Navedite svojstva sabiranja dok ih čitate. Svojstva zbrajanja, množenja, oduzimanja i dijeljenja cijelih brojeva

Nacrtajmo na komadu papira pravokutnik u kavezu sa stranicama 5 cm i 3 cm.Razbijmo ga na kvadrate sa stranicama 1 cm ( sl. 143). Izbrojimo broj ćelija u pravokutniku. To se može učiniti, na primjer, ovako.

Broj kvadrata sa stranicom od 1 cm je 5 * 3. Svaki takav kvadrat sastoji se od četiri ćelije. Stoga je ukupan broj ćelija (5 * 3 ) * 4 .

Isti problem može se riješiti drugačije. Svaki od pet stupaca pravokutnika sastoji se od tri kvadrata sa stranicom od 1 cm. Dakle, jedan stupac sadrži 3 * 4 ćelije. Dakle, ukupno će biti 5 * (3 * 4 ) ćelija.

Broj stanica na slici 143 ilustrira na dva načina asocijativno svojstvo množenja za brojeve 5, 3 i 4. Imamo: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Da biste pomnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg broja.

(ab)c = a(bc)

Iz komutativnih i asocijativnih svojstava množenja proizlazi da se kod množenja nekoliko brojeva faktori mogu međusobno zamijeniti i staviti u zagrade, čime se određuje redoslijed izračuna.

Na primjer, jednakosti su istinite:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na slici 144 segment AB dijeli gore razmatrani pravokutnik na pravokutnik i kvadrat.

Broj kvadrata sa stranicom 1 cm brojimo na dva načina.

S jedne strane, u dobivenom kvadratu ima ih 3 * 3, au pravokutniku 3 * 2. Ukupno dobivamo 3 * 3 + 3 * 2 kvadrata. S druge strane, svaki od tri reda ovog pravokutnika sadrži 3 + 2 kvadrata. Tada je njihov ukupan broj 3 * (3 + 2 ).

Jednako 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrira svojstvo razdiobe množenja u odnosu na zbrajanje.

Da biste broj pomnožili zbrojem dvaju brojeva, možete pomnožiti taj broj sa svakim članom i zbrojiti dobivene umnoške.

U doslovnom obliku, ovo svojstvo je zapisano na sljedeći način:

a(b + c) = ab + ac

Iz svojstva distribucije množenja u odnosu na zbrajanje slijedi da

ab + ac = a(b + c).

Ova jednakost omogućuje formulu P = 2 a + 2 b za pronalaženje opsega pravokutnika koji treba napisati na sljedeći način:

P = 2 (a + b).

Imajte na umu da svojstvo distribucije vrijedi tri ili više uvjeta. Na primjer:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje također vrijedi: ako je b > c ili b = c, tada

a(b − c) = ab − ac

Primjer 1 . Izračunajte na prikladan način:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Koristimo komutativna, a zatim asocijativna svojstva množenja:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Imamo:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Primjer 2 . Pojednostavite izraz:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Koristeći komutativna i asocijativna svojstva množenja, dobivamo:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Koristeći svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje, dobivamo:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Primjer 3 . Napiši izraz 5 (2 m + 7) tako da nema zagrada.

Prema svojstvu distribucije množenja u odnosu na zbrajanje imamo:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Takva se transformacija naziva otvaranje zagrada.

Primjer 4 . Izračunaj na prikladan način vrijednost izraza 125 * 24 * 283.

Riješenje. Imamo:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Primjer 5 . Izvršite množenje: 3 dana 18 sati * 6.

Riješenje. Imamo:

3 dana 18 sati * 6 = 18 dana 108 sati = 22 dana 12 sati

Pri rješavanju primjera korišteno je svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje:

3 dana 18 sati * 6 = (3 dana + 18 sati) * 6 = 3 dana * 6 + 18 sati * 6 = 18 dana + 108 sati = 18 dana + 96 sati + 12 sati = 18 dana + 4 dana + 12 sati = 22 dana i 12 sati

Može se primijetiti niz rezultata svojstvenih ovoj radnji. Ovi rezultati su tzv svojstva zbrajanja prirodnih brojeva. U ovom ćemo članku detaljno analizirati svojstva zbrajanja prirodnih brojeva, napisati ih slovima i dati primjere s objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Asocijativnost zbrajanja prirodnih brojeva.

Sada ćemo dati primjer koji ilustrira asocijativnost zbrajanja prirodnih brojeva.

