Metoda jednostavne iteracije za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (slough). Numeričko rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Metoda jednostavne iteracije temelji se na zamjeni izvorne jednadžbe s ekvivalentnom jednadžbom:

Neka je poznata početna aproksimacija korijenu x = x 0. Zamjenom u desnu stranu jednadžbe (2.7) dobivamo novu aproksimaciju , tada na sličan način dobivamo itd.:

. (2.8)

Ne konvergira u svim uvjetima iterativni proces korijenu jednadžbe x. Pogledajmo pobliže ovaj proces. Slika 2.6 prikazuje grafičku interpretaciju jednosmjernog konvergentnog i divergentnog procesa. Slika 2.7 prikazuje dvosmjerne konvergentne i divergentne procese. Divergentni proces karakterizira brzi porast vrijednosti argumenta i funkcije i abnormalni završetak odgovarajućeg programa.

Kod dvosmjernog procesa moguće je cikliranje, odnosno beskonačno ponavljanje iste funkcije i vrijednosti argumenata. Petlja razdvaja divergentni proces od konvergentnog.

Iz grafova je jasno da je i za jednostrane i za dvostrane procese konvergencija prema korijenu određena nagibom krivulje blizu korijena. Što je manji nagib, to je bolja konvergencija. Kao što je poznato, tangens nagiba krivulje jednak je izvodnici krivulje u danoj točki.

Stoga, što je manji broj u blizini korijena, proces brže konvergira.

Da bi iteracijski proces bio konvergentan, u blizini korijena mora biti zadovoljena sljedeća nejednakost:

Prijelaz s jednadžbe (2.1) na jednadžbu (2.7) može se izvesti na različite načine ovisno o vrsti funkcije f(x). U takvom prijelazu potrebno je konstruirati funkciju tako da bude zadovoljen uvjet konvergencije (2.9).

Razmotrimo jedan od općih algoritama za prijelaz s jednadžbe (2.1) na jednadžbu (2.7).

Pomnožimo lijevu i desnu stranu jednadžbe (2.1) proizvoljnom konstantom b i dodajte nepoznato u oba dijela X. U ovom slučaju, korijeni izvorne jednadžbe neće se promijeniti:

Uvedimo notaciju i prijeđimo s relacije (2.10) na jednadžbu (2.8).

Proizvoljni izbor konstante b osigurat će ispunjenje uvjeta konvergencije (2.9). Kriterij za završetak iterativnog procesa bit će uvjet (2.2). Na slici 2.8 prikazana je grafička interpretacija metode jednostavnih iteracija opisanom metodom prikazivanja (mjerila duž X i Y osi su različita).

Ako je funkcija odabrana u obliku , tada će derivacija te funkcije biti . Tada će najveća brzina konvergencije biti pri a iteracijska formula (2.11) ulazi u Newtonovu formulu. Dakle, Newtonova metoda ima najveći stupanj konvergencije od svih iterativnih procesa.

Programska implementacija metode jednostavne iteracije napravljena je u obliku podrutinske procedure Iteras(PROGRAM 2.1).

Cjelokupna procedura se praktički sastoji od jednog ciklusa Repeat ... Until, implementacije formule (2.11) uzimajući u obzir uvjet za zaustavljanje iterativnog procesa (formula (2.2)).

Procedura ima ugrađenu zaštitu od petlje brojanjem broja petlji pomoću varijable Niter. U praktičnoj nastavi potrebno je pokretanjem programa uvjeriti se kako odabir koeficijenta utječe b i početna aproksimacija u procesu traženja korijena. Pri promjeni koeficijenta b mijenja se priroda procesa ponavljanja za funkciju koja se proučava. Prvo postaje dvostrana, a zatim petljasta (slika 2.9). Osovinska mjerila x I Y su različiti. Još veća vrijednost modula b dovodi do divergentnog procesa.

Usporedba metoda za približno rješavanje jednadžbi

Usporedba gore opisanih metoda za numeričko rješavanje jednadžbi provedena je pomoću programa koji omogućuje promatranje procesa pronalaženja korijena u grafičkom obliku na zaslonu osobnog računala. Postupci uključeni u ovaj program i implementacija uspoređenih metoda navedeni su u nastavku (PROGRAM 2.1).

Riža. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 su kopije PC ekrana na kraju procesa ponavljanja.

