Proučavanje egzaktnog predmeta: prirodni brojevi su što brojevi, primjeri i svojstva. Neprirodni brojevi

U matematici postoji nekoliko različitih skupova brojeva: realni, kompleksni, cijeli, racionalni, iracionalni, ... U našem Svakidašnjica najčešće koristimo prirodne brojeve, jer ih susrećemo pri brojanju i traženju, označavajući broj predmeta.

U kontaktu s

Koji se brojevi nazivaju prirodnim

Od deset znamenki možete zapisati apsolutno bilo koji postojeći zbroj klasa i činova. Prirodne vrijednosti su one koji se koriste:

• Kada brojite bilo koje stavke (prvi, drugi, treći, ... peti, ... deseti).
• Kod označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri...)

N vrijednosti su uvijek cijeli i pozitivni. Ne postoji najveći N, budući da skup cjelobrojnih vrijednosti nije ograničen.

Pažnja! Prirodni brojevi se dobivaju prebrojavanjem predmeta ili označavanjem njihove količine.

Apsolutno bilo koji broj može se rastaviti i prikazati kao bitni članovi, na primjer: 8.346.809=8 milijuna+346 tisuća+809 jedinica.

Postavite N

Skup N je u skupu realni, cijeli i pozitivni. U dijagramu skupova oni bi bili jedni u drugima, budući da je skup prirodnih dio njih.

Skup prirodnih brojeva označava se slovom N. Taj skup ima početak, ali nema kraj.

Postoji i prošireni skup N, gdje je uključena nula.

najmanji prirodni broj

U većini matematičkih škola najmanja vrijednost N računati kao jedinica, budući da se odsutnost objekata smatra praznim.

Ali u stranim matematičkim školama, na primjer, na francuskom, smatra se prirodnim. Prisutnost nule u nizu olakšava dokaz neki teoremi.

Skup vrijednosti N koji uključuje nulu naziva se proširenim i označava se simbolom N0 (nulti indeks).

Nizovi prirodnih brojeva

N redaka je niz svih N skupova znamenki. Ovaj niz nema kraja.

Osobitost prirodnog niza je da će se sljedeći broj razlikovati za jedan od prethodnog, odnosno povećavati. Ali značenja ne može biti negativan.

Pažnja! Radi lakšeg brojanja postoje klase i kategorije:

• Jedinice (1, 2, 3),
• desetice (10, 20, 30),
• Stotine (100, 200, 300),
• Tisuće (1000, 2000, 3000),
• Deseci tisuća (30.000),
• Stotine tisuća (800.000),
• Milijuni (4000000) itd.

Svi N

Svi N su u skupu realnih, cijelih, nenegativnih vrijednosti. Oni su njihovi sastavni dio.

Ove vrijednosti idu u beskonačnost, mogu pripadati klasama milijuna, milijardi, kvintilijuna itd.

Na primjer:

• Pet jabuka, tri mačića,
• Deset rubalja, trideset olovaka,
• Sto kilograma, tri stotine knjiga,
• Milijun zvijezda, tri milijuna ljudi itd.

Sekvenca u N

U različitim matematičkim školama mogu se naći dva intervala kojima niz N pripada:

od nule do plus beskonačno, uključujući krajeve, i od jedan do plus beskonačno, uključujući krajeve, to jest sve pozitivni cjeloviti odgovori.

N skupova znamenki mogu biti parni ili neparni. Razmotrite koncept neobičnosti.

Neparni (bilo koji neparni završavaju brojevima 1, 3, 5, 7, 9.) s dva imaju ostatak. Na primjer, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Što čak znači N?

Svi parni zbroji klasa završavaju brojevima: 0, 2, 4, 6, 8. Kod dijeljenja parnog N s 2 neće biti ostatka, odnosno rezultat je cijeli odgovor. Na primjer, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Važno! Numerički niz od N ne može se sastojati samo od parnih ili neparnih vrijednosti, jer se one moraju izmjenjivati: nakon parnog broja uvijek slijedi neparan broj, zatim opet paran broj, i tako dalje.

