Kako nepravi razlomak pretvoriti u decimalu. Operacije s običnim razlomcima

Sve frakcije podijeljene su u dvije vrste: obične i decimalne. Razlomci ove vrste nazivaju se običnim: 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Imaju gornji broj (brojnik) i donji broj (nazivnik). Kada je brojnik manji od nazivnika, razlomak se naziva pravim; u suprotnom, razlomak se naziva nepravim. Razlomci kao što je 1 7/8 sastoje se od cijelog dijela (1) i razlomka (7/8) i nazivaju se mješoviti.

Dakle, razlomci su:

1. Obični
   1. Točno
   2. krivo
   3. Mješoviti
2. Decimal

Kako od razlomka napraviti decimalu

Tečaj matematike u osnovnoj školi uči kako pretvoriti razlomak u decimalu. Sve je krajnje jednostavno: potrebno je podijeliti brojnik s nazivnikom "ručno" ili, ako ste jako lijeni, onda pomoću mikrokalkulatora. Evo primjera: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Nije puno teže pretvoriti nepravi razlomak u decimalu. Primjer: 1 3/4= 7/4= 1,75. Posljednji rezultat možemo dobiti bez dijeljenja, ako uzmemo u obzir da je 3/4 = 0,75 i zbrojimo jedan: 1 + 0,75 = 1,75.

Međutim, nisu svi obični razlomci tako jednostavni. Na primjer, pokušajmo pretvoriti 1/3 iz običnih razlomaka u decimale. Čak i netko tko je imao trojku iz matematike (koristeći sustav od pet točaka) primijetit će da bez obzira koliko dugo dijeljenje traje, nakon nule i zareza bit će beskonačan broj trojki 1/3 = 0,3333…. . Uobičajeno je čitati na ovaj način: nulta točka, tri u točki. Zapisuje se prema tome na sljedeći način: 1/3=0,(3). Slična situacija će se dogoditi ako pokušate pretvoriti 5/6 u decimalni razlomak: 5/6=0,8(3). Takvi se razlomci nazivaju beskonačno periodičnim. Evo primjera za razlomak 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, odnosno 3/7=0.(428571).

Dakle, kao rezultat pretvaranja običnog razlomka u decimalu, možete dobiti:

1. neperiodični decimalni razlomak;
2. periodični decimalni razlomak.

Treba napomenuti da postoje i beskonačni neperiodični razlomci koji se dobivaju izvođenjem sljedećih radnji: vađenje n-tog korijena, logaritam, potenciranje. Na primjer, √3= 1,732050807568877… . Poznati broj π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Pomnožimo sada 3 sa 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Ispostavilo se da je 0,(9) još jedan oblik jedinice za pisanje. Isto tako, 9=9/9,16=16,0, itd.

Opravdano je i pitanje suprotno onome iz naslova ovog članka: “kako pretvoriti decimalni razlomak u obični”. Odgovor na ovo pitanje dat je primjerom: 0,5= 5/10=1/2. U posljednjem smo primjeru brojnik i nazivnik razlomka 5/10 smanjili za 5. To jest, da biste decimalni razlomak pretvorili u običan razlomak, trebate ga predstaviti kao razlomak s nazivnikom 10.

Bit će zanimljivo pogledati ovaj video o tome što su razlomci:

Da biste saznali kako pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak, pogledajte ovdje:

Pretvaranje razlomka u decimalu

Recimo da želimo pretvoriti razlomak 11/4 u decimalu. Najlakši način da to učinite je sljedeći:

						2∙2∙5∙5

Uspjeli smo jer se u ovom slučaju rastavljanje nazivnika na proste faktore sastoji samo od dvojki. Ovo proširenje dopunili smo s još dvije petice, iskoristili činjenicu da je 10 = 2∙5 i dobili decimalni razlomak. Takav je postupak očito moguć ako i samo ako rastavljanje nazivnika na proste faktore ne sadrži ništa osim dvojki i petica. Ako je bilo koji drugi prosti broj prisutan u proširenju nazivnika, tada se takav razlomak ne može pretvoriti u decimalu. Ipak, pokušat ćemo to učiniti, ali samo na drugačiji način, s kojim ćemo se upoznati na primjeru istog razlomka 11/4. Podijelimo 11 sa 4 pomoću "kuta":

