Proširenje cos u Taylorov red. Proširenje funkcija u potencijski red

16.1. Proširenje elementarnih funkcija u Taylorov red i

Maclaurin

Pokažimo da ako je proizvoljna funkcija definirana na skupu
, u blizini točke
ima mnogo izvodnica i zbroj je niza potencija:

tada možete pronaći koeficijente ove serije.

Zamijenimo u potencijski niz
. Zatim
.

Nađimo prvu derivaciju funkcije
:

Na
:
.

Za drugu derivaciju dobivamo:

Na
:
.

Nastavljajući ovaj postupak n kada dobijemo:
.

Tako smo dobili niz potencija oblika:

,

koji se zove pored Taylora za funkciju
u blizini točke
.

Poseban slučaj Taylorovog niza je serija Maclaurin na
:

Ostatak Taylor (Maclaurin) niza dobiva se odbacivanjem glavnog niza n prvi članovi i označava se kao
. Zatim funkcija
može se napisati kao zbroj n prvi članovi serije
i ostatak
:,

.

Ostatak je obično
izraženi različitim formulama.

Jedan od njih je u Lagrangeovom obliku:

, Gdje
.
.

Imajte na umu da se u praksi Maclaurinov niz češće koristi. Dakle, da bismo napisali funkciju
u obliku sume potencije potrebno je:

1) pronaći koeficijente Maclaurinovog (Taylorovog) reda;

2) pronaći područje konvergencije rezultirajućeg reda potencija;

3) dokazati da taj niz konvergira funkciji
.

Teorema1 (nužan i dovoljan uvjet za konvergenciju Maclaurinovog reda). Neka radijus konvergencije niza
. Da bi ovaj niz konvergirao u intervalu
funkcionirati
, potrebno je i dovoljno da bi bio zadovoljen uvjet:
u navedenom intervalu.

Teorem 2. Ako izvodnice bilo kojeg reda funkcije
u nekom intervalu
ograničeno u apsolutnoj vrijednosti na isti broj M, to je
, tada je u tom intervalu funkcija
može se proširiti u Maclaurinov niz.

Primjer1 . Proširi u Taylorov niz oko točke
funkcija.

Riješenje.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Regija konvergencije
.

Primjer2 . Proširite funkciju u Taylorovom nizu oko točke
.

Riješenje:

Odredite vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Stavimo ove vrijednosti u red. Dobivamo:

ili
.

Nađimo područje konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako

.

Stoga, za bilo koji ova granica je manja od 1, pa će stoga opseg konvergencije niza biti:
.

Razmotrimo nekoliko primjera širenja osnovnih elementarnih funkcija u Maclaurinov red. Podsjetimo se da je serija Maclaurin:

.

konvergira na intervalu
funkcionirati
.

Imajte na umu da je za proširenje funkcije u niz potrebno:

a) pronađite koeficijente Maclaurinovog reda za tu funkciju;

b) izračunajte radijus konvergencije za rezultirajući niz;

c) dokazati da dobiveni niz konvergira funkciji
.

Primjer 3. Razmotrite funkciju
.

Riješenje.

Izračunajmo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
.

Tada brojčani koeficijenti niza imaju oblik:

za bilo koga n. Zamijenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo:

Nađimo radijus konvergencije rezultirajućeg niza, naime:

.

Stoga niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji za bilo koje vrijednosti , jer na bilo kojem intervalu
funkcija a njegove izvodnice apsolutne vrijednosti su ograničene brojem .

Primjer4 . Razmotrite funkciju
.

Riješenje.

:

Lako je vidjeti da izvodnice parnog reda
, a izvodnice su neparnog reda. Zamijenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo proširenje:

Nađimo interval konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom znaku:

za bilo koga . Stoga niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ​​ograničeni na jedinicu.

Primjer5 .
.

Riješenje.

Nađimo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
:

Dakle, koeficijenti ove serije:
I
, stoga:

Slično prethodnom retku, područje konvergencije
. Niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ​​ograničeni na jedinicu.

Napominjemo da funkcija
Proširivanje neparnih i nizova na neparne potencije, funkcija
– par i proširivanje u niz u parnim potencijama.

Primjer6 . Binomni niz:
.

Riješenje.

Nađimo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
:

Iz ovoga se vidi da:

Zamijenimo ove vrijednosti koeficijenata u Maclaurinov niz i dobijemo proširenje ove funkcije u niz snaga:

Nađimo radijus konvergencije ovog niza:

Stoga niz konvergira na intervalu
. Na graničnim točkama na
I
niz može ili ne mora konvergirati ovisno o eksponentu
.

Proučavani niz konvergira na intervalu
funkcionirati
, odnosno zbroj serije
na
.

Primjer7 . Proširimo funkciju u Maclaurinovom nizu
.

