer:

3	>	99
2		100

Pravila usporedbe i dodatne primjere možete pronaći u temi Usporedba običnih razlomaka. Također za usporedbu razlomaka ili provjeru usporedbe koju možete koristiti

Obični razlomci se dijele na \textit (prave) i \textit (neprave) razlomke. Ova se podjela temelji na usporedbi brojnika i nazivnika.

Pravilni razlomci

Pravilan razlomak je običan razlomak $\frac(m)(n)$ čiji je brojnik manji od nazivnika, tj. milijun dolara

Primjer 1

Na primjer, razlomci $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ su pravilni , pa kako je u svakom od njih brojnik manji od nazivnika, što odgovara definiciji pravilnog razlomka.

Postoji definicija pravilnog razlomka, koja se temelji na usporedbi razlomka s jedinicom.

ispraviti ako je manji od jedan:

Primjer 2

Na primjer, obični razlomak $\frac(6)(13)$ je pravilan jer stanje $\frac(6)(13)

Nepravi razlomci

Nepravilan razlomak je običan razlomak $\frac(m)(n)$ čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku, tj. $m\ge n$.

Primjer 3

Na primjer, razlomci $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ su nepravi , pa kako je u svakom od njih brojnik veći ili jednak nazivniku, što odgovara definiciji nepravog razlomka.

Dajmo definiciju nepravog razlomka, koja se temelji na njegovoj usporedbi s jedinicom.

Obični razlomak $\frac(m)(n)$ je pogrešno ako je jednak ili veći od jedan:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Primjer 4

Na primjer, obični razlomak $\frac(21)(4)$ je nepravilan jer uvjet $\frac(21)(4) >1$ je zadovoljen;

obični razlomak $\frac(8)(8)$ je nepravilan jer uvjet $\frac(8)(8)=1$ je zadovoljen.

Razmotrimo detaljnije koncept nepravog razlomka.

Uzmimo $\frac(7)(7)$ kao primjer. Vrijednost ovog razlomka uzima se kao sedam dijelova predmeta, koji se dijeli na sedam jednakih dijelova. Dakle, od sedam dostupnih dionica možete sastaviti cijelu temu. Oni. nepravi razlomak $\frac(7)(7)$ opisuje cijeli objekt i $\frac(7)(7)=1$. Dakle, nepravi razlomci, u kojima je brojnik jednak nazivniku, opisuju jedan cijeli objekt, a takav se razlomak može zamijeniti prirodnim brojem $1$.

$\frac(5)(2)$ -- prilično je očito da ovih pet sekundi dijelova može činiti $2$ cijelih stavki (jedna cijela stavka će činiti $2$ dijelova, a da biste napravili dvije cijele stavke trebate $2+2=4$ udio) i ostaje jedan drugi udio. To jest, nepravi razlomak $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ stavke i $\frac(1)(2)$ te stavke.

$\frac(21)(7)$ -- dvadeset jedna sedmina može činiti $3$ cijelih stavki ($3$ stavki sa $7$ dionica svaka). Oni. razlomak $\frac(21)(7)$ opisuje $3$ cijelih brojeva.

Iz razmatranih primjera može se izvući sljedeći zaključak: nepravi razlomak može se zamijeniti prirodnim brojem ako je brojnik potpuno djeljiv s nazivnikom (na primjer, $\frac(7)(7)=1$ i $\ frac(21)(7)=3$) ili zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka ako brojnik nije čak ni djeljiv nazivnikom (na primjer, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Stoga se takvi razlomci nazivaju pogrešno.

Definicija 1

Proces predstavljanja nepravog razlomka kao zbroja prirodnog broja i pravog razlomka (na primjer, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) naziva se izdvajanje cijelog dijela iz nepravog razlomka.

Pri radu s nepravim razlomcima postoji uska veza između njih i mješovitih brojeva.

Nepravi razlomak često se piše kao mješoviti broj, broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka.

Da biste nepravi razlomak zapisali kao mješoviti broj, morate brojnik podijeliti nazivnikom s ostatkom. Kvocijent će biti cijeli dio mješovitog broja, ostatak će biti brojnik razlomljenog dijela, a djelitelj će biti nazivnik razlomljenog dijela.

Primjer 5

Zapiši nepravi razlomak $\frac(37)(12)$ kao mješoviti broj.

