Kako riješiti sustav jednadžbi pomoću matrica. Linearne jednadžbe

Tema 2. SUSTAVI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI.

Osnovni koncepti.

Definicija 1. Sustav m linearne jednadžbe sa n nepoznanice je sustav oblika:

gdje su i brojevi.

Definicija 2. Rješenje sustava (I) je skup nepoznanica u kojem svaka jednadžba ovog sustava postaje identitet.

Definicija 3. Sustav (I) se zove spojnica, ako ima barem jedno rješenje i nezglobni, ako nema rješenja. Zglobni sustav naziva se određeni, ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjestan inače.

Definicija 4. Jednadžba oblika

nazvao nula, a jednadžba je oblika

nazvao nekompatibilan. Očito je da je sustav jednadžbi koji sadrži nekompatibilnu jednadžbu nekonzistentan.

Definicija 5. Dva sustava linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalent, ako svako rješenje jednog sustava služi kao rješenje drugog i, obrnuto, svako rješenje drugog sustava rješenje je prvog.

Matrični prikaz sustava linearnih jednadžbi.

Razmotrimo sustav (I) (vidi §1).

Označimo:

Matrica koeficijenata za nepoznanice

Matrica - stupac slobodnih termina

Matrica – stupac nepoznanica

.

Definicija 1. Matrica se zove glavna matrica sustava(I), a matrica je proširena matrica sustava (I).

Po definiciji jednakosti matrica, sustav (I) odgovara jednakosti matrica:

.

Desna strana ove jednakosti prema definiciji umnoška matrica ( vidi definiciju 3 § 5 poglavlje 1) može se faktorizirati:

, tj.

Jednakost (2) nazvao matrični zapis sustava (I).

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Neka u sustavu (I) (vidi §1) m=n, tj. broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica, a glavna matrica sustava je nesingularna, tj. . Tada sustav (I) iz §1 ima jedinstveno rješenje

gdje je Δ = detalj A naziva glavnim odrednica sustava(I), Δ ja dobiva se iz determinante Δ zamjenom ja th stupac u stupac slobodnih članova sustava (I).

Primjer: Riješite sustav Cramerovom metodom:

.

Po formulama (3) .

Izračunavamo determinante sustava:

,

,

.

Da bismo dobili determinantu, prvi stupac u determinanti zamijenili smo stupcem slobodnih članova; zamjenom 2. stupca u determinanti stupcem slobodnih članova dobivamo ; na sličan način, zamjenom 3. stupca u determinanti stupcem slobodnih članova dobivamo . Sustavno rješenje:

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice.

Neka u sustavu (I) (vidi §1) m=n a glavna matrica sustava je nesingularna. Zapišimo sustav (I) u matričnom obliku ( vidi §2):

jer matrica A nesingularan, tada ima inverznu matricu ( vidi teorem 1 §6 u 1. poglavlju). Pomnožimo obje strane jednakosti (2) u matricu, dakle

Po definiciji inverzne matrice. Iz ravnopravnosti (3) imamo

Riješite sustav pomoću inverzne matrice

.

Označimo

U primjeru (§ 3) izračunali smo determinantu, dakle, matricu A ima inverznu matricu. Tada na snazi (4) , tj.

. (5)

Nađimo matricu ( vidi §6 poglavlje 1)

, , ,

, , ,

,

.

Gaussova metoda.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi:

. (ja)

Potrebno je pronaći sva rješenja sustava (I) ili se uvjeriti da je sustav nekonzistentan.

Definicija 1.Nazovimo elementarnu transformaciju sustava(I) bilo koja od tri radnje:

1) precrtavanje nulte jednadžbe;

2) zbrajanje objema stranama jednadžbe odgovarajućih dijelova druge jednadžbe, pomnoženih s brojem l;

3) zamjena članova u jednadžbama sustava tako da nepoznanice s istim brojevima u svim jednadžbama zauzimaju ista mjesta, tj. ako smo npr. u 1. jednadžbi promijenili 2. i 3. član, onda isto moramo učiniti u svim jednadžbama sustava.

Gaussova metoda sastoji se u tome da se sustav (I) uz pomoć elementarnih transformacija svodi na ekvivalentni sustav, čije se rješenje nalazi izravno ili se utvrđuje njegova nerješivost.