N svojstva

Kao i svi drugi skupovi, N ima svoja posebna svojstva. Razmotrimo svojstva niza N (neproširenog).

• Vrijednost koja je najmanja i koja ne slijedi nijednu drugu je jedan.
• N su niz, tj. jedna prirodna vrijednost slijedi drugi(osim jednog - to je prvi).
• Kada izvodimo računske operacije na N zbrojeva znamenki i klasa (zbrajanje, množenje), tada je odgovor uvijek ispadne prirodno značenje.
• U izračunima možete koristiti permutaciju i kombinaciju.
• Svaka sljedeća vrijednost ne može biti manja od prethodne. Također u nizu N djelovat će sljedeći zakon: ako je broj A manji od B, tada će u nizu brojeva uvijek postojati C, za koji vrijedi jednakost: A + C \u003d B.
• Ako uzmemo dva prirodna izraza, na primjer, A i B, tada će jedan od izraza biti istinit za njih: A \u003d B, A je veći od B, A je manji od B.
• Ako je A manje od B i B je manje od C, onda slijedi da da je A manje od C.
• Ako je A manji od B, onda slijedi da: ako im dodamo isti izraz (C), tada je A + C manji od B + C. Također je istina da ako se te vrijednosti pomnože s C, tada je AC manji od AB.
• Ako je B veći od A, ali manji od C, tada je B-A manji od C-A.

Pažnja! Sve navedene nejednakosti vrijede iu suprotnom smjeru.

Kako se zovu komponente množenja?

U mnogim jednostavnim, pa i složenim zadacima, pronalaženje odgovora ovisi o sposobnosti učenika

Cijeli brojevi nama vrlo poznato i prirodno. I to ne čudi, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu, usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolju asimilaciju materijala dani su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi su opći prikaz.

Sljedeće mišljenje nije lišeno zdrave logike: pojava problema brojanja predmeta (prvi, drugi, treći predmet, itd.) i problema označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri predmeta, itd.) dovela je do toga. do stvaranja alata za njegovo rješenje, ovaj alat je bio cijeli brojevi.

Ovaj prijedlog pokazuje glavna svrha prirodnih brojeva- nositi podatke o broju bilo koje stavke ili serijski broj dane stavke u razmatranom skupu stavki.

Da bi čovjek mogao koristiti prirodne brojeve, oni moraju biti na neki način dostupni, kako za percepciju tako i za reprodukciju. Ako ozvučite svaki prirodni broj, tada će postati vidljiv na uho, a ako nacrtate prirodni broj, tada će se moći vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percepcije prirodnih brojeva.

Pa krenimo s usvajanjem vještina prikazivanja (pisanja) i vještina izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, uz učenje njihova značenja.

Decimalni zapis prirodnog broja.

Najprije treba odlučiti na što ćemo se oslanjati pri pisanju prirodnih brojeva.

Upamtimo slike sljedećih znakova (pokazujemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su zapis tzv brojevima. Odmah se dogovorimo da ne okrećemo, naginjemo ili na drugi način iskrivljujemo brojeve prilikom pisanja.

Sada se slažemo da samo naznačene znamenke mogu biti prisutne u zapisu bilo kojeg prirodnog broja i nikakvi drugi simboli ne mogu biti prisutni. Također se slažemo da su znamenke u zapisu prirodnog broja iste visine, poredane u nizu jedna za drugom (gotovo bez uvlaka), a s lijeve strane nalazi se znamenka koja se razlikuje od znamenke 0 .

Evo nekoliko primjera ispravnog zapisa prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (napomena: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, više o tome bit će riječi prilikom pregleda). Iz gornjih primjera može se vidjeti da prirodni broj ne mora nužno sadržavati sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponavljati.

Upisi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer postoji znamenka s lijeve strane 0 .

Poziva se zapis prirodnog broja, izveden uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom stavku decimalni zapis prirodnog broja.