U retku za odgovor dobili smo cijeli dio (2), a imamo i ostatak (3). Ranije smo ovdje završavali dijeljenje, ali sada znamo da možemo dodati zarez i nekoliko nula desno od dividende (11), što ćemo sada mentalno učiniti. Nakon decimalne točke dolazi deseto mjesto. Nula koja se pojavljuje kod dividende u ovoj znamenki bit će dodana rezultirajućem ostatku (3):

Sada se podjela može nastaviti kao da se ništa nije dogodilo. Samo ne zaboravite staviti zarez iza cijelog dijela u retku za odgovor:

Sada dodajemo nulu ostatku (2), koji se nalazi na stotinki mjesta dividende, i završavamo dijeljenje:

Kao rezultat toga, dobivamo, kao i prije,

Pokušajmo sada na potpuno isti način izračunati čemu je jednak razlomak 27/11:

U retku za odgovor dobili smo broj 2,45, au retku za ostatak broj 5. Ali već smo se prije susretali s takvim ostatkom. Stoga možemo odmah reći da ako nastavimo naše dijeljenje "kutom", tada će sljedeći broj u retku odgovora biti 4, zatim će doći broj 5, pa opet 4 i opet 5, i tako dalje, ad infinitum. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Dobili smo tzv periodički decimalni razlomak s periodom 45. Za takve se razlomke koristi kompaktniji zapis u kojem se točka piše samo jednom, ali se nalazi u zagradama:

2,454545454545... = 2,(45).

Općenito govoreći, ako jedan prirodni broj podijelimo s drugim "kutom", zapisujući odgovor u obliku decimalnog razlomka, tada su moguća samo dva ishoda: (1) prije ili kasnije ćemo dobiti nulu u retku ostatka , (2) ili će tamo postojati takav ostatak, s kojim smo se već susreli (skup mogućih ostataka je ograničen jer su svi očito manji od djelitelja). U prvom slučaju, rezultat dijeljenja je konačni decimalni ulomak, u drugom slučaju - periodični.

Pretvorite periodičku decimalu u razlomak

Neka nam je dan pozitivni periodični decimalni razlomak s nultim cijelim dijelom, na primjer:

a = 0,2(45).

Kako mogu pretvoriti ovaj razlomak natrag u obični razlomak?

Pomnožimo to s 10 k, Gdje k je broj znamenki između decimalne točke i početne zagrade koja označava početak točke. U ovom slučaju k= 1 i 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Pomnožite rezultat s 10 n, Gdje n- “duljina” točke, odnosno broj znamenki u zagradama. U ovom slučaju n= 2 i 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Sada izračunajmo razliku

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Budući da su razlomački dijelovi umanjenika i oduzetika isti, tada je razlomački dio razlike jednak nuli i dolazimo do jednostavne jednadžbe za a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Ova se jednadžba rješava pomoću sljedećih transformacija:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Namjerno još ne dovršavamo izračune, tako da je jasno vidljivo kako se ovaj rezultat može odmah zapisati, izostavljajući međuargumente. Minuend u brojniku (245) je razlomački dio broja

a = 0,2(45)

ako izbrišete zagrade u njezinu unosu. Subtrahend u brojniku (2) je neperiodični dio broja A, koji se nalazi između zareza i početne zagrade. Prvi faktor u nazivniku (10) je jedinica, kojoj je pridruženo onoliko nula koliko ima znamenki u neperiodičkom dijelu ( k). Drugi faktor u nazivniku (99) je onoliko devetki koliko ima znamenki u razdoblju ( n).

