Pearsonov test korelacije. Statistička značajnost regresijskih i korelacijskih parametara
Uvod. 2
1. Procjena značajnosti koeficijenata regresije i korelacije pomoću Studentovog f-testa. 3
2. Izračun značajnosti koeficijenata regresije i korelacije pomoću Studentovog f-testa. 6
Zaključak. 15
Nakon konstruiranja regresijske jednadžbe potrebno je provjeriti njezinu značajnost: pomoću posebnih kriterija utvrditi je li rezultirajuća ovisnost, izražena regresijskom jednadžbom, slučajna, tj. može li se koristiti za potrebe predviđanja i za faktorsku analizu. U statistici su razvijene metode za striktno ispitivanje značajnosti regresijskih koeficijenata pomoću analize varijance i izračunavanja posebnih kriterija (npr. F-test). Labavo ispitivanje može se izvesti izračunavanjem prosječnog relativnog linearnog odstupanja (e), koje se naziva srednja pogreška aproksimacije:
Prijeđimo sada na ocjenu značajnosti koeficijenata regresije bj i konstruiranje intervala pouzdanosti za parametre regresijskog modela Ru (J=l,2,..., p).
Blok 5 - procjena značajnosti regresijskih koeficijenata na temelju vrijednosti Studentovog ^-testa. Izračunate vrijednosti ta uspoređuju se s dopuštenom vrijednošću
Blok 5 - procjena značajnosti koeficijenata regresije na temelju vrijednosti ^-kriterija. Izračunate vrijednosti t0n uspoređuju se s dopuštenom vrijednošću 4,/, koja se određuje iz tablica t-distribucije za zadanu vjerojatnost pogreške (a) i broj stupnjeva slobode (/).
Uz provjeru značajnosti cijelog modela, potrebno je testirati značajnost regresijskih koeficijenata pomoću Studentovog /-testa. Najmanja vrijednost koeficijenta regresije br mora odgovarati uvjetu bifob- ^t, gdje je bi vrijednost koeficijenta regresijske jednadžbe u prirodnoj ljestvici za i-to obilježje faktora; Ah. - srednja kvadratna pogreška svakog koeficijenta. neusporedivost koeficijenata D u njihovom značaju;
Daljnja statistička analiza odnosi se na testiranje značajnosti regresijskih koeficijenata. Da bismo to učinili, nalazimo vrijednost ^-kriterija za regresijske koeficijente. Kao rezultat njihove usporedbe određuje se najmanji ^-kriterij. Faktor čiji koeficijent odgovara najmanjem ^-kriteriju isključen je iz daljnje analize.
Za procjenu statističke značajnosti koeficijenata regresije i korelacije izračunat je Studentov t-test i intervali pouzdanosti za svaki pokazatelj. Postavlja se hipoteza o slučajnoj prirodi pokazatelja, tj. o njihovoj beznačajnoj razlici od nule. Procjena značajnosti koeficijenata regresije i korelacije pomoću Studentovog f-testa provodi se usporedbom njihovih vrijednosti s veličinom slučajne pogreške:
Procjena značajnosti čistih regresijskih koeficijenata pomoću Studentovog /-testa svodi se na izračunavanje vrijednosti
Kvaliteta rada je karakteristika konkretnog rada, koja odražava stupanj njegove složenosti, intenzitet (intenzitet), uvjete i značaj za gospodarski razvoj. K.t. mjereno kroz tarifni sustav koji omogućuje diferenciranje plaća ovisno o razini kvalifikacija (složenosti rada), uvjetima, težini rada i njegovom intenzitetu, kao i važnosti pojedinih grana i proizvodnje, regija, teritorija za razvoj gospodarstvo zemlje. K.t. dolazi do izražaja u plaćama radnika, koje se razvijaju na tržištu rada pod utjecajem potražnje i ponude rada (specifične vrste rada). K.t. - složene strukture
Dobiveni bodovi relativne važnosti pojedinačnih ekonomskih, društvenih i ekoloških posljedica projekta nadalje daju osnovu za usporedbu alternativnih projekata i njihovih opcija korištenjem “kompleksnog bodovanja bezdimenzionalnog kriterija društvene i okolišno-ekonomske učinkovitosti” Ek projekta, izračunatog (u prosječnim rezultatima značajnosti) pomoću formule
Unutarindustrijskom regulacijom osiguravaju se razlike u plaćama radnika u određenoj djelatnosti, ovisno o značaju pojedinih vrsta proizvodnje u određenoj djelatnosti, složenosti i uvjetima rada, kao i oblicima nagrađivanja.
Rezultirajuća ocjena rejtinga analiziranog poduzeća u odnosu na standardno poduzeće bez uzimanja u obzir značajnosti pojedinih pokazatelja je komparativna. Pri usporedbi rejtinga više poduzeća najvišu ocjenu dobiva ono poduzeće s najmanjom vrijednošću dobivene usporedne ocjene.
Razumijevanje kvalitete proizvoda kao mjere njegove korisnosti postavlja praktično važno pitanje o njegovu mjerenju. Njegovo se rješavanje postiže proučavanjem značaja pojedinih svojstava u zadovoljenju određene potrebe. Značaj čak i istog svojstva može biti različit ovisno o uvjetima potrošnje proizvoda. Posljedično, korisnost proizvoda u različitim okolnostima njegove uporabe je različita.
Druga faza rada je proučavanje statističkih podataka i utvrđivanje odnosa i međudjelovanja pokazatelja, utvrđivanje značajnosti pojedinih čimbenika i razloga promjena općih pokazatelja.
Svi razmatrani pokazatelji objedinjeni su u jedan na način da je rezultat sveobuhvatna procjena svih analiziranih aspekata aktivnosti poduzeća, uzimajući u obzir uvjete njegovog djelovanja, uzimajući u obzir stupanj značaja pojedinih pokazatelja za različite vrste investitori:
Regresijski koeficijenti pokazuju intenzitet utjecaja faktora na pokazatelj uspješnosti. Ako se provodi prethodna standardizacija faktorskih pokazatelja, tada je b0 jednak prosječnoj vrijednosti efektivnog pokazatelja u agregatu. Koeficijenti b, b2 ..... bl pokazuju koliko jedinica razina efektivnog indikatora odstupa od svoje prosječne vrijednosti ako vrijednosti faktorskog indikatora odstupaju od prosjeka nule za jednu standardnu devijaciju. Dakle, regresijski koeficijenti karakteriziraju stupanj značajnosti pojedinih čimbenika za povećanje razine pokazatelja uspješnosti. Specifične vrijednosti regresijskih koeficijenata određuju se iz empirijskih podataka prema metodi najmanjih kvadrata (kao rezultat rješavanja sustava normalnih jednadžbi).