Dalje nećemo razlikovati prirodne brojeve i njihov zapis. Pojasnimo ovo: dalje u tekstu, izrazi poput “s obzirom na prirodni broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodni broj čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja predmeta.

Vrijeme je da se pozabavimo kvantitativnim značenjem koje nosi zabilježeni prirodni broj. U članku usporedba prirodnih brojeva razmatra se značenje prirodnih brojeva u smislu numeriranja objekata.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno s brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 I 9 .

Zamislimo da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo pisati ono što vidimo 1 artikal. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i drugih brojeva, dat ćemo u paragrafu), za br. 1 usvojio drugo ime - " jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti, osim prirodnog broja 1 , naziva se nešto što se promatra kao cjelina. Na primjer, bilo koja stavka iz njihovog skupa može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka od mnogo jabuka je jedna, svako jato ptica od mnogo jata ptica je također jedno, i tako dalje.

Sada otvorimo oči i vidimo: To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo pisati ono što vidimo 2 subjekt. Prirodni broj 2 , glasi kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (pročitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri"") subjekta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet“) stavke.

Dakle, s razmatrane pozicije prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti količina stavke.

Broj čiji zapis odgovara zapisu znamenke 0 , pod nazivom " nula". Broj nula NIJE prirodan broj, ali se obično smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količine.

jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jedne znamenke.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi su prirodni brojevi, čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Najprije dajemo definiciju dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi, čiji zapis čine dva znaka - dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 - dvoznamenkasti, brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti 5 490 , 832 , 90 037 - nije dvoznamenkasti.

Odgonetnimo kakvo značenje imaju dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo krenuti od kvantitativnog značenja nama već poznatih jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Prvo, predstavimo koncept deset.

Zamislimo takvu situaciju – otvorili smo oči i ugledali skup od devet predmeta i još jedan predmet. U ovom slučaju govori se o 1 deset (jedan tucet) predmeta. Ako se zajedno razmatra jedna desetica i još jedna desetica, tada se govori o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvjema deseticama dodamo još jednu deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na suštinu dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Da biste to učinili, dvoznamenkasti broj smatrajte dvama jednoznamenkastim brojevima - jedan je s lijeve strane u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je s desne strane. Broj na lijevoj strani označava broj desetica, a broj na desnoj strani broj jedinica. Štoviše, ako u zapisu dvoznamenkastog broja postoji znamenka s desne strane 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja iznosa.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam tuceta jabuka i još dvije jabuke), i broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu sjedinjene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko postoji dvoznamenkastih prirodnih brojeva"? Odgovori im 90 .

Okrećemo se definiciji troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi - 3 pozivaju se znamenke (različite ili ponovljene). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu tri znamenke.

Da bismo razumjeli značenje svojstveno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvije stotine i još jedna stotina je tri stotine. I tako dalje, imamo četiri stotine, pet stotina, šest stotina, sedam stotina, osam stotina i na kraju devet stotina.

Promotrimo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji idu jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, sljedeći broj označava broj stotina. Brojke 0 u zapisu troznamenkastog broja znači odsutnost desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine 1 prvih deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo 0 desetice, odnosno desetice koje nisu spojene u stotine, ne) i 5 jedinice; broj 470 - četiri stotine sedam desetica (nema jedinica koje se ne spajaju u desetice); broj 500 - pet stotina (desetice koje nisu spojene u stotine, a jedinice koje nisu spojene u desetice, ne).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti i tako dalje. prirodni brojevi.

Višeznačni prirodni brojevi.

Dakle, prelazimo na definiciju prirodnih brojeva s više vrijednosti.

Definicija.

Višeznačni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću trilijuna, tisuću tisuća bilijuna i tako dalje također se mogu nazvati vlastitim imenima, ali za to nema posebne potrebe.

Koje je značenje višeznačnih prirodnih brojeva?

Promatrajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj na desnoj strani označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, sljedeći je broj tisuća, sljedeći je broj desetaka tisuća, sljedeći su stotine tisuća, sljedeći je broj milijuna, sljedeći je broj desetaka milijuna, sljedeći su stotine milijuna, sljedeći - broj milijardi, zatim - broj desetaka milijardi, zatim - stotine milijardi , zatim - bilijuni, zatim - deseci bilijuna, zatim - stotine bilijuna, i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine 0 tisuće 8 desetke tisuća 5 stotine tisuća i 7 milijuni.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisućice, tisućice u desetice i tako dalje, te saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, klase.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo sadržaje sljedećih tablica napamet.

A kako se čitaju ostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Čitanje prirodnog broja 74 . Kao što smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 I 4 . Okrećemo se upravo napisanim tablicama i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (ne izgovaramo spoj “i”). Ako želite pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - Ovo 80 I 8 , dakle, čitamo: "Osamdeset osam." A evo primjera rečenice: "On razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo se već stečenim vještinama čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Uzmimo primjer. Očitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 I 7 . Okrećući se tablicama, čitamo: "Sto sedam." Sada recimo broj 217 . Ovaj broj je 200 I 17 , dakle, čitamo: "Dvjesto sedamnaest." Također, 888 - Ovo 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset i osam), čitamo: "Osam stotina osamdeset i osam."

Okrećemo se čitanju višeznamenkastih brojeva.

Za čitanje se zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke, au krajnjoj lijevoj takvoj skupini može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se nazivaju klase. Klasa s desne strane se zove razred jedinice. Poziva se sljedeća klasa (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred je milijunska klasa, Sljedeći - klasa milijardi, zatim ide trilijunska klasa. Možete dati nazive sljedećih klasa, ali prirodnih brojeva, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati na uho.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su odvojene jedna od druge malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zabilježene prirodne brojeve stavimo u tablicu prema kojoj ih je lako naučiti čitati.

Za čitanje prirodnog broja nazivamo slijeva na desno brojeve koji ga čine po razredu i dodajemo naziv razreda. Istovremeno, ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako razredni zapis ima znamenku s lijeve strane 0 ili dvije znamenke 0 , zanemarite ove brojeve 0 i pročitajte broj dobiven odbacivanjem tih znamenki 0 . npr. 002 čitati kao "dva", i 025 - kao "dvadeset pet".

Očitajmo broj 489 002 prema zadanim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , koji predstavlja klasu tisuća, je "četiristo osamdeset devet";
• dodajte naziv klase, dobivamo "četiri stotine osamdeset devet tisuća";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , nule su s lijeve strane, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• ne treba dodati naziv klase jedinice;
• kao rezultat imamo 489 002 - četiri stotine osamdeset devet tisuća dva.

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitamo "deset";
• dodajte naziv razreda, imamo "deset milijuna";
• zatim vidimo zapis 000 u klasi tisućica, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinice predstavlja broj 501 , što čitamo "petsto jedan";
• Tako, 10 000 501 deset milijuna petsto jedan.

Učinimo to bez detaljnih objašnjenja: 1 789 090 221 214 - "jedan trilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset jedna tisuća dvjesto četrnaest."

Dakle, temelj vještine čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva je sposobnost rastavljanja višeznamenkastih brojeva na klase, poznavanje naziva klasa i sposobnost čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja vrijednost svake znamenke ovisi o njezinu položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine 3 deseci i 9 jedinice, pa otuda i brojka 5 u unosu broja 539 definira broj stotina, znamenku 3 je broj desetica, a znamenka 9 - broj jedinica. Rečeno je da broj 9 ustaje znamenka jedinica i broj 9 je jedinična znamenka vrijednost, broj 3 ustaje mjesto desetica i broj 3 je mjesna vrijednost desetica, i broj 5 - V stotine mjesta i broj 5 je stotine mjesne vrijednosti.

Tako, pražnjenje- ovo je, s jedne strane, položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, as druge strane, vrijednost ove znamenke, određena njezinim položajem.

