Procjena parametara linearne regresije. Regresija u Excelu: jednadžba, primjeri

Linearna regresija se svodi na pronalaženje jednadžbe oblika:

Prvi izraz dopušta zadane vrijednosti faktora x izračunajte teorijske vrijednosti rezultantne karakteristike zamjenom stvarnih vrijednosti faktora u nju. Na grafikonu (slika 1.2) teorijske vrijednosti leže na ravnoj liniji koja predstavlja regresijsku liniju.

Konstrukcija linearne regresije svodi se na procjenu njezinih parametara - a i b. Klasičan pristup procjeni parametara linearne regresije temelji se na metodi najmanjih kvadrata (OLS).

Metoda najmanjih kvadrata omogućuje nam dobivanje takvih procjena parametara A I b, kod kojih je zbroj kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti na od teorijskog y x minimum:

Riža. 1.2.

Za pronalaženje minimuma potrebno je izračunati parcijalne derivacije zbroja (1.4) za svaki od parametara (a i ft) i izjednačiti ih s nulom:

Nakon transformacije dobivamo sustav normalnih jednadžbi:

U sustavu P- veličina uzorka, iznosi se lako izračunavaju iz izvornih podataka. Rješavanje sustava za A I b, dobivamo:

Izraz (1.7) može se napisati u drugom obliku:

gdje je cov(x, y) - kovarijacija osobina; su* - disperzija faktora X.

Parametar b naziva se koeficijent regresije. Njegova vrijednost pokazuje prosječnu promjenu rezultata s povećanjem faktora za jednu jedinicu. Mogućnost jasne ekonomske interpretacije koeficijenta regresije učinila je jednadžbu linearne parne regresije vrlo uobičajenom u ekonometrijskim istraživanjima.

Formalno A - značenje na na x = 0. Ako x nema i ne može imati nultu vrijednost, onda je ovo tumačenje slobodnog pojma A nema smisla. Parametar A najčešće nema ekonomski sadržaj. Pokušaji ekonomskog tumačenja mogu dovesti do apsurda, pogotovo kada a 0. Može se interpretirati samo predznak parametra A. Ako a > 0, tada se relativna promjena rezultata događa sporije od promjene faktora. Usporedimo ove relativne promjene:

Ponekad se za odstupanja od srednje vrijednosti piše jednadžba linearne parne regresije:

Gdje

U tom je slučaju slobodni član jednak nuli, što se odražava u izrazu (1.10). Ova činjenica proizlazi iz geometrijskih razmatranja: ista ravna linija (1.3) odgovara regresijskoj jednadžbi, ali se kod procjene regresije u odstupanjima ishodište koordinata pomiče u točku s koordinatama (Zc, y). U tom će slučaju u izrazu (1.8) oba zbroja biti jednaka nuli, što za sobom povlači jednakost slobodnog člana nuli. Izrazi (1.7) i (1.9) su također pojednostavljeni.

Kao primjer, razmotrimo skupinu poduzeća koja proizvode jednu vrstu proizvoda, regresijsku ovisnost troškova o proizvodnji proizvoda y = a + bx+ e (tablica 1.1).

Sustav normalnih jednadžbi imat će oblik

Rješavajući to, dobivamo A - -5,79, b - 36,84.

Regresijska jednadžba ima oblik

Tablica 1.1

Ulazni podaci za estimaciju parametara uparenog linearnog modela

Izlaz proizvoda (x), tisuća jedinica.	Troškovi proizvodnje (y), milijuna rubalja

Zamjenom x vrijednosti u regresijsku jednadžbu, nalazimo teorijske vrijednosti y (zadnji stupac tablice 1.1).

Veličina A nema ekonomskog smisla. Ako varijable x I na izraženo u smislu odstupanja od prosječnih razina, tada će regresijska linija na grafikonu prolaziti kroz ishodište koordinata. Procjena koeficijenta regresije neće se promijeniti: y" = 36,84x", gdje je y" = y-y, x" = x-x.

Kao drugi primjer, razmotrite funkciju potrošnje obrasca:

gdje je C potrošnja; na- prihod; K, L - opcije.

Ova jednadžba linearne regresije obično se koristi zajedno s jednadžbom bilance

gdje je / iznos ulaganja; G- štednja.

Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se prihod troši na potrošnju i investicije. Dakle, razmatramo sustav jednadžbi

Prisutnost bilančne jednakosti nameće ograničenja na vrijednost regresijskog koeficijenta, koji ne može biti veći od jedan, tj. K 1.

Pretpostavimo da je funkcija potrošnje C = 1,9 + 0,65 god.

Koeficijent regresije karakterizira sklonost potrošnji. Pokazuje da se od svake tisuću rubalja prihoda prosječno 650 rubalja troši na potrošnju, a 350 rub. uloženo. Ako izračunamo regresiju veličine ulaganja na prihod, tj. I = a + po, tada će jednadžba regresije biti ja= -1,9 + 0,35y. Ne mora se odrediti jer se izvodi iz funkcije potrošnje. Regresijski koeficijenti ove dvije jednadžbe povezani su jednakošću 0,65 + 0,35 = 1. Ako je regresijski koeficijent veći od jedan, tada Na potrošnju se ne troše samo prihodi, nego i ušteđevina.

Koeficijent regresije DO u funkciji potrošnje koristi se za izračun množitelja:

Gdje T» 2,86, tako da je dodatna investicija 1 tisuću rubalja. za dugo razdoblje dovest će, pod istim uvjetima, do dodatnog prihoda od 2,86 tisuća rubalja.

U linearnoj regresiji koeficijent linearne korelacije služi kao pokazatelj bliskosti veze G.

Njegove vrijednosti su unutar granica: - 1 r 1. Ako je 6>0, tada je 0 g b 0-1 g 0. Prema primjeru, izračun izraza (1.11) daje g = 0,991, što znači vrlo blisku ovisnost troškova proizvodnje o obujmu proizvodnje.

Za procjenu kvalitete odabira linearne funkcije, koeficijent determinacije izračunava se kao kvadrat koeficijenta linearne korelacije ja 2. Karakterizira udio varijance rezultirajućeg obilježja y, objašnjenog regresijom, u ukupnoj varijanci rezultirajućeg obilježja:

Vrijednost 1 - g 2 karakterizira udio varijance y, uzrokovan utjecajem drugih faktora koji nisu uzeti u obzir u modelu.

U primjeru g 2 = 0,982. Regresijska jednadžba objašnjava 98,2% varijance u y, a ostali faktori čine 1,8% - to je rezidualna varijanca.

Linearna regresija naširoko se koristi u ekonometriji u obliku jasne ekonomske interpretacije svojih parametara. Linearna regresija se svodi na pronalaženje jednadžbe oblika

Ili . (4.6)

Jednadžba oblika omogućuje zadane vrijednosti faktora x imaju teorijske vrijednosti rezultantne karakteristike, zamjenjujući stvarne vrijednosti faktora u nju x. Na grafikonu, teorijske vrijednosti predstavljaju regresijsku liniju (slika 4.2).

Riža. 4.2. Grafička estimacija parametara linearne regresije

Konstrukcija linearne regresije svodi se na procjenu njezinih parametara i .Ocjene parametara linearne regresije mogu se pronaći različitim metodama. Možete se okrenuti korelacijskom polju i odabirom dvije točke na grafikonu povući ravnu liniju kroz njih (vidi sl. 4.2). Zatim pomoću grafikona možete odrediti vrijednosti parametara. Parametar definiramo kao točku sjecišta regresijske linije s osi i procjenjujemo parametar na temelju nagiba regresijske linije kao , gdje je prirast rezultata y, povećanje faktora X, tj.

Klasični pristup procjeni parametara linearne regresije temelji se na metoda najmanjih kvadrata(MNC).

Metoda najmanjih kvadrata omogućuje nam da dobijemo takve procjene parametara i , za koje je zbroj kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti rezultirajuće karakteristike (y) od izračunatog (teorijskog) minimuma:

Drugim riječima, iz cijelog skupa linija, regresijska linija na grafu je odabrana tako da je zbroj kvadrata okomitih udaljenosti između točaka i ove linije minimalan:

stoga,

Za pronalaženje minimuma funkcije (4.7) potrebno je izračunati parcijalne derivacije za svaki od parametara A I b i postaviti ih jednake nuli.