2. Izračun značajnosti koeficijenata regresije i korelacije pomoću Studentovog f-testa
Promotrimo linearni oblik višefaktorskih odnosa ne samo kao najjednostavniji, već i kao oblik koji nam pružaju aplikacijski softverski paketi za osobna računala. Ako veza između pojedinog faktora i rezultirajućeg atributa nije linearna, tada se jednadžba linearizira zamjenom ili transformacijom vrijednosti atributa faktora.
Opći oblik multivarijantne regresijske jednadžbe je:
gdje je k broj faktorskih karakteristika.
Da bi se pojednostavio sustav jednadžbi najmanjih kvadrata potrebnih za izračunavanje parametara jednadžbe (8.32), obično se uvode odstupanja pojedinačnih vrijednosti svih karakteristika od prosječnih vrijednosti tih karakteristika.
Dobivamo sustav od k jednadžbi najmanjih kvadrata:
Rješavanjem ovog sustava dobivamo vrijednosti uvjetno čistih koeficijenata regresije b. Slobodni član jednadžbe izračunava se formulom
Izraz "uvjetno čisti regresijski koeficijent" znači da svaka od vrijednosti bj mjeri agregatno prosječno odstupanje rezultirajuće karakteristike od njegove prosječne vrijednosti kada dani faktor xj odstupa od svoje prosječne vrijednosti za jedinicu svoje mjere i pod uvjetom da svi ostali faktori uključeni u regresijsku jednadžbu, fiksirani na prosječnim vrijednostima, ne mijenjaju se, ne variraju.
Dakle, za razliku od uparenog koeficijenta regresije, koeficijent uvjetne čiste regresije mjeri utjecaj čimbenika, apstrahirajući se od odnosa varijacije tog čimbenika s varijacijom drugih čimbenika. Ako je bilo moguće uključiti u regresijsku jednadžbu sve čimbenike koji utječu na varijaciju rezultirajuće karakteristike, tada bi vrijednosti bj. mogli smatrati mjerama čistog utjecaja faktora. Ali kako je stvarno nemoguće uključiti sve faktore u jednadžbu, tada koeficijenti bj. nije oslobođen od primjesa utjecaja faktora koji nisu uključeni u jednadžbu.
Nemoguće je uključiti sve čimbenike u regresijsku jednadžbu zbog jednog od tri razloga ili sve njih odjednom, jer:
1) neki čimbenici mogu biti nepoznati modernoj znanosti, znanje o bilo kojem procesu uvijek je nepotpuno;
2) nema informacija o nekom od poznatih teorijskih faktora ili je nepouzdana;
3) veličina populacije koja se proučava (uzorka) je ograničena, što omogućuje uključivanje ograničenog broja faktora u regresijsku jednadžbu.
Uvjetni čisti koeficijenti regresije bj. su imenovani brojevi izraženi u različitim mjernim jedinicama i stoga su međusobno neusporedivi. Za njihovo pretvaranje u usporedive relativne pokazatelje koristi se ista transformacija kao za dobivanje koeficijenta parne korelacije. Dobivena vrijednost naziva se standardizirani regresijski koeficijent ili?-koeficijent.
Koeficijent faktora xj određuje mjeru utjecaja varijacije faktora xj na varijaciju rezultirajuće karakteristike y, apstrahirajući se od popratne varijacije drugih faktora uključenih u regresijsku jednadžbu.
Koeficijente uvjetno čiste regresije korisno je izraziti u obliku relativnih usporedivih pokazatelja povezanosti, koeficijenata elastičnosti:
Koeficijent elastičnosti faktora xj kaže da kada vrijednost određenog faktora odstupa od svoje prosječne vrijednosti za 1% i apstrahirajući popratna odstupanja drugih faktora uključenih u jednadžbu, rezultirajuća karakteristika će odstupati od svoje prosječne vrijednosti za ej posto od g. Češće se koeficijenti elastičnosti tumače i primjenjuju u smislu dinamike: s povećanjem faktora x za 1% njegove prosječne vrijednosti, rezultirajuća karakteristika će se povećati za e. posto svoje prosječne vrijednosti.
Razmotrimo izračun i interpretaciju multifaktorske regresijske jednadžbe koristeći istih 16 farmi kao primjer (tablica 8.1). Efektivni predznak je visina bruto dohotka i tri faktora koji utječu na njega, prikazani su u tablici. 8.7.
Podsjetimo još jednom da je za dobivanje pouzdanih i dovoljno točnih pokazatelja korelacije potrebna veća populacija.
Tablica 8.7
Visina bruto dohotka i njezini čimbenici
| Brojevi farmi |
Bruto prihod, rub./ra |
Troškovi rada, čovjek-dani/ha x1 |
Udio obradivog zemljišta, |
Prinos mlijeka po 1 kravi, |
Tablica 8.8 Pokazatelji regresijske jednadžbe
| Zavisna varijabla: y |
|||||
| Koeficijent regresije |
|||||
| Konstanta-240.112905 |
|||||
| Std. pogreška procjene = 79,243276 |
|||||
Rješenje je provedeno pomoću programa “Microstat” za PC. Evo tablica s ispisa: tablica. 8.7 daje prosječne vrijednosti i standardne devijacije svih karakteristika. Stol 8.8 sadrži koeficijente regresije i njihovu probabilističku procjenu:
prvi stupac “var” - varijable, tj. faktori; drugi stupac “koeficijent regresije” - uvjetno čisti koeficijenti regresije bj; treći stupac “std. errr" - prosječne pogreške u procjenama koeficijenata regresije; četvrti stupac - vrijednosti Studentovog t-testa s 12 stupnjeva slobode varijacije; peti stupac “prob” - vjerojatnost nulte hipoteze u odnosu na koeficijente regresije;
šesti stupac “parcijalni r2” - parcijalni koeficijenti determinacije. O sadržaju i metodologiji za izračun pokazatelja u stupcima 3-6 dalje se govori u poglavlju 8. “Konstanta” je slobodni član regresijske jednadžbe a; "Std. pogreška procjene." - srednja kvadratna pogreška procjene efektivne karakteristike pomoću regresijske jednadžbe. Dobivena je jednadžba višestruke regresije:
y = 2,26x1 - 4,31x2 + 0,166x3 - 240.