Kao što je opisano u §2, sustav (I) je jedinstveno određen svojom proširenom matricom i svaka elementarna transformacija sustava (I) odgovara elementarnoj transformaciji proširene matrice:

.

Transformacija 1) odgovara brisanju nultog retka u matrici, transformacija 2) je ekvivalentna dodavanju drugog retka odgovarajućem retku matrice, pomnoženom s brojem l, transformacija 3) je ekvivalentna preuređivanju stupaca u matrici.

Lako je vidjeti da, naprotiv, svaka elementarna transformacija matrice odgovara elementarnoj transformaciji sustava (I). Zbog navedenog, umjesto operacija sa sustavom (I), radit ćemo s proširenom matricom ovog sustava.

U matrici, 1. stupac se sastoji od koeficijenata za x 1, 2. stupac - iz koeficijenata za x 2 itd. Ako se stupci preuređuju, treba uzeti u obzir da je ovaj uvjet prekršen. Na primjer, ako zamijenimo 1. i 2. stupac, onda će sada 1. stupac sadržavati koeficijente za x 2, au 2. stupcu - koeficijenti za x 1.

Sustav (I) ćemo riješiti Gaussovom metodom.

1. Precrtajte sve nulte retke u matrici, ako postoje (tj. prekrižite sve nulte jednadžbe u sustavu (I).

2. Provjerimo da li među redovima matrice postoji red u kojem su svi elementi osim posljednjeg jednaki nuli (nazovimo takav red nekonzistentnim). Očigledno, takva linija odgovara nekonzistentnoj jednadžbi u sustavu (I), stoga sustav (I) nema rješenja i tu proces završava.

3. Neka matrica ne sadrži nekonzistentne retke (sustav (I) ne sadrži nekonzistentne jednadžbe). Ako a 11 =0, tada u 1. retku pronađemo neki element (osim posljednjeg) koji nije nula i presložimo stupce tako da u 1. retku nema nule na 1. mjestu. Sada ćemo pretpostaviti da (tj. zamijenit ćemo odgovarajuće članove u jednadžbama sustava (I)).

4. Pomnožite 1. redak s i zbrojite rezultat s 2. retkom, zatim pomnožite 1. redak s i zbrojite rezultat s 3. retkom, itd. Očito, ovaj proces je ekvivalentan uklanjanju nepoznatog x 1 iz svih jednadžbi sustava (I), osim 1. U novoj matrici dobivamo nule u 1. stupcu ispod elementa a 11:

.

5. Prekrižimo sve nulte retke u matrici, ako ih ima, i provjerimo postoji li nekonzistentan red (ako postoji, sustav je nekonzistentan i rješenje tu završava). Provjerimo hoće li ih biti a 22 / =0, ako da, tada u 2. retku nalazimo element koji nije nula i preuređujemo stupce tako da . Zatim pomnožite elemente 2. reda s i zbrajamo s pripadajućim elementima 3. retka, zatim - elemente 2. retka i zbrajamo s odgovarajućim elementima 4. retka itd., dok ne dobijemo nule ispod a 22/

.

Poduzete radnje jednake su uklanjanju nepoznatog x 2 iz svih jednadžbi sustava (I), osim 1. i 2. Budući da je broj redaka konačan, stoga nakon konačnog broja koraka dobivamo da je ili sustav nekonzistentan ili imamo matricu koraka ( vidi definiciju 2 §7 poglavlje 1) :

,

Napišimo sustav jednadžbi koji odgovara matrici . Ovaj sustav je ekvivalentan sustavu (I)

.

Iz posljednje jednadžbe izražavamo; zamijeniti u prethodnu jednadžbu, pronaći itd., dok ne dobijemo .

Napomena 1. Dakle, pri rješavanju sustava (I) Gaussovom metodom dolazimo do jednog od sljedećih slučajeva.

1. Sustav (I) je nekonzistentan.

2. Sustav (I) ima jedinstveno rješenje ako je broj redaka u matrici jednak broju nepoznanica ().

3. Sustav (I) ima beskonačan broj rješenja ako je broj redaka u matrici manji od broja nepoznanica ().

Stoga vrijedi sljedeći teorem.

Teorema. Sustav linearnih jednadžbi je ili nekonzistentan, ima jedinstveno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom ili dokažite njegovu nekonzistentnost:

b) ;

a) Zadani sustav prepišimo u obliku:

.