Riješenje.

Da proširimo ovu funkciju u niz, koristimo binomni niz na
. Dobivamo:

Na temelju svojstva redova potencije (red potencije se može integrirati u području njegove konvergencije) nalazimo integral lijeve i desne strane ovog niza:

Nađimo područje konvergencije ovog niza:
,

odnosno područje konvergencije ovog niza je interval
. Odredimo konvergenciju niza na krajevima intervala. Na

. Ovaj niz je harmoničan niz, odnosno razilazi se. Na
dobivamo brojevni niz sa zajedničkim članom
.

Niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju. Dakle, područje konvergencije ovog niza je interval
.

16.2. Primjena redova potencija u aproksimativnim proračunima

U aproksimativnim proračunima, redovi potencija igraju izuzetno važnu ulogu. Uz njihovu pomoć sastavljene su tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, tablice vrijednosti drugih funkcija koje se koriste u različitim područjima znanja, na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Osim toga, proširenje funkcija u potencijski niz korisno je za njihovo teorijsko proučavanje. Glavni problem pri korištenju nizova snaga u približnim izračunima je pitanje procjene pogreške pri zamjeni zbroja niza sa zbrojem njegovog prvog nčlanova.

Razmotrimo dva slučaja:

funkcija je proširena u znakovno-izmjenični niz;

funkcija je proširena u niz konstantnog predznaka.

Izračun korištenjem izmjeničnih serija

Neka funkcija
proširen u niz izmjeničnih potencija. Zatim pri izračunavanju ove funkcije za određenu vrijednost dobivamo niz brojeva na koji možemo primijeniti Leibnizov kriterij. U skladu s ovim kriterijem, ako se zbroj niza zamijeni zbrojem njegovog prvog n izrazi, tada apsolutna pogreška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, to jest:
.

Primjer8 . Izračunati
s točnošću od 0,0001.

Riješenje.

Koristit ćemo seriju Maclaurin za
, zamjenjujući vrijednost kuta u radijanima:

Usporedimo li prvi i drugi član niza sa zadanom točnošću, tada je: .

Treći termin proširenja:

manja od navedene točnosti proračuna. Stoga, izračunati
dovoljno je ostaviti dva termina serije tj

.

Tako
.

Primjer9 . Izračunati
s točnošću od 0,001.

Riješenje.

Koristit ćemo formulu binomnog niza. Da bismo to učinili, napišimo
kao:
.

U ovom izrazu
,

Usporedimo svaki od članova niza s točnošću koja je navedena. Jasno je da
. Stoga, izračunati
dovoljno je ostaviti tri termina serije.

ili
.

Izračun korištenjem pozitivnih serija

Primjer10 . Izračunaj broj s točnošću od 0,001.

Riješenje.

U redu za funkciju
zamijenimo
. Dobivamo:

Procijenimo pogrešku koja nastaje pri zamjeni zbroja niza sa zbrojem prvog članova. Zapišimo očitu nejednakost:

to je 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Prema problemu, trebate pronaći n tako da vrijedi nejednakost:
ili
.

Lako je provjeriti da kada n= 6:
.

Stoga,
.

Primjer11 . Izračunati
s točnošću od 0,0001.

Riješenje.

Imajte na umu da se za izračunavanje logaritama može koristiti niz za funkciju
, ali ovaj niz vrlo sporo konvergira i za postizanje zadane točnosti bilo bi potrebno uzeti 9999 članova! Stoga se za izračunavanje logaritama u pravilu koristi niz za funkciju
, koji konvergira na intervalu
.

Idemo izračunati
koristeći ovu seriju. Neka
, Zatim .

Stoga,
,

Da bi se izračunalo
sa zadanom točnošću, uzmite zbroj prva četiri člana:
.

Ostatak serije
odbacimo to. Procijenimo pogrešku. Očito je da

ili
.

Dakle, u nizu koji je korišten za izračun bilo je dovoljno uzeti samo prva četiri člana umjesto 9999 u nizu za funkciju
.

Pitanja za samodijagnostiku

1. Što je Taylorov red?

2. Kakav je oblik imao Maclaurinov niz?

3. Formulirajte teorem o proširenju funkcije u Taylorov red.

4. Zapišite Maclaurinov niz glavnih funkcija.

5. Naznačite područja konvergencije razmatranog niza.

6. Kako procijeniti pogrešku u aproksimativnim proračunima pomoću nizova potencija?

Ako funkcija f(x) ima derivacije svih redova na određenom intervalu koji sadrži točku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak niza, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između x i a.

f(x)=

u točki x 0 = Broj elemenata reda 3 4 5 6 7

Koristite proširenje elementarnih funkcija e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Pravila za unos funkcija:

Ako za neku vrijednost x r n→0 at n→∞, tada u limitu Taylorova formula postaje konvergentna za tu vrijednost Taylorova serija:
,
Stoga se funkcija f(x) može proširiti u Taylorov niz u točki x koja se razmatra ako:
1) ima izvedenice svih redova;
2) konstruirani niz konvergira u ovoj točki.