To znači da je iznos bruto dohotka po 1 hektaru poljoprivrednog zemljišta u prosjeku porastao za 2,26 rubalja. uz povećanje troškova rada za 1 sat/ha; smanjio se u prosjeku za 4,31 rublja. s povećanjem udjela obradivog zemljišta u poljoprivrednom zemljištu za 1% i povećan za 0,166 rubalja. uz povećanje mliječnosti po kravi za 1 kg. Negativna vrijednost slobodnog izraza sasvim je prirodna, i, kao što je već navedeno u paragrafu 8.2, efektivni znak je da bruto dohodak postaje nula mnogo prije nego faktori dostignu nulte vrijednosti, što je nemoguće u proizvodnji.
Negativna vrijednost koeficijenta za x^ signal je značajnih problema u gospodarstvu promatranih gospodarstava, gdje je ratarstvo nerentabilno, a samo stočarstvo. Uz racionalan način uzgoja i normalne cijene (ravnotežne ili njima bliske) proizvoda svih sektora, dohodak se ne bi trebao smanjivati, već rasti s povećanjem najplodnijeg udjela poljoprivrednog zemljišta - oranica.
Na temelju podataka iz pretposljednja dva retka tablice. 8.7 i tablica. 8.8 izračunavamo p-koeficijente i koeficijente elastičnosti prema formulama (8.34) i (8.35).
I na variranje razine dohotka i na njegovu moguću dinamičku promjenu najjači utjecaj ima faktor x3 - proizvodnost krava, a najslabiji x2 - udio obradivih površina. Vrijednosti P2/ koristit će se dalje (tablica 8.9);
Tablica 8.9. Usporedni utjecaj čimbenika na visinu dohotka
| Čimbenici xj |
|||
Dakle, dobili smo da se ?-koeficijent faktora xj odnosi na koeficijent elastičnosti ovog faktora, kao što se koeficijent varijacije faktora odnosi na koeficijent varijacije rezultirajuće karakteristike. Budući da se, kao što se vidi iz posljednjeg retka tablice. 8.7, koeficijenti varijacije svih faktora manji su od koeficijenta varijacije rezultirajuće karakteristike; svi?-koeficijenti su manji od koeficijenata elastičnosti.
Razmotrimo odnos između uparenog i uvjetno čistog koeficijenta regresije koristeći faktor -s, kao primjer. Uparena linearna jednadžba za vezu između y i x ima oblik:
y = 3,886x1 – 243,2
Uvjetno čisti regresijski koeficijent na x1 je samo 58% uparenog. Preostalih 42% je zbog činjenice da je varijacija x1 popraćena varijacijom faktora x2 x3, što zauzvrat utječe na rezultirajuću osobinu. Povezanosti svih karakteristika i njihovi upareni regresijski koeficijenti prikazani su u grafu veza (slika 8.2).
Zbrojimo li procjene izravnog i neizravnog utjecaja varijacije x1 na y, tj. umnožak uparenih regresijskih koeficijenata duž svih “staza” (sl. 8.2), dobivamo: 2,26 + 12,55 0,166 + (-0,00128) (- 4,31) + (-0,00128) 17,00 0,166 = 4,344.
Ova vrijednost je čak veća od koeficijenta sprezanja para x1 s y. Posljedično, neizravni utjecaj varijacije x1 kroz faktore koji nisu uključeni u jednadžbu je suprotan, dajući ukupno:
1 Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Primijenjena statistika i osnove ekonometrije. Udžbenik za sveučilišta. - M.: JEDINSTVO, 2008, – 311 str.
2 Johnston J. Ekonometrijske metode. - M.: Statistika, 1980. – 282s.
3 Dougherty K. Uvod u ekonometriju. - M.: INFRA-M, 2004, – 354 str.
4 Dreyer N., Smith G., Primijenjena regresijska analiza. - M.: Financije i statistika, 2006., – 191 str.
5 Magnus Y.R., Kartyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometrija. Početni tečaj.-M.: Delo, 2006., – 259 str.
6 Radionica ekonometrije/Ed. I. I. Eliseeva - M.: Financije i statistika, 2004., – 248 str.
7 Ekonometrija/Ed. I. I. Eliseeva - M.: Financije i statistika, 2004., - 541 str.
8 Kremer N., Putko B. Ekonometrija.- M.: UNITY-DANA, 200, – 281 str.
Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Primijenjena statistika i osnove ekonometrije. Udžbenik za sveučilišta. - M.: JEDINSTVO, 2008, – str. 23.
Kremer N., Putko B. Ekonometrija.- M.: UNITY-DANA, 200, – str.64
Dreyer N., Smith G., Primijenjena regresijska analiza. - M.: Financije i statistika, 2006., – str.57.
Radionica iz ekonometrije/Ed. Eliseeva I.I. - M.: Financije i statistika, 2004., – str. 172.
Pearsonov korelacijski test je metoda parametarske statistike koja vam omogućuje određivanje prisutnosti ili odsutnosti linearnog odnosa između dva kvantitativna pokazatelja, kao i procjenu njegove bliskosti i statističke značajnosti. Drugim riječima, Pearsonov test korelacije omogućuje vam da odredite postoji li linearni odnos između promjena u vrijednostima dviju varijabli. U statističkim proračunima i zaključcima koeficijent korelacije obično se označava kao r xy ili Rxy.
1. Povijest razvoja kriterija korelacije
Pearsonov test korelacije razvio je tim britanskih znanstvenika na čelu s Karl Pearson(1857.-1936.) 90-ih godina 19. stoljeća, kako bi se pojednostavila analiza kovarijance dviju slučajnih varijabli. Osim Karla Pearsona, ljudi su također radili na Pearsonovom kriteriju korelacije Francis Edgeworth I Raphael Weldon.
2. Za što se koristi Pearsonov test korelacije?
Pearsonov test korelacije omogućuje određivanje bliskosti (ili jačine) korelacije između dva pokazatelja mjerena na kvantitativnoj ljestvici. Koristeći dodatne izračune, također možete odrediti koliko je identificirani odnos statistički značajan.
Na primjer, koristeći Pearsonov kriterij korelacije, možete odgovoriti na pitanje postoji li veza između tjelesne temperature i sadržaja leukocita u krvi tijekom akutnih respiratornih infekcija, između visine i težine pacijenta, između sadržaja fluorida u vode za piće i učestalosti zubnog karijesa u populaciji.