Sada se naši izračuni mogu dovršiti:

Ovdje brojnik sadrži točku, a nazivnik ima onoliko devetki koliko ima znamenki u točki. Nakon smanjenja za 9, dobiveni razlomak je jednak

Na isti način,

Razlomak je broj koji se sastoji od jedne ili više jedinica. U matematici postoje tri vrste razlomaka: obični, mješoviti i decimalni.

• 
  Obični razlomci

Obični razlomak zapisan je kao omjer u kojem brojnik pokazuje koliko je dijelova uzeto iz broja, a nazivnik pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena. Ako je brojnik manji od nazivnika, tada imamo pravilan razlomak. Na primjer: ½, 3/5, 8/9.

Ako je brojnik jednak ili veći od nazivnika, tada imamo posla s nepravilnim razlomkom. Na primjer: 5/5, 9/4, 5/2 Dijeljenjem brojnika može se dobiti konačni broj. Na primjer, 40/8 = 5. Stoga se svaki cijeli broj može napisati kao obični nepravi razlomak ili kao niz takvih razlomaka. Razmotrimo unose istog broja u obliku niza različitih.

• Mješoviti razlomci

Općenito, mješoviti razlomak može se predstaviti formulom:

Tako se mješoviti razlomak piše kao cijeli i obični pravi razlomak, a takav se zapis shvaća kao zbroj cjeline i njezina razlomljenog dijela.

• Decimale

Decimala je posebna vrsta razlomka u kojoj se nazivnik može prikazati kao potencija broja 10. Postoje beskonačne i konačne decimale. Pri pisanju ove vrste razlomka najprije se označava cijeli dio, a zatim se razlomački dio bilježi razdjelnikom (točka ili zarez).

Zapis razlomljenog dijela uvijek je određen njegovom dimenzijom. Decimalni zapis izgleda ovako:

Pravila za pretvorbu između različitih vrsta razlomaka

• Pretvaranje mješovitog razlomka u obični razlomak

Mješoviti razlomak može se pretvoriti samo u nepravi razlomak. Za prevođenje potrebno je cijeli dio dovesti na isti nazivnik kao i razlomak. Općenito će izgledati ovako:
Pogledajmo korištenje ovog pravila na konkretnim primjerima:

• Pretvaranje običnog razlomka u mješoviti razlomak

Nepravi razlomak može se jednostavnim dijeljenjem pretvoriti u mješoviti razlomak, pri čemu nastaje cijeli dio i ostatak (razlomak).

Na primjer, pretvorimo razlomak 439/31 u mješoviti:
​​

• Pretvaranje razlomaka

U nekim je slučajevima pretvaranje razlomka u decimalu vrlo jednostavno. U ovom slučaju primjenjuje se osnovno svojstvo razlomka: brojnik i nazivnik se množe istim brojem kako bi se djelitelj doveo na potenciju 10.

Na primjer:

U nekim ćete slučajevima možda trebati pronaći kvocijent dijeljenjem s uglovima ili korištenjem kalkulatora. A neki se razlomci ne mogu svesti na konačnu decimalu. Na primjer, razlomak 1/3 kada se podijeli nikada neće dati konačni rezultat.

Koriste se izuzetno široko iu širokom rasponu područja ljudske djelatnosti, bilo da se radi o znanstvenom i primijenjenom računarstvu, razvoju i radu različite opreme, ekonomskim proračunima itd. Zbog različitih razloga često je potrebno izvršiti decimalna konverzija, kao i obrnuti proces. Valja napomenuti da slično transformacija proizvode se relativno lako iu skladu s određenim pravilima i tehnikama koje postoje u matematici stotinama godina.

Pretvaranje decimalnog razlomka u prosti razlomak

Decimalna konverzija u "običan" razlomak je prilično lako i jednostavno. Da bi se to postiglo, koristi se sljedeća tehnika: broj koji se nalazi desno od decimalne točke izvornog broja uzima se kao brojnik novog razlomka; broj deset se koristi kao nazivnik, na potenciju jednaku broju znamenki brojnika. Što se tiče preostalog cijelog dijela, on ostaje nepromijenjen. Ako je cijeli broj jednak nuli, tada se nakon transformacije jednostavno izostavlja.