Zamijenili smo 1. i 2. jednadžbu izvornog sustava kako bismo pojednostavili izračune (umjesto s razlomcima, ovim ćemo preuređivanjem raditi samo s cijelim brojevima).

Kreirajmo proširenu matricu:

.

Nema nultih linija; nema nespojivih linija, ; Isključimo 1. nepoznanicu iz svih jednadžbi sustava osim 1. Da biste to učinili, pomnožite elemente 1. retka matrice s "-2" i zbrojite ih s odgovarajućim elementima 2. retka, što je jednako množenju 1. jednadžbe s "-2" i zbrajanju s 2. jednadžba. Zatim pomnožimo elemente 1. retka s “-3” i zbrojimo ih s odgovarajućim elementima trećeg retka, tj. pomnožite 2. jednadžbu zadanog sustava s “-3” i dodajte je 3. jednadžbi. Dobivamo

.

Matrica odgovara sustavu jednadžbi). - (vidi definiciju 3§7 poglavlja 1).

Razmotrimo sustav linearnih algebarskih jednadžbi(SLAU) relativno n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :

Ovaj sustav u "složenom" obliku može se napisati na sljedeći način:

S n i=1 a i J x j = b ja , i=1,2, ..., n.

U skladu s pravilom množenja matrica, razmatrani sustav linearnih jednadžbi može se napisati matrični oblik Ax=b, Gdje

, ,.

Matrica Ačiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznanice, a redovi su koeficijenti za nepoznanice u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sustava. Matrica stupca b, čiji su elementi desne strane jednadžbi sustava, naziva se matrica desne strane ili jednostavno desnu stranu sustava. Matrica stupca x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sustavno rješenje.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi zapisan u obliku Ax=b, je matrična jednadžba.

Ako matrica sustava nedegeneriran, tada ima inverznu matricu i tada je rješenje sustava Ax=b daje se formulom:

x=A -1 b.

Primjer Riješite sustav matrična metoda.

Riješenje nađimo inverznu matricu za matricu koeficijenata sustava

Izračunajmo determinantu širenjem duž prvog retka:

Jer Δ ≠ 0 , To A -1 postoji.

Inverzna matrica je točno pronađena.

Pronađimo rješenje za sustav

Stoga, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Ispitivanje:

7. Kronecker-Capellijev teorem o kompatibilnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Sustav linearnih jednadžbi ima oblik:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Ovdje su zadani a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept produkta matrica, sustav (5.1) možemo prepisati u obliku:

gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata za nepoznanice sustava (5.1) koja se naziva matrica sustava, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T su vektori stupci sastavljeni od nepoznanica x j i slobodnih članova b i .

Naručeno preuzimanje n realnih brojeva (c 1, c 2,..., c n) naziva se sustavno rješenje(5.1), ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1, x 2,..., x n svaka jednadžba sustava pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC  B.

Sustav (5.1) se zove zglob, ili rješiv, ako ima barem jedno rješenje. Sustav se zove nekompatibilno, ili nerješiv, ako nema rješenja.

,

nastalog dodjeljivanjem stupca slobodnih članova desnoj strani matrice A naziva se proširena matrica sustava.

Pitanje kompatibilnosti sustava (5.1) rješava se sljedećim teoremom.

Kronecker-Capellijev teorem . Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A podudaraju, tj. r(A) = r(A) = r.

Za skup M rješenja sustava (5.1) postoje tri mogućnosti:

1) M =  (u ovom slučaju sustav je nekonzistentan);

2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sustav ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sustav se zove određeni);

3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sustav naziva neizvjestan). U trećem slučaju sustav (5.1) ima beskonačan broj rješenja.

Sustav ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju broj jednadžbi nije manji od broja nepoznanica (mn); ako je m>n, tada su m-n jednadžbe posljedice ostalih. Ako je 0

Za rješavanje proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi potrebno je znati riješiti sustave u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica – tzv. Sustavi tipa Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sustavi (5.3) rješavaju se na jedan od sljedećih načina: 1) Gaussovom metodom, odnosno metodom eliminacije nepoznanica; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matrična metoda.

Primjer 2.12. Istražite sustav jednadžbi i riješite ga ako je konzistentan:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Riješenje. Ispisujemo proširenu matricu sustava:

 .