Riješenje.

Brojnik podijelimo nazivnikom s ostatkom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ostatak\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odgovor.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Da biste napisali mješoviti broj kao nepravilan razlomak, trebate pomnožiti nazivnik s cijelim dijelom broja, dodati brojnik razlomka umnošku koji je ispao i upisati dobiveni iznos u brojnik razlomka. Nazivnik nepravog razlomka bit će jednak nazivniku razlomka mješovitog broja.

Primjer 6

Napiši mješoviti broj $5\frac(3)(7)$ kao nepravi razlomak.

Riješenje.

Odgovor.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Zbrajanje mješovitog broja i pravilnog razlomka

Dodavanje mješovitog broja$a\frac(b)(c)$ i pravilan razlomak$\frac(d)(e)$ izvodi dodavanjem razlomka zadanog mješovitog broja zadanom razlomku:

Primjer 7

Zbrojite pravilan razlomak $\frac(4)(15)$ i mješoviti broj $3\frac(2)(5)$.

Riješenje.

Upotrijebimo formulu za zbrajanje mješovitog broja i pravilnog razlomka:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\lijevo(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\desno)=3+\ lijevo(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\desno)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( petnaest)\]

Kriterijem dijeljenja s brojem \textit(5 ) može se utvrditi da je razlomak $\frac(10)(15)$ svodiv. Izvršite redukciju i pronađite rezultat zbrajanja:

Dakle, rezultat zbrajanja pravilnog razlomka $\frac(4)(15)$ i mješovitog broja $3\frac(2)(5)$ je $3\frac(2)(3)$.

Odgovor:$3\frac(2)(3)$

Zbrajanje mješovitog broja i nepravog razlomka

Zbrajanje nepravog razlomka i mješovitog broja svesti na zbrajanje dvaju mješovitih brojeva, za što je dovoljno izdvojiti cijeli dio iz nepravog razlomka.

Primjer 8

Izračunajte zbroj mješovitog broja $6\frac(2)(15)$ i nepravog razlomka $\frac(13)(5)$.

Riješenje.

Prvo izdvajamo cijeli broj iz nepravog razlomka $\frac(13)(5)$:

Odgovor:$8\frac(11)(15)$.

Izrezali su kolač na 8 jednakih dijelova (slika 122, a) i stavili 3 dijela na tanjur.

Na njemu je bila piroška (sl. 122, b). Ako stavite svih 8 dijelova, tada će na tanjuru biti pita, odnosno cijela pita (slika 122, c).

Riža. 122

Dakle = 1.

Uzmimo drugu sličnu pitu i također je izrežemo na 8 jednakih dijelova (slika 123, a). Ako stavite, na primjer, 11 dijelova na tanjur, tada će biti pita (slika 123, b).

Riža. 123

U razlomku je brojnik manji od nazivnika. Takvi se razlomci nazivaju pravim. U razlomku je brojnik jednak nazivniku, a u razlomku je brojnik veći od nazivnika. Takvi se razlomci nazivaju nepravi.

Riža. 124

Na primjer,< 1, = 1, > 1.

Pitanja za samoispitivanje

• Što je pravi razlomak?
• Što je nepravi razlomak?
• Može li pravi razlomak biti veći od 1?
• Je li nepravi razlomak uvijek veći od 1?
• Koji je razlomak veći ako je jedan od njih točan, a drugi netočan?

Radite vježbe

974. Duljina dužine AB je 8 cm. Nacrtaj dužinu dužine:

975. Označite točke na gredi koordinatama:

Za jedan segment uzmite duljinu od 12 ćelija bilježnice.

976. Pisati:

• a) sve prave razlomke s nazivnikom 6;
• b) sve neprave razlomke s brojnikom 5.

977. Za koje je vrijednosti a razlomak:

978. Stroj može za 6 minuta iskopati jarak duljine 1 m. Koju duljinu jarka može stroj iskopati za 1 minutu; 5 minuta; 7 min; 11 min?

979. Jednim kilogramom boje može se prekriti 5 m2 površine. Koliko je boje potrebno za bojanje 3 m 2; 6 m 2; 13 m2 površine?

980. Građevinski tim izgradio je farmu za 48 dana. Plan je zahtijevao ovo vrijeme. Koliko je dana predviđeno za izgradnju farme prema planu?