U svim slučajevima, kvadratna jednadžba x 2 -x-6 = 0 uzeta je kao funkcija koja se proučava, s analitičkim rješenjem x 1 = -2 i x 2 = 3. Pogreška i početne aproksimacije pretpostavljene su jednake za sve metode. Rezultati pretraživanja korijena x= 3, prikazane na slikama, su kako slijedi. Najsporije konvergira metoda dihotomije - 22 iteracije, najbrža je metoda jednostavne iteracije s b = -0,2 - 5 iteracija. Ovdje nema proturječja s tvrdnjom da je Newtonova metoda najbrža.

Derivacija funkcije koja se proučava u točki x= 3 jednako je -0,2, odnosno proračun je u ovom slučaju proveden praktički Newtonovom metodom s vrijednošću derivacije u točki korijena jednadžbe. Pri promjeni koeficijenta b stopa konvergencije opada i postupno konvergentni proces prvo ide u ciklusima, a zatim postaje divergentan.

Predavanje Iterativne metode rješavanja sustava algebarskih linearnih jednadžbi.

Uvjeti konvergencije iterativnog procesa Jacobijeva metoda Seidelova metoda

Metoda jednostavne iteracije

Razmatran je sustav linearnih algebarskih jednadžbi

Da bi se primijenile iterativne metode, sustav se mora svesti na ekvivalentan oblik

Zatim se odabire početna aproksimacija rješenja sustava jednadžbi i pronalazi niz aproksimacija korijena.

Da bi iterativni proces konvergirao, dovoljno je da je uvjet zadovoljen
(matrična norma). Kriterij za završetak ponavljanja ovisi o korištenoj iterativnoj metodi.

Jacobijeva metoda .

Najjednostavniji način da se sustav dovede u oblik pogodan za iteraciju je sljedeći:

Iz prve jednadžbe sustava izražavamo nepoznanicu x 1, iz druge jednadžbe sustava izražavamo x 2, itd.

Kao rezultat, dobivamo sustav jednadžbi s matricom B, u kojoj su nula elemenata na glavnoj dijagonali, a preostali elementi izračunavaju se pomoću formula:

Komponente vektora d izračunavaju se pomoću formula:

Formula izračuna za metodu jednostavne iteracije je:

ili u koordinatnom zapisu to izgleda ovako:

Kriterij završne iteracije u Jacobijevoj metodi ima oblik:

Ako
, tada možemo primijeniti jednostavniji kriterij za završetak ponavljanja

Primjer 1. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Jacobijevom metodom.

Neka je dan sustav jednadžbi:

Potrebno je točno pronaći rješenje sustava

Svodimo sustav na oblik pogodan za iteraciju:

Izaberimo početnu aproksimaciju, npr.

- vektor desne strane.

Tada prva iteracija izgleda ovako:

Na sličan se način dobivaju sljedeće aproksimacije rješenja.

Nađimo normu matrice B.

Koristit ćemo normu

Budući da je zbroj modula elemenata u svakom retku 0,2, tada
, pa je kriterij za završetak ponavljanja u ovom problemu

Izračunajmo norme vektorskih razlika:

Jer
navedena je točnost postignuta u četvrtoj iteraciji.

Odgovor: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Seidelova metoda .

Metoda se može smatrati modifikacijom Jacobijeve metode. Glavna ideja je da pri izračunavanju sljedećeg (n+1)-th pristup nepoznatom x ja na ja >1 upotreba već pronađena (n+1)- e približavanje nepoznatom x 1 ,x 2 , ...,x i - 1 i ne n th aproksimacije, kao u Jacobijevoj metodi.

Formula izračuna metode u koordinatnom zapisu izgleda ovako:

Uvjeti konvergencije i kriterij za završetak iteracija mogu se uzeti isti kao u Jacobijevoj metodi.

Primjer 2. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Seidelovom metodom.

Razmotrimo paralelno rješavanje 3 sustava jednadžbi:

Svedimo sustave na oblik prikladan za iteracije:

Primijetimo da uvjet konvergencije
učinjeno samo za prvi sustav. Izračunajmo 3 prve aproksimacije rješenja u svakom slučaju.

1. sustav:

Točno rješenje bit će sljedeće vrijednosti: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Iterativni proces konvergira.

2. sustav:

Može se vidjeti da se proces ponavljanja razlikuje.

Točno rješenje x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

3. sustav:

Može se vidjeti da je iterativni proces tekao u ciklusima.

Točno rješenje x 1 = 1, x 2 = 2 .