Označimo sa S, zatim:

Transformacijom ovog sustava dobivamo sljedeći sustav normalnih jednadžbi za procjenu parametara i:

. (4.8)

Rješavanjem sustava normalnih jednadžbi (4.8) bilo metodom uzastopne eliminacije varijabli ili metodom determinanti, nalazimo numeričke vrijednosti traženih parametara i . Možete koristiti sljedeće gotove formule:

. (4.9)

Formula (4.9) se dobiva iz prve jednadžbe sustava (4.8), ako se svi njegovi članovi podijele s P.

gdje je kovarijanca obilježja;

Varijanca osobine x.

S obzirom na činjenicu da , , dobivamo sljedeću formulu za izračun procjene parametra b:

. (4.10)

Parametar se naziva koeficijent regresije. Njegova vrijednost pokazuje prosječnu promjenu rezultata s promjenom faktora za jednu jedinicu. Dakle, ako je u funkciji troška (y - troškovi (tisuća rubalja), x- broj jedinica proizvodnje). Stoga se s povećanjem obujma proizvodnje (X) za 1 jedinicu troškovi proizvodnje povećavaju se u prosjeku za 2 tisuće rubalja, tj. dodatno povećanje proizvodnje za 1 jedinicu. zahtijevat će povećanje troškova u prosjeku za 2 tisuće rubalja.

Mogućnost jasne ekonomske interpretacije regresijskog koeficijenta učinila je linearnu regresijsku jednadžbu prilično uobičajenom u ekonometrijskim istraživanjima.

Formalno – značenje na na x= 0. Ako atribut-faktor nema i ne može imati nultu vrijednost, tada gornja interpretacija slobodnog člana nema smisla. Parametar možda nema ekonomski sadržaj. Pokušaji ekonomične interpretacije parametra A može dovesti do apsurda, pogotovo kada < 0.

100 RUR bonus za prvu narudžbu

Odabir vrste rada Diplomski rad Predmetni rad Sažetak Magistarski rad Izvješće o vježbi Članak Izvješće Recenzija Testni rad Monografija Rješavanje problema Poslovni plan Odgovori na pitanja Kreativni rad Esej Crtanje Eseji Prijevod Prezentacije Tipkanje Ostalo Povećanje jedinstvenosti teksta Magistarski rad Laboratorijski rad On-line pomoć

Saznajte cijenu

Pri procjeni parametara regresijske jednadžbe koristi se metoda najmanjih kvadrata (OLS). U ovom slučaju, stvoreni su određeni preduvjeti u vezi sa slučajnom komponentom, npr. U modelu je slučajna komponenta e veličina koja se ne može promatrati. Nakon što su procijenjeni parametri modela, izračunavanje razlika između stvarnih i teoretskih vrijednosti rezultantne karakteristike y , moguće je odrediti procjene slučajne komponente. Budući da nisu stvarni slučajni ostaci, mogu se smatrati nekom oglednom realizacijom nepoznatog ostatka dane jednadžbe, tj.

Prilikom mijenjanja specifikacije modela ili dodavanja novih opažanja, procjene uzorka reziduala ei mogu se promijeniti. Stoga zadatak regresijske analize uključuje ne samo konstrukciju samog modela, već i proučavanje slučajnih odstupanja ei, tj. rezidualnih vrijednosti.

Kada se koriste Fisherov i Studentov test, pretpostavke se odnose na ponašanje reziduala ei - reziduali su neovisne slučajne varijable i njihova srednja vrijednost je 0; imaju istu (konstantnu) varijancu i slijede normalnu distribuciju.

Statistički testovi regresijskih parametara i korelacijskih pokazatelja temelje se na neprovjerljivim pretpostavkama distribucije slučajne komponente ei. Oni su samo preliminarni. Nakon konstruiranja regresijske jednadžbe, prisutnost

procjenjuje ei (slučajne reziduale) onih svojstava koja su pretpostavljena. To je zbog činjenice da procjene regresijskih parametara moraju zadovoljiti određene kriterije. Moraju biti nepristrani, bogati i učinkoviti. Ova svojstva procjena dobivenih OLS-om od iznimno su važne praktične važnosti u korištenju rezultata regresije i korelacije.

Nepristran procjene znači da je matematičko očekivanje reziduala nula. Ako su procjene nepristrane, tada se mogu usporediti u različitim studijama.

Broje se ocjene djelotvoran, ako ih karakterizira najmanja disperzija. U praktičnom istraživanju to znači mogućnost prijelaza s točkaste procjene na intervalnu procjenu.