3. Uvjeti i ograničenja za primjenu Pearsonovog hi-kvadrat testa
- Usporedni pokazatelji moraju se mjeriti u kvantitativna ljestvica(primjerice broj otkucaja srca, tjelesna temperatura, broj bijelih krvnih stanica po 1 ml krvi, sistolički krvni tlak).
- Pomoću Pearsonovog testa korelacije možemo samo utvrditi prisutnost i snaga linearnog odnosa između količina. Ostale karakteristike odnosa, uključujući smjer (izravan ili obrnut), prirodu promjena (pravocrtne ili krivocrtne), kao i prisutnost ovisnosti jedne varijable o drugoj, određuju se pomoću regresijske analize.
- Broj uspoređivanih veličina mora biti jednak dvije. U slučaju analize odnosa tri ili više parametara, trebali biste koristiti metodu faktorska analiza.
- Pearsonov test korelacije je parametarski, pa je stoga uvjet za njegovo korištenje normalna distribucija uspoređivane varijable. Ako je potrebno provesti korelacijsku analizu pokazatelja čija distribucija odstupa od normalne, uključujući i one mjerene na ordinalnoj ljestvici, potrebno je koristiti Spearmanov rang koeficijent korelacije.
- Treba jasno razlikovati pojmove ovisnosti i korelacije. Ovisnost količina određuje prisutnost korelacije između njih, ali ne obrnuto.
Na primjer, visina djeteta ovisi o njegovoj dobi, odnosno što je dijete starije to je više. Ako uzmemo dvoje djece različite dobi, tada će s velikom vjerojatnošću rast starijeg djeteta biti veći od rasta mlađeg. Ova pojava se zove ovisnost, što podrazumijeva uzročno-posljedičnu vezu između pokazatelja. Naravno, postoji i između njih korelacijski spoj, što znači da promjene jednog pokazatelja prate promjene drugog pokazatelja.
U drugoj situaciji, razmotrite odnos između djetetove visine i otkucaja srca (HR). Kao što je poznato, obje ove vrijednosti izravno ovise o dobi, pa će u većini slučajeva djeca veće visine (a time i starije dobi) imati niže vrijednosti otkucaja srca. To je, korelacijski spoj promatrat će se i može doći do prilično velike gužve. Međutim, ako uzmemo djecu iste dobi, Ali različite visine, tada će se najvjerojatnije njihov broj otkucaja srca neznatno razlikovati, pa stoga možemo zaključiti da neovisnost Otkucaji srca s visine.
Gornji primjer pokazuje koliko je važno razlikovati temeljne pojmove u statistici. komunikacije I ovisnosti pokazatelji za donošenje ispravnih zaključaka.
4. Kako izračunati Pearsonov koeficijent korelacije?
Pearsonov koeficijent korelacije izračunava se pomoću sljedeće formule:
5. Kako interpretirati vrijednost Pearsonovog koeficijenta korelacije?
Vrijednosti Pearsonovog koeficijenta korelacije tumače se na temelju njihovih apsolutnih vrijednosti. Moguće vrijednosti korelacijskog koeficijenta variraju od 0 do ±1. Što je veća apsolutna vrijednost r xy, veća je bliskost odnosa između dviju veličina. r xy = 0 označava potpuni nedostatak komunikacije. r xy = 1 – označava prisutnost apsolutne (funkcionalne) veze. Ako se vrijednost Pearsonovog korelacijskog kriterija pokaže većom od 1 ili manjom od -1, došlo je do pogreške u izračunima.
Za procjenu čvrstoće ili snage korelacije obično se koriste općeprihvaćeni kriteriji prema kojima se apsolutne vrijednosti r xy< 0.3 свидетельствуют о slab veza, r xy vrijednosti od 0,3 do 0,7 - o vezi prosjek nepropusnost, vrijednosti r xy > 0,7 - o snažna komunikacije.
Točnija procjena snage korelacije može se dobiti ako koristite Chaddock stol:
Razred statistička značajnost Koeficijent korelacije r xy provodi se pomoću t-testa, izračunatog pomoću sljedeće formule:
Dobivena vrijednost t r uspoređuje se s kritičnom vrijednošću pri određenoj razini značajnosti i broju stupnjeva slobode n-2. Ako t r prelazi t crit, tada se izvodi zaključak o statističkoj značajnosti identificirane korelacije.
6. Primjer izračuna Pearsonovog koeficijenta korelacije
Svrha istraživanja bila je identificirati, utvrditi bliskost i statističku značajnost korelacije između dva kvantitativna pokazatelja: razine testosterona u krvi (X) i postotka mišićne mase u tijelu (Y). Početni podaci za uzorak od 5 ispitanika (n = 5) sažeti su u tablici.
U znanstvenim istraživanjima često se javlja potreba za pronalaženjem veze između ishoda i faktorskih varijabli (urod usjeva i količina padalina, visina i težina osobe u homogenim skupinama po spolu i dobi, broj otkucaja srca i tjelesna temperatura). , itd.).
Drugi su znakovi koji doprinose promjenama u onima koji su s njima povezani (prvi).
Pojam korelacijske analize
Mnogo ih je. Na temelju navedenog možemo reći da je korelacijska analiza metoda kojom se testira hipoteza o statističkoj značajnosti dviju ili više varijabli ako ih istraživač može mjeriti, ali ne i mijenjati.
Postoje i druge definicije dotičnog pojma. Korelacijska analiza je metoda obrade koja uključuje proučavanje koeficijenata korelacije između varijabli. U ovom se slučaju uspoređuju koeficijenti korelacije između jednog para ili više parova karakteristika kako bi se utvrdili statistički odnosi među njima. Korelacijska analiza je metoda za proučavanje statističke ovisnosti između slučajnih varijabli uz izbornu prisutnost striktne funkcionalne prirode, u kojoj dinamika jedne slučajne varijable dovodi do dinamike matematičkog očekivanja druge.
Pojam lažne korelacije
Prilikom provođenja korelacijske analize potrebno je uzeti u obzir da se ona može provesti u odnosu na bilo koji skup karakteristika, često apsurdnih u međusobnom odnosu. Ponekad nemaju uzročnu vezu jedno s drugim.
U ovom slučaju govore o lažnoj korelaciji.