Neka je matrica sustava jednadžbi A simetrična i pozitivno određena. Zatim, za bilo koji izbor početne aproksimacije, Seidelova metoda konvergira. Ne postavljaju se dodatni uvjeti za malenost norme određene matrice.

Metoda jednostavne iteracije.

Ako je A simetrična i pozitivno određena matrica, tada se sustav jednadžbi često svodi na ekvivalentni oblik:

x=x-τ (A x- b), τ – parametar iteracije.

Formula izračuna metode jednostavne iteracije u ovom slučaju ima oblik:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

a parametar τ > 0 je odabran tako da minimizira, ako je moguće, vrijednost

Neka su λ min i λ max minimalna i maksimalna svojstvena vrijednost matrice A. Optimalni izbor parametra je

U ovom slučaju
uzima minimalnu vrijednost jednaku:

Primjer 3. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom jednostavne iteracije. (u MathCAD-u)

Neka je zadan sustav jednadžbi Ax = b

Da bismo konstruirali iterativni proces, nalazimo svojstvene vrijednosti matrice A:

- koristi ugrađenu funkciju za pronalaženje svojstvenih vrijednosti.

Izračunajmo parametar iteracije i provjerimo uvjet konvergencije

Uvjet konvergencije je zadovoljen.

Uzmimo početnu aproksimaciju - vektor x0, postavimo točnost na 0,001 i pronađemo početne aproksimacije pomoću donjeg programa:

Točno rješenje

Komentar. Ako program vrati rez matricu, tada možete vidjeti sve pronađene iteracije.

Prednost iterativnih metoda je njihova primjenjivost na loše uvjetovane sustave i sustave visokog reda, njihova samokorekcija i jednostavnost implementacije na računalu. Za početak izračuna, iterativne metode zahtijevaju specificiranje neke početne aproksimacije željenog rješenja.

Treba napomenuti da uvjeti i brzina konvergencije iterativnog procesa značajno ovise o svojstvima matrice A sustava i na izbor početnih aproksimacija.

Da bi se primijenila metoda ponavljanja, izvorni sustav (2.1) ili (2.2) mora se svesti na oblik

nakon čega se izvodi iterativni proces prema rekurentnim formulama

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26A)

Matrica G i vektor dobiveni su kao rezultat transformacije sustava (2.1).

Za konvergenciju (2.26 A) je potrebno i dovoljno da |l ja(G)| < 1, где lja(G) – sve svojstvene vrijednosti matrice G. Do konvergencije će doći i ako || G|| < 1, так как |lja(G)| < " ||G||, gdje je " bilo koji.

Simbol || ... || znači norma matrice. Pri određivanju njegove vrijednosti najčešće se zaustavljaju na provjeri dva uvjeta:

||G|| = ili || G|| = , (2.27)

Gdje . Konvergencija je također zajamčena ako je izvorna matrica A ima dijagonalnu dominaciju, tj.

. (2.28)

Ako je (2.27) ili (2.28) zadovoljeno, metoda iteracije konvergira za bilo koju početnu aproksimaciju. Najčešće se vektor uzima ili nula ili jedinica, ili se sam vektor uzima iz (2.26).

Postoji mnogo pristupa transformaciji izvornog sustava (2.2) s matricom A kako bi se osigurao oblik (2.26) ili zadovoljili uvjeti konvergencije (2.27) i (2.28).

Na primjer, (2.26) se može dobiti na sljedeći način.

Neka A = U+ S, det U#0; Zatim ( B+ S)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B–1 , odakle = − B –1 C+ B –1 .

Stavljanje - B –1 C = G, B–1 = , dobivamo (2.26).

Iz uvjeta konvergencije (2.27) i (2.28) jasno je da reprezentacija A = U+ S ne može biti proizvoljna.

Ako je matrica A zadovoljava uvjete (2.28), zatim kao matrica U možete odabrati donji trokutasti:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Odabirom parametra a možemo osigurati || G|| = ||E+ a A|| < 1.

Ako (2.28) prevladava, tada se transformacija u (2.26) može izvršiti rješavanjem svakog ja jednadžbu sustava (2.1) s obzirom na x i prema sljedećim rekurentnim formulama:

(2.28A)

Ako se u matrici A nema dijagonalne dominacije; ona se mora postići pomoću nekih linearnih transformacija koje ne narušavaju njihovu ekvivalenciju.