Zamislite situaciju: s prve jabuke je pala 1 jabuka, a s druge 2 jabuke i još 4 jabuke. Sada razmotrite sljedeću situaciju: s prve jabuke pala je 1 jabuka i još 2 jabuke, a s druge 4 jabuke. Jasno je da će isti broj jabuka biti na tlu i u prvom i u drugom slučaju (što se može provjeriti preračunavanje). Odnosno, rezultat zbrajanja broja 1 zbroju brojeva 2 i 4 jednak je rezultatu zbrajanja zbroja brojeva 1 i 2 broju 4.

Razmatrani primjer omogućuje nam da formuliramo asocijativno svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva: da biste danom broju dodali zadani zbroj dvaju brojeva, možete tom broju dodati prvi član tog zbroja i dodati drugi član ovaj zbroj dobivenog rezultata. Ovo se svojstvo može napisati pomoću slova poput ovog: a+(b+c)=(a+b)+c, gdje su a , b i c proizvoljni prirodni brojevi.

Imajte na umu da u jednakosti a+(b+c)=(a+b)+c postoje zagrade "(" i ")". Zagrade se koriste u izrazima da naznače redoslijed kojim se radnje izvode - radnje u zagradama se izvode prve (više o tome u odjeljku). Drugim riječima, zagrade zatvaraju izraze čije se vrijednosti prvo procjenjuju.

U zaključku ovog odjeljka, napominjemo da nam asocijativno svojstvo zbrajanja omogućuje jedinstveno određivanje zbrajanje tri, četiri ili više prirodnih brojeva.

Svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja, svojstvo zbrajanja nule s nulom.

Znamo da nula NIJE prirodan broj. Zašto smo u ovom članku odlučili razmotriti svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja? Tri su razloga za to. Prvo, ovo se svojstvo koristi kada stupac zbrajanja prirodnih brojeva. Drugo, ovo se svojstvo koristi kada oduzimanje prirodnih brojeva. Treće: ako pretpostavimo da nula znači odsutnost nečega, onda je značenje zbrajanja nule i prirodnog broja isto kao smisao zbrajanja dva prirodna broja.

Provedimo razmišljanje koje će nam pomoći da formuliramo svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja. Zamislimo da u kutiji nema nijednog predmeta (drugim riječima, u kutiji ima 0 stavki), au nju se nalazi stavki a, gdje je a bilo koji prirodni broj. Odnosno, dodao je 0 i a stavke. Jasno je da nakon ove akcije u kutiji ima stavki. Dakle, vrijedi jednakost 0+a=a.

Slično, ako kutija sadrži stavke i nije joj dodano 0 stavki (tj. nije dodana nijedna stavka), tada će nakon ove radnje stavke biti u kutiji. Dakle, a+0=a.

Sada možemo navesti svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja: zbroj dva broja od kojih je jedan nula jednak je drugom broju. Matematički se ovo svojstvo može napisati kao sljedeća jednakost: 0+a=a ili a+0=a, gdje je a proizvoljan prirodni broj.

Posebno skrećemo pažnju na činjenicu da kod zbrajanja prirodnog broja i nule ostaje istinito svojstvo komutativnosti zbrajanja, odnosno a+0=0+a .

Na kraju, formuliramo svojstvo zbrajanja nula-nula (sasvim je očito i ne treba dodatne komentare): zbroj dva broja od kojih je svaki nula je nula. To je, 0+0=0 .

Sada je vrijeme da shvatite kako zbrajanje prirodnih brojeva.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede obrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

Tema kojoj je posvećena ova lekcija je “Svojstva zbrajanja.” U njoj ćete se upoznati s komutativnim i asocijativnim svojstvima zbrajanja, ispitujući ih na konkretnim primjerima. Saznajte kada ih možete koristiti kako biste olakšali proces izračuna. Testovi će vam pomoći da odredite koliko ste dobro naučili gradivo.

Lekcija: Svojstva zbrajanja

Pažljivo pogledajte izraz:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Moramo pronaći njegovu vrijednost. Učinimo to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultat izraza 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Recite mi, je li bilo zgodno izračunati? Računanje nije bilo baš zgodno. Pogledajte ponovno brojeve u ovom izrazu. Je li ih moguće zamijeniti tako da izračuni budu praktičniji?

Ako drugačije rasporedimo brojeve:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Konačni rezultat izraza je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidimo da su rezultati izraza isti.

Izrazi se mogu međusobno mijenjati ako je to zgodno za izračune, a vrijednost zbroja se time neće promijeniti.

U matematici postoji zakon: Komutativni zakon zbrajanja. Kaže da se zbroj ne mijenja preslagivanjem članova.

Ujak Fjodor i Šarik su se svađali. Sharik je pronašao vrijednost izraza onako kako je napisan, a ujak Fjodor je rekao da zna drugi, zgodniji način računanja. Vidite li praktičniji način za izračunavanje?