PRIMJER 1

Pedeset zarez dvadeset pet jednako je pedeset zarez jedan, a dvadeset pet podijeljeno sa sto jednako je pedeset zarez jedna četvrtina.

Pretvaranje razlomka u decimalu

Pretvaranje razlomka u decimalu, zapravo je obrnuto pretvaranje decimalnog razlomka u prosti razlomak. Njegova implementacija također ne uzrokuje poteškoće i zapravo je prilično jednostavna aritmetička operacija. Da bi pretvoriti razlomak u decimalu potrebno je podijeliti brojnik s njegovim nazivnikom u skladu s određenim pravilima.

PRIMJER 1

Treba implementirati pretvorba razlomaka pet osmina u decimal.

Dijeljenje pet sa osam daje decimal nulta točka šeststo dvadeset pet tisućitih.

=

0.625

Zaokruživanje rezultata pretvaranja razlomka u decimalu

Treba napomenuti da, za razliku od procesa kao što je decimalna konverzija, ovaj postupak često može trajati neograničeno dugo. U takvim slučajevima kažu da je rezultat postupka pretvaranje razlomka u decimalu možda nije točno. Međutim, praksa pokazuje da u velikoj većini slučajeva nije potrebno dobiti savršeno točan rezultat. U pravilu, proces dijeljenja završava kada se već dobiju vrijednosti onih decimalnih razlomaka koji su od praktičnog interesa u svakom konkretnom slučaju.

PRIMJER 1

Komad maslaca težak jedan kilogram trebate razrezati na devet komada jednake težine. Prilikom izvođenja ovog postupka ispada da je masa svakog od njih 1/9 kilograma. Ako se provodi prema svim pravilima transformacija ovaj obični razlomak V decimalni razlomak, tada se ispostavlja da je masa svakog od rezultirajućih dijelova jednaka nuli cijeloj i jedinici u razdoblju kilograma.

Zaokruživanje se provodi prema standardnim pravilima predviđenim u aritmetici: ako prva od "odbačenih" znamenki ima vrijednost 5 ili više, tada se zadnja od značajnih znamenki povećava za jedan. Inače ostaje nepromijenjen.

PRIMJER 2

Pretvori razlomak jedna osmina na decimalni razlomak.

Kad se jedan podijeli s osam, rezultat je nula zarez sto dvadeset pet tisućinki, ili zaokruženo - nula zarez trinaest stotinki.

Nepravi razlomak jedan je od formata za pisanje običnog razlomka. Kao i svaki obični razlomak, ima broj iznad crte (brojnik) i ispod njega - nazivnik. Ako je brojnik veći od nazivnika, to je znak netočnog razlomka. Mješoviti razlomak može se pretvoriti u ovaj oblik. Decimala se također može prikazati u nepravilnom obliku zapisa, ali samo ako ispred točke razdvajanja stoji broj koji nije nula.

upute

U formatu mješovitog razlomka, brojnik i nazivnik odijeljeni su razmakom od cijelog dijela. Da biste takav unos pretvorili u , prvo pomnožite njegov cijeli dio (broj ispred razmaka) s nazivnikom razlomka. Dodajte dobivenu vrijednost brojniku. Ovako izračunata vrijednost bit će brojnik nepravog razlomka, a nazivnik mješovitog razlomka staviti u njegov nazivnik bez ikakvih promjena. Na primjer, 5 7/11 u običnom nepravilnom formatu može se napisati na sljedeći način: (5*11+7)/11 = 62/11.

Da biste decimalni razlomak pretvorili u netočan obični zapis, odredite broj znamenki nakon decimalne točke koja odvaja cijeli dio od razlomka - jednak je broju znamenki desno od ove decimalne točke. Upotrijebite dobiveni broj kao pokazatelj snage na koju trebate podići deset da biste izračunali nazivnik nepravilnog razlomka. Brojnik se dobiva bez ikakvih izračuna - samo uklonite zarez iz decimalnog razlomka. Na primjer, ako je izvorni decimalni razlomak 12,585, brojnik odgovarajućeg nepravilnog razlomka trebao bi sadržavati broj 10³ = 1000, a nazivnik - 12585: 12,585 = 12585/1000.