Kada je a = 0 dobivamo niz tzv blizu Maclaurina:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurinov red:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne proširuje po x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije


Logaritamske funkcije
, -1
Binomni nizovi
.

Primjer br. 1. Proširite funkciju u potencijski niz f(x)= 2x.
Riješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njezinih izvoda na x=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x U 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ul n 2, f(n)( 0) = 2 0 ul n 2=ln n 2.
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvedenica u formulu Taylorovog niza dobivamo:

Polumjer konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -∞<x<+∞.

Primjer br. 2. Napišite Taylorov red u potencijama ( x+4) za funkciju f(x)= e x.
Riješenje. Nalaženje derivacija funkcije e x i njihove vrijednosti u točki x=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Stoga traženi Taylorov red funkcije ima oblik:

Ova ekspanzija vrijedi i za -∞<x<+∞.

Primjer br. 3. Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu snaga ( X- 1),
(tj. u Taylorovom nizu u blizini točke x=1).
Riješenje. Nađite derivacije ove funkcije.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobivamo željeni Taylorov niz:

Koristeći d'Alembertov test, možete potvrditi da niz konvergira na ½x-1½<1 . Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 dobivamo izmjenični niz koji zadovoljava uvjete Leibnizova kriterija. Kada je x=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog niza je poluotvoreni interval (0;2].

Primjer br. 4. Proširite funkciju u potencijski niz.
Riješenje. U ekspanziji (1) zamijenimo x s -x 2, dobivamo:
, -∞

Primjer br. 5. Proširite funkciju u Maclaurinov niz.
Riješenje. Imamo
Koristeći formulu (4), možemo napisati:

zamjenom –x umjesto x u formuli, dobivamo:

Odavde nalazimo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otvaranjem zagrada, preslagivanjem termina niza i donošenjem sličnih termina, dobivamo
. Taj niz konvergira u intervalu (-1;1), jer je dobiven iz dva niza od kojih svaki konvergira u tom intervalu.

Komentar .
Formule (1)-(5) također se mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširivanje funkcija na pozitivne cijele potencije ( Ha). Za to je potrebno izvršiti takve identične transformacije na zadanoj funkciji da bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto x košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširiti rezultirajuću funkciju s obzirom na t u Maclaurinovom nizu.

Ova se metoda temelji na teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u potencijski niz. Bit ovog teorema je da se u blizini iste točke ne mogu dobiti dva različita niza potencije koji bi konvergirali istoj funkciji, ma kako se njezino širenje izvodilo.

Primjer br. 5a. Proširite funkciju u Maclaurinov niz i označite područje konvergencije.
Riješenje. Prvo nalazimo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
do osnovnog:

Razlomak 3/(1-3x) može se smatrati zbrojem beskonačno opadajuće geometrijske progresije s nazivnikom 3x, ako je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s područjem konvergencije |x|< 1/3.

Primjer br. 6. Proširi funkciju u Taylorov niz u blizini točke x = 3.
Riješenje. Ovaj problem se može riješiti, kao i prije, pomoću definicije Taylorovog niza, za koji moramo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na x=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
=
Rezultirajući niz konvergira na ili –3

Primjer br. 7. Napišite Taylorov red u potencijama (x -1) funkcije ln(x+2) .
Riješenje.


Niz konvergira na , ili -2< x < 5.

Primjer br. 8. Proširite funkciju f(x)=sin(πx/4) u Taylorov niz u blizini točke x =2.
Riješenje. Napravimo zamjenu t=x-2:

Koristeći ekspanziju (3), u kojoj zamijenimo π / 4 t umjesto x, dobivamo:

Rezultirajući niz konvergira zadanoj funkciji na -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Tako,
, (-∞

Približni proračuni korištenjem potencijskih redova

Redovi potencija naširoko se koriste u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć možete izračunati vrijednosti korijena, trigonometrijske funkcije, logaritme brojeva i određene integrale sa zadanom točnošću. Nizovi se također koriste pri integraciji diferencijalnih jednadžbi.
Razmotrimo proširenje funkcije u niz potencija:

Kako bi se izračunala približna vrijednost funkcije u određenoj točki x, koji pripadaju području konvergencije naznačenog niza, prvi ostaju u njegovom širenju nčlanovi ( n– konačan broj), a preostali članovi se odbacuju:

Za procjenu pogreške dobivene približne vrijednosti potrebno je procijeniti odbačeni ostatak rn (x) . Da biste to učinili, upotrijebite sljedeće tehnike:

• ako je rezultirajući niz izmjeničan, tada se koristi sljedeće svojstvo: za izmjenični niz koji zadovoljava Leibnizove uvjete, ostatak niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi prvi odbačeni član.
• ako je dani niz konstantnog predznaka, tada se niz sastavljen od odbačenih članova uspoređuje s beskonačno padajućom geometrijskom progresijom.
• u općem slučaju, za procjenu ostatka Taylorovog niza, možete koristiti Lagrangeovu formulu: a x ).