Kao primjer, razmotrite sustav

(2.29)

Kao što vidite, u jednadžbama (1) i (2) nema dijagonalne dominacije, ali u (3) postoji, pa je ostavljamo nepromijenjenu.

Postignimo dijagonalnu dominaciju u jednadžbi (1). Pomnožimo (1) s a, (2) s b, zbrojimo obje jednadžbe i u dobivenoj jednadžbi odaberemo a i b tako da postoji dijagonalna dominacija:

(2a + 3b) x 1 + (–1,8a + 2b) x 2 +(0,4a – 1,1b) x 3 = a.

Uzimajući a = b = 5, dobivamo 25 x 1 + x 2 – 3,5x 3 = 5.

Za transformaciju jednadžbe (2) s prevlašću (1) pomnožite s g, (2) pomnožite s d i oduzmite (1) od (2). Dobivamo

(3d – 2g) x 1 + (2d + 1,8g) x 2 +(–1,1d – 0,4g) x 3 = −g.

Stavljajući d = 2, g = 3, dobivamo 0 x 1 + 9,4 x 2 – 3,4 x 3 = −3. Kao rezultat, dobivamo sustav

(2.30)

Ova tehnika se može koristiti za pronalaženje rješenja za široku klasu matrica.

ili

Uzimajući vektor = (0,2; –0,32; 0) kao početnu aproksimaciju T, riješit ćemo ovaj sustav pomoću tehnologije (2.26 A):

k = 0, 1, 2, ... .

Proces izračuna se zaustavlja kada se dvije susjedne aproksimacije vektora rješenja poklapaju u točnosti, tj.

.

Tehnologija iterativnog rješavanja forme (2.26 A) imenovan metoda jednostavne iteracije .

Procjena apsolutne pogreške za metodu jednostavne iteracije:

gdje je simbol || ... || znači normalno.

Primjer 2.1. Koristeći jednostavnu iteracijsku metodu s točnošću e = 0,001, riješite sustav linearnih jednadžbi:

Broj koraka koji daju odgovor točan na e = 0,001 može se odrediti iz relacije

£0,001.

Procijenimo konvergenciju pomoću formule (2.27). Ovdje || G|| = = max(0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Kao početnu aproksimaciju uzimamo vektor slobodnih članova, tj. = (2,15; –0,83; 1,16; 0,44) T. Zamijenimo vektorske vrijednosti u (2.26 A):

Nastavljajući izračune, unosimo rezultate u tablicu:

k	x 1	x 2	x 3	x 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Konvergencija u tisućinkama događa se već na 10. koraku.

Odgovor: x 1 » 3.571; x 2"-0,957; x 3 » 1.489; x 4"-0,836.

Ovo se rješenje također može dobiti pomoću formula (2.28 A).

Primjer 2.2. Za ilustraciju algoritma pomoću formula (2.28 A) razmotriti rješenje sustava (samo dvije iteracije):

; . (2.31)

Pretvorimo sustav u oblik (2.26) prema (2.28 A):

Þ (2.32)

Uzmimo početnu aproksimaciju = (0; 0; 0) T. Zatim za k= 0 očito je da je vrijednost = (0,5; 0,8; 1,5) T. Zamijenimo ove vrijednosti u (2.32), tj. kada k= 1 dobivamo = (1,075; 1,3; 1,175) T.

Pogreška e 2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Blok dijagram algoritma za pronalaženje rješenja SLAE metodom jednostavnih iteracija prema radnim formulama (2.28 A) prikazan je na sl. 2.4.

Posebna značajka blok dijagrama je prisutnost sljedećih blokova:

– blok 13 – njegova svrha je objašnjena u nastavku;

– blok 21 – prikaz rezultata na ekranu;

– blok 22 – provjera (indikator) konvergencije.

Analizirajmo predloženu shemu na primjeru sustava (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Blok 1. Unesite početne podatke A, ,w,e, n: n= 3, w = 1, e = 0,001.

ciklus I. Postavite početne vrijednosti vektora x 0ja I x i (ja = 1, 2, 3).

Blok 5. Resetirajte brojač ponavljanja.

Blok 6. Resetirajte trenutni brojač grešaka na nulu.

U ciklus II, mijenjaju se brojevi redaka matrice A i vektor.

Ciklus II:ja = 1: s = b 1 = 2 (blok 8).

Idite na ugniježđenu petlju III, blok 9 – brojač broja stupaca matrice A: j = 1.

Blok 10: j = ja, stoga se vraćamo na blok 9 i povećavamo j po jedinici: j = 2.