Izračunajmo rang glavne matrice sustava. Očito je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom kutu = 7  0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli:

Prema tome, rang glavne matrice sustava je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite rubni minor

to znači da je rang proširene matrice r(A) = 3. Budući da je r(A)  r(A), sustav je nekonzistentan.

Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustavom forme

Gdje a ij I b i (ja=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks ja označava broj jednadžbe, a drugi j– broj nepoznanice na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijente za nepoznanice ćemo napisati u obliku matrice , koju ćemo nazvati matrica sustava.

Brojevi na desnoj strani jednadžbi su b 1 ,…,b m se zovu besplatni članovi.

Totalitet n brojevima c 1 ,…,c n nazvao odluka danog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se spojnica. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, tada se poziva nezglobni.

Razmotrimo načine pronalaženja rješenja za sustav.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI

Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrite matricu sustava i matrice stupaca nepoznatih i slobodnih članova

Nađimo posao

oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se pomoću definicije jednakosti matrica ovaj sustav može napisati u obliku

ili kraće A∙X=B.

Ovdje su matrice A I B su poznati, a matrica x nepoznato. Potrebno ga je pronaći, jer... njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E I E∙X = X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi poklapa se s brojem nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je iu slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A neće biti kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, tj. sastavljen od koeficijenata za nepoznanice,

nazvao odrednica sustava.

Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo uzastopno 1, 2 i 3 stupce u determinanti D sa stupcem slobodnih članova.

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada razmatrani sustav ima jedno i samo jedno rješenje, a

Dokaz. Dakle, razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožimo 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba – na A 21 i 3. – na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Teoremom o proširenju determinante u elemente 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, lako je uočiti da

Tako dobivamo jednakost: .

Stoga, .

Slično se izvode jednakosti i iz čega slijedi tvrdnja teorema.

Dakle, napominjemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan broj rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilan.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi

GAUSSOVA METODA

Prethodno opisane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladnija za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se od dosljednog uklanjanja nepoznanica iz jednadžbi sustava.

Razmotrimo ponovno sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

.

Prvu jednadžbu ćemo ostaviti nepromijenjenu, a iz 2. i 3. ćemo isključiti članove koji sadrže x 1. Da biste to učinili, podijelite drugu jednadžbu s A 21 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga dodajte 1. jednadžbi. Slično, treću jednadžbu dijelimo s A 31 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga zbrojite s prvim. Kao rezultat, izvorni sustav će imati oblik:

Sada iz posljednje jednadžbe eliminiramo izraz koji sadrži x 2. Da biste to učinili, podijelite treću jednadžbu s, pomnožite s i zbrojite s drugom. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:

Odavde, iz posljednje jednadžbe to je lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x 2 i konačno, od 1. x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često se, umjesto da napišu novi sustav jednadžbi, ograniče na ispisivanje proširene matrice sustava:

a zatim ga elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog ili dijagonalnog oblika.

DO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

1. preuređivanje redaka ili stupaca;
2. množenje niza s brojem koji nije nula;
3. dodavanje drugih redaka jednom retku.

Primjeri: Rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom.

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Metoda matrice omogućuje pronalaženje rješenja za SLAE (sustave linearnih algebarskih jednadžbi) bilo koje složenosti. Cijeli proces rješavanja SLAE svodi se na dvije glavne radnje:

Određivanje inverzne matrice na temelju glavne matrice:

Množenje dobivene inverzne matrice s vektorom stupca rješenja.

Pretpostavimo da nam je dan SLAE sljedećeg oblika:

\[\lijevo\(\begin(matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrica)\desno.\]

Počnimo rješavati ovu jednadžbu ispisivanjem matrice sustava:

Matrica s desne strane:

Definirajmo inverznu matricu. Matricu 2. reda možete pronaći na sljedeći način: 1 - sama matrica mora biti nesingularna; 2 - mijenjaju se njegovi elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali, a elementima sporedne dijagonale mijenjamo predznak u suprotan, nakon čega dobivene elemente dijelimo s determinantom matrice. Dobivamo:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ početak(pmatrica) -11 \\ 31 \kraj(pmatrica) \]

2 matrice se smatraju jednakima ako su im odgovarajući elementi jednaki. Kao rezultat, imamo sljedeći odgovor za SLAE rješenje:

Gdje mogu riješiti sustav jednadžbi pomoću matrične metode online?

Sustav jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici. Besplatni online rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete saznati kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi VKontakte.