Primjer br. 1. Izračunajte ln(3) na najbližu 0,01.
Riješenje. Upotrijebimo ekspanziju gdje je x=1/2 (pogledajte primjer 5 u prethodnoj temi):

Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon prva tri člana proširenja; da bismo to učinili, procijenit ćemo ga pomoću zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Dakle, možemo odbaciti ovaj ostatak i dobiti

Primjer br. 2. Izračunajte do najbližih 0,0001.
Riješenje. Upotrijebimo binomni niz. Budući da je 5 3 kub cijelog broja najbližeg 130, preporučljivo je predstaviti broj 130 kao 130 = 5 3 +5.



budući da je već četvrti član rezultirajućeg izmjeničnog niza koji zadovoljava Leibnizov kriterij manji od tražene točnosti:
, tako da se on i uvjeti nakon njega mogu odbaciti.
Mnogi praktično potrebni definitivni ili nepravi integrali ne mogu se izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule, jer je njezina primjena povezana s pronalaženjem antiderivacije, koja često nema izraz u elementarnim funkcijama. Također se događa da je pronalaženje antiderivata moguće, ali je nepotrebno naporno. Međutim, ako se funkcija integranda proširi u red potencija, a granice integracije pripadaju intervalu konvergencije tog niza, tada je moguć aproksimativni izračun integrala s unaprijed određenom točnošću.

Primjer br. 3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x s točnošću od 10 -5 .
Riješenje. Odgovarajući neodređeni integral ne može se izraziti elementarnim funkcijama, tj. predstavlja “nestalni integral”. Ovdje se ne može primijeniti Newton-Leibnizova formula. Izračunajmo približno integral.
Dijeljenje pojam po pojam serije za grijeh x na x, dobivamo:

Integrirajući ovaj niz član po član (ovo je moguće jer granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza), dobivamo:

Budući da rezultirajući niz zadovoljava Leibnizove uvjete, dovoljno je uzeti zbroj prva dva člana kako bi se dobila željena vrijednost sa zadanom točnošću.
Dakle, nalazimo
.