Bogatstvo procjene karakterizira povećanje njihove točnosti s povećanjem veličine uzorka. Od velikog praktičnog interesa su oni regresijski rezultati za koje je interval pouzdanosti očekivane vrijednosti regresijskog parametra bi ima granicu vjerojatnosti jednaku jedan. Drugim riječima, vjerojatnost dobivanja procjene na određenoj udaljenosti od stvarne vrijednosti parametra je blizu jedan.

Navedeni kriteriji ocjenjivanja (nepristranost, dosljednost i učinkovitost) nužno se uzimaju u obzir u različitim metodama ocjenjivanja. Metoda najmanjih kvadrata konstruira regresijske procjene na temelju minimiziranja zbroja kvadrata reziduala. Stoga je vrlo važno ispitati ponašanje regresijskih reziduala ei. Uvjeti potrebni za dobivanje nepristranih, dosljednih i učinkovitih procjena su preduvjeti OLS-a koji su poželjni za dobivanje pouzdanih rezultata regresije.

Studije ei rezidua uključuju provjeru prisutnosti sljedećeg pet prostorija MNP:

1. slučajna priroda ostataka;

2. nula prosječna vrijednost reziduala, neovisno o xi;

3. homoskedastičnost – varijanca svakog odstupanja ei je ista za sve vrijednosti x ;

4. odsutnost autokorelacije reziduala – vrijednosti reziduala ei distribuiraju se neovisno jedna o drugoj;

5. ostaci slijede normalnu distribuciju.

Ako distribucija slučajnih reziduala ei ne odgovara nekim OLS pretpostavkama, tada se model treba prilagoditi.

Prije svega, provjerava se slučajna priroda reziduala ei - prva premisa OLS-a. U tu svrhu iscrtava se grafikon ovisnosti reziduala ei o teoretskim vrijednostima rezultirajuće karakteristike.

Ako se na grafikonu dobije vodoravna traka, tada su reziduali ei slučajne varijable i metoda najmanjih kvadrata je opravdana; teorijske vrijednosti dobro približuju stvarne vrijednosti y.

Sljedeći slučajevi su mogući ako ei ovisi o Da:

1) ostaci ei nisu slučajni

2) reziduali ei nemaju konstantnu varijancu

3) ostaci ei su sustavni.

U tim slučajevima potrebno je ili primijeniti drugu funkciju ili uvesti dodatne informacije i ponovno izgraditi regresijsku jednadžbu sve dok reziduali ei ne budu slučajne varijable.

Druga OLS pretpostavka u vezi s nultom srednjom rezidualom znači da . To je izvedivo za linearne modele i modele koji su nelinearni s obzirom na uključene varijable.

Istodobno, nepristranost procjena regresijskih koeficijenata dobivenih OLS-om ovisi o neovisnosti slučajnih reziduala i vrijednosti x, što se također proučava u okviru usklađenosti s drugom premisom OLS-a. U tu svrhu, uz prikazani graf ovisnosti reziduala ei o teoretskim vrijednostima rezultantnog atributa, konstruiran je graf ovisnosti slučajnih reziduala ei o faktorima uključenim u regresiju xj.

Ako se reziduali na grafikonu nalaze u obliku vodoravne trake, tada su neovisni o vrijednostima xj. Ako grafikon pokazuje prisutnost odnosa između ei i xj, tada je model neadekvatan. Razlozi neadekvatnosti mogu biti različiti. Moguće je da je povrijeđena treća premisa OLS-a i da disperzija reziduala nije konstantna za svaku vrijednost faktora xj. Specifikacija modela može biti netočna i potrebno ju je unijeti

dodatni pojmovi iz xj, na primjer . Akumulacija točaka u određenim područjima vrijednosti xj faktora ukazuje na prisutnost sustavne pogreške u modelu.

Pretpostavka normalne distribucije reziduala omogućuje testiranje regresijskih i korelacijskih parametara korištenjem F- i t-testova. U isto vrijeme, regresijske procjene dobivene korištenjem OLS-a imaju dobra svojstva čak i u nedostatku normalne distribucije reziduala, tj. ako je povrijeđena peta premisa MNC.

Apsolutno je potrebno dobiti konzistentne procjene regresijskih parametara korištenjem OLS metoda uz poštivanje trećeg i četvrtog preduvjeta.