Činovi su dobili imena. Ako brojeve u zapisu prirodnog broja promatrate s desna na lijevo, tada će im odgovarati sljedeće znamenke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetice tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Imena kategorija zgodno je zapamtiti kada su predstavljena u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži imena od 15 znamenki.

Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova koji su uključeni u pisanje tog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeće znamenke također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste, pa ih nema smisla spominjati.

Pomoću tablice znamenaka zgodno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, potrebno je ovaj prirodni broj upisati u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki bude jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinica.

Uzmimo primjer. Napišimo prirodni broj 67 922 003 942 u tablici, a znamenke i vrijednosti tih znamenki postat će jasno vidljive.

U zapisu ovog broja znamenka 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 - na mjestu desetica, znamenka 9 - na mjestu stotica itd. Obratite pozornost na brojke 0 , koji su u znamenkama desetaka tisuća i stotina tisuća. Brojke 0 u ovim znamenkama znači nepostojanje jedinica tih znamenki.

Treba spomenuti i tzv. najnižu (najnižu) i najvišu (najvišu) kategoriju višeznačnog prirodnog broja. Niži (mlađi) rang svaki prirodni broj s više vrijednosti je znamenka jedinice. Najviša (najviša) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, najmanja znamenka prirodnog broja 23004 je znamenka jedinica, a najveća znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja krećemo po znamenkama slijeva nadesno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, znamenka tisućica manja je od znamenke desetaka tisuća, pogotovo znamenka tisuća manja je od znamenke stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaka sljedeća znamenka viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotica je starija od znamenke desetica, čak štoviše, starija je od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se izvodi zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitova tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, njihovim značenjem i načinom zapisivanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito, metoda pisanja brojeva pomoću znakova naziva se brojevni sustav. Vrijednost znamenke u unosu broja može, ali i ne mora ovisiti o njenom položaju. Nazivaju se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u brojevnom zapisu ovisi o njezinom položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo razmotrili i način njihovog zapisivanja pokazuju da koristimo položajni brojevni sustav. Treba napomenuti da posebno mjesto u ovom brojevnom sustavu ima broj 10 . Doista, rezultat se vodi u deseticama: deset jedinica se kombinira u deseticu, deset desetica se kombinira u stoticu, deset stotica u tisuću, i tako dalje. Broj 10 nazvao osnova zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav nazivamo decimal.

Osim decimalnog brojevnog sustava postoje i drugi, npr. u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a šezdesetinski sustav susrećemo kada je u pitanju mjerenje vremena.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

Cijeli brojevi- brojevi koji se koriste za brojanje predmeta . Svaki prirodan broj može se napisati deseticom znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takav zapis brojeva naziva se decimal.

Niz svih prirodnih brojeva naziva se prirodno jedno uz drugo .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mali prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. prirodne serije beskrajan ne postoji najveći broj.

Značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice, ako je na zadnjem mjestu u unosu broja (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je ona na zadnjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu od kraja (V stotine mjesto).

Znamenka 0 znači nedostatak jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja " nula". Ovaj broj znači "ništa". Rezultat 0:3 nogometne utakmice znači da prva momčad protivniku nije postigla niti jedan gol.

Nula ne uključuju prirodnim brojevima. I doista, brojanje predmeta nikada ne počinje ispočetka.

Ako prirodni broj ima samo jednu znamenku – jedna znamenka, tada se zove nedvosmislen. Oni. nedvosmislenprirodni broj- prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna znamenka. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednoznamenkasti.

dvoznamenkastiprirodni broj- prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvoznamenkasti.

Također, prema broju znakova u određenom broju, daju se imena drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 - troznamenkasti;

brojevi 1126, 4268, 9999 - četveroznamenkasti itd.

Dvije znamenke, tri znamenke, četiri znamenke, pet znamenki itd. pozivaju se brojevi višeznamenkasti brojevi .