Lopta je riješila izraz kako je napisano. A ujak Fjodor je rekao da zna zakon koji dopušta promjenu uvjeta i zamijenio je brojeve 25 i 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vidimo da je rezultat ostao isti, ali je izračun postao puno lakši.

Pogledajte sljedeće izraze i pročitajte ih.

6 + (24 + 51) = 81 (6 dodajte zbroj 24 i 51)
Postoji li prikladan način za izračunavanje?
Vidimo da ako zbrojimo 6 i 24, dobivamo okrugli broj. Okruglom broju uvijek je lakše nešto dodati. Uzmi u zagradu zbroj brojeva 6 i 24.
(6 + 24) + 51 = …
(zbroju brojeva 6 i 24 dodaj 51)

Izračunajmo vrijednost izraza i vidimo je li se vrijednost izraza promijenila?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vidimo da vrijednost izraza ostaje ista.

Vježbajmo s još jednim primjerom.

(27 + 19) + 1 = 47 (zbroju brojeva 27 i 19 dodaj 1)
Koji se brojevi mogu zgodno grupirati tako da se dobije pogodan način?
Pogađate da su to brojevi 19 i 1. Uzmimo zbroj brojeva 19 i 1 u zagradi.
27 + (19 + 1) = …
(27 dodaj zbroj brojeva 19 i 1)
Pronađimo vrijednost ovog izraza. Sjećamo se da se radnja u zagradama izvodi prva.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Značenje našeg izraza ostaje isto.

Asocijativni zakon zbrajanja: dva susjedna člana mogu se zamijeniti njihovim zbrojem.

Sada vježbajmo korištenje oba zakona. Moramo izračunati vrijednost izraza:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Prvo, koristimo komutativno svojstvo zbrajanja, koje nam omogućuje zamjenu članova. Zamijenimo pojmove 14 i 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Sada koristimo svojstvo asocijativnosti, koje nam omogućuje da dva susjedna člana zamijenimo njihovim zbrojem.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Prvo, saznajemo vrijednost zbroja 38 i 2.

Sada je zbroj 14 i 6.

3. Festival pedagoških ideja "Otvorena lekcija" ().

raditi kod kuće

1. Izračunajte zbroj članova na različite načine:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Izračunajte rezultate izraza:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Izračunajte iznos na prikladan način:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Definirali smo zbrajanje, množenje, oduzimanje i dijeljenje cijelih brojeva. Ove akcije (operacije) imaju niz karakterističnih rezultata, koji se nazivaju svojstvima. U ovom ćemo članku razmotriti osnovna svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva, iz kojih proizlaze sva ostala svojstva ovih operacija, kao i svojstva oduzimanja i dijeljenja cijelih brojeva.

Navigacija po stranici.

Cjelobrojno zbrajanje ima još nekoliko vrlo važnih svojstava.

Jedan od njih vezan je za postojanje nule. Ovo svojstvo cjelobrojnog zbrajanja navodi da dodavanje nule bilo kojem cijelom broju ne mijenja taj broj. Zapišimo ovo svojstvo zbrajanja slovima: a+0=a i 0+a=a (ova jednakost vrijedi zbog svojstva komutativnosti zbrajanja), a je bilo koji cijeli broj. Možda ćete čuti da se cijeli broj nula naziva i neutralni element. Navedimo par primjera. Zbroj cijelog broja −78 i nule je −78 ; ako dodamo pozitivan cijeli broj 999 nuli, tada ćemo dobiti broj 999 kao rezultat.

Sada ćemo formulirati još jedno svojstvo zbrajanja cijelog broja, koje je povezano s postojanjem suprotnog broja za svaki cijeli broj. Zbroj bilo kojeg cijelog broja s njegovim suprotnim brojem je nula. Ovdje je doslovni oblik ovog svojstva: a+(−a)=0 , gdje su a i −a suprotni cijeli brojevi. Na primjer, zbroj 901+(−901) je nula; slično, zbroj suprotnih cijelih brojeva −97 i 97 je nula.

Osnovna svojstva množenja cijelih brojeva

Množenje cijelih brojeva ima sva svojstva množenja prirodnih brojeva. Navodimo glavne od ovih svojstava.

Kao što je nula neutralan cijeli broj u odnosu na zbrajanje, jedan je neutralan cijeli broj u odnosu na množenje cijelih brojeva. To je, množenje bilo kojeg cijelog broja s jedan ne mijenja broj koji se množi. Dakle, 1·a=a , gdje je a bilo koji cijeli broj. Posljednja jednakost može se prepisati kao 1=a, što nam omogućuje stvaranje komutativnog svojstva množenja. Navedimo dva primjera. Umnožak cijelog broja 556 s 1 je 556; umnožak jedinice i negativnog cijelog broja −78 je −78 .