Primjer br. 4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 s točnošću od 0,001.
Riješenje.
. Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon drugog člana rezultirajućeg niza.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Proširenje funkcije u niz Taylor, Maclaurin i Laurent na mjestu za vježbanje praktičnih vještina. Ovo proširenje funkcije u niz omogućuje matematičarima procjenu približne vrijednosti funkcije u nekoj točki njezine domene definicije. Puno je lakše izračunati takvu vrijednost funkcije u usporedbi s korištenjem Bredisove tablice, koja je tako nevažna u doba računalne tehnologije. Proširiti funkciju u Taylorov niz znači izračunati koeficijente linearnih funkcija tog niza i napisati ga u ispravnom obliku. Učenici brkaju ova dva niza, ne shvaćajući što je opći slučaj, a što poseban slučaj drugog. Podsjetimo jednom zauvijek da je Maclaurinov red poseban slučaj Taylorovog reda, odnosno ovo je Taylorov red, ali u točki x = 0. Sve kratke natuknice za proširenje dobro poznatih funkcija, kao što su e^x, Sin(x), Cos(x) i drugi, to su proširenja u Taylorov niz, ali u točki 0 za argument. Za funkcije složenog argumenta, Laurentov niz je najčešći problem u TFCT-u, budući da predstavlja dvostrani beskonačni niz. To je zbroj dviju serija. Predlažemo da pogledate primjer dekompozicije izravno na web stranici; to je vrlo jednostavno učiniti klikom na "Primjer" s bilo kojim brojem, a zatim na gumb "Rješenje". Upravo je to proširenje funkcije u niz koji je povezan s majorizirajućim nizom koji ograničava izvornu funkciju u određenom području duž ordinatne osi ako varijabla pripada području apscise. Vektorsku analizu uspoređuju s još jednom zanimljivom disciplinom u matematici. Budući da svaki pojam treba ispitati, proces zahtijeva dosta vremena. Bilo koji Taylorov red može se povezati s Maclaurinovim nizom zamjenom x0 s nulom, ali za Maclaurinov red ponekad nije očito prikazati Taylorov red obrnutim redom. Kao da to nije potrebno učiniti u svom čistom obliku, zanimljivo je za opći samorazvoj. Svaki Laurentov niz odgovara dvostranom beskonačnom redu potencije u cjelobrojnim potencijama z-a, drugim riječima, nizu istog Taylorovog tipa, ali malo drugačijeg u izračunu koeficijenata. O području konvergencije Laurentovog niza govorit ćemo malo kasnije, nakon nekoliko teorijskih izračuna. Kao iu prošlom stoljeću, proširenje funkcije korak po korak u niz teško se može postići jednostavnim dovođenjem članova na zajednički nazivnik, budući da su funkcije u nazivnicima nelinearne. Približan izračun funkcionalne vrijednosti zahtijeva formulacija problema. Razmislite o činjenici da kada je argument Taylorovog niza linearna varijabla, tada se proširenje događa u nekoliko koraka, ali slika je potpuno drugačija kada je argument funkcije koja se proširuje složena ili nelinearna funkcija, tada je proces predstavljanje takve funkcije u nizu potencije je očito, budući da je na ovaj način, dakle, lako izračunati, iako približnu vrijednost, u bilo kojoj točki u definicijskom području, s minimalnom pogreškom koja ima mali učinak na daljnje izračune. To se također odnosi i na seriju Maclaurin. kada je potrebno izračunati funkciju u nultočki. Međutim, sam Laurentov niz ovdje je predstavljen ekspanzijom na ravni sa imaginarnim jedinicama. Također, ispravno rješenje problema tijekom cjelokupnog procesa neće biti bez uspjeha. Ovaj pristup nije poznat u matematici, ali objektivno postoji. Kao rezultat toga, možete doći do zaključka tzv. pointwise podskupova, au ekspanziji funkcije u niz morate koristiti metode poznate za ovaj proces, kao što je primjena teorije derivacija. Još jednom se uvjeravamo da je učitelj bio u pravu, koji je iznio svoje pretpostavke o rezultatima post-računalnih izračuna. Napominjemo da Taylorov niz, dobiven prema svim kanonima matematike, postoji i definiran je na cijeloj numeričkoj osi, međutim, dragi korisnici usluge web mjesta, ne zaboravite vrstu izvorne funkcije, jer se može ispostaviti da je u početku potrebno utvrditi područje definicije funkcije, odnosno napisati i isključiti iz daljnjeg razmatranja one točke u kojima funkcija nije definirana u području realnih brojeva. Tako reći, to će pokazati vašu učinkovitost u rješavanju problema. Konstrukcija Maclaurinova niza s vrijednošću argumenta nula neće biti iznimka od rečenoga. Proces pronalaženja domene definicije funkcije nije otkazan i ovoj matematičkoj operaciji morate pristupiti sa svom ozbiljnošću. U slučaju Laurentovog niza koji sadrži glavni dio, parametar "a" nazvat će se izolirana singularna točka, a Laurentov niz će se proširiti u prsten - to je sjecište područja konvergencije njegovih dijelova, dakle slijedit će odgovarajući teorem. Ali nije sve tako komplicirano kao što se na prvi pogled može činiti neiskusnom učeniku. Nakon što ste proučili Taylorov niz, lako možete razumjeti Laurentov niz - generalizirani slučaj za proširenje prostora brojeva. Bilo koje proširenje funkcije u niz može se izvesti samo u točki u domeni definicije funkcije. Treba uzeti u obzir svojstva funkcija kao što su periodičnost ili beskonačna diferencijabilnost. Također predlažemo da upotrijebite tablicu gotovih proširenja elementarnih funkcija u Taylorov niz, budući da jedna funkcija može biti predstavljena do desetcima različitih nizova potencije, kao što se može vidjeti korištenjem našeg online kalkulatora. Online Maclaurinovu seriju lako je odrediti, ako koristite jedinstvenu uslugu web stranice, samo trebate unijeti ispravnu napisanu funkciju i dobit ćete prezentirani odgovor za nekoliko sekundi, zajamčeno je točan i u standardni pisani oblik. Možete kopirati rezultat izravno u čistu kopiju za predaju učitelju. Ispravno bi bilo najprije utvrditi analitičnost dotične funkcije u prstenovima, a zatim nedvosmisleno ustvrditi da je ona proširiva u Laurentov niz u svim takvim prstenovima. Važno je ne izgubiti iz vida uvjete Laurentove serije koji sadrže negativne moći. Usredotočite se na ovo što je više moguće. Iskoristite Laurentov teorem o proširenju funkcije na cjelobrojne potencije.

U teoriji funkcionalnih nizova središnje mjesto zauzima dio posvećen rastavljanju funkcije u niz.

Dakle, zadatak je postavljen: za zadanu funkciju moramo naći takav niz potencija

koji je konvergirao na određenom intervalu i njegov je zbroj bio jednak
, oni.

= ..

Ovaj zadatak se zove problem proširenja funkcije u potencijski niz.