Problemi korelacijske analize
Na temelju navedenih definicija možemo formulirati sljedeće zadatke opisane metode: dobiti informaciju o jednoj od traženih varijabli pomoću druge; utvrditi bliskost odnosa između proučavanih varijabli.
Korelacijska analiza uključuje određivanje odnosa između karakteristika koje se proučavaju, pa se zadaci korelacijske analize mogu dopuniti sljedećim:
- utvrđivanje čimbenika koji imaju najveći utjecaj na rezultirajuću karakteristiku;
- utvrđivanje prethodno neistraženih uzroka veza;
- konstrukcija korelacijskog modela s njegovom parametarskom analizom;
- proučavanje značaja komunikacijskih parametara i njihova intervalna procjena.
Odnos korelacijske analize i regresije
Metoda korelacijske analize često nije ograničena na pronalaženje bliskosti odnosa između proučavanih veličina. Ponekad se dopunjava sastavljanjem regresijskih jednadžbi, koje se dobivaju istoimenom analizom, a koje predstavljaju opis korelacijske ovisnosti između rezultirajućeg i čimbeničkog (faktorskog) obilježja (obilježja). Ova metoda, zajedno s analizom koja se razmatra, čini metodu
Uvjeti za korištenje metode
Učinkoviti čimbenici ovise o jednom do nekoliko čimbenika. Metoda korelacijske analize može se koristiti ako postoji veliki broj zapažanja o vrijednosti efektivnih i faktorskih pokazatelja (čimbenika), dok čimbenici koji se proučavaju moraju biti kvantitativni i reflektirani u određenim izvorima. Prvi se može odrediti normalnim zakonom - u ovom slučaju rezultat korelacijske analize su Pearsonovi koeficijenti korelacije ili, ako se karakteristike ne pridržavaju ovog zakona, koristi se Spearmanov rang koeficijent korelacije.
Pravila za odabir faktora korelacijske analize
Prilikom primjene ove metode potrebno je utvrditi faktore koji utječu na pokazatelje uspješnosti. Odabiru se uzimajući u obzir činjenicu da između pokazatelja moraju postojati uzročno-posljedične veze. U slučaju izrade višefaktorskog korelacijskog modela odabiru se oni koji imaju značajan utjecaj na rezultirajući pokazatelj, a poželjno je da se u korelacijski model ne uključuju međuzavisni čimbenici s parnim korelacijskim koeficijentom većim od 0,85, kao ni oni za koje veza s rezultantnim parametrom nije linearna ili funkcionalna.
Prikaz rezultata
Rezultati korelacijske analize mogu se prikazati u tekstualnom i grafičkom obliku. U prvom slučaju prikazani su kao koeficijent korelacije, u drugom - u obliku dijagrama raspršenja.
U nedostatku korelacije između parametara, točke na dijagramu smještene su kaotično, prosječni stupanj povezanosti karakterizira veći stupanj reda i karakterizira ga više ili manje ujednačena udaljenost označenih oznaka od medijana. Jaka veza ima tendenciju da bude ravna, a pri r=1 točkasti dijagram je ravna linija. Obrnuta korelacija razlikuje se u smjeru grafikona od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta, izravna korelacija - od donjeg lijevog do gornjeg desnog kuta.
3D prikaz raspršenog dijagrama
Uz tradicionalni 2D prikaz dijagrama raspršenja, sada se koristi 3D grafički prikaz korelacijske analize.
Također se koristi matrica dijagrama raspršenosti, koja prikazuje sve uparene dijagrame na jednoj slici u matričnom formatu. Za n varijabli, matrica sadrži n redaka i n stupaca. Grafikon koji se nalazi na sjecištu i-tog retka i j-tog stupca je dijagram varijabli Xi u odnosu na Xj. Dakle, svaki redak i stupac su jedna dimenzija, a jedna ćelija prikazuje dvodimenzionalni dijagram raspršenosti.
Procjena nepropusnosti veze
Bliskost korelacijske veze određena je koeficijentom korelacije (r): jaka - r = ±0,7 do ±1, srednja - r = ±0,3 do ±0,699, slaba - r = 0 do ±0,299. Ova klasifikacija nije stroga. Slika prikazuje nešto drugačiji dijagram.
Primjer korištenja metode korelacijske analize
Zanimljivo istraživanje provedeno je u Velikoj Britaniji. Posvećena je povezanosti pušenja i raka pluća, a provedena je korelacijskom analizom. Ovo zapažanje je prikazano u nastavku.
Profesionalna grupa | smrtnost |
|
Poljoprivrednici, šumari i ribari | ||
Rudari i radnici u kamenolomu | ||
Proizvođači plina, koksa i kemikalija | ||
Proizvođači stakla i keramike | ||
Radnici peći, kovačnica, ljevaonica i valjaonica | ||
Radnici elektrotehnike i elektronike | ||
Inženjerska i srodna zanimanja | ||
Drvoprerađivačke industrije | ||
Kožari | ||
Tekstilne radnice | ||
Proizvođači radne odjeće | ||
Radnici u industriji hrane, pića i duhana | ||
Proizvođači papira i tiska | ||
Proizvođači ostalih proizvoda | ||
Graditelji | ||
Slikari i dekorateri | ||
Vozači stacionarnih motora, dizalica itd. | ||
Radnici koji nisu drugdje uključeni | ||
Radnici u prometu i vezama | ||
Skladištari, skladištari, pakeri i punionice | ||
Radnici u uredu | ||
Prodavači | ||
Sportsko-rekreativni djelatnici | ||
Administratori i menadžeri | ||
Profesionalci, tehničari i umjetnici |
Počinjemo s korelacijskom analizom. Radi jasnoće, bolje je započeti rješenje grafičkom metodom, za koju ćemo konstruirati dijagram raspršenosti.
Pokazuje izravnu vezu. Međutim, samo na temelju grafičke metode teško je izvući jednoznačan zaključak. Stoga ćemo nastaviti provoditi korelacijske analize. U nastavku je prikazan primjer izračuna koeficijenta korelacije.