Sljedeće svojstvo cjelobrojnog množenja vezano je za množenje nulom. Rezultat množenja bilo kojeg cijelog broja a s nulom je nula, odnosno a 0=0 . Jednakost 0·a=0 također vrijedi zbog svojstva komutativnosti množenja cijelih brojeva. U posebnom slučaju, kada je a=0, umnožak nule i nule je jednak nuli.

Za množenje cijelih brojeva vrijedi i svojstvo suprotno prethodnom. To tvrdi umnožak dvaju cijelih brojeva jednak je nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. U doslovnom obliku, ovo se svojstvo može napisati na sljedeći način: a·b=0 , ako su ili a=0 , ili b=0 , ili su oba a i b jednaki nuli u isto vrijeme.

Svojstvo distribucije množenja cijelih brojeva u odnosu na zbrajanje

Zajedno, zbrajanje i množenje cijelih brojeva omogućuje nam da razmotrimo svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje, koje povezuje dvije navedene radnje. Korištenje zbrajanja i množenja zajedno otvara dodatne mogućnosti koje bismo propustili da zbrajanje razmatramo odvojeno od množenja.

Dakle, svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje kaže da je umnožak cijelog broja a i zbroja dva cijela broja a i b jednak zbroju umnožaka a b i a c , tj. a (b+c)=a b+a c. Isto svojstvo može se napisati u drugom obliku: (a+b) c=a c+b c .

Distributivno svojstvo množenja cijelih brojeva s obzirom na zbrajanje, zajedno s asocijativnim svojstvom zbrajanja, omogućuje određivanje množenja cijelog broja zbrojem triju ili više cijelih brojeva, a zatim množenje zbroja cijelih brojeva s iznos.

Također primijetite da se sva ostala svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva mogu dobiti iz svojstava koja smo naveli, odnosno da su posljedice gornjih svojstava.

Svojstva oduzimanja cijelog broja

Iz dobivene jednakosti, kao i iz svojstava zbrajanja i množenja cijelih brojeva, slijede sljedeća svojstva oduzimanja cijelih brojeva (a, b i c su proizvoljni cijeli brojevi):

• Cjelobrojno oduzimanje općenito NEMA svojstvo komutativnosti: a−b≠b−a .
• Razlika jednakih cijelih brojeva jednaka je nuli: a−a=0 .
• Svojstvo oduzimanja zbroja dva cijela broja od zadanog cijelog broja: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Svojstvo oduzimanja cijelog broja od zbroja dvaju cijelih brojeva: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje: a (b−c)=a b−a c i (a−b) c=a c−b c.
• I sva ostala svojstva cjelobrojnog oduzimanja.

Svojstva cjelobrojnog dijeljenja

Raspravljajući o značenju dijeljenja cijelih brojeva, saznali smo da je dijeljenje cijelih brojeva obrnuto množenju. Dali smo sljedeću definiciju: dijeljenje cijelih brojeva je pronalaženje nepoznatog faktora pomoću poznatog umnoška i poznatog faktora. To jest, cijeli broj c zovemo kvocijent cijelog broja a podijeljenog s cijelim brojem b kada je umnožak c·b jednak a .

Ova definicija, kao i sva svojstva operacija nad cijelim brojevima razmatrana gore, omogućuju nam da utvrdimo valjanost sljedećih svojstava dijeljenja cijelih brojeva:

• Nijedan cijeli broj ne može se podijeliti s nulom.
• Svojstvo dijeljenja nule s proizvoljnim cijelim brojem različitim od nule a : 0:a=0 .
• Svojstvo dijeljenja jednakih cijelih brojeva: a:a=1, gdje je a svaki cijeli broj različit od nule.
• Svojstvo dijeljenja proizvoljnog cijelog broja a s jedan: a:1=a .
• Općenito, dijeljenje cijelih brojeva NEMA svojstvo komutativnosti: a:b≠b:a .
• Svojstva dijeljenja zbroja i razlike dva cijela broja s cijelim brojem su: (a+b):c=a:c+b:c i (a−b):c=a:c−b:c, gdje je a , b i c su cijeli brojevi tako da su i a i b djeljivi sa c, a c nije nula.
• Svojstvo dijeljenja umnoška dva cijela broja a i b cijelim brojem c različitim od nule: (a b):c=(a:c) b ako je a djeljivo sa c ; (a b):c=a (b:c) ako je b djeljiv sa c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) ako su i a i b djeljivi sa c .
• Svojstvo dijeljenja cijelog broja a umnoškom dva cijela broja b i c (brojevi a , b i c takvi da je moguće podijeliti a s b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
• Bilo koje drugo svojstvo cjelobrojnog dijeljenja.