Treća premisa OLS-a zahtijeva da varijanca reziduala bude homoskedastičan. To znači da za svaku vrijednost faktora xj reziduali ei imaju istu varijancu. Ako ovaj uvjet za primjenu metode najmanjih kvadrata nije ispunjen, tada heteroskedastičnost. Prisutnost heteroskedastičnosti može se jasno vidjeti iz korelacijskog polja:

1. Varijanca reziduala raste kako x raste.

Tada imamo sljedeću vrstu heteroskedastičnosti: velika varijanca ei za velike vrijednosti

2. Varijanca reziduala doseže najveću vrijednost pri prosječnim vrijednostima x, a smanjuje se pri minimalnim i maksimalnim vrijednostima.

Tada imamo sljedeću vrstu heteroskedastičnosti: velika disperzija ei za prosječne vrijednosti i mala disperzija ei za male i velike vrijednosti

3. Varijanca reziduala je najveća pri malim vrijednostima x, a varijanca reziduala je ujednačena kako x raste.

Tada imamo sljedeću vrstu heteroskedastičnosti: velika disperzija ei za male vrijednosti, opadajuća disperzija reziduala ei kao

Prilikom konstruiranja regresijskih modela iznimno je važno poštivati ​​četvrtu premisu OLS-a - nepostojanje autokorelacije reziduala, tj. vrijednosti reziduala ei raspodijeljene su neovisno jedna o drugoj.

Autokorelacija reziduala znači postojanje korelacije između reziduala trenutnog i prethodnih (naknadnih) opažanja. Koeficijent korelacije između ei i ej, gdje su ei reziduali trenutnih opažanja, ej reziduali prethodnih opažanja (na primjer, j=i-1), može se definirati kao:

tj. prema uobičajenoj formuli za linearni koeficijent korelacije. Ako se pokaže da je ovaj koeficijent značajno različit od nule, tada su reziduali autokorelirani i funkcija gustoće vjerojatnosti F(e) ovisi o j -toj točki promatranja i iz raspodjele rezidualnih vrijednosti na ostalim točkama promatranja.

Odsutnost autokorelacije rezidualnih vrijednosti osigurava dosljednost i učinkovitost procjena regresijskih koeficijenata. Posebno je važno pridržavati se ove premise OLS-a pri izradi regresijskih modela na temelju vremenskih serija, pri čemu, zbog prisutnosti trenda, sljedeće razine vremenske serije, u pravilu, ovise o svojim prethodnim razinama.

Ako osnovne pretpostavke OLS-a nisu zadovoljene, potrebno je prilagoditi model, mijenjati njegovu specifikaciju, dodavati (isključivati) neke faktore, transformirati izvorne podatke kako bi se dobile procjene regresijskih koeficijenata koji imaju svojstvo nepristranosti, imaju nižu vrijednost disperzije reziduala i stoga omogućuju učinkovitije statističko testiranje značajnosti regresijskih parametara.

Za procjenu parametara regresijske jednadžbe najčešće se koristi metoda najmanjih kvadrata. (MNC).

Metoda najmanjeg kvadrata proizvodi procjene koje imaju najmanju varijancu u klasi svih linearnih procjena ako su zadovoljene pretpostavke normalnog modela linearne regresije.

LSM minimizira zbroj kvadrata odstupanja opaženih vrijednosti od vrijednosti modela .

Prema načelu najmanjih kvadrata, procjene se dobivaju minimiziranjem zbroja kvadrata

za sve moguće vrijednosti I pri zadanim (promatranim) vrijednostima
.

Kao rezultat primjene metode najmanjih kvadrata dobivamo formule za izračun parametara uparenog regresijskog modela.

(3)

Takvo rješenje može postojati samo ako je uvjet ispunjen

što je ekvivalentno razlici od nule determinante sustava normalnih jednadžbi. Doista, ova determinanta je jednaka

Posljednji uvjet je tzv uvjet identifikacije model promatranja, a znači da nisu sve vrijednosti
međusobno se podudaraju. Ako se ovaj uvjet prekrši svi bodova
, leže na istoj okomitoj liniji

Procjene se zovu procjene najmanjih kvadrata . Obratimo pozornost na dobiveni izraz za parametar. Ovaj izraz uključuje zbrojeve kvadrata koji su prethodno bili uključeni u određivanje varijance uzorka

i kovarijanca uzorka
dakle, u ovim terminima parametar može se dobiti na sljedeći način:

=
=
=

=

Procjena kvalitete regresijske jednadžbe

Kvaliteta regresijskog modela povezana je s primjerenošću modela promatranim (empirijskim) podacima. Adekvatnost (ili podudarnost) regresijskog modela s promatranim podacima provjerava se na temelju analize reziduala.