U bloku 10 j ¹ ja(2 ¹ 1) – prelazimo na blok 11.

Blok 11: s= 2 – (–1) × x 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, idite na blok 9, u kojem j povećati za jedan: j = 3.

U bloku 10 stanje j ¹ ja je ispunjeno, pa idemo na blok 11.

Blok 11: s= 2 – (–1) × x 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, nakon čega prelazimo na blok 9 u kojem j povećati za jedan ( j= 4). Značenje j više n (n= 3) – završavamo ciklus i prelazimo na blok 12.

Blok 12: s = s / a 11 = 2 / 4 = 0,5.

Blok 13: w = 1; s = s + 0 = 0,5.

Blok 14: d = | x i – s | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Blok 15: x i = 0,5 (ja = 1).

Blok 16. Provjera stanja d > de: 0,5 > 0, dakle, idemo na blok 17, u kojem dodjeljujemo de= 0,5 i vratite se koristeći vezu “ A» do sljedećeg koraka ciklusa II – do bloka 7, u kojem ja povećati za jedan.

Ciklus II: ja = 2: s = b 2 = 4 (blok 8).

j = 1.

Kroz blok 10 j ¹ ja(1 ¹ 2) – prelazimo na blok 11.

Blok 11: s= 4 – 1 × 0 = 4, idite na blok 9, u kojem j povećati za jedan: j = 2.

U bloku 10 uvjet nije ispunjen pa se prelazi na blok 9 u kojem j povećati za jedan: j= 3. Po analogiji prelazimo na blok 11.

Blok 11: s= 4 – (–2) × 0 = 4, nakon čega završavamo ciklus III i prelazimo na blok 12.

Blok 12: s = s/ a 22 = 4 / 5 = 0,8.

Blok 13: w = 1; s = s + 0 = 0,8.

Blok 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Blok 15: x i = 0,8 (ja = 2).

Blok 16. Provjera stanja d > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «A» na sljedeći korak ciklusa II - na blok 7.

Ciklus II: ja = 3: s = b 3 = 6 (blok 8).

Idi na ugniježđenu petlju III, blok 9: j = 1.

Blok 11: s= 6 – 1 × 0 = 6, idite na blok 9: j = 2.

Pomoću bloka 10 prelazimo na blok 11.

Blok 11: s= 6 – 1 × 0 = 6. Završavamo ciklus III i prelazimo na blok 12.

Blok 12: s = s/ a 33 = 6 / 4 = 1,5.

Blok 13: s = 1,5.

Blok 14: d = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Blok 15: x i = 1,5 (ja = 3).

Prema bloku 16 (uključujući reference " A"I" S") napuštamo ciklus II i prelazimo na blok 18.

Blok 18. Povećanje broja ponavljanja to = to + 1 = 0 + 1 = 1.

U blokovima 19 i 20 ciklusa IV zamjenjujemo početne vrijednosti x 0ja dobivene vrijednosti x i (ja = 1, 2, 3).

Blok 21. Ispisujemo međuvrijednosti trenutne iteracije, u ovom slučaju: = (0,5; 0,8; 1,5) T, to = 1; de = 0,5.

Idemo u ciklus II do bloka 7 i izvodimo razmatrane izračune s novim početnim vrijednostima x 0ja (ja = 1, 2, 3).

Nakon čega dobivamo x 1 = 1,075; x 2 = 1,3; x 3 = 1,175.

Ovdje, dakle, Seidelova metoda konvergira.

Prema formulama (2.33)

k	x 1	x 2	x 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Odgovor: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

Komentar. Ako jednostavna iteracija i Seidelova metoda konvergiraju za isti sustav, tada je Seidelova metoda poželjnija. Međutim, u praksi područja konvergencije ovih metoda mogu biti različita, tj. metoda jednostavne iteracije konvergira, ali Seidelova metoda divergira, i obrnuto. Za obje metode, ako je || G|| blizu jedinica, brzina konvergencije je vrlo mala.

Za ubrzanje konvergencije koristi se umjetna tehnika – tzv metoda opuštanja . Njegova bit leži u činjenici da se sljedeća vrijednost dobiva metodom ponavljanja x i (k) ponovno se izračunava pomoću formule

gdje se w obično mijenja u rasponu od 0 do 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (h= 0,1 ili 0,2). Parametar w odabran je tako da se konvergencija metode postigne u minimalnom broju iteracija.