Nužan uvjet za raščlanjivost funkcije u potencijski niz je njegova diferencijabilnost beskonačan broj puta – to proizlazi iz svojstava konvergentnih redova potencije. Ovaj uvjet je u pravilu zadovoljen za elementarne funkcije u njihovoj domeni definiranja.

Dakle, pretpostavimo da funkcija
ima izvedenice bilo kojeg reda. Je li moguće proširiti ga u potencijski niz? Ako je moguće, kako možemo pronaći taj niz? Drugi dio problema je lakše riješiti, pa krenimo od njega.

Pretpostavimo da funkcija
može se predstaviti kao zbroj redova potencija koji konvergiraju u intervalu koji sadrži točku x 0 :

= .. (*)

Gdje A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – nepoznati (još) koeficijenti.

Stavimo u jednakost (*) vrijednost x = x 0 , onda dobivamo

.

Razlikujmo red potencije (*) član po član

= ..

i vjerujući ovdje x = x 0 , dobivamo

.

Sljedećim diferenciranjem dobivamo niz

= ..

vjerujući x = x 0 , dobivamo
, gdje
.

Nakon P-višestruko diferenciranje dobivamo

Uz pretpostavku u posljednjoj jednakosti x = x 0 , dobivamo
, gdje

Dakle, koeficijenti su pronađeni

,
,
, …,
,….,

zamjenom koje u nizu (*), dobivamo

Dobiveni niz naziva se pored Taylora za funkciju
.

Dakle, to smo utvrdili ako se funkcija može proširiti u niz potencija potencijama (x - x 0 ), tada je ovo širenje jedinstveno i rezultirajući niz je nužno Taylorov niz.

Imajte na umu da se Taylorov red može dobiti za bilo koju funkciju koja ima derivacije bilo kojeg reda u točki x = x 0 . Ali to ne znači da se između funkcije i rezultirajućeg niza može staviti znak jednakosti, tj. da je zbroj niza jednak izvornoj funkciji. Prvo, takva jednakost može imati smisla samo u području konvergencije, a Taylorov niz dobiven za funkciju može divergirati, i drugo, ako Taylorov niz konvergira, tada se njegov zbroj možda neće podudarati s izvornom funkcijom.

3.2. Dovoljni uvjeti za raščlanjivost funkcije u Taylorov red

Formulirajmo tvrdnju uz pomoć koje ćemo riješiti zadatak.

Ako funkcija
u nekoj okolini točke x 0 ima derivacije do (n+ 1) uključivog reda, onda u ovom susjedstvu imamoformula Taylor

GdjeR n (x)-preostali član Taylorove formule – ima oblik (Lagrangeov oblik)

Gdje točkaξ leži između x i x 0 .

Imajte na umu da postoji razlika između Taylorovog niza i Taylorove formule: Taylorova formula je konačna suma, tj. P - fiksni broj.

Podsjetimo da je zbroj niza S(x) može se definirati kao limit funkcionalnog niza parcijalnih suma S P (x) u nekom intervalu x:

.

Prema ovome, proširiti funkciju u Taylorov niz znači pronaći niz takav da za bilo koji xx

Napišimo Taylorovu formulu u obliku gdje je

primijeti da
definira pogrešku koju dobivamo, zamijenite funkciju f(x) polinom S n (x).

Ako
, To
,oni. funkcija je proširena u Taylorov niz. Obrnuto, ako
, To
.

Tako smo dokazali kriterij za raščlanjivost funkcije u Taylorov red.

Kako bi funkcijaf(x) proširuje u Taylorov niz, potrebno je i dovoljno da na tom intervalu
, GdjeR n (x) je preostali član Taylorovog niza.

Primjenom formuliranog kriterija može se dobiti dostatanuvjeti za raščlanjivost funkcije u Taylorov red.

Ako uneka okolina točke x 0 apsolutne vrijednosti svih izvodnica funkcije ograničene su na isti broj M≥ 0, tj.

, To u ovom susjedstvu funkcija se proširuje u Taylorov niz.

Iz navedenog proizlazi algoritamproširenje funkcije f(x) u Taylorovom nizu u blizini točke x 0 :

1. Pronalaženje izvoda funkcija f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Izračunajte vrijednost funkcije i vrijednosti njezinih derivacija u točki x 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Formalno pišemo Taylorov red i nalazimo područje konvergencije rezultirajućeg reda potencija.

4. Provjeravamo ispunjenje dovoljnih uvjeta, t.j. utvrđujemo za koje x iz regije konvergencije, preostali član R n (x) teži nuli kao
ili
.

Proširenje funkcija u Taylorov niz pomoću ovog algoritma naziva se proširenje funkcije u Taylorov red po definiciji ili izravna dekompozicija.

Među funkcionalnim redovima najvažnije mjesto zauzimaju potencijski redovi.