Pomoću softvera (MS Excel će biti opisan u nastavku kao primjer) određujemo koeficijent korelacije koji iznosi 0,716, što znači jaku povezanost između ispitivanih parametara. Odredimo statističku pouzdanost dobivene vrijednosti koristeći odgovarajuću tablicu, za koju trebamo oduzeti 2 od 25 parova vrijednosti, kao rezultat dobivamo 23 i pomoću ove linije u tablici nalazimo r kritičan za p = 0,01 (jer to su medicinski podaci, stroža ovisnost, u ostalim slučajevima dovoljan je p=0,05), što je 0,51 za ovu korelacijsku analizu. Primjer je pokazao da je izračunati r veći od kritičnog r, te se vrijednost korelacijskog koeficijenta smatra statistički pouzdanom.
Korištenje softvera pri provođenju korelacijske analize
Opisani tip statističke obrade podataka može se provesti korištenjem softvera, posebice MS Excela. Korelacija uključuje izračun sljedećih parametara pomoću funkcija:
1. Koeficijent korelacije određuje se pomoću funkcije CORREL (niz1; niz2). Array1,2 - ćelija intervala vrijednosti rezultantne i faktorske varijable.
Koeficijent linearne korelacije naziva se i Pearsonov koeficijent korelacije i stoga, počevši od Excela 2007, možete koristiti funkciju s istim nizovima.
Grafički prikaz korelacijske analize u Excelu vrši se pomoću panela “Charts” s izborom “Scatter Plot”.
Nakon navođenja početnih podataka dobivamo graf.
2. Procjena značajnosti parnog koeficijenta korelacije pomoću Studentovog t-testa. Izračunata vrijednost t-kriterija uspoređuje se s tabličnom (kritičnom) vrijednošću ovog pokazatelja iz odgovarajuće tablice vrijednosti parametra koji se razmatra, uzimajući u obzir navedenu razinu značajnosti i broj stupnjeva slobode. Ova procjena se provodi pomoću funkcije STUDISCOVER(vjerojatnost; stupnjevi_slobode).
3. Matrica parnih koeficijenata korelacije. Analiza se provodi alatom Data Analysis u kojem je odabrana Correlation. Statistička procjena koeficijenata parne korelacije provodi se usporedbom njegove apsolutne vrijednosti s tabelarnom (kritičnom) vrijednošću. Kada izračunati parni koeficijent korelacije premaši kritični, možemo reći, uzimajući u obzir zadani stupanj vjerojatnosti, da nulta hipoteza o značajnosti linearnog odnosa nije odbačena.
Konačno
Korištenje metode korelacijske analize u znanstvenom istraživanju omogućuje nam određivanje odnosa između različitih čimbenika i pokazatelja uspješnosti. Potrebno je uzeti u obzir da se iz apsurdnog para ili skupa podataka može dobiti visok koeficijent korelacije, te se stoga ovakva analiza mora provesti na dovoljno velikom nizu podataka.
Nakon dobivanja izračunate vrijednosti r, preporučljivo je usporediti je s kritičnim r kako bi se potvrdila statistička pouzdanost određene vrijednosti. Analiza korelacije može se provesti ručno pomoću formula ili pomoću softvera, posebice MS Excela. Ovdje također možete konstruirati dijagram raspršenosti u svrhu vizualnog prikaza odnosa između proučavanih faktora korelacijske analize i rezultirajuće karakteristike.
Kao što je više puta napomenuto, da bi se napravio statistički zaključak o prisutnosti ili odsutnosti korelacije između varijabli koje se proučavaju, potrebno je provjeriti značajnost koeficijenta korelacije uzorka. S obzirom na to da pouzdanost statističkih karakteristika, pa tako i koeficijenta korelacije, ovisi o veličini uzorka, može doći do situacije da je vrijednost koeficijenta korelacije u potpunosti određena slučajnim fluktuacijama u uzorku na temelju kojih se izračunava. . Ako postoji značajan odnos između varijabli, koeficijent korelacije trebao bi biti značajno različit od nule. Ako ne postoji korelacija između varijabli koje se proučavaju, tada je koeficijent korelacije populacije ρ jednak nuli. U praktičnim se istraživanjima u pravilu temelje na promatranju uzoraka. Kao i svaka statistička karakteristika, koeficijent korelacije uzorka je slučajna varijabla, tj. njegove vrijednosti su nasumično raspršene oko istoimenog parametra populacije (prava vrijednost koeficijenta korelacije). U nedostatku korelacije između varijabli y i x koeficijent korelacije u populaciji je nula. Ali zbog slučajne prirode raspršenja, fundamentalno su moguće situacije kada će neki korelacijski koeficijenti izračunati iz uzoraka iz ove populacije biti različiti od nule.
Mogu li se uočene razlike pripisati slučajnim fluktuacijama u uzorku ili odražavaju značajnu promjenu u uvjetima pod kojima su se odnosi između varijabli formirali? Ako vrijednosti koeficijenta korelacije uzorka padnu u zonu raspršenosti zbog slučajne prirode samog indikatora, to nije dokaz nepostojanja veze. Najviše što se može reći jest da podaci promatranja ne poriču nepostojanje povezanosti između varijabli. Ali ako je vrijednost koeficijenta korelacije uzorka izvan spomenute zone raspršenja, onda se zaključuje da je značajno različita od nule, te možemo pretpostaviti da između varijabli y i x postoji statistički značajan odnos. Kriterij koji se koristi za rješavanje ovog problema, a temelji se na distribuciji različitih statistika, naziva se kriterij značajnosti.
Postupak testiranja značajnosti započinje formuliranjem nulte hipoteze H0 . Općenito govoreći, ne postoje značajne razlike između parametra uzorka i parametra populacije. Alternativna hipoteza H1 je da postoje značajne razlike između ovih parametara. Na primjer, kada se testira korelacija u populaciji, nulta hipoteza je da je pravi koeficijent korelacije nula ( H0: ρ = 0). Ako se kao rezultat testa pokaže da nulta hipoteza nije prihvatljiva, tada se koeficijent korelacije uzorka rvau bitno različita od nule (nulta hipoteza se odbacuje, a alternativa se prihvaća). H1). Drugim riječima, pretpostavku da su slučajne varijable u populaciji nekorelirane treba smatrati neutemeljenom. Suprotno tome, ako se na temelju testa značajnosti prihvati nulta hipoteza, tj. rvau leži u dopuštenoj zoni slučajnog raspršenja, tada nema razloga da se pretpostavka nekoreliranih varijabli u populaciji smatra upitnom.
U testu značajnosti, istraživač postavlja razinu značajnosti α koja pruža određenu praktičnu sigurnost da će se samo u vrlo rijetkim slučajevima izvući pogrešni zaključci. Razina značajnosti izražava vjerojatnost da nulta hipoteza H0 odbačena kada je zapravo istinita. Jasno je da ima smisla odabrati što manju vjerojatnost.