Za čitanje višeznamenkastih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke (krajnja lijeva skupina može se sastojati od jedne ili dvije znamenke). Ove grupe se nazivaju klase.

milijun je tisuću tisuća (1000 tisuća), piše se 1 milijun ili 1.000.000.

milijarda iznosi 1000 milijuna. Bilježi ga 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri znamenke s desne strane čine klasu jedinica, sljedeće tri - klasu tisućica, zatim tu su klase milijuna, milijardi itd. (Sl. 1).

Riža. 1. Klasa milijuna, klasa tisućica i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 upisan je u bitnu mrežu (slika 2).

Riža. 2. Mreža znamenki: broj 15 milijardi 389 milijuna 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedinica, nula jedinica u klasi tisućica, 389 jedinica u klasi milijuna i 15 jedinica u klasi milijardi.

Definicija

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi namijenjeni brojanju predmeta. Za bilježenje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu općeprihvaćenog decimalnog brojevnog sustava za matematičke izračune.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi čine niz koji počinje s 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Takav niz sastoji se od brojeva 1,2,3, ... . To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i ne postoji najveći.
2. Svaki sljedeći broj veći je od prethodnog za 1 (izuzetak je sama jedinica).
3. Kako brojevi idu u beskonačnost, tako rastu unedogled.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva uvodi i 0. To je dopušteno i tada se o tome govori proširena prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka znamenka prirodnog broja izražava određenu znamenku. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, onaj prije njega je broj desetica, treći od kraja je broj stotina, četvrti je broj tisućica i tako dalje.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 tisuća, 9 desetica, 8 jedinica; mjesto stotica ovdje nema, jer je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete vidjeti stabilan trend (ako broj pregledate s desna na lijevo, odnosno od zadnje znamenke do prve):

• zadnje tri znamenke u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodna tri su jedinice, deseci i stotine tisuća;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. znamenka broja, računajući od kraja) su jedinice, desetice i stotine milijuna itd.

Odnosno, svaki put kada imamo posla s tri znamenke, što znači jedinice, desetice i stotine nekog većeg naziva. Takve grupe tvore razrede. A ako se s prva tri razreda u svakodnevnom životu morate nositi češće ili rjeđe, onda treba navesti i druge, jer ne pamte svi njihova imena napamet.

• Četvrta klasa, koja slijedi klasu milijuna i predstavlja brojeve od 10-12 znamenki, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred - bilijun;
• 6. razred - kvadrilijun;
• 7. razred - kvintilijun;
• 8. razred - sextillion;
• 9. razred - septilj.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja vam omogućuje da dobijete broj koji sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u zbrojenim brojevima.

Znak zbrajanja je znak "+". Zbrojeni brojevi nazivaju se članovima, a rezultat zbrojem.

Mali brojevi zbrajaju se (sabiraju) usmeno, pismeno se takve radnje pišu u retku.

Višeznamenkasti brojevi, koje je teško zbrojiti u umu, obično se dodaju u stupac. Za to se brojevi pišu jedan ispod drugog, poravnati sa zadnjom znamenkom, odnosno ispod znamenke jedinica upisuju znamenku jedinica, ispod znamenke stotina itd. Zatim morate zbrojiti znamenke u parovima. Ako se zbrajanje znamenki događa s prijelazom kroz deset, tada je ta desetka fiksirana kao jedinica iznad znamenke s lijeve strane (to jest, nakon nje) i dodaje se zajedno sa znamenkama ove znamenke.

Ako se u stupac dodaju ne 2, već više brojeva, tada pri zbrajanju znamenki kategorije, ne 1 tucet, već nekoliko, može biti suvišno. U ovom slučaju, broj takvih desetica prenosi se na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obrnuta zbrajanju, koja se svodi na činjenicu da za iznos i jedan od članova trebate pronaći drugi - nepoznati izraz. Broj od kojeg se oduzima naziva se umanjenik; broj koji se oduzima je subtrahend. Rezultat oduzimanja zove se razlika. Znak koji označava operaciju oduzimanja je "-".

Pri prijelazu na zbrajanje oduzimač i razlika prelaze u članove, a smanjeni u zbroj. Zbrajanjem se obično provjerava ispravnost izvršenog oduzimanja i obrnuto.