Opuštanje– postupno slabljenje bilo kojeg stanja tijela nakon prestanka djelovanja čimbenika koji su to stanje uzrokovali (fizikalni inženjering).

Primjer 2.4. Razmotrimo rezultat pete iteracije koristeći relaksacijsku formulu. Uzmimo w = 1,5:

Kao što vidite, dobiven je rezultat gotovo sedme iteracije.

Metoda jednostavne iteracije, koja se naziva i metoda uzastopne aproksimacije, matematički je algoritam za pronalaženje vrijednosti nepoznate veličine njezinim postupnim pročišćavanjem. Bit ove metode je da se, kao što naziv govori, postupnim izražavanjem sljedećih od početne aproksimacije, dobivaju sve precizniji rezultati. Ova se metoda koristi za pronalaženje vrijednosti varijable u zadanoj funkciji, kao i pri rješavanju sustava jednadžbi, linearnih i nelinearnih.

Razmotrimo kako se ova metoda primjenjuje pri rješavanju SLAE. Metoda jednostavne iteracije ima sljedeći algoritam:

1. Provjera ispunjenja uvjeta konvergencije u izvornoj matrici. Teorem konvergencije: ako izvorna matrica sustava ima dijagonalnu dominaciju (tj. u svakom retku, elementi glavne dijagonale moraju biti veći u apsolutnoj vrijednosti od zbroja elemenata sekundarnih dijagonala u apsolutnoj vrijednosti), tada jednostavna iteracijska metoda je konvergentna.

2. Matrica izvornog sustava nema uvijek dijagonalnu prevlast. U takvim slučajevima, sustav se može pretvoriti. Jednadžbe koje zadovoljavaju uvjet konvergencije ostaju netaknute, a prave se linearne kombinacije s onima koje ne zadovoljavaju, tj. množenje, oduzimanje, zbrajanje jednadžbi jedna drugoj dok se ne dobije željeni rezultat.

Ako u rezultirajućem sustavu postoje nezgodni koeficijenti na glavnoj dijagonali, tada se članovi oblika s i * x i dodaju na obje strane takve jednadžbe, čiji se predznaci moraju podudarati sa predznacima dijagonalnih elemenata.

3. Transformacija dobivenog sustava u normalni oblik:

x - =β - +α*x -

To se može učiniti na više načina, na primjer, ovako: iz prve jednadžbe izrazite x 1 u smislu drugih nepoznanica, iz druge - x 2, iz treće - x 3 itd. U ovom slučaju koristimo formule:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Ponovno se trebate uvjeriti da rezultirajući sustav normalnog oblika zadovoljava uvjet konvergencije:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, dok je i= 1,2,...n

4. Počinjemo primjenjivati, zapravo, samu metodu uzastopnih aproksimacija.

x (0) je početna aproksimacija, x (1) ćemo izraziti kroz nju, zatim ćemo x (2) izraziti kroz x (1). Opća formula u obliku matrice izgleda ovako:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Računamo dok ne postignemo traženu točnost:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Dakle, stavimo jednostavnu metodu ponavljanja u praksu. Primjer:
Riješite SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 s točnošću ε=10 -3

Pogledajmo prevladavaju li dijagonalni elementi u modulu.

Vidimo da samo treća jednadžba zadovoljava uvjet konvergencije. Transformirajmo prvu i drugu i dodajmo drugu prvoj jednadžbi:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Od trećeg oduzimamo prvi:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Pretvorili smo izvorni sustav u ekvivalentan:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Dovedimo sada sustav u normalan oblik:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Provjeravamo konvergenciju iterativnog procesa:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, tj. uvjet je ispunjen.

0,3947
Početna pretpostavka x(0) = 0,4762
0,8511

Zamjenom ovih vrijednosti u jednadžbu normalnog oblika, dobivamo sljedeće vrijednosti:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Zamjenom novih vrijednosti dobivamo:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Nastavljamo s izračunima dok se ne približimo vrijednostima koje zadovoljavaju zadani uvjet.

x (7) = 0,441091

Provjerimo ispravnost dobivenih rezultata:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Rezultati dobiveni zamjenom pronađenih vrijednosti u izvorne jednadžbe u potpunosti zadovoljavaju uvjete jednadžbe.

Kao što vidimo, metoda jednostavne iteracije daje prilično točne rezultate, ali da bismo riješili ovu jednadžbu morali smo potrošiti puno vremena i napraviti glomazne izračune.