Niz potencija je red

čiji su članovi potencije raspoređene u rastućim nenegativnim cijelim potencijama x, A c0 , c 1 , c 2 , c n - konstantne vrijednosti. Brojke c1 , c 2 , c n - koeficijenti članova serije, c0 - besplatan član. Članovi potencije definirani su na cijelom brojevnom pravcu.

Upoznajmo se s konceptom područja konvergencije potencijskih redova. Ovo je skup varijabilnih vrijednosti x, za koje serija konvergira. Redovi potencija imaju prilično jednostavno područje konvergencije. Za realne varijabilne vrijednosti x područje konvergencije sastoji se ili od jedne točke, ili je određeni interval (interval konvergencije), ili se podudara s cijelom osi Vol .

Prilikom zamjene vrijednosti u nizove snaga x= 0 rezultirat će nizom brojeva

c0 +0+0+...+0+... ,

koji konvergira.

Stoga, kada x= 0 svaki red potencija konvergira i, prema tome, njegovo područje konvergencije ne može biti prazan skup. Struktura područja konvergencije svih redova potencija je ista. Može se utvrditi korištenjem sljedećeg teorema.

Teorem 1 (Abelov teorem). Ako red potencija konvergira kod neke vrijednosti x = x 0 , različit od nule, onda konvergira, i štoviše, apsolutno, za sve vrijednosti |x| < |x 0 | . Imajte na umu: i početna vrijednost "X je nula" i bilo koja vrijednost "X" koja se uspoređuje s početnom vrijednošću uzimaju se modulo - bez uzimanja u obzir predznaka.

Posljedica. Ako niz potencija divergira na neku vrijednost x = x 1 , tada divergira za sve vrijednosti |x| > |x 1 | .

Kao što smo već ranije otkrili, bilo koji red potencija konvergira na vrijednosti x= 0. Postoje redovi potencija koji konvergiraju samo kada x= 0 i divergiraju za ostale vrijednosti x. Isključujući ovaj slučaj iz razmatranja, pretpostavljamo da red potencije konvergira na nekoj vrijednosti x = x 0 , različit od nule. Tada, prema Abelovom teoremu, konvergira u svim točkama intervala ]-| x0 |, |x 0 |[ (interval čija su lijeva i desna granica x vrijednosti na kojima konvergira red potencije, uzeto s predznakom minus i predznakom plus), simetrično u odnosu na ishodište.

Ako niz potencija divergira na određenoj vrijednosti x = x 1 , tada, na temelju korolacije Abelovog teorema, divergira u svim točkama izvan segmenta [-| x1 |, |x 1 |] . Iz toga slijedi da za bilo koji potencijski red postoji interval simetričan u odnosu na ishodište, tzv interval konvergencije , u čijoj svakoj točki niz konvergira, na granicama može konvergirati, ili može divergirati, a ne nužno u isto vrijeme, a izvan segmenta niz divergira. Broj R naziva se radijus konvergencije reda potencija.

U posebnim slučajevima interval konvergencije potencijskih redova može degenerirati do točke (tada niz konvergira samo kada x= 0 i smatra se da je R= 0) ili predstavljaju cijeli brojevni pravac (tada niz konvergira u svim točkama brojevnog pravca i pretpostavlja se da je ).

Prema tome, određivanje područja konvergencije reda potencija sastoji se od određivanja njegove radijus konvergencije R i proučavanje konvergencije niza na granicama intervala konvergencije (na ).

Teorem 2. Ako su svi koeficijenti niza snaga, počevši od određenog, različiti od nule, tada je njegov radijus konvergencije jednak granici u omjeru apsolutnih vrijednosti koeficijenata zajedničkih sljedećih članova niza. , tj.

Primjer 1. Odredite područje konvergencije reda potencija

Riješenje. Ovdje

Koristeći formulu (28), nalazimo radijus konvergencije ovog niza:

Proučimo konvergenciju niza na krajevima intervala konvergencije. Primjer 13 pokazuje da ovaj niz konvergira na x= 1 i divergira na x= -1. Prema tome, područje konvergencije je poluinterval.

Primjer 2. Odredite područje konvergencije reda potencija

Riješenje. Koeficijenti niza su pozitivni, i

Nađimo granicu ovog omjera, tj. radijus konvergencije reda snaga:

Proučimo konvergenciju niza na krajevima intervala. Zamjena vrijednosti x= -1/5 i x= 1/5 u ovom retku daje:

Prvi od ovih nizova konvergira (vidi primjer 5). Ali onda, na temelju teorema u odjeljku "Apsolutna konvergencija", drugi niz također konvergira, a područje njegove konvergencije je segment

Primjer 3. Odredite područje konvergencije reda potencija

Riješenje. Ovdje

Pomoću formule (28) nalazimo radijus konvergencije niza:

Proučimo konvergenciju niza za vrijednosti . Zamjenjujući ih u ovom nizu, dobivamo redom

Oba niza divergiraju jer nužni uvjet za konvergenciju nije zadovoljen (njihovi zajednički članovi ne teže nuli na ). Dakle, na oba kraja intervala konvergencije ovaj niz divergira, a područje njegove konvergencije je interval.