Ovdje je 74 umanjenik, 18 umanjenik, 56 razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: umanjenik mora nužno biti veći od umanjenika. Samo u tom slučaju dobivena razlika će također biti prirodan broj. Ako se radnja oduzimanja provodi za prošireni prirodni niz, tada je dopušteno da umanjenik bude jednak oduzetiku. A rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je umanjenik jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost umanjenika.

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva obično se vrši u stupcu. Zapišite brojeve na isti način kao kod zbrajanja. Oduzimanje se izvodi za odgovarajuće znamenke. Ako se pokaže da je umanjenik manji od umanjenika, tada se od prethodne (s lijeve strane) znamenke uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ta se desetica zbraja s brojkom reducirane. dana znamenka i zatim oduzeta. Nadalje, pri oduzimanju sljedeće znamenke potrebno je uzeti u obzir da je smanjeno postalo 1 manje.

Umnožak prirodnih brojeva

Umnožak (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija, koja je pronalaženje zbroja proizvoljnog broja istih članova. Za zapis operacije množenja koristite znak "·" (ponekad "×" ili "*"). Na primjer: 3 5=15.

Radnja množenja je neizostavna kada je potrebno zbrajati veliki broj članova. Na primjer, ako trebate dodati broj 4 7 puta, onda je množenje 4 sa 7 lakše nego ovo zbrajanje: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, a rezultat množenja je umnožak. Prema tome, pojam "rad" može, ovisno o kontekstu, izražavati i proces množenja i njegov rezultat.

Višeznamenkasti brojevi množe se u stupcu. Za ovaj broj se piše na isti način kao za zbrajanje i oduzimanje. Preporuča se prvo (iznad) napisati koji je od 2 broja duži. U tom će slučaju proces množenja biti jednostavniji, a time i racionalniji.

Kod množenja u stupcu, znamenke svake od znamenki drugog broja uzastopno se množe znamenkama 1. broja, počevši od njegovog kraja. Pronašavši prvi takav rad, zapisuju broj jedinica, a imaju na umu broj desetica. Pri množenju znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja umnošku se pribraja broj koji se ima na umu. I opet zapisuju broj jedinica dobivenog rezultata i pamte broj desetica. Pri množenju posljednjom znamenkom 1. broja tako dobiveni broj zapisuje se u cijelosti.

Rezultati množenja znamenki 2. znamenke drugog broja upisuju se u drugi red, pomičući ga za 1 ćeliju udesno. I tako dalje. Kao rezultat, dobit će se "ljestve". Sve dobivene redove brojeva treba zbrojiti (prema pravilu zbrajanja u stupcu). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenima nulama. Rezultirajući zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Umnožak bilo kojeg prirodnog broja s 1 (ili 1 s brojem) jednak je samom broju. Na primjer: 376 1=376; 1 86=86.
2. Kada su jedan od faktora ili oba faktora jednaki 0, tada je umnožak jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Dijeljenje prirodnih brojeva

Dijeljenjem se naziva aritmetička operacija pomoću koje se prema poznatom umnošku i jednom od faktora može pronaći drugi - nepoznati - faktor. Dijeljenje je obrnuto od množenja i koristi se za provjeru je li množenje ispravno izvedeno (i obrnuto).

Broj koji se dijeli zove se djeljiv; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja nazivamo kvocijent. Znak dijeljenja je ":" (ponekad, rjeđe - "÷").

Ovdje je 48 dividenda, 6 je djelitelj, a 8 je kvocijent.