Nakon konstruiranja regresijske jednadžbe, možemo podijeliti Y vrijednost u svakom promatranju u dvije komponente - I .

Ostatak predstavlja odstupanje stvarne vrijednosti zavisne varijable od vrijednosti te varijable, dobivene proračunom:
(
).

U praksi u pravilu postoji rasipanje točaka korelacijskog polja u odnosu na teoretsku regresijsku liniju, odnosno odstupanja empirijskih podataka od teoretskih (
). Veličina tih odstupanja temelj je za izračun pokazatelja kvalitete (adekvatnosti) jednadžbe.

Pri analizi kvalitete regresijskog modela koristi se osnovna pozicija analize varijance prema kojoj ukupni zbroj kvadrata odstupanja zavisne varijable od srednje vrijednosti može se rastaviti na dvije komponente - objašnjene i neobjašnjene jednadžbom regresije varijance:

(4)

Gdje - vrijednosti g, izračunato iz modela
.

Dijeljenje desnog i lijevog dijela (4) na

,

.

Koeficijent determinacije definira se na sljedeći način:

Koeficijent determinacije pokazuje udio varijacije u rezultirajućoj karakteristici na koju utječu čimbenici koji se proučavaju, tj. određuje koji je udio varijacije u karakteristici Y uzet u obzir u modelu i nastao je zbog utjecaja čimbenika na nju.

Bliže
do 1, veća je kvaliteta modela.

Za procjenu kvalitete regresijskih modela također je preporučljivo koristiti višestruki koeficijent korelacije (indeks korelacije) R

Ovaj koeficijent je univerzalan jer odražava bliskost odnosa i točnost modela, a može se koristiti i za bilo koji oblik povezanosti varijabli.

Kod konstruiranja jednofaktorskog modela jednak je linearnom koeficijentu korelacije
.

Očito, što je manji utjecaj neobračunatih čimbenika, model bolje odgovara stvarnim podacima.

Također, za procjenu kvalitete regresijskih modela, preporučljivo je koristiti prosječnu pogrešku aproksimacije:

Što je manje raspršenje empirijskih točaka oko teorijske regresijske linije, to je manja prosječna pogreška aproksimacije. Pogreška aproksimacije manja od 7% ukazuje na dobru kvalitetu modela.

Nakon što je regresijska jednadžba konstruirana, provjerava se značajnost konstruirane jednadžbe u cjelini i pojedinih parametara.

Procjena važnosti regresijske jednadžbe znači utvrđivanje odgovara li matematički model koji izražava odnos između Y i X stvarnim podacima i jesu li eksplanatorne varijable X uključene u jednadžbu dovoljne za opis zavisne varijable Y

Procjena značaja regresijske jednadžbe radi se kako bi se utvrdilo je li regresijska jednadžba prikladna za praktičnu upotrebu (npr. za predviđanje) ili ne. U ovom slučaju postavlja se glavna hipoteza o beznačajnosti jednadžbe u cjelini, što se formalno svodi na hipotezu da su regresijski parametri jednaki nuli, ili, što je isto, da je koeficijent determinacije jednak nula:
. Alternativna hipoteza o značaju jednadžbe je hipoteza o nejednakosti regresijskih parametara nuli.

Za testiranje značajnosti modela koristi se regresija Fisherov F test , izračunato kao omjer varijance izvorne serije i nepristrane varijance rezidualne komponente. Ako je izračunata vrijednost s  1 = k i  2 = (n - k - 1) stupnjeva slobode, gdje je k broj faktora uključenih u model, veća od tablične vrijednosti na danoj razini značajnosti, tada je model se smatra značajnim.

Za upareni regresijski model:

Kao mjere točnosti koristi se nepristrana procjena disperzije rezidualne komponente, koja je omjer zbroja kvadrata razina rezidualne komponente i vrijednosti (n- k -1), gdje je k broj faktora uključenih u model. Kvadratni korijen ove količine ( ) Zove se standardna pogreška :

D Za upareni regresijski model