Neka je poznata distribucija karakteristike uzorka, koja je nepristrana procjena parametra populacije. Odabrana razina značajnosti α odgovara osjenčanim područjima ispod krivulje ove distribucije (vidi sliku 24). Neosjenčano područje ispod krivulje distribucije određuje vjerojatnost P = 1 - α . Granice segmenata na x-osi ispod osjenčanih područja nazivaju se kritične vrijednosti, a sami segmenti tvore kritično područje ili područje odbacivanja hipoteze.
U postupku testiranja hipoteze karakteristika uzorka izračunata iz rezultata promatranja uspoređuje se s odgovarajućom kritičnom vrijednošću. U tom slučaju treba razlikovati jednostrana i dvostrana kritična područja. Oblik specificiranja kritične regije ovisi o formulaciji problema u statističkom istraživanju. Dvostrano kritično područje je potrebno kada je pri usporedbi parametra uzorka i parametra populacije potrebno procijeniti apsolutnu vrijednost odstupanja između njih, odnosno kada su i pozitivne i negativne razlike između proučavanih vrijednosti interes. Kada je potrebno osigurati da je jedna prosječna vrijednost striktno veća ili manja od druge, koristi se jednostrano kritično područje (desno ili lijevo). Sasvim je očito da je za istu kritičnu vrijednost razina značajnosti pri korištenju jednostranog kritičnog područja manja nego pri korištenju dvostranog. Ako je distribucija karakteristike uzorka simetrična,
Riža. 24. Testiranje nulte hipoteze H0
tada je razina značajnosti dvostranog kritičnog područja jednaka α, a jednostranog - (vidi sl. 24). Ograničimo se na opću formulaciju problema. Detaljnije informacije o teoretskim osnovama za testiranje statističkih hipoteza mogu se pronaći u stručnoj literaturi. U nastavku ćemo samo naznačiti kriterije značajnosti za različite postupke, ne zadržavajući se na njihovoj konstrukciji.
Provjerom značajnosti parnog koeficijenta korelacije utvrđuje se prisutnost ili odsutnost korelacije između proučavanih pojava. U nedostatku povezanosti, koeficijent korelacije populacije je nula (ρ = 0). Postupak testiranja započinje formuliranjem nulte i alternativne hipoteze:
H0: razlika između koeficijenta korelacije uzorka r a ρ = 0 je beznačajno,
H1: razlika između r i ρ = 0 je značajan, pa stoga između varijabli na I x postoji značajna veza. Alternativna hipoteza implicira da trebamo koristiti dvostrano kritično područje.
Već je spomenuto u odjeljku 8.1 da je koeficijent korelacije uzorka, pod određenim pretpostavkama, povezan sa slučajnom varijablom t, poštujući Studentsku distribuciju sa f = n- 2 stupnja slobode. Statistika izračunata iz rezultata uzorka
uspoređuje se s kritičnom vrijednošću određenom iz tablice Studentove distribucije na zadanoj razini značajnosti α If = n- 2 stupnja slobode. Pravilo za primjenu kriterija je sljedeće: ako je | t| >tf,A, zatim nulta hipoteza na razini značajnosti α odbijeno, tj. odnos između varijabli je značajan; ako | t| ≤tf,A, tada je nulta hipoteza na razini značajnosti α prihvaćena. Odstupanje vrijednosti r od ρ = 0 može se pripisati slučajnoj varijaciji. Podaci o uzorku karakteriziraju razmatranu hipotezu kao vrlo moguću i plauzibilnu, odnosno hipotezi o nepostojanju veze nema prigovora.
Postupak provjere hipoteze znatno se pojednostavljuje ako se umjesto statistike t koristiti kritične vrijednosti koeficijenta korelacije, koje se mogu odrediti kroz kvantile Studentove distribucije zamjenom u (8.38) t= tf, a i r= ρ f, A:
(8.39)
Postoje detaljne tablice kritičnih vrijednosti, čiji je izvadak dan u prilogu ove knjige (vidi tablicu 6). Pravilo provjere hipoteze u ovom slučaju svodi se na sljedeće: ako r> ρ f, i tada možemo tvrditi da je odnos između varijabli značajan. Ako r≤rf,A, tada smatramo da su rezultati promatranja u skladu s hipotezom o nepostojanju veze.
; 
; 
.
Sada izračunajmo vrijednosti standardnih devijacija uzorka:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image443_0.gif" width="413" height="60 src=">.
Korelacija između razine https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25" height="24"> među učenicima desetog razreda, što je viša prosječna razina uspjeha u matematici, i obrnuto.
2. Provjera značajnosti koeficijenta korelacije
Budući da se koeficijent uzorka izračunava iz podataka uzorka, on je slučajna varijabla . Ako , tada se postavlja pitanje: je li to objašnjeno stvarno postojećim linearnim odnosom između i https://pandia.ru/text/78/148/images/image301_1.gif" width="29" height="25 src=" >.gif" width="27" height="25">: (ako korelacijski znak nije poznat); ili jednostrano https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.gif" width="43" height="23 src =" > (ako se predznak korelacije može unaprijed odrediti).
Metoda 1. Za testiranje hipoteze koristi se https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width="11" height="17 src=">-Studentov t-test prema formuli
https://pandia.ru/text/78/148/images/image406_0.gif" width="13" height="15">.gif" width="36 height=25" height="25">.gif " width="17" height="16"> i broj stupnjeva slobode za dvostrani kriterij.
Kritično područje je zadano nejednakošću 
.
Ako https://pandia.ru/text/78/148/images/image455_0.gif" width="99" height="29 src=">, tada je nulta hipoteza odbačena. Izvodimo zaključke:
§ za dvostranu alternativnu hipotezu – koeficijent korelacije značajno se razlikuje od nule;
§ za jednostranu hipotezu – postoji statistički značajna pozitivna (ili negativna) korelacija.
Metoda 2. Također možete koristiti tablica kritičnih vrijednosti koeficijenta korelacije, iz čega nalazimo vrijednost kritične vrijednosti koeficijenta korelacije prema broju stupnjeva slobode https://pandia.ru/text/78/148/images/image367_1.gif" width="17 height=16" visina="16">.