Ne mogu se svi prirodni brojevi među sobom podijeliti. U ovom slučaju dijeljenje se izvodi s ostatkom. Sastoji se u tome što se za djelitelj odabire takav faktor da njegov umnožak s djeliteljem bude broj koji je po vrijednosti što bliži dividendi, ali manji od nje. Djelitelj se množi s tim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak dijeljenja. Umnožak djelitelja s faktorom nazivamo nepotpunim kvocijentom. Pažnja: ostatak mora biti manji od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj pogrešno odabran i treba ga povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju, ovaj broj je 5. Nalazimo nepotpuni kvocijent: 7 5 \u003d 35. Izračunaj ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višeznamenkasti brojevi podijeljeni su u stupac. Da biste to učinili, dividenda i djelitelj su napisani jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom crtom. U djelitelju se odabire prva znamenka ili prvih nekoliko znamenki (desno), što bi trebao biti broj minimalno dovoljan za dijeljenje djeliteljem (odnosno taj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj odabran je nepotpun kvocijent, kao što je opisano u pravilu dijeljenja s ostatkom. Ispod djelitelja upisuje se broj množitelja kojim se nalazi parcijalni kvocijent. Nepuni kvocijent upisuje se ispod broja koji je podijeljen, desno poravnat. Pronađite njihovu razliku. Sljedeća znamenka dividende se ruši tako da se upiše pored ove razlike. Za dobiveni broj ponovno se pronalazi nepotpuni kvocijent tako da se upiše broj odabranog faktora, pored prethodnog ispod djelitelja. I tako dalje. Takve se radnje izvode sve dok se ne isteknu brojevi dividende. Nakon toga dioba se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj dijele u cijelosti (bez ostatka), tada će zadnja razlika dati nulu. U protivnom će se vratiti preostali broj.

Potenciranje

Potenciranje je matematička operacija koja se sastoji u množenju proizvoljnog broja istih brojeva. Na primjer: 2 2 2 2.

Takvi izrazi se pišu kao: a x,

Gdje a je broj pomnožen sam sa sobom x je broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Svaki prirodni broj, osim 1, može se podijeliti s najmanje 2 broja - jedinicom i samim sobom. Na temelju tog kriterija prirodni se brojevi dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i samim sobom. Brojevi koji su djeljivi s više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo sa sobom nije ni prosta ni složena.

Brojevi su prosti: 2,3,5,7,11,13,17,19 itd. Primjeri složenih brojeva: 4 (djeljivo s 1,2,4), 6 (djeljivo s 1,2,3,6), 20 (djeljivo s 1,2,4,5,10,20).

Bilo koji složeni broj može se rastaviti na proste faktore. U ovom slučaju pod prostim faktorima podrazumijevaju se njegovi djelitelji, koji su prosti brojevi.

Primjer faktorizacije na proste faktore:

Djelitelji prirodnih brojeva

Djelitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu s ovom definicijom, jednostavni prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, a složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke djelitelje. Zajednički djelitelj je broj kojim su dani brojevi djeljivi bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebne je važnosti najveći zajednički djelitelj (NOD). Ovaj broj je posebno korisno pronaći za smanjenje razlomaka. Da bismo ga pronašli, potrebno je dane brojeve rastaviti na proste faktore i predstaviti ih kao umnožak njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Potrebno je pronaći GCD brojeva 36 i 48.

Djeljivost prirodnih brojeva

Daleko od toga da je uvijek moguće "na oko" odrediti je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka. U takvim slučajevima koristan je odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo pomoću kojeg se u nekoliko sekundi može utvrditi je li moguće dijeliti brojeve bez ostatka. Za označavanje djeljivosti koristi se znak "".

Najmanji zajednički višekratnik

Ova vrijednost (označava se LCM) je najmanji broj koji je djeljiv sa svakom od zadanih jedinica. LCM se može pronaći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

LCM, kao i GCD, ima značajno primijenjeno značenje. Dakle, LCM treba pronaći svođenjem običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM se određuje rastavljanjem danih brojeva na proste faktore. Za njegovo formiranje uzima se proizvod koji se sastoji od svakog od prisutnih (barem za 1 broj) prostih faktora predstavljenih do najvećeg stupnja.

Potrebno je pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosjek

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva zbroj je svih tih brojeva podijeljen s brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za brojčani skup.

Dati su brojevi 2,84,53,176,17,28. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.