Kao i svaki obični razlomak, oni se mogu i trebaju smanjiti. Da biste to učinili, nakon dobivanja rezultata koristeći metode opisane u prethodna dva koraka, pokušajte odabrati najveći zajednički djelitelj za brojnik i nazivnik. Ako to možete, podijelite s onim što ste pronašli s obje strane razlomačke crte. Za primjer iz drugog koraka, ovaj djelitelj će biti broj 5, tako da se nepravi razlomak može smanjiti: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. Ali za primjer iz prvog koraka nema zajedničkog djelitelja, pa nema potrebe smanjivati ​​dobiveni nepravi razlomak.

Video na temu

Decimalni razlomci prikladniji su za automatizirane izračune od prirodnih razlomaka. Bilo koji prirodni frakcija može se pretvoriti u prirodne brojeve bez gubitka točnosti ili s preciznošću do određenog broja decimalnih mjesta, ovisno o odnosu između brojnika i nazivnika.

upute

Po potrebi zaokružite rezultat na traženi broj decimalnih mjesta. Pravila zaokruživanja su sljedeća: ako najveća znamenka koja se briše sadrži znamenku od 0 do 4, tada se sljedeća najviša znamenka (koja se ne briše) ne mijenja, a ako je znamenka od 5 do 9, povećava se za jedan. Ako je posljednja od ovih operacija podvrgnuta znamenki s brojem 9, jedinica se prenosi na drugu, još stariju znamenku, poput stupca. Imajte na umu da zaokruživanje na dostupni broj poznatih mjesta ne provodi uvijek ovu operaciju. Ponekad postoje skriveni bitovi u njegovoj memoriji koji nisu prikazani na indikatoru. Logaritamski, niske točnosti (do dva decimalna mjesta), često se bolje nosi sa zaokruživanjem u pravom smjeru.

Ako ustanovite da se određeni niz brojeva ponavlja nakon decimalne točke, stavite taj niz u zagrade. Za njega kažu da se nalazi "" jer se povremeno ponavlja. Na primjer, broj 53,7854785478547854... može se napisati kao 53,(7854).

Pravi razlomak, čija je vrijednost veća od jedan, sastoji se od dva dijela: cijelog broja i razlomka. Prvo podijelite brojnik razlomka s njegovim nazivnikom. Zatim dodajte rezultat dijeljenja cijelom dijelu. Nakon toga po potrebi zaokružite rezultat na traženi broj decimalnih mjesta ili pronađite periodičnost i označite je u zagradi.

Decimalni razlomci jednostavni su za korištenje. Prepoznaju ih kalkulatori i mnogi računalni programi. Ali ponekad je potrebno, na primjer, nacrtati proporciju. Da biste to učinili, morat ćete pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak. To neće biti teško ako napravite kratki izlet u školski kurikulum.

upute

Smanjite razlomački dio rezultata. Da biste to učinili, brojnik i nazivnik razlomka moraju se podijeliti istim djeliteljem. U ovom slučaju to je broj "5". Dakle, "5/10" se pretvara u "1/2".

Odaberite broj tako da rezultat množenja s nazivnikom bude 10. Obrazložite unatrag: je li moguće broj 4 pretvoriti u 10? Odgovor: ne, jer 10 nije djeljivo sa 4. Onda 100? Da, 100 dijelimo s 4 bez ostatka, rezultat je 25. Pomnožite brojnik i nazivnik s 25 i zapišite odgovor u decimalnom obliku:
¼ = 25/100 = 0,25.

Nije uvijek moguće koristiti metodu odabira, postoje još dva načina. Njihov princip je praktički isti, samo se snimanje razlikuje. Jedan od njih je postupna dodjela decimalnih mjesta. Primjer: pretvorite razlomak 1/8.