Ako https://pandia.ru/text/78/148/images/image459_0.gif" width="101" height="29 src=">, tada se zaključuje da se koeficijent korelacije značajno razlikuje od 0 i postoji statistički značajna korelacija.
Dakle, neke se pojave mogu istodobno, ali neovisno jedna o drugoj (zajednički događaji) događati ili mijenjati ( lažno regresija). Drugi - biti u uzročnom odnosu ne jedni s drugima, već prema složenijem uzročno-posljedičnom odnosu ( neizravni regresija). Dakle, uz značajan koeficijent korelacije, konačni zaključak o prisutnosti uzročno-posljedične veze može se donijeti samo uzimajući u obzir specifičnosti problema koji se proučava.
Primjer 2. Odredite značajnost koeficijenta korelacije uzorka izračunatog u primjeru 1.
Riješenje.
Postavimo hipotezu: da ne postoji korelacija u općoj populaciji. Budući da je predznak korelacije kao rezultat rješavanja primjera 1 određen - korelacija je pozitivna, alternativna hipoteza je jednostrana oblika https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif " width="43" height="23 src =>>.
Nađimo empirijsku vrijednost kriterija:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image461_0.gif" width="167 height=20" height="20"> odaberite razinu značajnosti jednaku . Prema tablici “Kritične vrijednosti Studentovog testa za različite razine značajnosti” nalazimo kritičnu vrijednost.
Od https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25 height=24" height="24"> i prosječne razine uspješnosti u matematici, postoji statistički značajna korelacija .
Testni zadaci
1. Označite barem dva točna odgovora. Testiranje značajnosti koeficijenta korelacije uzorka temelji se na statističkom testu hipoteze da...
1) nema korelacije u općoj populaciji
2) razlika od nule koeficijenta korelacije uzorka objašnjava se samo slučajnošću uzorka
3) koeficijent korelacije značajno se razlikuje od 0
4) razlika od nule koeficijenta korelacije uzorka nije slučajna
2. Ako je koeficijent linearne korelacije uzorka , tada veća vrijednost jedne karakteristike odgovara... većoj vrijednosti druge karakteristike.
1) u prosjeku
3) u većini promatranja
4) povremeno
3. Koeficijent korelacije uzorka https://pandia.ru/text/78/148/images/image465_0.gif" width="64" height="23 src="> (za veličinu uzorka i razinu značajnosti od 0,05). Je li moguće reći da postoji statistički značajna pozitivna korelacija između psihičkih osobina?
5. Neka se koeficijent korelacije uzorka nađe u zadatku identificiranja snage linearnog odnosa između psiholoških karakteristika https://pandia.ru/text/78/148/images/image466_0.gif" width="52 height=20 " height="20"> i razinom značajnosti 0,05).Možemo li reći da se razlika od nule koeficijenta korelacije uzorka objašnjava samo slučajnošću uzorka?
Tema 3. koeficijenti korelacije ranga i asocijacije
1. Koeficijent korelacije ranga https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21 height=19" height="19"> i. Broj vrijednosti karakteristika (indikatori, subjekti, kvalitete , osobine) mogu biti bilo koje, ali njihov broj treba biti isti.
Predmeti | ||||
Redovi osobina | ||||
Redovi osobina |
Označimo razliku između rangova za dvije varijable za svaki subjekt pomoću https://pandia.ru/text/78/148/images/image470_0.gif" width="319" height="66">,
gdje je broj vrijednosti rangiranih obilježja i indikatora.
Koeficijent korelacije ranga ima vrijednosti u rasponu od –1 do +1 i smatra se sredstvom za brzu procjenu Pearsonovog koeficijenta korelacije.
Za testiranje značajnosti koeficijenta korelacije ranga Spearman (ako broj vrijednosti https://pandia.ru/text/78/148/images/image472_0.gif" width="55" height="29"> ovisi o broju i razini značaja. Ako empirijska vrijednost veća, tada se na razini značajnosti može tvrditi da su znakovi povezani korelacijom.
Primjer 1. Psiholog utvrđuje u kakvoj su vezi rezultati učenika u matematici i fizici, čiji se rezultati prikazuju u obliku rangiranog niza po prezimenu.
Student | Iznos |
||||||||||
Akademski uspjeh matematika | |||||||||||
Akademski uspjeh u fizici | |||||||||||
Kvadratna razlika između redova |
Izračunajmo zbroj, tada je Spearmanov rang koeficijent korelacije jednak:
Provjerimo značajnost pronađenog koeficijenta korelacije ranga. Pronađimo kritične vrijednosti koeficijenta korelacije Spearmanova ranga pomoću tablice (vidi Dodatke) za:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image480_0.gif" width="72" height="25"> veća je od vrijednosti = 0,64 i vrijednosti 0,79. To znači da je vrijednost pala unutar područje značajnosti koeficijenta korelacije. Stoga se može tvrditi da je koeficijent korelacije Spearmanova ranga značajno različit od 0; to znači da rezultati uspjeha učenika u matematici i fizici povezani su pozitivnom korelacijom . Postoji značajna pozitivna korelacija između uspjeha u matematici i uspjeha u fizici: što je bolji uspjeh u matematici, to su u prosjeku bolji rezultati u fizici i obrnuto.
Uspoređujući Pearsonov i Spearmanov koeficijent korelacije, primjećujemo da Pearsonov koeficijent korelacije korelira vrijednosti količinama, a Spearmanov koeficijent korelacije je vrijednosti činovi te količine, stoga se vrijednosti Pearsonovih i Spearmanovih koeficijenata često ne podudaraju.
Za potpunije razumijevanje eksperimentalnog materijala dobivenog u psihološkim istraživanjima, preporučljivo je izračunati koeficijente i po Pearsonu i po Spearmanu.
Komentar. U prisutnosti jednaki redovi u nizu rangova iu brojniku formule za izračun koeficijenta korelacije rangova dodaju se pojmovi - "korekcije za rangove": 
; 
,
gdje https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21" height="19">;
https://pandia.ru/text/78/148/images/image165_1.gif" width="16" height="19">.
U ovom slučaju, formula za izračun koeficijenta korelacije ranga ima oblik https://pandia.ru/text/78/148/images/image485_0.gif" width="16" height="19">.
Uvjeti za primjenu koeficijenta pridruživanja.
1. Karakteristike koje se uspoređuju mjere se na dihotomnoj ljestvici.
2..gif" width="21" height="19">, označeni simbolima 0 i 1, prikazani su u tablici.
Broj opažanja |
