Sinus, kosinus, tangens: što je to? Kako pronaći sinus, kosinus i tangens? Univerzalna trigonometrijska supstitucija, izvođenje formula, primjeri.

Neću vas uvjeravati da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i kako su varalice korisne. I ovdje - informacije o tome kako ne učiti, ali zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule zbrajanja:

kosinusi uvijek "idu u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima je “sve krivo” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek "ide u paru". Dodavanjem dva kosinusa - "buns", dobivamo par kosinusa - "koloboks". I oduzimajući, definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobivamo par sinusa. I dalje s minusom ispred.

Sinusi - "mix" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada ćemo dobiti par kosinusa? Pri zbrajanju kosinusa. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i zbrajanjem i oduzimanjem sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzmite zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli u zagradi - iznos. Preraspodjelom mjesta članova zbroj se ne mijenja. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo, zbroj

Plahte za krevetić u vašem džepu pružaju mir: ako zaboravite formulu, možete je otpisati. I ulijevaju povjerenje: ako ne uspijete koristiti varalicu, formule se mogu lako zapamtiti.

Referentni podaci o trigonometrijskim funkcijama sinus (sin x) i kosinus (cos x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica sinusa i kosinusa, izvodnice, integrali, proširenja nizova, sekans, kosekans. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija sinusa i kosinusa

|BD|- duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodički s periodom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane na svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Uzlazni
Silazni
Maksimumi, y= 1
Minimalni, y = - 1
Nule, y= 0
Točke presjeka s osi y, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule sinusa i kosinusa za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz preko tangente

; .

Za imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

- sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne voli jer mora natrpati ogromnu količinu teških formula koje vrve sinusima, kosinusima, tangensima i kotangensima. Stranica je već jednom dala savjet kako zapamtiti zaboravljenu formulu, na primjeru Eulerove i Peelove formule.

A u ovom ćemo članku pokušati pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet najjednostavnijih trigonometrijskih formula, a o ostalima imati opću predodžbu i usput ih izvesti. To je kao s DNK: potpuni crteži gotovog živog bića nisu pohranjeni u molekuli. Sadrži, naime, upute kako ga sastaviti od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavajući neka opća načela, dobit ćemo sve potrebne formule iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Oslonit ćemo se na sljedeće formule:

Iz formula za sinus i kosinus zbroja, znajući da je kosinusna funkcija parna, a sinusna neparna, zamjenom -b s b, dobivamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. razlika kosinusa: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući \u003d b u iste formule, dobivamo formule za sinus i kosinus dvostrukih kutova:

1. Sinus dvostrukog kuta: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog kuta: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2a-grijeh2a

Formule za druge višestruke kutove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog kuta: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2a-grijeh2a)grijeha = 2grijehacos2a+grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog kuta: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2a-grijeh2a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3a- grijeh2acosa-2grijeh2acosa = cos 3a-3 grijeh2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Prije nego krenemo dalje, razmotrimo jedan problem.
Zadano: kut je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje jednog učenika:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangensa povezuje ovu funkciju sa sinusom i kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja daje vezu tangente samo s kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo osnovni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga s cos 2 a. Dobivamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je kut oštar, kod vađenja korijena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna koju je teško zapamtiti. Izbacimo to ovako:

odmah izlaz i

Iz formule kosinusa za dvostruki kut možete dobiti formule sinusa i kosinusa za polukut. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodajemo jedinicu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbroj kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2a-grijeh2a+cos2a+grijeh2a
2cos 2 a = cos2 a+1
izražavajući cosa kroz cos2 a i vršeći promjenu varijabli, dobivamo:

Predznak se uzima ovisno o kvadrantu.

Slično, oduzimajući jedan od lijeve strane jednakosti, a zbroj kvadrata sinusa i kosinusa od desne strane, dobivamo:
cos2a-1 = cos2a-grijeh2a-cos2a-grijeh2a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I konačno, za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak koristimo sljedeći trik. Pretpostavimo da zbroj sinusa trebamo prikazati kao umnožak grijeha+grijehb. Uvedimo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Zatim
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos g. Izrazimo sada x i y kroz a i b.

Kako je a = x+y, b = x-y, tada je . Zato

Možete se odmah povući

1. Particijska formula produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučamo da uvježbate i izvedete formule za pretvaranje umnoška razlike sinusa i zbroja i razlike kosinusa u umnožak, kao i za rastavljanje umnožaka sinusa i kosinusa u zbroj. Izvođenjem ovih vježbi temeljito ćete svladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežoj kontroli, olimpijadi ili testiranju.

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju vam da prijeđete od zbroja navedenih kutova do produkta kutova α + β 2 i α - β 2 . Odmah napominjemo da ne smijete brkati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo te formule, dajemo njihovo izvođenje i prikazujemo primjere primjene za specifične probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbroja i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj odnosno polurazlika kutova alfa i beta. Dajemo formulaciju za svaku formulu.

Definicije formula zbroja i razlike za sinuse i kosinuse

Zbroj sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja ovih kutova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.

Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.

Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetog s negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Predstavljamo ih u nastavku

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Same kutove također predstavljamo kao zbroj poluzbroja i polurazlike.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.

Derivacija formule za zbroj sinusa

U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove danima gore. Dobiti

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada primjenjujemo formulu zbrajanja na prvi izraz, a formulu sinusa razlika kutova na drugi (pogledajte formule iznad)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje ostalih formula su slični.

Izvod formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbroj kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivacija formule razlike kosinusa

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Za početak ćemo provjeriti jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2 , β = π 6 . Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo koristimo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, a zatim primjenjujemo formulu za zbroj sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo vrijednost razlike sinusa ovih kutova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći od zbroja ili razlike do umnoška trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pretvorbi trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tablicu, au nastavku donosimo izvođenje ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i redom, a jednakosti I slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.

Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.

Prije nego dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dat ćemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta oblika i neposredno proizlaze iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog te očitosti identiteta i često se definicije tangensa i kotangensa ne daju kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

Za kraj ovog odjeljka, treba napomenuti da su identiteti i vrijede za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za sve osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje s nulom), a formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.

Odnos tangensa i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da se to događa za sve kutove osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao provesti i na malo drugačiji način. Od i , To .

Dakle, tangens i kotangens jednog kuta, u kojem imaju smisla, je.