Primjer 5. Odredite područje konvergencije reda potencija

Riješenje. Nalazimo odnos gdje je , i :

Prema formuli (28), radijus konvergencije ovog niza

,

odnosno niz konvergira samo kada x= 0 i divergira za ostale vrijednosti x.

Primjeri pokazuju da se na krajevima intervala konvergencije nizovi ponašaju drugačije. U primjeru 1 na jednom kraju intervala konvergencije niz konvergira, a na drugom divergira; u primjeru 2 konvergira na oba kraja; u primjeru 3 divergira na oba kraja.

Formula za radijus konvergencije reda potencija dobiva se pod pretpostavkom da su svi koeficijenti članova niza, počevši od određene točke, različiti od nule. Stoga je uporaba formule (28) dopuštena samo u tim slučajevima. Ako je ovaj uvjet prekršen, tada treba tražiti radijus konvergencije reda snage pomoću d'Alembertov znak, ili, zamjenom varijable, transformacijom serije u oblik u kojem je navedeni uvjet zadovoljen.

Primjer 6. Odredite interval konvergencije potencijskog reda

Riješenje. Ovaj niz ne sadrži pojmove s neparnim stupnjevima x. Stoga transformiramo seriju, postavku . Onda dobivamo seriju

da bismo pronašli radijus konvergencije na koji možemo primijeniti formulu (28). Budući da je , a , tada je radijus konvergencije ovog niza

Iz jednakosti dobivamo stoga ovaj niz konvergira na intervalu .

Zbroj potencijskih redova. Diferenciranje i integracija potencijskih redova

Neka za potencijski niz

radijus konvergencije R> 0, tj. ovaj niz konvergira na intervalu .

Zatim svaka vrijednost x iz intervala konvergencije odgovara određenom zbroju niza. Stoga je zbroj reda potencija funkcija od x na intervalu konvergencije. Označavajući ga sa f(x), možemo napisati jednakost

shvaćajući ga u smislu da zbroj niza u svakoj točki x iz intervala konvergencije jednaka je vrijednosti funkcije f(x) u ovom trenutku. U istom smislu ćemo reći da red potencija (29) konvergira funkciji f(x) na intervalu konvergencije.

Izvan intervala konvergencije jednakost (30) nema smisla.

Primjer 7. Nađi zbroj potencijskih nizova

Riješenje. Ovo je geometrijski niz za koji a= 1, a q= x. Stoga je njegov zbroj funkcija . Niz konvergira ako je , i njegov je interval konvergencije. Stoga jednakost

vrijedi samo za vrijednosti, iako funkcija definiran za sve vrijednosti x, osim x= 1.

Može se dokazati da zbroj potencijskih nizova f(x) kontinuirana i diferencijabilna na bilo kojem intervalu unutar intervala konvergencije, posebno u bilo kojoj točki u intervalu konvergencije niza.

Predstavimo teoreme o diferencijaciji i integraciji potencijskih redova po članu.

Teorem 1. Red potencije (30) u intervalu svoje konvergencije može se diferencirati član po član neograničeni broj puta, a rezultirajući red potencije ima isti radijus konvergencije kao i izvorni niz, a njihovi zbrojevi redom su jednaki .

Teorem 2. Redovi potencija (30) mogu se integrirati član po član neograničeni broj puta u rasponu od 0 do x, ako , i rezultirajući niz potencija ima isti radijus konvergencije kao izvorni niz, a njihovi zbrojevi su odgovarajuće jednaki

Proširenje funkcija u potencijski red

Neka je zadana funkcija f(x), koji treba proširiti u potencijski niz, tj. predstaviti u obliku (30):

Zadatak je odrediti koeficijente red (30). Da bismo to učinili, diferencirajući jednakost (30) pojam po pojam, dosljedno nalazimo:

……………………………………………….. (31)

Pretpostavljajući u jednakosti (30) i (31) x= 0, nalazimo

Zamjenom pronađenih izraza u jednakost (30) dobivamo

(32)

Nađimo Maclaurinov niz nekih elementarnih funkcija.

Primjer 8. Proširite funkciju u Maclaurinovu nizu

Riješenje. Derivacije ove funkcije podudaraju se sa samom funkcijom:

Stoga, kada x= 0 imamo

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (32) dobivamo željeno proširenje:

(33)

Ovaj niz konvergira na cijelom brojevnom pravcu (njegov polumjer konvergencije).