981. Tokar je za 3 sata na tokarskom stroju obradio 135 dijelova čime je ispunio dnevnu normu. Koliko je dijelova morao izbrusiti u radnom danu (8 sati) prema normi? Koliko će dijelova obraditi u radnom danu ako radi s istom produktivnošću?

982. Tokar je na strugu tokario 135 dijelova, ispunjavajući dnevnu normu. Kolika mu je dnevnica?

983. Koncert mladih glazbenika, umjesto planirana 3 sata, ovaj put je nastavljen jer je publika tražila ponavljanje nekih od svojih omiljenih izvedbi. Koliko je trajao koncert? Koliko su minuta trajali bisevi?

984. Izračunaj usmeno:

985. Koliko minuta u satu? Koji dio sata je 1 minuta? 7 min; 15 minuta?

986. Koliko je puta centner veći od kilograma? Koji dio centnera je kilogram? Koliko je centnera više od kilograma?

987. Koliko minuta

988. Zbrojite brojeve 40 i brojeve 60. Od broja 72 oduzmite brojeve 81.

989. Polovica broja je 18. Pronađite ovaj broj. Jedna trećina broja je 27. Pronađite ovaj broj. Tri četvrtine broja je 60. Pronađite ovaj broj.

990. Koji je dio četverokuta ABCD (sl. 125) osjenčan? Koji je dio ostao neobojan?

Riža. 125

991. Izraziti u gramima:

• a) 3 kg 400 g;
• b) 2 kg 30 g;
• c) 15 kg.

992. Poredaj razlomke uzlaznim redoslijedom:

Poredaj te razlomke silaznim redoslijedom.

993. Navedite četiri razlomka koji su manji od

994. Navedi 5 razlomaka koji su veći od .

995. Nacrtaj kvadrat sa stranicom 4 cm.Prikaži na crtežu: kvadrat, kvadrat. Odredi površine tih dijelova kvadrata i objasni rezultat.

996. Prvog dana brigada je sakupila 5 tona 400 kg krumpira, a drugog dana 1 tonu 200 kg manje nego prvog. Trećeg dana brigada je sakupila 2 puta više krumpira nego drugog. Koliko je krumpira brigada ubrala u ova tri dana?

997. Napiši zadatak prema jednadžbi:

• a) (y + 6) - 2 = 15;
• b) 2(a - 5) = 24;
• c) 3(25 + b) + 15 = 135.

998. U prvom vagonu bilo je ljudi, au drugom - b ljudi. Na stanici je iz prvog vagona izašlo c ljudi, a iz drugog vagona d ljudi. Koje je značenje sljedećih izraza:

• a + b;
• a - c;
• c + d;
• b-d;
• (a + b) - (c + d);
• (a - c) + (b - d)?

Objasni zašto

(a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)

za a > c, b > d.

Provjerite ovu jednakost s a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.

Koristeći dobivenu jednakost izračunajte vrijednost izraza:

• a) (548 + 897) - (148 + 227);
• b) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Zamislite pet razlomaka čiji je brojnik 3 manji od nazivnika. Napiši pet razlomaka čiji je brojnik 3 puta veći od nazivnika.

1000. Za koje će vrijednosti x razlomak biti nepravilan?

1001. Seljak je planirao sakupiti 12 tona povrća s polja, ali je skupio toliku količinu. Koliko je tona povrća sakupio poljoprivrednik?

1002. Turist je prvi dan prepešačio 18 km, što je put koji mora prijeći drugi dan. Koliko kilometara turist mora prijeći u ova dva dana?

1003. Iz Sankt Peterburga prema Moskvi krenuo je teretni vlak brzinom 48 km/h, a sat vremena kasnije iz Moskve prema Sankt Peterburgu krenuo je brzi vlak brzinom 82 km/h. Pronađite udaljenost između vlakova:

• a) 1 sat nakon izlaska brzog vlaka;
• b) 3 sata nakon polaska teretnog vlaka;
• c) 5 sati nakon izlaska brzog vlaka.

Udaljenost od Moskve do Sankt Peterburga je 650 km.

1004. Pronađite vrijednost izraza:

• a) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• b) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• c) (123 - 93): (12 - 9);
• d) (62 + Z2)2.